人教版九年级数学下册《锐角三角函数》检测题含答案

人教版九年级数学下册《锐角三角函数》检测题含答案
第二十八章 锐角三角函数 28．1 锐角三角函数 第1课时 正弦和余弦
01 基础题 知识点1 正弦
1．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若AB ＝5，AC ＝4，则sin B ＝(B )
A .35
B .45
C .34
D .43
2．(唐山玉田县月考)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，各边都扩大2倍，则锐角A 的正弦值(C )
A ．扩大2倍
B ．缩小12
C ．不变
D ．无法确定
3．(天津和平区汇文中学单元检测)在△ABC 中，若三边BC ，CA ，AB 满足BC ∶CA ∶AB ＝5∶12∶13，则sin A 的值是(C )
A .512
B .125
C .513
D .1213
4．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，若2a ＝3c ，则∠A 2
5．如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ∶c ＝2∶3，求sin A 和sin B 的值．
解：在Rt △ABC 中，
∠C ＝90°，a ∶c ＝2∶3， 设a ＝2k ，c ＝3k(k>0)， 则b ＝c 2－a 2＝5k.
∴sin A ＝a c ＝2k 3k ＝2
3
，
sin B ＝b c ＝5k 3k ＝53.
6．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝12
13
，AB ＝26，求△ABC 的周长．
解：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝26，sin A ＝BC AB ＝12
13
，∴BC ＝24，
AC ＝AB 2－BC 2＝262－242＝10. ∴△ABC 的周长为26＋24＋10＝60.
知识点2 余弦
7．(湖州中考)如图，已知，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5，BC ＝3，则cos B 的值是(A )
A .35
B .45
C .34
D .43
8．(承德六校一模)如图，△ABC 的顶点都在正方形网格的格点上，则cos C 的值为(D )
A .12
B .32
C .55
D .255
9．已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝3
5
，则cos B 的值为(B )
A .
74 B .35 C .34 D .45
02 中档题
10．如图，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sin A 的值为(B )
A .12
B .55
C .1010
D .255
解析：如图，连接CD 交AB 于O ，根据网格的特点，CD ⊥AB ，在Rt △AOC 中，CO ＝12＋12＝2，AC ＝12＋32＝10.则sin A ＝OC AC ＝210＝55.
11．(怀化中考改编)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝4
5
，AC ＝6 cm ，求BC 的长度．
解：∵sin A ＝BC AB ＝4
5，∴设BC ＝4x ，AB ＝5x.
又∵AC 2＋BC 2＝AB 2，
∴62＋(4x)2＝(5x)2，解得x ＝2或x ＝－2(舍去)． ∴BC ＝4x ＝8 cm .
12．如图，菱形ABCD 的边长为10 cm ，DE ⊥AB ，sin A ＝3
5，求DE 的长和菱形ABCD 的
面积．
解：∵DE ⊥AB ， ∴∠AED ＝90°.
在Rt △AED 中，sin A ＝DE AD ，即DE 10＝3
5
.
解得DE ＝6.
∴菱形ABCD 的面积为10×6＝60(cm 2)． 13．如图，已知⊙O 的半径为5 cm ，弦AB 的长为8 cm ，P 是AB 延长线上一点，BP ＝2 cm ，
求cos P 的值．
解：作OC ⊥AB 于C 点． 根据垂径定理， AC ＝BC ＝4.
∴CP ＝4＋2＝6(cm )．
在Rt △OAC 中，OC ＝52－42＝3(cm )． 在Rt △OCP 中，根据勾股定理，得 OP ＝CO 2＋CP 2＝32＋62＝35(cm )．
故cos P ＝PC PO ＝635＝25
5
.
03 综合题
14．(鄂州中考)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝12，点E 是BC 的中点，连接AE ，将△ABE 沿AE 折叠，点B 落在点F 处，连接FC ，则sin ∠ECF ＝(D )
A .34
B .43
C .35
D .45
人教版九年级数学下册《28.1锐角三角函数》检测题含答案2
第2课时 锐角三角函数
01 基础题 知识点1 正切
1．(湖州中考)如图，已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，tan A ＝1
2
，则BC 的长是(A )
A ．2
B ．8
C ．2 5
D ．45 2．(金华中考)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5，BC ＝3，则tan A 的值是(A )
A .34
B .43
C .35
D .45
3．如图，A ，B ，C 三点在正方形网格线的交点处，若将△ABC 绕着点A 逆时针旋转得到△AC′B′，则tan B ′的值为(B )
A .12
B .13
C .14
D .24
4．已知等腰三角形的腰长为6 cm ，底边长为10 cm ，5
5．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，若BC ＝2，AB ＝3，求tan ∠BCD.
解：∵CD ⊥AB ，∴∠ADC ＝90°. ∴∠A ＋∠ACD ＝90°.
又∠BCD ＋∠ACD ＝∠ACB ＝90°， ∴∠BCD ＝∠A.
在Rt △ABC 中，AC ＝AB 2－BC 2＝32－22＝ 5. ∴tan A ＝BC AC ＝25＝25
5.
∴tan ∠BCD ＝tan A ＝25
5
.
知识点2 锐角三角函数
6．(宜昌中考)△ABC 在网格中的位置如图所示(每个小正方形边长为1)，AD ⊥BC 于D ，下列选项中，错误的是(C )
A ．sin α＝cos α
B ．tan
C ＝2
C ．sin β＝cos β
D ．tan α＝1
7．已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝3
5
，则tan B 的值为(A )
A .43
B .45
C .54
D .34
8．(福州中考)如图，以O 为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A ，B 两点，P 是AB ︵
上一点(不与A ，B 重合)，连接OP ，设∠POB ＝α，则点P 的坐标是(C )
A ．(sin α，sin α)
B ．(cos α，cos α)
C ．(cos α，sin α)
D ．(sin α，cos α)
9．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝7，BC ＝24.
(1)求AB 的长；
(2)求sin A ，cos A ，tan A 的值． 解：(1)由勾股定理，得
AB ＝AC 2＋BC 2＝72＋242＝25.
(2)sin A ＝BC AB ＝2425，cos A ＝AC AB ＝7
25，
tan A ＝
BC AC ＝247
. 02 中档题 10．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，点D 为边AC 的中点，DE ⊥BC 于点E ，连接BD ，则tan ∠DBC 的值为(A )
A .1
3
B .2－1
C ．2－ 3
D .1
4
11．(河北模拟)如图，半径为3的⊙A 经过原点O 和点C(0，2)，B 是y 轴左侧⊙A 优弧上一点，则tan ∠OBC 为(C )
A .13
B ．2 2
C .24
D .223
12．(泸州中考)如图，在矩形ABCD 中，点E 是边BC 的中点，AE ⊥BD ，垂足为F ，则tan ∠BDE 的值是(A )
A .
24 B .14 C .13 D .23
解析：由AD ∥BC ，可得△ADF ∽△EBF ，根据相似三角形的性质，可得AD EB ＝AF EF ＝DF BF ，
因为点E 是边BC 的中点，AD ＝BC ，所以AD EB ＝AF EF ＝DF
BF ＝2.设EF ＝x ，可得AF ＝2x ，在
Rt △ABE 中，易证△AFB ∽△BFE ，则BF ＝2x ，再由AD EB ＝AF EF ＝DF
BF ＝2，可得DF ＝22x ，
在Rt △DEF 中，tan ∠BDE ＝
EF DF ＝x 22x ＝24
，故选A .
13．如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB ，cos A ＝4
5
，BE ＝2，则tan ∠DBE ＝3．
14．如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝
3
3
，求cos A ，tan B 的值．
解：∵sin A ＝BC AB ＝3
3，
∴设BC ＝3k ，AB ＝3k(k>0)． 由勾股定理，得
AC ＝AB 2－BC 2＝（3k ）2－（3k ）2＝6k. ∴cos A ＝6
3
，tan B ＝ 2.
15．(承德六校一模)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝8，tan B ＝1
2，点D 在BC 上，
且BD ＝AD ，求AC 的长和cos ∠ADC 的值．
解：∵在Rt △ABC 中，BC ＝8，tan B ＝AC BC ＝1
2，
∴AC ＝1
2
BC ＝4.
设AD ＝x ，则BD ＝x ，CD ＝8－x ，
在Rt △ADC 中，由勾股定理，得(8－x)2＋42＝x 2，解得x ＝5， ∴AD ＝5，CD ＝8－5＝3. ∴cos ∠ADC ＝DC AD ＝35
.
03 综合题
16．如图，将矩形ABCD 沿CE 折叠，点B 恰好落在边AD 的F 处，如果AB BC ＝2
3，求tan ∠
DCF 的值．
解：∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB ＝CD ，∠D ＝90°. ∵AB BC ＝2
3，且由折叠知CF ＝BC ， ∴
CD CF ＝23
. 设CD ＝2x ，CF ＝3x(x>0)， ∴DF ＝CF 2－CD 2＝5x. ∴tan ∠DCF ＝DF CD ＝5x 2x ＝52
.
人教版九年级数学下册《28.1锐角三角函数》检测题含答案3
第3课时 特殊角的三角函数值
01 基础题
知识点1 特殊角的三角函数值
1．(天津中考)cos 60°的值等于(D )
A . 3
B ．1
C .22
D .1
2
2．计算2×tan 60°的值等于(D )
A .
53 B .6
3
C . 5
D .6 3．(防城港中考)计算：cos 245°＋sin 245°＝(B )
A .12
B ．1
C .14
D .2
2 4．(百色中考)如图，△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，AB ＝12，则BC ＝(A )
A ．6
B ．6 2
C ．6 3
D ．12 5．求值：sin 60°·tan 30°＝12．
6．计算：
(1)(安徽中考)|－2|×cos 60°－(13)－
1；
解：原式＝2×1
2－3＝－2.
(2)(泸州中考)(－3)2＋2 0170－18×sin 45°； 解：原式＝9＋1－32×
22
＝7.
(3)cos 30°·tan 30°－tan 45°； 解：原式＝32×33－1＝12－1＝－12
. (4)
2
2
sin 45°＋sin 60°·cos 45°. 解：原式＝
22×22＋32×22＝2＋64.
知识点2 由三角函数值求特殊角
7．(聊城中考)在Rt △ABC 中，cos A ＝1
2
，那么sin A 的值是(B )
A .
22 B .32 C .33 D .12
8．(河北模拟)在△ABC中，若角A，B满足|cos A－
3
2|＋(1－tan B)2＝0，则∠C的大小(D)
A．45°B．60°C．75°D．105°
9．如果在△ABC中，sin A＝cos B＝
2
2，那么下列最确切的结论是(C)
A．△ABC是直角三角形
B．△ABC是等腰三角形
C．△ABC是等腰直角三角形
D．△ABC是锐角三角形
10．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝23，则∠A＝60°．
知识点3用计算器计算三角函数值
11．如图是科学计算器的面板，利用该型号计算器计算2cos55°，按键顺序正确的是(C)
A.2×cos55＝
B.2cos550＝
C.2cos55＝
D.255cos＝
12．用计算器计算cos44°的结果(精确到0.01)是(B)
A．0.90 B．0.72
C．0.69 D．0.66
13．已知sin A＝0.370 6，则锐角A＝21.75°.(保留两位小数)
02中档题
14．(厦门中考)已知sin6°＝a，sin36°＝b，则sin2 6°＝(A)
A．a2B．2a C．b2D．b
15．李红同学遇到了这样一道题：3tan(α＋20°)＝1，你猜想锐角α的度数应是(D) A．40°B．30°
C．20°D．10°
16．(孝感中考)式子2cos30°－tan45°－（1－tan60°）2的值是(B)
A．23－2 B．0
C．2 3 D．2
17．(邢台县一模)关于x的一元二次方程x2－2x＋cosα＝0有两个相等的实数根，则锐角
α等于(D )
A ．0°
B ．30°
C ．45°
D ．60° 18．(滨州中考)如图，在△ABC 中，AC ⊥BC ，∠ABC ＝30°，点D 是CB 延长线上的一点，且BD ＝BA ，则tan ∠DAC 的值为(A )
A ．2＋ 3
B ．23
C ．3＋ 3
D ．33
19．如图，有一滑梯AB ，其水平宽度AC 为5.3米，铅直高度BC 为2.8米，则∠A 的度数约为27.8°．(用科学计算器计算，结果精确到0.1°)
20．利用计算器求∠A ＝18°36′的三个锐角三角函数值．
解：sin A ＝sin 18°36′≈0.319 0， cos A ＝cos 18°36′≈0.947 8， tan A ＝tan 18°36′≈0.336 5.
21．计算：
(1)(唐山玉田县月考)tan 45°－3tan 30°＋cos 45°； 解：原式＝1－3×33＋22
＝1－1＋22
＝22
. (2)2sin 60°＋
22cos 45°－3
2tan 60°－3cos 30°. 解：原式＝2×32＋22×22－32×3－3×3
2
＝62＋12－32－3
2 ＝62－52
.
22．先化简，再求代数式a 2－ab a 2÷(a b －b
a
)的值，其中a ＝2cos 30°－tan 45°，b ＝2sin 30°.
解：原式＝a （a －b ）a 2÷a 2－b 2
ab
＝
a （a －
b ）a 2·ab （a ＋b ）（a －b ）
＝
b a ＋b
. ∵a ＝2cos 30°－tan 45°＝2×3
2
－1＝3－1， b ＝2sin 30°＝2×1
2＝1，
∴原式＝
13－1＋1＝13＝3
3
.
23．如图，一幢楼房前有一棵竹子，楼底到竹子的距离CB 为2米，一阵风吹过，竹子的顶端恰好到达楼顶，此时测得竹子与水平地面的夹角为75°，求这棵竹子比楼房高出多少米．(精确到0.1米)
解：在Rt △ABC 中，
∵∠ABC ＝75°，BC ＝2， ∴AB ＝
2
cos 75°
≈7.727(米)，
AC ＝2×tan 75°≈7.464(米)． ∴AB －AC ＝7.727－7.464 ≈0.3(米)．
答：这棵竹子比楼房高出0.3米．
24．若tan A 的值是方程x 2－(1＋3)x ＋3＝0的一个根，求锐角A 的度数．
解：解方程x 2－(1＋3)x ＋3＝0，得 x 1＝1，x 2＝ 3.
由题意知tan A ＝1或tan A ＝ 3. ∴∠A ＝45°或60°.
03 综合题
25．如图，菱形ABCD 中，AB ＝4，∠B ＝60°，AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，垂足分别为E ，F ，连接EF ，则△AEF 的面积是(B )
A ．4 3
B ．3 3
C ．2 3
D .3
人教版九年级数学下册《解直角三角形》检测题含答案
28.2 解直角三角形及其应用 28．2.1 解直角三角形
01 基础题
知识点1 已知两边解直角三角形
1．在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，AB ＝4，欲求∠A 的值，最适宜的做法是(C )
A ．计算tan A 的值求出
B ．计算sin A 的值求出
C ．计算cos A 的值求出
D ．先根据sin B 求出∠B ，再利用90°－∠B 求出
2．(温州中考)如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5，BC ＝3，则cos A 的值是(D )
A .34
B .43
C .35
D .45
3．如图，已知AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，且CD ⊥AB ，BC ＝6，AC ＝8，则sin ∠ABD 的值是(D )
A .43
B .34
C .35
D .45
4．在等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，则cos A 2＝45
．
5．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝20，c ＝202，则∠A ＝45°，∠B ＝45°，b ＝20． 6．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，已知BC ＝26，AC ＝62，解此直角三角形．
解：∵tan A ＝BC AC ＝2662＝3
3
，
∴∠A ＝30°.
∴∠B ＝90°－∠A ＝90°－30°＝60°，AB ＝2BC ＝4 6.
知识点2 已知一边和一锐角解直角三角形
7．(兰州中考)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝3
5，BC ＝6，则AB ＝(D )
A ．4
B ．6
C ．8
D ．10
8．如果等腰三角形的底角为30°，腰长为6 cm ，那么这个三角形的面积为(B )
A ．4.5 cm 2
B ．9 3 cm 2
C ．18 3 cm 2
D ．36 cm 2
9．(保定月考)如图，在△ABC 中，∠B ＝30°，BC 的垂直平分线交AB 于点E ，垂足为D ，CE 平分∠ACB ，若BE ＝2，则AE 的长为(B )
A . 3
B ．1
C . 2
D ．2
10．(牡丹江中考)在Rt △ABC 中，CA ＝CB ，AB ＝92，点D 在BC 边上，连接AD ，若tan ∠CAD ＝1
3
，则BD 的长为6．
11．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，c ＝83，∠A ＝60°，解这个直角三角形．
解：∵∠A ＝60°，
∴∠B ＝90°－∠A ＝30°. ∵sin A ＝a
c
，
∴a ＝c·sin A ＝83×sin 60°＝83×
3
2
＝12. ∴b ＝c 2－a 2＝（83）2－122＝4 3.
12．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝55°，AC ＝4，解此直角三角形．(结果保留小数点后一位)
解：∠A ＝90°－∠B ＝90°－55°＝35°. ∵tan B ＝AC
BC ，
∴BC ＝
AC tan B ＝4
tan 55°
≈2.8. ∵sin B ＝AC
AB ，
∴AB ＝AC sin B ＝4
sin 55°
≈4.9.
02 中档题
13．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝50°，AB ＝10，则BC 的长为(B )
A ．10tan 50°
B ．10cos 50°
C ．10sin 50°
D .
10
cos 50°
14．(随州中考)如图，⊙O 是正五边形ABCDE 的外接圆，这个正五边形的边长为a ，半径为R ，边心距为r ，则下列关系式错误的是(A )
A ．R 2－r 2＝a 2
B ．a ＝2R sin 36°
C ．a ＝2r tan 36°
D ．r ＝R cos 36°
15．在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，CD 是中线，若BC ＝5，则△ADC 的周长为(B )
A ．5＋10 3
B ．10＋53
C ．15 3
D ．203
16．(保定月考)如图，在矩形ABCD 中，DE ⊥AC 于E ，设∠ADE ＝α，且sin α＝4
5，AB ＝
4，求AD 的长为(B )
A ．3
B .163
C .203
D .16
5
17．(河北模拟)如图，在四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，若EF ＝4，BC ＝10，CD ＝6，则tan C 等于(A )
A .43
B .34
C .35
D .45
提示：连接BD ，则△BCD 为直角三角形．
18．如图，菱形ABCD 的边长为15，sin ∠BAC ＝3
5
，则对角线AC 的长为24．
19．如图，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝30°，∠C ＝60°，AD ＝4，AB ＝33，则下底BC 的长为10．
03 综合题
20．探究：已知，如图1，在△ABC 中，∠A ＝α(0°＜α＜90°)，AB ＝c ，AC ＝b ，试用含b ，c ，α的式子表示△ABC 的面积；
图1
图2
应用：(孝感中考)如图2，在▱ABCD 中，对角线AC ，BD 相交成的锐角为α，若AC ＝a ，BD ＝b ，试用含b ，c ，α的式子表示▱ABCD 的面积．
解：探究：过点B 作BD ⊥AC ，垂足为D. ∵AB ＝c ，∠A ＝α，∴BD ＝c sin α.
∴S △ABC ＝12AC·BD ＝1
2bc sin α.
应用：过点C 作CE ⊥DO 于点E. ∴sin α＝EC
CO
.
∵在▱ABCD 中，AC ＝a ，BD ＝b ， ∴CO ＝12a ，DO ＝1
2
b.
∴S △BCD ＝12CE·BD ＝12×1
2a sin α·b
＝1
4
ab sin α. ∴S ▱ABCD ＝2S △BCD ＝1
2
ab sin α.
人教版九年级数学下册《28构造基本图形解直角三角形的应用题》
检测题含答案
小专题(七)构造基本图形解直角三角形的应用题
类型1构造单一直角三角形
1．平放在地面上的直角三角形铁板ABC的一部分被沙堆掩埋，其示意图如图所示．量得∠A为54°，∠B为36°，斜边AB的长为2.1 m，BC边上露出部分BD的长为0.9 m．求铁板BC边被掩埋部分CD的长．(结果精确到0.1 m．参考数据：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan54°≈1.38)
解：由题意，得∠C＝180°－∠B－∠A＝180°－36°－54°＝90°.
在Rt△ABC中，sin A＝BC
AB，
∴BC＝AB·sin A＝2.1×sin54°≈1.701(m)，
∴CD＝BC－BD＝1.701－0.9＝0.801≈0.8(m)．
类型2母子三角形
2．(重庆中考)如图，小王在长江边某瞭望台D处，测得江面上的渔船A的俯角为40°，若DE＝3米，CE＝2米，CE平行于江面AB，迎水坡BC的坡度i＝1∶0.75，坡长BC＝10米，则此时AB的长约为(参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84)(A)
A．5.1米
B．6.3米
C．7.1米
D．9.2米
3．(长沙中考)为了维护国家主权和海洋权力，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理．如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时50海里的速度向正东方航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上，继续航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东30°方向上．
(1)求∠APB的度数；
(2)已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？
解：(1)在△APB中，∠PAB＝30°，∠ABP＝120°，
∴∠APB＝180°－30°－120°＝30°.
(2)过点P 作PH ⊥AB 于点H.
在Rt △APH 中，∠PAH ＝30°，AH ＝3PH. 在Rt △BPH 中，∠PBH ＝60°，BH ＝33
PH. ∴AB ＝AH －BH ＝23
3
PH ＝50.
∴PH ＝253＞25.
∴海监船继续向正东方向航行仍然安全．
类型3 背靠背三角形
4．(天津中考)如图，一艘海轮位于灯塔P 的北偏东64°方向，距离灯塔120海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东45°方向上的B 处，求BP 和BA 的长．(结果取整数，参考数据：sin 64°≈0.90，cos 64°≈0.44，tan 64°≈2.05，2取1.414)
解：过点P 作PC ⊥AB ，垂足为C.
由题意可知，∠A ＝64°，∠B ＝45°，PA ＝120. 在Rt △APC 中，sin A ＝PC PA ，cos A ＝AC
PA ，
∴PC ＝PA·sin A ＝120×sin 64°.
AC ＝PA·cos A ＝120×cos 64°.
在Rt △BPC 中，sin B ＝PC BP ，tan B ＝PC
BC ，
∴BP ＝PC sin B ＝120×sin 64°sin 45°≈120×0.90
2
2≈153.
BC ＝PC tan B ＝PC tan 45°
＝PC ＝120×sin 64°.
∴BA ＝BC ＋AC ＝120×sin 64°＋120×cos 64° ≈120×0.90＋120×0.44≈161.
答：BP 的长约为153海里，BA 的长约为161海里．
5．(宜宾中考)如图，某市对位于笔直公路AC 上两个小区A ，B 的供水路线进行优化改造．供水站M 在笔直公路AD 上，测得供水站M 在小区A 的南偏东60°方向，在小区B 的西南方向，小区A ，B 之间距离为300(3＋1)米．求供水站M 分别到小区A ，B 的距离．(结果可保留根号)
解：作ME ⊥AB ，垂足为E.设ME ＝x 米．
在Rt △AME 中，∠MAE ＝90°－60°＝30°， ∴AM ＝2ME ＝2x, AE ＝ME
tan 30°
＝3x.
在Rt △BME 中，∠MBE ＝90°－45°＝45°， ∴ME ＝EB ＝x ，MB ＝2x.
∵AE ＋BE ＝AB ＝300(3＋1)，
即3x ＋ x ＝300(3＋1)，解得x ＝300. ∴AM ＝2ME ＝2x ＝600，
MB ＝2x ＝300 2.
答：供水站M 到小区A ，B 的距离分别是600米、3002米．
6．(德州中考)如图所示，某公路检测中心在一事故多发地带安装了一个测速仪，检测点设在距离公路10 m 的A 处，测得一辆汽车从B 处行驶到C 处所用的时间为0.9秒．已知∠B ＝30°，∠C ＝45°.
(1)求B ，C 之间的距离；(保留根号) (2)如果此地限速为80 km /h ，那么这辆汽车是否超速？请说明理由．(参考数据：3≈1.7，2≈1，4)
解：(1)过点A 作AD ⊥BC 于点D ，则AD ＝10 m . ∵在Rt △ACD 中，∠C ＝45°， ∴CD ＝AD ＝10 m .
在Rt △ABD 中，tan B ＝AD
BD ，
∵∠B ＝30°， ∴
33＝10BD
. ∴BD ＝10 3 m .
∴BC ＝BD ＋DC ＝(103＋10)m .
答：B ，C 之间的距离是(103＋10)m . (2)这辆汽车超速，理由如下： 由(1)知BC ＝(103＋10)m ≈27 m . ∴汽车速度为27
0.9＝30(m /s )＝108 km /h .
∵108＞80，
∴这辆汽车超速．
类型4 与梯形有关的解直角三角形
7．如图，梯形ABCD 是拦水坝的横断面图，斜面坡度i ＝1∶3是指坡面的铅直高度DE 与
水平宽度CE 的比，∠B ＝60°，AB ＝6，AD ＝4，求拦水坝的横断面ABCD 的面积．(结果保留小数点后一位．参考数据：3≈1.732，2≈1.414)
解：过点A 作AF ⊥BC ，垂足为点F. 在Rt △ABF 中，∠B ＝60°，AB ＝6， ∴AF ＝AB·sin B ＝6×sin 60°＝33， BF ＝AB·cos B ＝6×cos 60°＝3. ∵AD ∥BC ，AF ⊥BC ，DE ⊥BC ， ∴四边形AFED 是矩形． ∴DE ＝AF ＝33，FE ＝AD ＝4.
在Rt △CDE 中，i ＝ED EC ＝1
3，
∴EC ＝3ED ＝3×33＝9.
∴BC ＝BF ＋FE ＋EC ＝3＋4＋9＝16. ∴S 梯形ABCD ＝1
2(AD ＋BC)·DE
＝1
2
×(4＋16)×33 ≈52.0.
答：拦水坝的横断面ABCD 的面积约为52.0.。