中考数学专题练习 综合问题(含解析)-人教版初中九年级全册数学试题

综合题
综合题是初中数学中涵盖广、综合性最强的题型，它可以包含初中阶段所学的代数、平面几何、解析几何、统计概率的若干知识点和各种数学思想方法，还能有机结合探索性、开放性等有关问题；它既突出考查了初中数学的主干知识，又突出了与高中衔接的重要内容，如函数、方程、不等式、三角形、四边形、相似形、圆等.它不但考查学生数学基础知识和灵活运用知识的能力还可以考查学生对数学知识迁移整合能力；既考查学生对几何与代数之间的内在联系，多角度、多层面综合运用数学知识、数学思想方法分析问题和解决问题的能力，还考查学生知识网络化、创新意识和实践能力。

前面专题已对代数之方程和不等式综合问题、函数之一次函数和反比例函数综合问题、函数之一次函数、反比例函数和二次函数综合问题、代数和函数综合问题、静态几何之综合问题等有过介绍，本专题主要原创编写代数和平面几何的综合问题、代数和统计概率的综合问题、平面几何和统计概率的综合问题、解析几何和统计概率的综合问题、平面几何和解析几何的综合问题模拟题。

1.已知一元二次方程x2－11x＋30=0 的两个解恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰长，则△ABC底边上的高为。

【答案】4或119
2。

【考点】因式分解法解一元二次方程，等腰三角形的性质，三角形三边关系，勾股定理，分类思想的应用。

1. 已知关于x 的方程x 2
－（m ＋2）x ＋（2m －1）=0的一个根是2，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的面积。

【答案】解：∵此方程的一个根是1，
∴12
－1×（m ＋2）＋（2m －1）=0，解得，m=2， 则方程的另一根为：m ＋2－1=2+1=3。

①该直角三角形的两直角边是1、3时，该直角三角形的面积为131322
⋅⋅=。

②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时，由勾股定理得该直角三角
形的另一直角边为22；则该直角三角形的面积为112222
⋅⋅=。

综上所述，该直角三角形的面积为
3
2
或2。

【考点】一元二次方程的解，勾股定理，分类思想的应用。

3. 一个盒子里有完全相同的三个小球，球上分别标有数字112、-、-。

随机摸出一个小球（不放回）其数字记为p ，再随机摸出另一个小球其数字记为q ，则满足关于的方程
2x px q 0++=有实数根的概率是【 】
A.
2
1 B. 31 C. 3
2 D. 65
【答案】D 。

【考点】画树状图法或列表法，概率，一元二次方程根的判别式。

【分析】画树状图：
∵p、q 组成的一元二次方程共有6个：2x x 10+-=，2x x 20+-=，2x x 10-+=，
2
x x20
--=，
2
x2x10
-+=，2x2x10
+-=，
故选D。

4.一组数据1，3，6，7，x的众数是x，其中x又是不等式组
240
x
70
x
->
⎧
⎨
-≤
⎩
的整数解，
则这组数据的中位数可能是【】
A. 3
B. 4
C. 6
D. 3或6 【答案】D。

【考点】一元一次不等式组的整数解，众数，中位数。

故选D。

5.四X质地、大小相同的卡片上，分别画上如下图所示的四个图形，在看不到图形的情况下从中任意抽出一X，则抽出的卡片是中心对称图形的概率为【】
A. 1
2
B.
1
4
C.
3
4
D.1
【答案】A。

【考点】概率，轴对称图形的判断。

故选A。

6.向一个图案如下图所示的正六边形靶子上随意抛一枚飞镖，则飞镖插在灰色阴影区域的概率为▲。

【答案】
23
2
9
π-。

【考点】正六边形的性质，等边三角形的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，扇形的计算，几何概率。

∴灰红色阴影区域的面积为
()
222
3333a a 33a 22ππ⎛⎫--=- ⎪ ⎪⎝⎭
∴飞镖插在阴影区域的概率为
()
22
3
3a 23=29
33a 2
ππ
--。

1.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=8cm ，BC=4cm ，D 、E 分别为边AB 、BC 的中点，连结DE ，点P 从点A 出发，沿折线AD －DE －EB 运动，到点B 停止．点P 在AD 上以cm/s 的速度运动，在折线DE －EB 上以1cm/s 的速度运动．当点P 与点A 不重合时，过点P 作PQ ⊥AC 于点Q ，以PQ 为边作正方形PQMN ，使点M 落在线段AC 上．设点P 的运动时间为t(s).
（1）当点P 在线段DE 上运动时，线段DP 的长为______cm,（用含t 的代数式表示）． （2）当点N 落在AB 边上时，求t 的值．
（3）当正方形PQMN 与△ABC 重叠部分图形为五边形时，设五边形的面积为S （cm²），求S 与t 的函数关系式．
（4）连结CD ．当点N 于点D 重合时，有一点H 从点M 出发，在线段MN 上以/s 的速度沿M-N-M 连续做往返运动，直至点P 与点E 重合时，点H 停止往返运动；当点P 在线段EB 上运动时，点H 始终在线段MN 的中心处．直接写出在点P 的整个运动过程中，点H 落在线段CD 上时t 的取值X 围．
【答案】（1）t －2（2）t=4或t=（3）（4）t=t=5或 6≤t≤8。

52032
21t 2t(2t 4)4S 520t 22t 84(t 8)
43<<<<⎧-+⎪⎪=⎨
⎪-+-⎪⎩143
【解析】解：（1）t －2。

（2）当点N 落在AB 边上时，有两种情况：
（3）当正方形PQMN 与△ABC 重叠部分图形为五边形时，有两种情况：
①当2＜t ＜4时，如图（3）a 所示。

DP=t-2，PQ=2，∴CQ=PE=DE-DP=4-（t-2）=6-t ，AQ=AC-CQ=2+t ，AM=AQ-MQ=t 。

∵MN ∥BC ，∴△AFM ∽△ABC 。

∴FM ：BC = AM ：AC=1：2，即FM ：AM=BC ：AC=1：2。

∴FM=AM=t ．
∴。

②当＜t ＜8时，如图（3）b 所示。

PE=t-6，∴PC=CM=PE+CE=t-4，AM=AC-CM=12-t ，PB=BE-PE=8-t ，
∴FM=AM=6-t ，PG=2PB=16-2t ，
∴
121
2AMF AQPD 11
S S S DP AQ PQ AM FM
22∆=-=+⋅-⋅梯形（）21111
[t 22t ]2t t t 2t 2224=-++⨯-⋅=-+（）（）20
3121
2AMF AQPD 11
S S S PG AC PC AM FM
22∆=-=+⋅-⋅梯形（）。

综上所述，S 与t 的关系式为：。

（4）在点P 的整个运动过程中，点H 落在线段CD 上时t 的取值X 围是：t=或t=5或
6≤t≤8。

（4）本问涉及双点的运动，首先需要正确理解题意，然后弄清点H 、点P 的运动过程： 依题意，点H 与点P 的运动分为两个阶段，如下图所示：
①当4＜t ＜6时，此时点P 在线段DE 上运动，如图（4）a 所示。

此阶段点P 运动时间为2s ，因此点H 运动距离为2.5×2=5cm，而MN=2， 则此阶段中，点H 将有两次机会落在线段CD 上：
第一次：此时点H 由M→H 运动时间为（t －4）s ，运动距离MH=2.5（t －4）， ∴NH=2－MH=12－2.5t 。

又DP=t-2，DN=DP －2=t －4，
由DN=2NH 得到：t －4=2（12－2.5t ），解得t=。

21115[162t 8]t 412t 6t t 22t 842224=-+⨯---⋅-=-+-（）（）（）（）2
21t 2t(2t 4)4S 520t 22t 84(t 8)43<<<<⎧-+⎪⎪=⎨
⎪-+-⎪⎩14
314
3
综上所述，在点P 的整个运动过程中，点H 落在线段CD 上时t 的取值X 围是：t=或t=5
或6≤t≤8。

7. 在－1，1，2这三个数中任选2个数分别作为P 点的横坐标和纵坐标，过P 点画双曲线k
y x
=
，该双曲线位于第二、四象限的概率是。

【答案】
23。

【考点】概率，反比例函数的性质。

【分析】画树状图：
∴该双曲线位于第二、四象限的概率是：
42
63
=。

9. 已知抛物线y=ax 2
+bx+c （0＜2a ＜b ）的顶点为P （x 0，y 0），点A （1，y A ）、B （0，y B ）、C （－1，y C ）在该抛物线上．
14
3
（Ⅰ）当a=1，b=4，c=10时，①求顶点P 的坐标；②求
A
B C
y y y --的值；
（Ⅱ）当y 0≥0恒成立时，求
A
B C
y y y -的最小值．
【答案】（Ⅰ）若a=1，b=4，c=10，此时抛物线的解析式为y=x 2
+4x+10。

①∵y=x 2
+4x+10=（x+2）2
+6，∴抛物线的顶点坐标为P （－2，6）。

②∵点A （1，y A ）、B （0，y B ）、C （－1，y C ）在抛物线y=x 2
+4x+10上，
∴y A =15，y B =10，y C =7。

∴A B C y 15
==5
y y 107--。

（Ⅱ）由0＜2a ＜b ，得
0b
x 12a <=-
-。

由题意，如图过点A 作AA 1⊥x 轴于点A 1，
则AA 1=y A ，OA 1=1。

过点E 作EG⊥AA 1于点G ，易得△AEG∽△BCD。

∴AG EG BD CD =，即A E 1B C
y y 1x y y -=--。

∵y0≥0恒成立，根据题意，有x2≤x1＜－1。

则1－x2≥1－x1，即1－x2≥3。

∴
yA
yB yC
-的最小值为3。

【解析】（Ⅰ）将a=1，b=4，c=10代入解析式，即可得到二次函数解析式。

①将二次函数化为顶点式，即可得到得到抛物线顶点坐标。

②将A（1，y A）、B（0，y B）、C（－1，y C）分别代入解析式，即可求出y A、y B、y C的值，
然后计算
A
B C
y
y y
-的值即可。

10.如图，直线AB交x轴于点B（4，0），交y轴于点A（0，4），直线DM⊥x轴正半轴于点M，交线段AB于点C，DM=6，连接DA，∠DAC=90°．
（1）直接写出直线AB 的解析式；
（2）求点D 的坐标；
（3）若点P 是线段MB 上的动点，过点P 作x 轴的垂线，交AB 于点F ，交过O 、D 、B 三点的抛物线于点E ，连接CE ．是否存在点P ，使△BPF 与△FCE 相似？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y=﹣x+4（2）D （2，6）（3）点P 的坐标为（，0）或（，0）
（2）过D 点作DG ⊥y 轴，垂足为G ，
6+26
3103
（3）存在。

由抛物线过O（0，0），B（4，0）两点，设抛物线解析式为y=ax（x﹣4），①当∠ECF=∠BPF=90°时（如图1），△BPF与△FCE相似，过C点作CH⊥EF，
②当∠CEF=∠BPF=90°时（如图2），
此时，△CEF 、△BPF 为等腰直角三角形。

则PE=MC=2，
将E （x ，2）代入抛物线y=x （x ﹣4）中， 得2=x （x ﹣4），解得x=或。

∴P （，0）。

综上所述，点P 的坐标为（，0）或（，0）。

6+26
31036+26
36+263626
3-32-
3
2-。