重庆市合川区第一中学2020年中考九年级数学典型压轴题专练：二次函数(包含答案)

重庆市合川区第一中学2020 年中考九年级数学典型压轴题专练：二次函数
1、已知二次函数y=ax 2﹣ 2ax+c （ a＞ 0）的图象与 x 轴的负半轴和正半轴分别交于A、 B 两点，与 y 轴交于点C，它的极点为P，直线 CP与过点 B 且垂直于x 轴的直线交于点D，且CP： PD=2： 3
（1）求 A、 B 两点的坐标；
（2）若 tan ∠ PDB= ，求这个二次函数的关系式．
2、已知二次函数y=x 2+bx+c 的图象与y 轴交于点C（ 0，﹣ 6），与 x 轴的一个交点坐标是 A （﹣ 2， 0）．
（1）求二次函数的分析式，并写出极点 D 的坐标；
（2）将二次函数的图象沿x 轴向左平移个单位长度，当y ＜ 0 时，求 x 的取值范围．
3、如图，已知抛物线y= ﹣ x2+mx+3与 x 轴交于 A， B 两点，与 y 轴交于点C，点 B 的坐标为（3， 0）
（1）求 m的值及抛物线的极点坐标．
（2）点 P 是抛物线对称轴l 上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P 的坐标．
4、如图，抛物线y=ax 2+bx﹣ 3（ a≠ 0）的极点为E，该抛物线与x 轴交于 A、 B 两点，与y 轴交于点C，且 BO=OC=3AO，直线 y=﹣x+1 与 y 轴交于点D．
（1）求抛物线的分析式；
（2）证明：△ DBO∽△ EBC；
（3）在抛物线的对称轴上能否存在点 P，使△ PBC是等腰三角形？若存在，请直接写出切合
条件的 P 点坐标，若不存在，请说明原因．
5、课本中有一个例题：
有一个窗户形状如图1，上部是一个半圆，下部是一个矩形，假如制作窗框的资料总长为
6m，怎样设计这个窗户，使透光面积最大？
这个例题的答案是：当窗户半圆的半径约为0.35m 时，透光面积最大值约为 1.05m2．
我们假如改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形构成的矩形，如图2，资料总长仍为
6m，利用图3，解答以下问题：
（1）若 AB为 1m，求此时窗户的透光面积？
（2）与课本中的例题比较，改变窗户形状后，窗户透光面积的最大值有没有变大？请经过
计算说明．
6、正方形OABC的边长为 4，对角线订交于点P，抛物线L 经过 O、 P、 A 三点，点E 是正方形内的抛物线上的动点．
（1）成立适合的平面直角坐标系，
①直接写出 O、P、 A 三点坐标；
②求抛物线 L 的分析式；
（2）求△ OAE与△ OCE面积之和的最大值．
[ 根源 :]
7、如图，抛物线y=ax 2+bx﹣ 5（ a≠ 0）与x 轴交于点A（﹣ 5， 0）和点B（3， 0），与y 轴交于点 C．
（1）求该抛物线的分析式；
（2）若点 E 为 x 轴下方抛物线上的一动点，当S△ABE=S△ABC时，求点 E 的坐标；
（3）在（ 2）的条件下，抛物线上能否存在点P，使∠BAP=∠ CAE？若存在，求出点P 的横坐标；若不存在，请说明原因．
8、如图，已知抛物线y=ax 2+bx+c（ a≠ 0）经过 A（﹣ 1，0）、B（ 3，0）、C（ 0，﹣ 3）三点，
直线 l 是抛物线的对称轴．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）设点P 是直线l 上的一个动点，当点P 到点A、点 B 的距离之和最短时，求点P 的坐标；
l 上的动点，且△MAC为等腰三角形，请直接写出全部切合条件的点M （3）点M也是直
线
的坐标．
9、如图1，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=ax 2+1 经过点A（ 4，﹣ 3），极点为点B，点 P 为抛物线上的一个动点，l 是过点（0，2）且垂直于y 轴的直线，过P 作PH⊥ l ，垂足为 H，连结PO．
（1）求抛物线的分析式，并写出其极点 B 的坐标；
（2）①当P 点运动到 A 点处时，计算： PO= ，PH= ，由此发现，PO PH（填“＞” 、“＜”或“=”）；
②当 P 点在抛物线上运动时，猜想PO与 PH有什么数目关系，并证明你的猜想；
（3）如图 2，设点 C（ 1，﹣ 2），问能否存在点 P，使得以 P，O，H为极点的三角形与△ ABC 相像？若存在，求出 P 点的坐标；若不存在，请说明原因．
10 、如图，已知抛物线与 x 轴交于 A（﹣ 1 ， 0 ）， B（ 4 ， 0 ），与 y 轴交于 C （ 0 ，﹣ 2 ）．
（1 ）求抛物线的解析式；
（2 ） H 是 C 关于 x 轴的对称点， P 是抛物线上的一点，当△ PBH 与△ AOC 相似时，求符合条件的 P 点的坐标（求出两点即可）；
（3 ）过点 C 作 CD∥ AB， CD 交抛物线于点 D，点 M 是线段 CD 上的一动点，作
直线 MN 与线段 AC 交于点 N，与 x 轴交于点 E，且∠ BME=∠ BDC，当 CN 的值最大时，求点 E 的坐标．
11、如图，对称轴为直线 x=2 的抛物线 y=x 2+bx+c 与 x 轴交于点 A 和点 B，与 y 轴交于点 C，且点
A 的坐标为（﹣ 1， 0）
（1）求抛物线的分析式；
（2）直接写出 B、 C 两点的坐标；
（3）求过 O， B， C 三点的圆的面积．（结果用含π的代数式表示）
注：二次函数y=ax2+bx+c （ a≠ 0）的极点坐标为（﹣，）
12、在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图搁置，点A、C 的坐标分别是（0，4）、（﹣1， 0），将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°，获得平行四边形A′B′ OC′．
（1）若抛物线经过点C、 A、A′，求此抛物线的分析式；
（2）点 M时第一象限内抛物线上的一动点，问：当点M在哪处时，△ AMA′的面积最大？
最大面积是多少？并求出此时M的坐标；
（3）若 P 为抛物线上一动点，N 为 x 轴上的一动点，点Q坐标为（ 1， 0），当 P、N、 B、 Q 构成平行四边形时，求点P 的坐标，当这个平行四边形为矩形时，求点N 的坐标．
13、在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=ax2+bx+2 过 B（﹣ 2， 6）， C（ 2， 2）两点．
（1）试求抛物线的分析式；
（2）记抛物线极点为 D，求△ BCD的面积；
（3）若直线 y=﹣x 向上平移 b 个单位所得的直线与抛物线段BDC（包含端点B、 C）部分有两个交点，求 b 的取值范围．
14、如图 1（注：与图 2 完整同样），二次函数y= x2+bx+c 的图象与x 轴交于 A（ 3，0），B （﹣ 1， 0）两点，与y 轴交于点C．
（1）求该二次函数的分析式；
（2）设该抛物线的极点为 D，求△ ACD的面积（请在图 1 中探究）；
（3）若点 P， Q同时从 A 点出发，都以每秒 1 个单位长度的速度分别沿AB，AC边运动，其
中一点抵达端点时，另一点也随之停止运动，当P，Q运动到 t 秒时，△ APQ沿 PQ所在的直
线翻折，点 A 恰巧落在抛物线上 E 点处，请直接判断此时四边形 APEQ的形状，并求出 E 点坐标
（请在图 2 中探究）．
15、如图，矩形的边 OA在 x 轴上，边 OC在 y 轴上，点 B 的坐标为（ 10， 8），沿直线 OD 折叠
矩形，使点 A 正好落在 BC上的 E 处， E 点坐标为（ 6，8），抛物线 y=ax2+bx+c 经过 O、A、 E 三点．
（1）求此抛物线的分析式；
（2）求 AD 的长；
（3）点 P 是抛物线对称轴上的一动点，当△PAD的周长最小时，求点P 的坐标．
16、如图，抛物线 L： y=ax 2+bx+c 与 x 轴交于 A、 B（ 3， 0）两点（ A 在 B 的左边），与 y 轴交于点 C（ 0， 3），已知对称轴 x=1．
（1）求抛物线L 的分析式；
（2）将抛物线L 向下平移h 个单位长度，使平移后所得抛物线的极点落在△OBC内（包含△OBC的界限），求 h 的取值范围；
（3）设点 P 是抛物线L 上任一点，点Q在直线 l ：x=﹣ 3 上，△ PBQ可否成为以点P 为直角极点的等腰直角三角形？若能，求出切合条件的点P 的坐标；若不可以，请说明原因．
参照答案 :
1、解：（ 1）过点 P 作 PE⊥ x 轴于点 E，
∵y=ax 2﹣ 2ax+c ，
∴该二次函数的对称轴为： x=1，
∴O E=1
∵OC∥ BD，
∴CP： PD=OE：EB，
∴OE： EB=2： 3，
∴E B= ，
∴O B=OE+EB=，
∴B（，0）
∵A 与 B 对于直线x=1 对称，
∴A（﹣，0）；
（2）过点 C 作 CF⊥ BD于点 F，交 PE于点 G，令 x=1 代入 y=ax 2﹣2ax+c ，
∴y=c ﹣ a，
令 x=0 代入 y=ax 2﹣2ax+c ，
∴y=c
∴P G=a，
∵CF=OB= ，
∴t an ∠ PDB= ，
∴F D=2，
∵PG∥ BD
∴△ CPG∽△ CDF，
∴= =
∴PG= ，
∴a=，
∴y= x2﹣ x+c ，
把 A（﹣，0）代入y=x2﹣x+c， [ 根源 : ]
∴解得： c=﹣ 1，
∴该二次函数分析式为：y= x2﹣x﹣ 1．
2、解：（ 1）∵把 C（ 0，﹣ 6）代入抛物线的分析式得：C=﹣6，把 A（﹣ 2，0）代入 y=x 2+bx ﹣6得： b=﹣ 1，
∴抛物线的分析式为 y=x 2﹣ x﹣6．
∴y= （ x﹣）2﹣．
∴抛物线的极点坐标D（，﹣）．
（2）二次函数的图形沿x 轴向左平移个单位长度得：y=（ x+2）2﹣．
令 y=0 得：（ x+2）2﹣=0，解得： x1=，x2=﹣．
∵a＞ 0，
∴当 y＜ 0 时， x 的取值范围是﹣＜x＜．
3、解：（ 1）把点 B 的坐标为（ 3， 0）代入抛物线y=﹣x2+mx+3得： 0=﹣ 32 +3m+3，
解得： m=2，
∴y= ﹣ x2+2x+3=﹣（ x﹣ 1）2+4，
∴极点坐标为：（ 1， 4）．
（2）连结 BC交抛物线对称轴 l 于点 P，则此时 PA+PC的值最小，设直线 BC的分析式为： y=kx+b ，
∵点 C（ 0， 3），点 B（ 3，0），
∴，
解得：，
∴直线 BC的分析式为：y= ﹣x+3，
当x=1 时， y=﹣1+3=2，
∴当 PA+PC的值最小时，求点P 的坐标为：（1， 2）．
4、解：（ 1）∵抛物线y=ax2 +bx﹣ 3，
∴c= ﹣ 3，
∴C（ 0，﹣ 3），
∴O C=3，
∵BO=OC=3AO，
∴BO=3， AO=1，
∴B（ 3， 0）， A（﹣ 1， 0），
∵该抛物线与x 轴交于 A、 B 两点，
∴，
∴，
∴抛物线分析式为y=x 2﹣ 2x﹣3，
（2）由（ 1）知，抛物线分析式为 y=x2 ﹣2x﹣ 3=（ x﹣ 1）2﹣4，∴E（ 1，﹣ 4），
∵B（ 3， 0）， A（﹣ 1， 0）， C（ 0，﹣
3），∴BC=3 ， BE=2 ，CE= ，
∵直线 y=﹣ x+1 与 y 轴交于点 D，
∴D（ 0， 1），
∵B（ 3， 0），
∴O D=1， OB=3，BD=，
∴，，，
∴，
∴△ BCE∽△ BDO，
（3）存在，
原因：设P（ 1，m），
∵B（ 3， 0）， C（ 0，﹣ 3），
∴BC=3，PB=，PC=，
∵△ PBC是等腰三角形，
①当 PB=PC时，
∴=，
∴m=﹣ 1，
∴P（ 1，﹣ 1），
②当 PB=BC时，
∴3=，
∴m=±，
∴P（ 1，）或P（1，﹣），
③当 PC=BC时，
∴3 = ，
∴m=﹣ 3±，
∴P（ 1，﹣ 3+ ）或 P（ 1，﹣ 3﹣），
∴切合条件的P点坐标为 P（ 1，﹣ 1）或 P（ 1，）或 P（ 1，﹣）或 P（ 1，﹣ 3+ ）或 P（ 1，﹣ 3﹣）
5、解：（ 1）由已知可得： AD= ，
则 S=1×
2 m，
（2）设 AB=xm，则 AD=3﹣m，
∵，
∴，
设窗户面积为S，由已知得：
，
当 x= m时，且 x= m在的范围内，，
∴与课本中的例题比较，此刻窗户透光面积的最大值变大．
6、解：（ 1）以 O点为原点，线段OA所在的直线为x 轴，线段OC所在的直线为y 轴成立直角坐标系，以下图．
①∵正方形OABC的边长为 4，对角线订交于点P，
∴点 O的坐标为（ 0， 0），点 A 的坐标为（ 4， 0），点 P 的坐标为（ 2，2）．
②设抛物线L 的分析式为y=ax 2+bx+c ，
∵抛物线L 经过 O、 P、 A 三点，
∴有，
解得：，
∴抛物线L 的分析式为y=﹣+2x．
（2）∵点 E 是正方形内的抛物线上的动点，
∴设点 E 的坐标为（ m，﹣+2m）（ 0 ＜ m＜ 4），
∴S +S = OA?y + 2 2
OC?x =﹣m+4m+2m=﹣（ m﹣ 3） +9，
△ OAE OCE E E
∴当 m=3时，△ OAE与△ OCE面积之和最大，最大值为9．
7、解：
（1）把 A、 B 两点坐标代入分析式可得，解得，
∴抛物线分析式为y= x2+x﹣ 5；
2
（2）在 y= x + x﹣ 5 中，令 x=0 可得 y=﹣ 5，
∴C（ 0，﹣ 5），
∵S△ABE=S△ABC，且 E 点在 x 轴下方，
∴E 点纵坐标和 C 点纵坐标同样，
当 y=﹣ 5 时，代入可得x2+ x=﹣ 5，解得 x=﹣ 2 或 x=0（舍去）， [ 根源 : ] ∴E 点坐标为（﹣2，﹣ 5）；
（3）假定存在知足条件的 P 点，其坐标为（ m， m2+ m﹣ 5），
如图，连结 AP、CE、 AE，过 E 作 ED⊥ AC于点 D，过 P作 PQ⊥ x 轴于点 Q，
则 AQ=AO+OQ=5+m，PQ=| m2+m﹣ 5| ，
在 Rt △ AOC中， OA=OC=5，则 AC=5，∠ ACO=∠ DCE=45°，由（ 2）可得 EC=2，在 Rt △ EDC中，可得 DE=DC=，
∴AD=AC﹣ DC=5﹣=4，
当∠ BAP=∠ CAE时，则△ EDA∽△ PQA，
∴=，即=，
∴
2
（ 5+m）或
2
m+ m﹣5= m+ m﹣ 5=﹣（5+m），
当
2
m﹣5= （ 5+m）时，整理可得
2
或 m=﹣ 5（与 A 点重合，m+ 4m﹣ 5m﹣ 75=0，解得 m=
舍去），
当
2
m﹣5=﹣（ 5+m）时，整理可得
2
或 m=﹣ 5（与 A 点重合，m+ 4m+11m﹣ 45=0，解得 m=
舍去），
8、解：（ 1）将 A（﹣ 1， 0）、B（ 3， 0）、 C（ 0，﹣ 3）代入抛物线y=ax2 +bx+c 中，得：
，
解得：
故抛物线的分析式：y=x2﹣ 2x﹣3．
（2）当 P 点在 x 轴上， P，A，B 三点在一条直线上时，点P 到点 A、点 B的距离之和最短，此时 x=﹣=1，
故 P（ 1， 0）；
（3）以下图：抛物线的对称轴为：x=﹣=1，设 M（ 1， m），已知 A（﹣ 1， 0）、C（ 0，﹣3），则：
22222 2
MA=m+4，MC=（ 3+m） +1=m+6m+10， AC=10；
2 2
①若 MA=MC，则 MA=MC，得：
2 2
m+4=m+6m+10，解得： m=﹣ 1，
2 2
②若 MA=AC，则 MA=AC，得：
2
m+4=10，得： m=±；
2 2
③若 MC=AC，则 MC=AC，得：
2
m+6m+10=10，得： m1=0，m2=﹣ 6；
当 m=﹣ 6 时， M、 A、 C 三点共线，构不可三角形，不合题意，故舍去；
综上可知，切合条件的M点，且坐标为M（1，）（1，﹣）（1，﹣1）（1，0）．
9、（ 1）解：∵抛物线y=ax2 +1 经过点 A（ 4，﹣ 3），
∴﹣ 3=16a+1，
∴a=﹣， [ 根源 : 学 , 科 , 网 Z,X,X,K]
∴抛物线分析式为y=﹣x2+1，极点 B（ 0， 1）．（2）①当 P 点运动到 A 点处时，∵ PO=5， PH=5，∴PO=PH，
故答案分别为 5， 5， =．
②结论： PO=PH．
原因：设点 P 坐标（ m，﹣ m2+1），
∵PH=2﹣（﹣m2+1） =m2+1
PO=
2 = m+1，
∴PO=PH．
（3）∵ BC==，AC==，AB==4 ∴BC=AC，
∵PO=PH，
又∵以 P， O， H为极点的三角形与△ABC相像，
∴PH与 BC， PO与 AC是对应边，
∴=，设点P（m，﹣m2+1），
∴=，
解得 m=± 1，
∴点 P 坐标（ 1，）或（﹣1，）．
10 、解：（ 1 ）∵抛物线与 x 轴交于 A（﹣ 1， 0）， B（ 4 ， 0），∴设抛物线的解析式为： y=a （ x+1 ）（ x ﹣ 4 ），
把（ 0 ，﹣ 2 ）代入 y=a （ x+1 ）（ x ﹣ 4 ），
∴a= ，
∴抛物线的解析式为： y= x 2﹣x ﹣ 2 ；
（2 ）当△ PBH 与△ AOC 相似
时，∴ △ AOC 是直角三角形，
∴ △ PBH 也是直角三角
形，由题意知： H（ 0 ，
2 ），
∴ OH=2，
∵ A（﹣ 1 ， 0 ）， B（ 4 ，
0 ），∴ OA=1， OB=4 ，
∴
∵ ∠ AOH=∠ BOH，
∴ △ AOH∽ △ BOH，
∴ ∠ AHO=∠ HBO，
∴ ∠ AHO+∠ BHO=∠ HBO+∠ BHO=90 °，
∴ ∠ AHB=90 °，
设直线 AH 的解析式为： y=kx+b，
把A（﹣ 1 ， 0 ）和 H（ 0 ， 2 ）代入 y=kx+b ，
∴，
∴ 解得，
∴直线 AH 的解析式为： y=2x+2，
联立，
解得： x=1或x=﹣8，
当x= ﹣ 1 时，
y=0 ，
当x=8 时，
y=18
∴ P 的坐标为（﹣ 1 ， 0 ）或（ 8， 18 ）
（ 3 ）过点 M 作 MF⊥ x 轴于点 F，
设点 E 的坐标为（ n ， 0 ）， M 的坐标为（ m， 0 ），∵ ∠ BME=∠ BDC，
∴ ∠ EMC+∠ BME=∠ BDC+∠ MBD，
∴ ∠ EMC=∠ MBD，
∵CD∥ x 轴，
∴ D 的纵坐标为﹣ 2 ，
令 y= ﹣ 2 代入 y= x 2﹣x ﹣ 2 ，
∴ x=0或x=3，
∴ D（ 3，﹣ 2 ），
∵ B（ 4， 0），
∴由勾股定理可求得： BD=，
∵ M（ m， 0），
∴MD=3﹣ m， CM=m（ 0 ≤ m≤ 3 ）
∴由抛物线的对称性可知：∠ NCM=∠ BDC，∴△ NCM∽ △ MDB，
∴，
∴，
∴ CN= =﹣（ m﹣）2+ ，∴当 m= 时， CN 可取得最大值，
∴此时 M 的坐标为（，﹣ 2 ），
∴ MF=2， BF= ， MD=
∴由勾股定理可求得： MB= ，
∵E（ n， 0），
∴ EB=4 ﹣ n，
∵CD∥ x 轴，
∴ ∠ NMC=∠ BEM，∠ EBM=∠ BMD，
∴ △ EMB∽ △ BDM，
∴，
∴MB2 =MD? EB，
∴= ×（ 4 ﹣ n ），
∴n= ﹣，
∴ E 的坐标为（﹣， 0 ）．
11、解：（ 1）由 A（﹣ 1， 0），对称轴为 x=2，可得，解得，∴抛物线分析式为y=x 2﹣ 4x﹣5；
（2）由 A 点坐标为（﹣ 1，0），且对称轴方程为 x=2，可知 AB=6，
∴OB=5，
∴B 点坐标为（ 5， 0），
∵y=x 2﹣ 4x﹣ 5，
∴C 点坐标为（ 0，﹣ 5）；
（3）如图，连结BC，则△ OBC是直角三角形，
∴过 O、 B、 C 三点的圆的直径是线段BC的长度，
在Rt △ OBC中， OB=OC=5，
∴BC=5 ，
∴圆的半径为，
∴圆的面积为π（）2=π．
12、解：（ 1）∵平行四边形 ABOC绕点 O顺时针旋转 90°，获得平行四边形 A′ B′OC′，且点 A 的坐标是（ 0， 4），
∴点 A′的坐标为：（ 4， 0），
∵点 A、 C的坐标分别是（0， 4）、（﹣ 1， 0），抛物线经过点C、 A、 A′，
设抛物线的分析式为：y=ax2+bx+c，
∴，
解得：，
∴此抛物线的分析式为：y=﹣ x2+3x+4；
（2）连结 AA′，设直线AA′的分析式为：y=kx+b ，
∴，
解得：，
∴直线 AA′的分析式为：y=﹣ x+4，
设点 M的坐标为：（ x，﹣ x2+3x+4），
则S△AMA′= × 4×[ ﹣ x2+3x+4﹣（﹣ x+4） ]= ﹣ 2x2+8x=﹣2（ x﹣ 2）2+8，
S△AMA′ =8，
∴当 x=2 时，△ AMA′的面积最大，最大值
∴M的坐标为：（2， 6）；
（3）设点 P 的坐标为（ x，﹣ x2+3x+4），当 P， N， B， Q构成平行四边形
时，∵平行四边形 ABOC中，点 A、 C的坐标分别是（ 0， 4）、（﹣ 1， 0），
∴点 B 的坐标为（ 1， 4），
∵点 Q坐标为（ 1， 0）， P 为抛物线上一动点， N为 x 轴上的一动点，
①当 BQ为边时， PN∥ BQ， PN=BQ，
∵BQ=4，
∴﹣ x2+3x+4= ± 4，
当﹣ x2+3x+4=4 时，解得： x1=0， x2=3，
∴P1（ 0， 4）， P2（ 3，4）；
2 ﹣ 4 时，解得： x = ， x = ，
当﹣ x +3x+4=
3 2
∴P3（，﹣ 4）， P4（，﹣ 4）；
②当 PQ为对角线时， BP∥ QN， BP=QN，此时 P 与 P ， P 重合；
1 2
综上可得：点P 的坐标为： P1（ 0， 4）， P2（ 3，4）， P3（，﹣ 4）， P4（，﹣4）；
如图 2，当这个平行四边形为矩形时，点N的坐标为：（0， 0）或（ 3， 0）．
13、解：（ 1）由题意解得，
∴抛物线分析式为y=x2﹣ x+2．
（2）∵ y= x2﹣ x+2= （ x﹣1）2+ ．
∴极点坐标（1，），
∵直线 BC为 y=﹣ x+4，∴对称轴与BC的交点 H（ 1， 3），∴S△BDC=S△BDH+S△DHC=?3+?1=3．
（3）由消去y获得x2﹣x+4﹣2b=0，
当△ =0 时，直线与抛物线相切，1﹣ 4（ 4﹣2b） =0，
∴b= ，
当直线 y=﹣x+b 经过点 C 时， b=3，
当直线 y=﹣x+b 经过点 B 时， b=5，
∵直线 y=﹣x 向上平移 b 个单位所得的直线与抛物线段BDC（包含端点B、C）部分有两个交点，
∴＜b≤ 3．
[ 根源 : ZXXK]
14、解：（ 1）∵二次函数y=x2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A（ 3， 0）， B（﹣ 1， 0），
∴，
解得：，
∴y= x2﹣ x﹣ 4；
（2）过点 D 作 DM⊥ y 轴于点 M，
∵y= x2﹣x﹣ 4=（x﹣1）2﹣，
∴点 D（ 1，﹣）、点C（0，﹣4），
则S△ACD=S 梯形AOMD﹣ S△CDM﹣ S△AOC
= ×（ 1+3）×﹣×（﹣4）× 1﹣× 3× 4
=4；
（3）四边形APEQ为菱形， E 点坐标为（﹣，﹣）．原因以下如图 2， E 点对于 PQ与 A 点对称，过点Q作， QF⊥ AP于 F，
∵A P=AQ=t， AP=EP， AQ=EQ
∴A P=AQ=QE=EP，
∴四边形 AQEP为菱形，
∵FQ∥ OC，
∴== ，
∴==
∴AF= t ， FQ= t ?
∴Q（ 3﹣t ，﹣t ），
∵E Q=AP=t，
∴E（ 3﹣t ﹣ t ，﹣t ），
∵E 在二次函数y= x2﹣x﹣ 4 上，
∴﹣t=（3﹣t ）2﹣（3﹣t ）﹣ 4，
∴t=，或t=0（与A重合，舍去），
∴E（﹣，﹣）．
15、解：（ 1）∵四边形ABCD是矩形， B（ 10， 8），
∴A（ 10， 0），
又抛物线经过A、 E、 O三点，把点的坐标代入抛物线分析式可得
，解得，
∴抛物线的分析式为y=﹣x2+x；
（2）由题意可知： AD=DE，BE=10﹣ 6=4， AB=8，
设AD=x，则 ED=x， BD=AB﹣ AD=8﹣ x，
在 Rt △ BDE中，由勾股定理可知
2 2 2 2 2 2
，解得 x=5，ED=EB+BD，即 x =4 +（ 8﹣ x）
∴AD=5；（3）∵ y=﹣
∴其对称轴为x2+
x=5，
x，
∵A、 O两点对于对称轴对称，
∴PA=PO，
当P、 O、 D 三点在一条直线上时， PA+PD=PO+PD=OD，此时△ PAD的周长最小，如图，连结 OD交对称轴于点 P，则该点即为知足条件的点 P，
由（ 2）可知 D点的坐标为（10， 5），
设直线 OD分析式为y=kx ，把 D 点坐标代入可得5=10k，解得 k=，
∴直线 OD分析式为y= x，
令x=5，可得 y= ，
∴P 点坐标为（ 5，）．
16、解：（ 1）∵抛物线的对称轴x=1， B（3， 0），
∴A（﹣ 1， 0）
∵抛物线y=ax 2+bx+c 过点 C（ 0，3）
∴当 x=0 时， c=3．
又∵抛物线y=ax 2+bx+c 过点 A（﹣ 1， 0）， B（ 3， 0）
∴，
∴
∴抛物线的分析式为：y=﹣x2+2x+3；
（2）∵C（0，3），B（3，
0），∴直线BC分析式为y= ﹣
x+3，
∵y= ﹣ x2+2x+3=﹣（ x﹣ 1）2+4，
∴极点坐标为（ 1， 4）
∵对于直线BC：y=﹣ x+1，当 x=1 时， y=2；将抛物线L 向下平移h 个单位长度， [ 根源 : 学 * 科*网 ]
∴当 h=2 时，抛物线极点落在BC上；
当 h=4 时，抛物线极点落在OB上，
∴将抛物线L 向下平移h 个单位长度，使平移后所得抛物线的极点落在△的界限），OBC内（包含
△
OBC
则 2≤ h≤ 4；
（3）设 P（ m，﹣ m2+2m+3）， Q（﹣ 3， n），
①当 P 点在 x 轴上方时，过 P 点作 PM垂直于 y 轴，交 y 轴与 M点，过 B 点作 BN垂直于 MP 的延伸线于 N 点，以下图：
∵B（ 3， 0），
∵△ PBQ是以点 P 为直角极点的等腰直角三角形，
∴∠ BPQ=90°， BP=PQ，
则∠ PMQ=∠ BNP=90°，∠ MPQ=∠ NBP，
在△ PQM和△ BPN中，，
∴△ PQM≌△ BPN（ AAS），
∴PM=BN，
∵PM=BN=﹣ m2+2m+3，依据 B 点坐标可得PN=3﹣m，且 PM+PN=6，
重庆市合川区第一中学2020年中考九年级数学典型压轴题专练：二次函数(包含答案)
2
∴﹣ m+2m+3+3﹣ m=6，
解得： m=1或 m=0，
∴P（ 1， 4）或 P（ 0， 3）．
②当 P 点在 x 轴下方时，过 P 点作 PM垂直于 l 于 M点，过 B 点作 BN垂直于 MP的延伸线与N 点，
同理可得△ PQM≌△ BPN，
∴PM=BN，
2
∴PM=6﹣（ 3﹣m） =3+m， BN=m﹣2m﹣ 3，
2
则 3+m=m﹣ 2m﹣ 3，
解得 m=或．
∴P（，）或（，）．
综上可得，切合条件的点P 的坐标是（ 1，4），（ 0，3），（，）和（，）．。