必修四平面向量的坐标运算(附答案)

平面向量的坐标运算
[学习目标] 1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示.2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则.3.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来．
知识点一 平面向量的坐标表示
(1)向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解． (2)向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，
j 作为基底，对于平面内的一个向量a ，有且只有一对实数x ，y 使得a ＝x i ＋y j ，则有序数
对(x ，y )叫做向量a 的坐标，a ＝(x ，y )叫做向量的坐标表示．
(3)向量坐标的求法：在平面直角坐标系中，若A (x ，y )，则OA →
＝(x ，y )，若A (x 1，y 1)，B (x 2，
y 2)，则AB →
＝(x 2－x 1，y 2－y 1)．
思考 根据下图写出向量a ，b ，c ，d 的坐标，其中每个小正方形的边长是1.
答案 a ＝(2,3)，b ＝(－2,3)，c ＝(－3，－2)，
d ＝(3，－3)．
知识点二 平面向量的坐标运算
(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和．
(2)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，即两个向量差的坐标等于这两
个向量相应坐标的差．
(3)若a ＝(x ，y )，λ∈R ，则λa ＝(λx ，λy )，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．
(4)已知向量AB →的起点A (x 1，y 1)，终点B (x 2，y 2)，则AB →
＝(x 2－x 1，y 2－y 1)．
思考 已知a ＝OA →，b ＝OB →，c ＝OC →
，如下图所示，写出a ，b ，c 的坐标，并在直角坐标系内作出向量a ＋b ，a －b 以及a －3c ，然后写出它们的坐标．
答案
易知：a ＝(4,1)，b ＝(－5,3)，c ＝(1,1)， OD →
＝a ＋b ＝(－1,4)，BA →＝a －b ＝(9，－2)，OF →
＝a －3c ＝(1，－2)．
题型一 平面向量的坐标表示
例1 已知边长为2的正三角形ABC ，顶点A 在坐标原点，AB 边在x 轴上，C 在第一象限，D 为AC 的中点，分别求向量AB →，AC →，BC →，BD →
的坐标．
解 如图，正三角形ABC 的边长为2，则顶点A (0,0)，B (2,0)，C (2cos 60°，2sin 60°)，
∴C (1，3)，D (12，32)，
∴AB →＝(2,0)，AC →
＝(1，3)， BC →
＝(1－2，3－0)＝(－1，3)， BD →
＝(12
－2，
32－0)＝(－32，32
)．
跟踪训练1 在例1的基础上，若E 为AB 的中点，G 为三角形的重心时，如何求向量CE →，AG →，BG →，GD →
的坐标？
解 由于B (2,0)，E (1,0)，C (1，3)，D (12，32)，G (1，3
3)，
所以CE →
＝(1－1,0－3)＝(0，－3)，
AG →
＝(1，
33
)， BG →
＝(1－2，
33－0)＝(－1，33)， GD →
＝(1
2
－1，
32－33)＝(－12，36
)． 题型二 平面向量的坐标运算
例2 已知平面上三点A (2，－4)，B (0,6)，C (－8,10)，求(1)AB →－AC →；(2)AB →＋2BC →；(3)BC →
－12
AC →. 解 ∵A (2，－4)，B (0,6)，C (－8,10)．
∴AB →
＝(0,6)－(2，－4)＝(－2,10)， AC →＝(－8,10)－(2，－4)＝(－10,14)， BC →
＝(－8,10)－(0,6)＝(－8,4)．
∴(1)AB →－AC →
＝(－2,10)－(－10,14)＝(8，－4)． (2)AB →＋2BC →
＝(－2,10)＋2(－8,4)＝(－18,18)． (3)BC →－12AC →
＝(－8,4)－12(－10,14)＝(－3，－3)．
跟踪训练2 已知a ＝(－1,2)，b ＝(2,1)，求： (1)2a ＋3b ；(2)a －3b ；(3)12a －1
3b .
解 (1)2a ＋3b ＝2(－1,2)＋3(2,1) ＝(－2,4)＋(6,3)＝(4,7)． (2)a －3b ＝(－1,2)－3(2,1) ＝(－1,2)－(6,3)＝(－7，－1)． (3)12a －13b ＝12(－1,2)－1
3
(2,1) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1－⎝ ⎛⎭⎪⎫23，13＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫－76，23. 题型三 平面向量坐标运算的应用
例3 已知点A (2,3)，B (5,4)，C (7,10)．若AP →＝AB →＋λAC →
(λ∈R )，试求λ为何值时， (1)点P 在一、三象限角平分线上； (2)点P 在第三象限内． 解 设点P 的坐标为(x ，y )，
则AP →
＝(x ，y )－(2,3)＝(x －2，y －3)，
AB →
＋λAC →
＝(5,4)－(2,3)＋λ[(7,10)－(2,3)]
＝(3,1)＋λ(5,7)＝(3＋5λ，1＋7λ)． ∵AP →＝AB →＋λAC →，
∴⎩⎪⎨
⎪
⎧
x －2＝3＋5λ，y －3＝1＋7λ，
则⎩⎪⎨
⎪
⎧
x ＝5＋5λ，y ＝4＋7λ.
(1)若P 在一、三象限角平分线上，则5＋5λ＝4＋7λ， ∴λ＝12
.
(2)若P 在第三象限内，则⎩
⎪⎨
⎪⎧
5＋5λ<0，
4＋7λ<0，∴λ<－1.
∴λ＝1
2时，点P 在第一、第三象限角平分线上；λ<－1时，点P 在第三象限内．
跟踪训练3 已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为(3,7)，(4,6)，(1，－2)，求第四个顶点的坐标．
解 不妨设A (3,7)，B (4,6)，C (1，－2)．第四个顶点为D (x ，y )． 则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形有以下三种情形． (1)当平行四边形为ABCD 时，AB →＝DC →
， 设点D 的坐标为(x ，y )，
∴(4,6)－(3,7)＝(1，－2)－(x ，y )，
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
1－x ＝1，－2－y ＝－1， ∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝0，
y ＝－1.
∴D (0，－1)；
(2)当平行四边形为ABDC 时，仿(1)可得D (2，－3)； (3)当平行四边形为ADBC 时，仿(1)可得D (6,15)．
综上所述，第四个顶点的坐标可能为(0，－1)，(2，－3)或(6,15)．
坐标法解决向量问题
例4 已知O 是△ABC 内一点，∠AOB ＝150°，∠BOC ＝90°，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →
＝c ，且|a |＝2，|b |＝1，|c |＝3，试用a ，b 表示c .
分析 注意到两个已知的特殊角，联想到建立直角坐标系求向量坐标． 解 如图，以O 为原点，OA →
为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系， 由三角函数的定义，得B (cos 150°，sin 150°)，C (3cos 240°，3sin 240°)．
即B (－
32，12)，C (－32，－332
)， 又∵A (2,0)，
故a ＝(2,0)，b ＝(－
32，12)，c ＝(－32，－33
2
)． 设c ＝λ1a ＋λ2b (λ1，λ2∈R )，∴(－32，－332)＝λ1(2,0)＋λ2(－32，12)＝(2λ1－3
2λ2，
1
2
λ2)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧
2λ1
－32λ2
＝－3
2，12λ2
＝－332
，∴⎩⎨
⎧
λ1＝－3，
λ2＝－3 3.
∴c ＝－3a －33b .
1．设平面向量a ＝(3,5)，b ＝(－2,1)，则a －2b 等于( ) A ．(7,3) B ．(7,7) C ．(1,7) D ．(1,3) 2．已知向量OA →＝(3，－2)，OB →
＝(－5，－1)，则向量12AB →的坐标是( )
C ．(－8,1)
D ．(8,1)
3．已知四边形ABCD 的三个顶点A (0,2)，B (－1，－2)，C (3,1)，且BC →＝2AD →
，则顶点D 的坐标为( )
C ．(3,2)
D ．(1,3)
4．已知向量a ＝(2，－3)，b ＝(1,2)，p ＝(9,4)，若p ＝m a ＋n b ，则m ＋n ＝________. 5．设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，c ＝(－1，－2)．若表示向量4a,4b －2c,2(a －c )，d 的有向线段首尾相接能构成四边形，求向量d .
一、选择题
1．已知平面向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，则向量12a －3
2b 等于( )
A ．(－2，－1) `
B ．(－2,1)
C ．(－1,0)
D ．(－1,2)
2．已知a －1
2b ＝(1,2)，a ＋b ＝(4，－10)，则a 等于( )
A ．(－2，－2)
B ．(2,2)
C ．(－2,2)
D ．(2，－2)
3．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)，c ＝(3,4)，且c ＝λ1a ＋λ2b ，则λ1，λ2的值分别为( ) A ．－2,1 B ．1，－2 C ．2，－1
D ．－1,2
4．已知M (3，－2)，N (－5，－1)且MP →＝12MN →
，则点P 的坐标为( )
A ．(－8,1)
D ．(8，－1)
5．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线．若AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则BD →
等于( ) A ．(－2，－4) B ．(－3，－5) C ．(3,5)
D ．(2,4)
6．向量AB →＝(7，－5)，将AB →按向量a ＝(3,6)平移后得向量A ′B ′→，则A ′B ′→
的坐标形式为( ) A ．(10,1) B ．(4，－11) C ．(7，－5) D ．(3,6)
二、填空题
7．已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量AB →
同方向的单位向量为________．
8．已知平面上三点A (2，－4)，B (0,6)，C (－8,10)，则12AC →－14BC →
的坐标是________．
9．已知A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2,0)，D (x ，y )，且AC →＝2BD →
，则x ＋y ＝________.
10．已知四边形ABCD 为平行四边形，其中A (5，－1)，B (－1，7)，C (1,2)，则顶点D 的坐标为________． 三、解答题
11．已知a ＝(2,1)，b ＝(－1,3)，c ＝(1,2)，求p ＝2a ＋3b ＋c ，并用基底a 、b 表示p .
12．已知点A (3，－4)与B (－1,2)，点P 在直线AB 上，且|AP →|＝2|PB →
|，求点P 的坐标．
13．已知点A (－1,2)，B (2,8)及AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，求点C 、D 和CD →
的坐标．
当堂检测答案
1．设平面向量a ＝(3,5)，b ＝(－2,1)，则a －2b 等于( ) A ．(7,3) B ．(7,7) C ．(1,7) D ．(1,3) 2．已知向量OA →＝(3，－2)，OB →
＝(－5，－1)，则向量12AB →的坐标是( )
C ．(－8,1)
D ．(8,1)
3．已知四边形ABCD 的三个顶点A (0,2)，B (－1，－2)，C (3,1)，且BC →＝2AD →
，则顶点D 的坐标为( )
C ．(3,2)
D ．(1,3)
4．已知向量a ＝(2，－3)，b ＝(1,2)，p ＝(9,4)，若p ＝m a ＋n b ，则m ＋n ＝________. 5．设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，c ＝(－1，－2)．若表示向量4a,4b －2c,2(a －c )，d 的有向线段首尾相接能构成四边形，求向量d .
课时精练答案
一、选择题
1．答案 D
2．答案 D
3．答案 D
解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ λ1＋2λ2＝3，2λ1＋3λ2＝4.解得⎩⎪⎨⎪⎧ λ1＝－1，λ2＝2.
4．答案 C
解析 设P (x ，y )，由(x －3，y ＋2)＝12
×(－8,1)， ∴x ＝－1，y ＝－32
.
5．答案 B
解析 ∵AC →＝AB →＋AD →，
∴AD →＝AC →－AB →＝(－1，－1)．
∴BD →＝AD →－AB →＝(－3，－5)．
6．答案 C
解析 A ′B ′→与AB →方向相同且长度相等，
故A ′B ′→＝AB →＝(7，－5)．
二、填空题
7．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫35
，－45 解析 ∵AB →＝OB →－OA →＝(4，－1)－(1,3)＝(3，－4)，
∴与AB →同方向的单位向量为A B →
|AB →|
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45. 8．答案 (－3,6)
9．答案 112 解析 ∵AC →＝(－2,0)－(－1，－2)＝(－1,2)，
BD →＝(x ，y )－(2,3)＝(x －2，y －3)，
又2BD →＝AC →，即(2x －4,2y －6)＝(－1,2)，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －4＝－1，2y －6＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝32
，y ＝4，
∴x ＋y ＝112
. 10．答案 (7，－6)
解析 设D (x ，y )，由AD →＝BC →，
∴(x －5，y ＋1)＝(2，－5)．
∴x ＝7，y ＝－6.
三、解答题
11．解 p ＝2a ＋3b ＋c
＝2(2,1)＋3(－1,3)＋(1,2)
＝(4,2)＋(－3,9)＋(1,2)＝(2,13)．
设p ＝x a ＋y b ，则有
⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＝2x ＋3y ＝13，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝197y ＝247.
∴p ＝197a ＋247
b . 12．解 设P 点坐标为(x ，y )，|AP →|＝2|PB →|.
当P 在线段AB 上时，AP →＝2PB →.
∴(x －3，y ＋4)＝2(－1－x,2－y )，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －3＝－2－2x ，y ＋4＝4－2y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝13，y ＝0.
∴P 点坐标为(13
，0)． 当P 在线段AB 延长线上时，AP →＝－2PB →.
∴(x －3，y ＋4)＝－2(－1－x,2－y )，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －3＝2＋2x ，y ＋4＝－4＋2y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－5，y ＝8.
综上所述，点P 的坐标为(13
，0)或(－5,8)． 13．解 设点C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，
由题意可得AC →＝(x 1＋1，y 1－2)，AB →＝(3,6)，
DA →＝(－1－x 2,2－y 2)，BA →＝(－3，－6)．
∵AC →＝13AB →，DA →＝－13
BA →， ∴(x 1＋1，y 1－2)＝13
(3,6)＝(1,2)． ∴(－1－x 2,2－y 2)＝－13
(－3，－6)＝(1,2)， 则有⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋1＝1，y 1－2＝2和⎩⎪⎨⎪⎧ －1－x 2＝1，2－y 2＝2，
解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝0，y 1＝4和⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝－2，y 2＝0.
∴C ，D 的坐标分别为(0,4)和(－2,0)，∴CD →＝(－2，－4)．。