河南省濮阳市高二下学期升级(期末)考试数学(理)试题(a卷)有答案
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21．解：（Ⅰ） ，
，
联立
则
，
（Ⅱ）设 ，
由 ，
，
，
由此得 故长轴长的最大值为
22．解：（Ⅰ）由 ，有 ．
所以 ．
因此，当 时， ．
当 时， ，所以 在 上单调递增，
因此 在 上的最小值是 ；
当 时， ，所以 在 上单调递减，
因此 在 上的最小值是 ；
当 时，令 ，得 ．
所以函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
10．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为 ，值域为 的“同族函数”共有（ ）
A． 7个 B． 8个 C． 9个 D．10个
11．如图所示，正方体 的棱长为 ， 分别为 和 上的点， ，则 与平面 的位置关系是（ ）
A． 相交 B． 平行 C． 垂直 D．不能确定
（2）现假定这一技术难题已被攻克，上级决定奖励 万元，奖励规则如下：若只有1人攻克，则此人获得全部奖励 万元；若只有2人攻克，则奖金奖给此二人，每人各得 万元；若三人均攻克，则奖金奖给此三人，每人各得 万元． 设甲得到的奖金数为 ，求 的分布列和数学期望．
19． 设数列 的前 项和为 ，且 ， ．
（1）求数列 的通项公式；
河南省濮阳市高二下学期升级（期末）考试
数学（理）试题（A卷）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设 ，则 的共轭复数为（ ）
A． B． C． D．
2．设命题 ：函数 的最小正周期为 ；命题 ：函数 的图象关于直线 对称，则下列判断正确的是（ ）
7．在 中，角 的对边分别为 ， 表示 的面积，若 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
8．设椭圆 和双曲线 的公共焦点分别为 ， 是这两曲线的交点，则 的外接圆半径为（ ）
A．1 B．2 C． D．3
9．已知等比数列 的前 项和为 ， ， ，设 ，那么数列 的前15项和为（ ）
A． 152 B．135 C． 80 D．16
(Ⅱ)由于点M在AE上，
∴可设 ＝λ ＝λ(0,2,1)＝(0,2λ，λ)，
可得M(2,2λ，λ)，
于是 ＝(0,2λ，λ－2)．
要使A1M⊥平面DAE，需A1M⊥AE，
∴ · ＝(0,2λ，λ－2)·(0, Nhomakorabea,1)＝5λ－2＝0，得λ＝ ．
故当AM＝ AE时，即点M坐标为(2， ， )时，A1M⊥平面DAE．
于是 在 上的最小值是 ．
综上所述，
当 时， 在 上的最小值是 ；
当 时， 在 上的最小值是 ；
当 时， 在 上的最小值是 ．
（Ⅱ）设 为 在区间 内的一个零点，则由 可知，
在区间 上不可能单调递增，也不可能单调递减．
则 不可能恒为正，也不可能恒为负．
故 在区间 内存在零点 ．
同理 在区间 内存在零点 ．
不妨设正方体的棱长为2，则A(2,0,0)，E(2,2,1)，F(0,1,0)，A1(2,0,2)，D1(0,0,2)．
设平面AED的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，则
∴
令y1＝1，得n1＝(0,1，－2)．
同理可得平面A1FD1的法向量n2＝(0,2,1)．
∵n1·n2＝0，
∴平面AED⊥平面A1FD1．
则 ．
又0< <1，所以0<－ <1，
解之得： ，
与x0<0(x0≠－1)假设矛盾．
故f(x)＝0没有负实数根．
18．解：(Ⅰ)这一技术难题被攻克的概率P＝1－(1－ )(1－ )(1－ )
＝1－ × ×
＝ ．
(Ⅱ)X的可能取值分别为0， ， ， ．
P(X＝0)＝ ＝ ，
P(X＝ )＝ ＝ ，
P(X＝ )＝ ＝ ，
所以 在区间 内至少有两个零点．
由（Ⅰ）知，当 时， 在 上单调递增，故 在 内至多有一个零点．
当 时， 在 上单调递减，故 在 内至多有一个零点．
所以 ．
此时， 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增．
因此 ， ，必有
， ．
由 有 ，
由 ， ．
解得 ．
所以，函数 在区间 内有零点时， ．
P(X＝ )＝ ＝ ．
∴X的分布列为
X
0
P
∴E(X)＝0× ＋ × ＋ × ＋ × ＝ ．
19．解：（Ⅰ）当n≥2时，由 ，得 ，
两式相减得 ，故 ，
当 时， ，此时 ，
故当 时， ，则数列 是首项为2，公比为3的等比数列，
∴ ．
（Ⅱ） ．
所以 ．
则 ． ①，则 ． ②
则①－②得： ．
所以 ．
20．证明：(Ⅰ)建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，
4．已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 （ ）
A．18 B．36 C． 54 D．72
5．设 是复数，则下列命题中的假命题是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
6．在一个 列联表中，由其数据计算得 ，则其两个变量间有关系的可能性为（ ）
A． 99% B．95% C． 90% D．无关系
22．已知函数 ，其中 ， 为自然对数的底数．
（1）设 是函数 的导函数，求函数 在区间 上的最小值；
（2）若 ，函数 在区间 内有零点，证明： ．
试卷答案
一、选择题
1-5: DCADD 6-10: ACDBC 11、12：BA
二、填空题
（13）3（14） （15） (16)
三、解答题
17．证明：设存在x0<0(x0≠－1)，满足f(x0)＝0，
12．已知函数 ，若对于区间 上的任意 都有 ，则实数 的最小值是（ ）
A．20 B．18 C． 3 D．0
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13． 的展开式中的有理项共有项．
14．在 中， 成立，在四边形 中， 成立，在五边形 中， 成立，猜想在 边形中，不等式成立．
15．已知随机变量 服从正态分布 ，若 ， 为常数，则 ．
A． 为真B． 为假C． 为假D． 为真
3．某考察团对全国10大城市进行职工人均工资水平 （千元）与居民人均消费水平 （千元）统计调查， 与 具有相关关系，回归方程为 ，若某城市居民人均消费水平为7．675千元，估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为（ ）
A．83% B．72% C．67% D． 66%
（2）若数列 的各项均为正数，且 是 与 的等比中项，求数列 的前 项和 ．
20． 正方体 中， 分别是 的中点．
（1）证明：平面 平面 ；
（2）在 上求一点 ，使得 平面 ．
21． 已知直线 与椭圆 相交于 两点．
（1）若椭圆的离心率为 ，焦距为2，求线段 的长；
（2）若向量 与向量 互相垂直（其中 为坐标原点），当椭圆的离心率 时，求椭圆的长轴长的最大值．
16． 中，内角 成等差数列，其对边 满足 ，则角 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17． 已知函数 ，用反证法证明 没有负实数根．
18． 甲、乙、丙三人独立地对某一技术难题进行攻关，甲能攻克的概率为 ，乙能攻克的概率为 ，丙能攻克的概率为 ．
（1）求这一技术难题被攻克的概率；
，
联立
则
，
（Ⅱ）设 ，
由 ，
，
，
由此得 故长轴长的最大值为
22．解：（Ⅰ）由 ，有 ．
所以 ．
因此，当 时， ．
当 时， ，所以 在 上单调递增，
因此 在 上的最小值是 ；
当 时， ，所以 在 上单调递减，
因此 在 上的最小值是 ；
当 时，令 ，得 ．
所以函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
10．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为 ，值域为 的“同族函数”共有（ ）
A． 7个 B． 8个 C． 9个 D．10个
11．如图所示，正方体 的棱长为 ， 分别为 和 上的点， ，则 与平面 的位置关系是（ ）
A． 相交 B． 平行 C． 垂直 D．不能确定
（2）现假定这一技术难题已被攻克，上级决定奖励 万元，奖励规则如下：若只有1人攻克，则此人获得全部奖励 万元；若只有2人攻克，则奖金奖给此二人，每人各得 万元；若三人均攻克，则奖金奖给此三人，每人各得 万元． 设甲得到的奖金数为 ，求 的分布列和数学期望．
19． 设数列 的前 项和为 ，且 ， ．
（1）求数列 的通项公式；
河南省濮阳市高二下学期升级（期末）考试
数学（理）试题（A卷）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设 ，则 的共轭复数为（ ）
A． B． C． D．
2．设命题 ：函数 的最小正周期为 ；命题 ：函数 的图象关于直线 对称，则下列判断正确的是（ ）
7．在 中，角 的对边分别为 ， 表示 的面积，若 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
8．设椭圆 和双曲线 的公共焦点分别为 ， 是这两曲线的交点，则 的外接圆半径为（ ）
A．1 B．2 C． D．3
9．已知等比数列 的前 项和为 ， ， ，设 ，那么数列 的前15项和为（ ）
A． 152 B．135 C． 80 D．16
(Ⅱ)由于点M在AE上，
∴可设 ＝λ ＝λ(0,2,1)＝(0,2λ，λ)，
可得M(2,2λ，λ)，
于是 ＝(0,2λ，λ－2)．
要使A1M⊥平面DAE，需A1M⊥AE，
∴ · ＝(0,2λ，λ－2)·(0, Nhomakorabea,1)＝5λ－2＝0，得λ＝ ．
故当AM＝ AE时，即点M坐标为(2， ， )时，A1M⊥平面DAE．
于是 在 上的最小值是 ．
综上所述，
当 时， 在 上的最小值是 ；
当 时， 在 上的最小值是 ；
当 时， 在 上的最小值是 ．
（Ⅱ）设 为 在区间 内的一个零点，则由 可知，
在区间 上不可能单调递增，也不可能单调递减．
则 不可能恒为正，也不可能恒为负．
故 在区间 内存在零点 ．
同理 在区间 内存在零点 ．
不妨设正方体的棱长为2，则A(2,0,0)，E(2,2,1)，F(0,1,0)，A1(2,0,2)，D1(0,0,2)．
设平面AED的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，则
∴
令y1＝1，得n1＝(0,1，－2)．
同理可得平面A1FD1的法向量n2＝(0,2,1)．
∵n1·n2＝0，
∴平面AED⊥平面A1FD1．
则 ．
又0< <1，所以0<－ <1，
解之得： ，
与x0<0(x0≠－1)假设矛盾．
故f(x)＝0没有负实数根．
18．解：(Ⅰ)这一技术难题被攻克的概率P＝1－(1－ )(1－ )(1－ )
＝1－ × ×
＝ ．
(Ⅱ)X的可能取值分别为0， ， ， ．
P(X＝0)＝ ＝ ，
P(X＝ )＝ ＝ ，
P(X＝ )＝ ＝ ，
所以 在区间 内至少有两个零点．
由（Ⅰ）知，当 时， 在 上单调递增，故 在 内至多有一个零点．
当 时， 在 上单调递减，故 在 内至多有一个零点．
所以 ．
此时， 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增．
因此 ， ，必有
， ．
由 有 ，
由 ， ．
解得 ．
所以，函数 在区间 内有零点时， ．
P(X＝ )＝ ＝ ．
∴X的分布列为
X
0
P
∴E(X)＝0× ＋ × ＋ × ＋ × ＝ ．
19．解：（Ⅰ）当n≥2时，由 ，得 ，
两式相减得 ，故 ，
当 时， ，此时 ，
故当 时， ，则数列 是首项为2，公比为3的等比数列，
∴ ．
（Ⅱ） ．
所以 ．
则 ． ①，则 ． ②
则①－②得： ．
所以 ．
20．证明：(Ⅰ)建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，
4．已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 （ ）
A．18 B．36 C． 54 D．72
5．设 是复数，则下列命题中的假命题是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
6．在一个 列联表中，由其数据计算得 ，则其两个变量间有关系的可能性为（ ）
A． 99% B．95% C． 90% D．无关系
22．已知函数 ，其中 ， 为自然对数的底数．
（1）设 是函数 的导函数，求函数 在区间 上的最小值；
（2）若 ，函数 在区间 内有零点，证明： ．
试卷答案
一、选择题
1-5: DCADD 6-10: ACDBC 11、12：BA
二、填空题
（13）3（14） （15） (16)
三、解答题
17．证明：设存在x0<0(x0≠－1)，满足f(x0)＝0，
12．已知函数 ，若对于区间 上的任意 都有 ，则实数 的最小值是（ ）
A．20 B．18 C． 3 D．0
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13． 的展开式中的有理项共有项．
14．在 中， 成立，在四边形 中， 成立，在五边形 中， 成立，猜想在 边形中，不等式成立．
15．已知随机变量 服从正态分布 ，若 ， 为常数，则 ．
A． 为真B． 为假C． 为假D． 为真
3．某考察团对全国10大城市进行职工人均工资水平 （千元）与居民人均消费水平 （千元）统计调查， 与 具有相关关系，回归方程为 ，若某城市居民人均消费水平为7．675千元，估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为（ ）
A．83% B．72% C．67% D． 66%
（2）若数列 的各项均为正数，且 是 与 的等比中项，求数列 的前 项和 ．
20． 正方体 中， 分别是 的中点．
（1）证明：平面 平面 ；
（2）在 上求一点 ，使得 平面 ．
21． 已知直线 与椭圆 相交于 两点．
（1）若椭圆的离心率为 ，焦距为2，求线段 的长；
（2）若向量 与向量 互相垂直（其中 为坐标原点），当椭圆的离心率 时，求椭圆的长轴长的最大值．
16． 中，内角 成等差数列，其对边 满足 ，则角 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17． 已知函数 ，用反证法证明 没有负实数根．
18． 甲、乙、丙三人独立地对某一技术难题进行攻关，甲能攻克的概率为 ，乙能攻克的概率为 ，丙能攻克的概率为 ．
（1）求这一技术难题被攻克的概率；