2015-2016学年重庆市巴蜀中学高一(下)期末数学试卷(解析版)

2015-2016学年重庆市巴蜀中学高一（下）期末数学试卷
一、选择题（共12×5=60分）
1．直线的倾斜角为（）
A． B． C．D．
2．圆x2+y2+2x+y=0的半径是（）
A．B． C．D．
3．直线l1：mx﹣y=0与直线l2：x﹣my+4=0互相平行，则实数m的值为（）
A．1 B．﹣1 C．0 D．±1
4．函数y=（x＞0）的最大值为（）
A．2 B． C． D．
5．已知非零向量满足（+）⊥
（﹣），且||=||，则向量与的夹角为（）
A． B． C． D．
6．已知，则z=x﹣2y的取值范围是（）
A．[﹣8，12]B．[﹣4，12]C．[﹣4，4]D．[﹣8，4]
7．△
ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且c2﹣b2=ab，C=，则的值为（）
A．B．1 C．2 D．3
8．已知x1＞x2＞
x3，若不等式恒成立，则实数m的最大值为（）
A．9 B．7 C．3+2D．1+
9．递增的等差数列{a n}满足：a1+a2+a3=12，a1a2a3=63，S n是数列{a n}的前n项和，则使S n ＞2018的最小整数n的值为（）
A．80 B．84 C．87 D．89
10．已知椭圆=1（a＞b＞0）的左顶点、上顶点、右焦点分别为A、B、F，且∠ABF=90°，则的值为（）
A．B．C．D．
11．已知数列{a n}满足：a1=1，a n+1﹣a n=2n（n∈
N*），数列b n=），T n=b1+b2+…+b n，则T10的值为（）A．B．C．D．
12．已知直线l与椭圆=1（a＞b＞
0）相切于直角坐标系的第一象限的点P（x0，y0），且直线l与x、y轴分别相交于点A、B，当△AOB（O为坐标原点）的面积最小时，∠
F1PF2=60°（F1、F2是椭圆的两个焦点），若此时∠
F1PF2的内角平分线长度为a，则实数m的值是（）
A．B．C．D．
二、填空题（共20分）
13．已知x＞y＞0，则与中较大者是．
14．△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，B=，sinA：sinC=4：3，且△ABC的面积为，则c= ．
15．等边△ABC的边长为2，且，则= ．
16．已知圆C的圆心在直线x+y﹣2=0上，圆C经过点（2，﹣2）且被x轴截得的弦长为2，则圆C的标准方程为．
三、解答题（共70分）
17．已知椭圆=1的左、右焦点分别为F1、F2，点P在该椭圆上．
（1）求实数m的取值范围；
（2）若m=5，且|PF1|=3，求点P到x轴的距离．
18．△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，角A为锐角，且．
（1）求角C的大小；
（2）求sinA+sinB的取值范围．
19．已知圆的方程为x2+y2﹣2x﹣2my+2m2﹣4m+1=0（m∈R）．
（1）当该圆的半径最长时，求m的值；
（2）在满足（1）的条件下，若该圆的圆周上到直线l：2kx﹣2y+4+﹣3k=0的距离等于1的点有且只有3个，求实数k的值．
20．已知S n是数列{a n}的前n项和，且a1=2，a n+1=3S n﹣2（n∈N*）．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）设b n=），求证，b1b2+b2b3+…+b n b n+1＜3（n∈N*）．
21．已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的离心率为，且点（2，）在C上．
（1）求C的方程；
（2）过点P（2，1）的直线l与椭圆C交于A，B两点，且AB的中点恰为P，求直线l的方程．
22．已知椭圆C： =1（a＞b＞
0）的两焦点F1、F2与短轴两端点构成四边形为正方形，又点M是C上任意一点，且△
MF1F2的周长为2+2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若过点M（2，0）的直线与椭圆C相交于两点A、B，设P为椭圆E上一点，且满足（O为坐标原点），当|AB|＜时，求实数t的取值范围．
2015-2016学年重庆市巴蜀中学高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共12×5=60分）
1．直线的倾斜角为（）
A． B． C．D．
【考点】直线的倾斜角．
【分析】求出直线的斜率，从而求出直线的倾斜角即可．
【解答】解：直线，即x+y=3，
故直线的斜率是k=﹣，
故倾斜角是：，
故选：D．
2．圆x2+y2+2x+y=0的半径是（）
A．B． C．D．
【考点】圆的一般方程．
【分析】化圆的方程为标准方程，即可求出半径．
【解答】解：把圆x2+y2+2x+y=0化标准方程为：，
则圆x2+y2+2x+y=0的半径是：．
故选：B．
3．直线l1：mx﹣y=0与直线l2：x﹣my+4=0互相平行，则实数m的值为（）
A．1 B．﹣1 C．0 D．±1
【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．
【分析】由直线与直线平行的性质得m≠0，且，由此能求出m的值．
【解答】解：∵直线l1：mx﹣y=0与直线l2：x﹣my+4=0互相平行，
∴m≠0，且，
解得m=±1．
故选：D．
4．函数y=（x＞0）的最大值为（）
A．2 B． C． D．
【考点】函数的最值及其几何意义．
【分析】将函数y化为6﹣（x+），由基本不等式a+b≥2（a，b＞
0，a=b取得等号），计算即可得到所求最大值．
【解答】解：∵x＞0，
∴y=
==
=6﹣（x+）≤6﹣2=6﹣4=2，
当且仅当x=即x=2时，取得最大值2．
故选：A．
5．已知非零向量满足（+）⊥
（﹣），且||=||，则向量与的夹角为（）
A． B． C． D．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】根据向量垂直的等价条件建立方程关系，结合数量积的应用进行求解即可．【解答】解：∵（+）⊥（﹣），且||=||，
∴（+）•（﹣）=0，
即2﹣2﹣•=0，
即22﹣2﹣×|||cos＜，＞=0，
则﹣×cos＜，＞=0，
则cos＜，＞=，
则＜，＞=，
故选：A
6．已知，则z=x﹣2y的取值范围是（）
A．[﹣8，12]B．[﹣4，12]C．[﹣4，4]D．[﹣8，4]
【考点】简单线性规划．
【分析】画出不等式组表示的平面区域，利用目标函数的几何意义求其最值．
【解答】解：不等式组表示的平面区域如图，当直线y=x﹣经过图中B时z最大，经过D 时z最小，
又得到B（4，﹣4），
由得到D（0，4），
所以x﹣2y的最大值为4+2×4=12，最小值为0﹣2×4=﹣8；
所以z=x﹣2y的取值范围是[﹣8，12]；
故选A．
7．△
ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且c2﹣b2=ab，C=，则的值为（）
A．B．1 C．2 D．3
【考点】余弦定理；正弦定理．
【分析】由于已知及余弦定理可解得a=2b，利用正弦定理即可得解．
【解答】解：∵C=，
∴由余弦定理可得：c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab，
∵c2﹣b2=ab，
∴a2+b2﹣ab=b2+ab，解得：a=2b，
∴利用正弦定理可得：．
故选：C．
8．已知x1＞x2＞
x3，若不等式恒成立，则实数m的最大值为（）
A．9 B．7 C．3+2D．1+
【考点】数列与不等式的综合．
【分析】通过变形可知问题转化为求+2•的最小值，进而利用基本不等
式计算即得结论．
【解答】解：∵x1＞x2＞x3，
∴x1﹣x2＞0，x2﹣x3＞0，x1﹣x3＞0，
又∵，
∴m≤（x1﹣x3）（+）
=+2•
=3++2•，
∵+2•≥2=2，
∴m≤3+2，
故选：C．
9．递增的等差数列{a n}满足：a1+a2+a3=12，a1a2a3=63，S n是数列{a n}的前n项和，则使S n ＞2018的最小整数n的值为（）
A．80 B．84 C．87 D．89
【考点】等差数列的前n项和．
【分析】由等差数列通项公式列出方程组，求出首项和公差，从而求出S n=，由此
能求出使S n＞2018的最小整数n的值．
【解答】解：递增的等差数列{a n}满足：a1+a2+a3=12，a1a2a3=63，
∴，
解得，d=，
=，
∵S n＞2018，∴＞2018，
∴n2+13n﹣8072＞0，
解得n＞≈83.6，
由n∈N*，∴使S n＞2018的最小整数n的值为84．
故选：B．
10．已知椭圆=1（a＞b＞0）的左顶点、上顶点、右焦点分别为A、B、F，且∠ABF=90°，则的值为（）
A．B．C．D．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】利用椭圆的性质用a，b，c表示出△
ABF的边长，利用勾股定理列方程得出a，b，c的关系．
【解答】解：由椭圆的定义可知|AF|=a+c，|AB|=，|BF|=a，
∵∠ABF=90°，
∴|AB|2+|BF|2=|AF|2，即a2+b2+a2=a2+c2+2ac，
∴a2+b2=c2+2ac．又b2=a2﹣c2，
∴a2﹣c2﹣ac=0，即（）2+﹣1=0，
∴=，
∴===．
故选：D．
11．已知数列{a n}满足：a1=1，a n+1﹣a n=2n（n∈
N*），数列b n=），T n=b1+b2+…+b n，则T10的值为（）
A．B．C．D．
【考点】数列的求和．
【分析】利用累加法先求出数列{a n}的通项公式，利用数列的递推关系求出数列{b n}的通项公式，利用错位相减法进行求和即可．
【解答】解：∵a1=1，a n+1﹣a n=2n（n∈N*），
∴a2﹣a1=2，
a3﹣a2=22，
a4﹣a3=23，
…
a n﹣a n﹣1=2n﹣1，
等式两边同时相加得：
a n﹣a1=2+22+23+…2n﹣1，
即a n=a1+2+22+23+…2n﹣1=1+2+22+23+…2n﹣1==2n﹣1，
b n=）===，
则T n=+++…+，①
则T n=+++…++，②
①﹣②得
T n=+++…+﹣=﹣=1﹣（）n﹣，
则T n=2﹣﹣=2﹣．
则T10=2﹣=2﹣=2﹣=．
故选：B
12．已知直线l与椭圆=1（a＞b＞
0）相切于直角坐标系的第一象限的点P（x0，y0），且直线l与x、y轴分别相交于点A、B，当△AOB（O为坐标原点）的面积最小时，∠
F1PF2=60°（F1、F2是椭圆的两个焦点），若此时∠
F1PF2的内角平分线长度为a，则实数m的值是（）
A．B．C．D．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】由题意，切线方程为=1，利用基本不等式，结合△
AOB（O为坐标原点）的面积最小，可得切点坐标，利用三角形的面积公式，建立方程，即可求出实数m的值．
【解答】解：由题意，切线方程为=1，
∵直线l与x、y轴分别相交于点A、B，
∴A（，0），B（0，），
∴S△AOB=，
∵=1≥，
∴≥，
∴S△AOB≥ab，当且仅当==时，△AOB（O为坐标原点）的面积最小，
设|PF1|=x，|PF2|=y，由余弦定理可得4c2=x2+y2﹣xy，∴xy=b2，
∴==b2，
∴=b2，
∴x0==b，
∴c=b，
∴a= b
∵∠F1PF2的内角平分线长度为a，
∴×x×a×+×y×a×=b2，
∴×（x+y）=b2，
∴××2a=b2，
∴m=．
故选：A．
二、填空题（共20分）
13．已知x＞y＞0，则与中较大者是．
【考点】不等式的证明．
【分析】根据已知中x＞y＞0，利用作差法，可得与的大小关系，进而得到答案．
【解答】解：∵x＞y＞0，
∴x﹣y＞0，y+1＞0，
﹣=＞0，
故与中较大者是，
故答案为：
14．△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，B=，sinA：sinC=4：3，且△
ABC的面积为，则c= ．
【考点】正弦定理．
【分析】由正弦定理和条件求出a：c的值，根据三角形的面积公式列出方程，联立方程后求出c的值．
【解答】解：∵sinA：sinC=4：3，
∴由正弦定理得，a：c=4：3，①
∵B=，且△ABC的面积为，
∴，解得ac=4，②
由①②解得，c=，
故答案为：．
15．等边△ABC的边长为2，且，则= ．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】根据平面向量数量积的定义进行转化求解即可．
【解答】解：∵，
∴=， =，即D是BC的中点，
则=（+）•（+）=（﹣+）•（+）
= [﹣2+2+•﹣•]
= [﹣4+×42+×2×2cos60°﹣2×2×cos60°]
=（﹣4++﹣2）==，
故答案为：
16．已知圆C的圆心在直线x+y﹣2=0上，圆C经过点（2，﹣2）且被x轴截得的弦长为2，则圆C的标准方程为（x﹣3）2+（y+1）2=2或（x﹣5）2+（y+3）2=10 ．
【考点】圆的标准方程．
【分析】由题意，设圆心坐标为（a，2﹣a），则r2=（a﹣2）2+（2﹣a+22）=12+（2﹣a）2，求出a，r，可得圆心与半径，即可求出圆C的标准方程．
【解答】解：由题意，设圆心坐标为（a，2﹣a），则r2=（a﹣2）2+（2﹣a+22）=12+（2﹣a）2，
∴a=3，r=或a=5，r=，
∴圆C的标准方程为（x﹣3）2+（y+1）2=2或（x﹣5）2+（y+3）2=10．
故答案为：（x﹣3）2+（y+1）2=2或（x﹣5）2+（y+3）2=10．
三、解答题（共70分）
17．已知椭圆=1的左、右焦点分别为F1、F2，点P在该椭圆上．
（1）求实数m的取值范围；
（2）若m=5，且|PF1|=3，求点P到x轴的距离．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（1）由题意，，即可求实数m的取值范围；
（2）求出|PF2|=1，|F1F2|=2，可得|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2，即可求点P到x轴的距离．【解答】解：（1）由题意，，∴3＜m＜9且m≠6；
（2）m=5，椭圆方程为=1，∴a=2，b=，c=
∵|PF1|=3，∴|PF2|=1，
∵|F1F2|=2，
∴|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2，
∴P到x轴的距离为1．
18．△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，角A为锐角，且．
（1）求角C的大小；
（2）求sinA+sinB的取值范围．
【考点】正弦定理．
【分析】（1）根据二倍角的正弦公式、商的关系化简后，再由余弦定理化简后求出C的值；
（2）由（1）和内角和定理表示B，利用诱导公式、两角和的正弦公式化简后，由角A为锐角和正弦函数的性质，求出sinA+sinB的取值范围．
【解答】解：（1）由题意得，，
∴，得，
∵角A为锐角，∴cosA=，
由余弦定理得，，化简得c2=a2+b2，
∴C=；
（2）由（1）得，A+B=，则B=﹣A，
∴sinA+sinB=sinA+sin（﹣A）=sinA+cosA=，
由得，，
∴，
则，
∴sinA+sinB的取值范围是（1，]．
19．已知圆的方程为x2+y2﹣2x﹣2my+2m2﹣4m+1=0（m∈R）．
（1）当该圆的半径最长时，求m的值；
（2）在满足（1）的条件下，若该圆的圆周上到直线l：2kx﹣2y+4+﹣3k=0的距离等于1的点有且只有3个，求实数k的值．
【考点】直线与圆的位置关系；圆的一般方程．
【分析】（1）圆的方程x2+y2﹣2x﹣2my+2m2﹣4m+1=0化为（x﹣1）2+（y﹣m）2=﹣m2+4 m，当﹣m2+4m＞0时表示圆，半径最大时，﹣m2+4m取得最大值，求出对应m的值；（2）圆周上到直线l的距离等于1的点有且只有3个时，圆心到直线l的距离d=r﹣1，列出方程求出k的值．
【解答】解：（1）圆的方程x2+y2﹣2x﹣2my+2m2﹣4m+1=0可化为：
（x﹣1）2+（y﹣m）2=﹣m2+4m，
它表示圆时，应有﹣m2+4m＞0，
解得0＜m＜4；
当半径最大时，应有﹣m2+4m最大，
此时m=2，圆的方程为 x2+y2﹣2x﹣4y+1=0；
（2）圆的方程x2+y2﹣2x﹣4y+1=0，化为（x﹣1）2+（y﹣2）2=4；
该圆的圆周上到直线l：2kx﹣2y+4+﹣3k=0的距离等于1的点有且只有3个，
则圆心（1，2）到直线l的距离d等于半径r﹣1，
即=1，
化简得=4k2+4，
解得k=﹣．
20．已知S n是数列{a n}的前n项和，且a1=2，a n+1=3S n﹣2（n∈N*）．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）设b n=），求证，b1b2+b2b3+…+b n b n+1＜3（n∈N*）．
【考点】数列与不等式的综合；数列递推式．
【分析】（1）当n≥2时通过a n+1=3S n﹣2与a n=3S n﹣1﹣2作差，进而整理即得结论；
（2）通过（1）可知数列{b n}的通项公式，利用裂项相消法计算即得结论．
【解答】（1）解：∵a n+1=3S n﹣2，
∴当n≥2时，a n=3S n﹣1﹣2，
两式相减得：a n+1﹣a n=3a n，即a n+1=4a n（n≥2），
又∵a1=2，a2=3S1﹣2=4，
∴数列{a n}的通项公式a n=；
（2）证明：由（1）可知b n=，
∵当n≥2时，b n b n+1==﹣，
∴b1b2+b2b3+…+b n b n+1
=2×1+（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）
=3﹣
＜3．
21．已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的离心率为，且点（2，）在C上．
（1）求C的方程；
（2）过点P（2，1）的直线l与椭圆C交于A，B两点，且AB的中点恰为P，求直线l的方程．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（1）根据椭圆C： =1（a＞b＞
0）的离心率为，且点（2，）在C上，建立方程，可a2=16，b2=8，即可求出C的方
程；
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=4，y1+y2=2，利用点差法求出直线的向量，可求直线l的方程．
【解答】解：（1）∵椭圆C： =1（a＞b＞
0）的离心率为，且点（2，）在C上，
∴=， =1
∴a2=16，b2=8，
∴C的方程为=1；
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=4，y1+y2=2；
由（1）知，8x12+16y12=128，①
8x22+16y22=128，②
①﹣②得：8（x1+x2）（x1﹣x2）+16（y1+y2）（y2﹣y1）=0，
∴32（x1﹣x2）+32（y2﹣y1）=0，
由题意知，直线l的斜率存在，k=﹣1，
∴直线l的方程为y﹣1=﹣（x﹣2），即x+y﹣3=0．
22．已知椭圆C： =1（a＞b＞
0）的两焦点F1、F2与短轴两端点构成四边形为正方形，又点M是C上任意一点，且△
MF1F2的周长为2+2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若过点M（2，0）的直线与椭圆C相交于两点A、B，设P为椭圆E上一点，且满足（O为坐标原点），当|AB|＜时，求实数t的取值范围．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（1）运用椭圆的定义和范围，可得2a+2c=2+2，b=c，a2﹣b2=c2，解方程可得a ，b，即可得到椭圆方程；
（2）由题意知直AB的斜率存在．AB：y=k（x﹣2），将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用弦长公式即可求得k值取值范围，再结合向量的坐标运算利用点P在椭圆上，建立k与t的关系式，利用函数的单调性求出实数t取值范围，从而解决问题．
【解答】解：（1）△MF1F2的周长是2+2，
即为|MF1|+|MF2|+|F1F2|=2a+2c=2+2，
由椭圆C： =1（a＞b＞0）的两焦点F1、F2与短轴两端点构成四边形为正方形，
即有b=c，a2﹣b2=c2，
解得a=，b=1，
则椭圆的方程为y2=1；
（2）由题意知直AB的斜率存在．
AB：y=k（x﹣2），设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y）代入椭圆方程，得（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣2=0，
△=64k4﹣4（2k2+1）（8k2﹣2）＞0，k2＜
∴x1x2=，x1+x2=，
∵|AB|＜，
∴|x1﹣x2|＜，
∴（1+k2）[（）2﹣4×]＜，
∴（4k2﹣1）（14k2+13）＞0，
∴k2＞，
∴＜k2＜，
∵满足，
∴（x1+x2，y1+y2）=t（x，y），
∴x==•，y=•（y1+y2）=，
∵点P在椭圆上，
∴（•）2+2（）2=2
∴16k2=t2（1+2k2）
∴t2==8﹣，
由于＜k2＜，
∴﹣2＜t＜﹣或＜t＜2
∴实数t取值范围为：﹣2＜t＜﹣或＜t＜2．
2016年8月27日。