2015年高考理数真题试卷(山东卷)【答案加解析】

2015年高考理数真题试卷（山东卷）
一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1.（2015·山东）已知集合，，则( )
A. (1，3)
B. (1，4)
C. (2，3)
D. (2，4)
2.（2015·山东）若复数满足，其中为虚数为单位，则=（）
A. 1-
B. 1+
C. -1-
D. -1+
3.（2015·山东）要得到函数的图象，只需要将函数的图象（）
A. 向左平移个单位
B. 向右平移个单位
C. 向左平移个单位
D. 向右平移个单位
4.（2015·山东）已知菱形的边长为，,则=（）
A. B. C. D.
5.（2015山东）不等式|x-1|-|x-5|<2的解集是（）
A. B. C. D.
6.（2015·山东）已知满足约束条件，若的最大值为4，则（）
A. 3
B. 2
C. -2
D. -3
7.（2015.山东）在梯形中，，.将梯
形绕所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）
A. B. C. D. 2
8.（2015·山东）已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布，从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为（）
（附：若随机变量ξ服从正态分布，则％，
％
A. 4.56%
B. 13.59%
C. 27.18%
D. 31.74%
9.（2015·山东）一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（）
A. 或
B. 或
C. 或
D. 或
10.（2015·山东）设函数,则满足的取值范围是（）
A. B. C. [) D. [)
二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分
11.(2015·山东）
观察下列各式：
……
照此规律，当n N时，
________ .
12.（2015·山东）若“”是真命题，则实数m的最小值为________ .
13.（2015·山东）执行右边的程序框图，输出的T的值为________ .
14.（2015山东）已知函数的定义域和值域都是，则________ .
15.（2015·山东）平面直角坐标系中，双曲线C 1:的渐近线与抛物线
交于点，若的垂心为的焦点，则的离心率为________ . 三.解答题，本大题共6小题，共75分
16.（2015·山东）设,求解下列问题：（1）求的单调区间；（2）
在锐角△ A B C 中，角∠ A , B , C ,的对边分别为a , b , c ,若= 0 , a = 1 ,求△ A B C 面积的最大值.
(1)求的单调区间；
(2)在锐角中，角,的对边分别为,若,求面积的最大值.
17.（2015·山东）如图，在三棱台中，分别为的中点.
(1)求证：平面；
(2)若平面，求平面与平面所成的角（锐
角）的大小.
18.（2015·山东）设数列的前n项和为.已知..(1)求的通项公式(2)若数列满足
，求的前n项和.
(1)求的通项公式；
(2)若数列满足，求的前n项和.
19.（2015·山东）若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n 为“三位递增数”（如137,359,567等）.在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次.得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得-1分；若能被10整除，得1分.
(1)写出所有个位数字是5的“三位递增数”；
(2)若甲参加活动，求甲得分X的分布列和数学期望EX.
20.（2015·山东）平面直角坐标系xoy中，已知椭圆:的离心率为，左、右焦点分别是F 1,F2，以F1为圆心以3为半径的圆与以F2为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆上.
(1)求椭圆的方程；
(2)设椭圆:为椭圆上任意一点，过点的直线y=kx=m交椭圆于,两点，射线
交椭圆于点.
(1)求的值；
(1)求面积的最大值
答案解析部分
一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1.【答案】C
【考点】Venn图表达集合的关系及运算，一元二次不等式
【解析】【解答】=，所以
【分析】本题考查集合的概念与运算，利用解一元二次不等式的解法化简集合并求两集合的交集，本题属基础题，要求学生最基本的算运求解能力.
2.【答案】A
【考点】复数的基本概念
【解析】【解答】因为，所以，，所以，Z=1-
【分析】本题考查复数的概念和运算，采用复数的乘法和共轭复数的概念进行化简求解.本题属于基础题，注意运算的准确性.
3.【答案】B
【考点】同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】因为,所以要得到函数的图像，只要将函数的图像向右平移个单位.
【分析】本题考查了三角函数的图象，重点考查学生对三角函数图象变换规律的理解与掌握，能否正确处理先周期变换后相位变换这种情况下图象的平移问题，反映学生对所学知识理解的深度.
4.【答案】D
【考点】平面向量数量积的运算
【解析】【解答】因为=
【分析】本题考查了平面向量的基础知识，重点考查学生对平面向量的线性运算和数量积的理解与掌握，属基础题，要注意结合图形的性质，灵活运用向量的运算解决问题.
5.【答案】A
【考点】绝对值不等式的解法
【解析】【解答】原不等式同解与如下三个不等式解集的并集；
（1）(2)(3)
解（1）得：,解（2）得：,解（3）得：,
所以，原不等式的解集为.故选A.
【分析】本题考查了含绝对值的不等式的解法，重点考查学生利用绝对值的意义将含绝对值的不等式转化为不含绝对值的不等式（组）从而求解的能力，本题属中档题.
6.【答案】B
【考点】简单线性规划，简单线性规划的应用
【解析】【解答】不等式组在直角坐标系中所表示的平面区域如下图中的阴影部分所示，
若的最大值为4，则最优解可能为或，经检验，是最优解，故选B.
【分析】本题考查了简单的线性规划问题，通过确定参数的值，考查学生对线性规划的方法理解的深度以及应用的灵活性，意在考查学生利用线性规划的知识分析解决问题的能力.
7.【答案】C
【考点】组合几何体的面积、体积问题
【解析】【解答】直角梯形绕所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是一个底面半径为1，母线长为2的圆柱挖去一个地面半径同样是1、高为1的圆锥后得到的几何体，所以该几何体的体积为：V=V
圆柱-V
圆锥
=
【分析】本题考查了空间几何体的结构特征及空间几何体的体积的计算，重点考查了圆柱、圆锥的结构特征和体积的计算，体现了对学生空间想象能力以及基本运算能力的考查，此题属中档题.
8.【答案】B
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
【解析】【解答】用表示零件的长度，根据正态分布的性质得：
,故选B
【分析】本题考查了正态分布的有关概念与运算，重点考查了正态密度曲线的性质以及如何利用正态密度曲线求概率，意在考查学生对正态分布密度曲线性质的理解及基本的运算能力.
9.【答案】D
【考点】直线的一般式方程，圆的标准方程，直线与圆的位置关系
【解析】【解答】有光的反应原理知，反射光线的反向延长线必过点,设反射光线所在直线的斜率为k,则反射光线所在直线方程：,
即：.又应圆与光线相切：,所以，,整理得：
,解得：,或，故选D
【分析】本题考查了圆与直线的方程的基础知识，重点考查利用对称性解决直线方程的有关问题以及直线与圆的位置关系的判断，意在考查学生对直线与直线、直线与圆的位置关系的理解与把握以及学生的运算求解能力.
10.【答案】C
【考点】指数函数的实际应用，分段函数的应用
【解析】【解答】当时，，所以，即符合题意.
当时，,若，则，即：，所以适合题意综上，的取值范围是[)，故选C
【分析】本题以分段函数为切入点，深入考查了学生对函数概念的理解与掌握，同时也考查了学生对指数函数性质的理解与运用，渗透着对不等式的考查，是一个多知识点的综合题.
二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分
11.【答案】
【考点】组合数公式的推导，进行简单的合情推理
【解析】【解答】因为第一个等式右端为：；第二个等式右端为：；第三个等式右端为：
·
由归纳推理得：第n个等式为：所以答案应填：
【分析】本题考查了合情推理与组合数，重点考查了学生对归纳推理的理解与运用，意在考查学生观察、分析、归纳、推理判断的能力，关键是能从前三个特殊的等式中观察、归纳、总结出一般的规律，从而得到结论.此题属基础题.
12.【答案】1
【考点】正切函数的值域，命题和命题的取值
【解析】【解答】若“∀x∈0,π4,tanx≤m”是真命题，则没大于或等于函数y=tanx在0,π4的最大值应为函数y=tanx在0,π4为增函数，所以，函数在y=tanx在0,π4的最大值为1，所以，m≥1,即m的最小值为1
【分析】本题涉及到全称命题、正切函数的性质、不等式恒成立问题等多个知识点，意在考查学生综合利用所学知识解决问题的能力，注意等价转化的思想的应用，此题属中档题.
13.【答案】
【考点】定积分，程序框图
【解析】【解答】初始条件成立方；运算第一次：
成立；预算第二次：不成立；输出的值：，结束
【分析】本题考查了循环结构与定积分的计算，意在考查学生对程序框图的理解和基本的计算能力，以程
序框图为载体，可以展开对数列、函数、不等式、定积分等多种知识点的考查，此题是一个范例.解题中要注意运算的准确性.
14.【答案】-32
【考点】指数函数的图像与性质
【解析】【解答】若a>1,则fx在-1,0上为增函数，所以a-1+b=-11+b=0次方程无解；若0<a<1，则fx在-1,0为减函数，所以a-1+b=01+b=-1,解得a=12b=-2,所以a+b=-32
【分析】本题考查了函数的有关概念与性质，重点考查学生对指数函数的性质的理解与应用，利用方程的思想解决参数的取值问题，注意分类讨论思想方法的应用.
15.【答案】
【考点】抛物线的标准方程，双曲线的标准方程
【解析】【解答】设所在的直线方程为，则所在直线方程为，
解方程组，得，所以点的坐标为，
抛物线的焦点的坐标为：.应为是的垂心，所以，
所以，
所以，
【分析】本题考查了双曲线与抛物线的标准方程与几何性质，意在考查学生对圆锥曲线基本问题的把握以及分析问题解决问题的能力以及基本的运算求解能力，三角形的垂心的概念以及两直线垂直的条件是突破此题的关键.
三.解答题，本大题共6小题，共75分
16.【答案】（1）函数的单电递增区间是;
单调递减区间是
（2）
【考点】基本不等式，诱导公式一，三角函数的恒等变换及化简求值，余弦定理
【解析】【解答】（1）由题意知
由可得
由可得
所以函数的单调递增区间是;单调递减区间是
（2）由得
由题意知为锐角，所以
有正弦定理：
可得：
即,当且仅当时等号成立.
因此
所以面积的最大值为
【分析】本题考查了三角函数的诱导公式、二倍角公式与解三角形的基本知识和基本不等式，意在考查学生综合利用所学知识分析解决问题的能力，余弦定理结合基本不等式解决三角形的面积问题是一种成熟的思路.
17.【答案】（1）证法一：连接DG,CO，设CD∩GF＝O，连接OH
在三棱台DEF-ABC中，
AB=2DE,G为AC的中点
可得DF∥GC,DF=GC
所以四边形DFCG为平行四边形
则0为CD的中点，又H为BC的中点
所以OH∥BD
又平面平面
所以平面．
证法二
在三棱台DEF-ABC中，
由BC=2EF,H为BC的中点
可得BH∥EF,BH = EF ,
所以四边形BHEE为平行四边形
可得BE∥HF;
在△ABC中，G为AC的中点，H为BC的中点，所以GH ∥AB
又GH∩HF=H,所以平面FGH∥平面.ABED
因为BD平面ABED
所以BD∥平面FGH
（2）解：解法一：
设AB=2,则CF=1
在三棱台DEF-ABC中，
G为AC的中点
由
可得四边形DGCF为平行四边形，
DG ∥CF
C⊥平面ABC
所以DG⊥平面ABC
在△ABC中，由AB⊥BC,，G是AC中点，所以.A B = BC. GB⊥GC
因此GB,GC,GD两两垂直，
以G为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系G—xyz
所以,,,
可得,
故=,
设是平面的一个法向量，则
由得
可得平面的一个法向量
应为是平面的一个法向量=，
所以COS＜,＞
所以平面与平面所成的解锐角的大小为
解法二
作HM⊥AC于点M，作MN⊥GF于点N，连接NM
由FC⊥平面ABC,得HM⊥FC
所以HM⊥平面ACFD
所以∠MNH即为所求的角
在△BGC中,MH∥BG，MH二，
由
可得
从而
由平面，平面
得
因此
所以
所以平面FGH平面ACFD所成角(锐角）的大小为
【考点】与二面角有关的立体几何综合题，用空间向量求直线与平面的夹角，二面角的平面角及求法【解析】【分析】（1）思路一：连接DG,CD，设CD∩GF＝O，连接OH，先证明OH∥BD，从而由直线平面平行的判定定理得BD∥平面HDF；
思路二：先证明平面FGH∥平面ABED，再由平面与平面平行的定义得到BD∥平面HDF。

（2）思路一：连接DG,CD，设CD∩GF＝O，连接OH，证明GB,GC,GD两两垂直，以G为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系G-xyz，利用空量向量的夹角公式求解；
思路二：作HM⊥AC于点M，作MN⊥GF于点N，连接NM，证明∠MNH即为所求的角，然后在三角形中求解，
本题涉及到了立体几何中的线面平行与垂直的判定与性质，全面考查立几何中的证明与求解，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；利用空间向量解决立体几何问题是一种成熟的方法，要注意建立适
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当的空间直角坐标系以及运算的准确性.
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18.【答案】（1）∵2
=+3
∴2a 1=3+3,故a 1=3.
当n ＞1时
,
此时,2=2
—
—·即=
∴ ，= （2）∵，所以 当n>1时,= ∴
当n>1时
,
∴3=
两式相减，得2=
经检验n=1时也合适， 综上可得：
【考点】等差数列的前n 项和，等比数列的通项公式，等比数列的前n 项和
【解析】【解答】（1）利用数列前n 项和与通项
的关系求解； （11）结合第（1）问的结果，利用关系式求出数列的通项公式，并结合其通项的结构 特征采用错位相减法求其前n 项和
【分析】本题考查了数列的基本概念与运算，意在考查学生的逻辑思维能力与运算求解能力，思维的严密性和运算的准确性，在利用与通项的关系求的过程中，一定要注意n=1的情况，错位相减不法虽然思路成熟但也对学生的运算能力提出了较高的要求.
19.【答案】（1）个位数是5的“三位递增数”有：125，135，145，235，245，345
（2
）
E （X ）=421
【考点】古典概型及其概率计算公式，离散型随机变量及其分布列
【解析】【解答】（1）个位数是5的“三位递增数”有：125，135，145，235，245，345
(11）由题意知，全部“三位递增数”的个数为C93＝84
随机变量X的取值为：0，-1,1，
因此,PX=0=C83C93=23PX=-1=C42C93,PX=1=1-14-23=1142,
所以X的分布列为
因此EX=421
【分析】1.明确“三位递增数”的含义，写出所有的三位符合条件的“三位递增数”；2.明确有机变量的所有可能取值及取每一个值的含义，结合组合的知识，和用古典概型求P、X的分布列和数学期望EX；3.本题在一个新概念的背景下，考查了学生对组合、概率、离散型随机变量的分布列等知识，意在考查学生对新知识的理解与应用能力，以及利用所学知识解决遇到了的问题的能力，解决此类问题的关键是从实际问题中抽象出数学模型.
20.【答案】（1）
（2）(1)2;(2)
【考点】函数的最值及其几何意义，椭圆的标准方程，椭圆的简单性质
【解析】【解答】（I)由题意知2a＝4，则a＝2,又＝,可得b=1
所以椭圆c 的标准方程为，
（II）由（1）知椭圆E 的方程为
(1
设，=，由题意知，应为,
又,即=2
（2）A ,B,将y=kx+m代入E的方程由，可得.......................①
则有+=
所以=
应为直线y=kx+m与轴交点坐标为（0，m)
所以的面积
,将y=kx+m代入圆C 的方程可得
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由，可得
............................................② 由①②可知
因此
，故 当且仅当t=1，即时取最大值 由（1）知，面积为，所以面积最大值为
【分析】 （I ）根据椭圆的定义与几何性质列方程组确定a ，b 的值，从而得到椭圆C 的方程；
（II ）（1
）设,= 由题意知
,然后利用这两点分别在两上椭圆上确定的值 （2）设A
B 利用方程组结合韦达定理求出弦长，选将的面积表示成关于k ．m 的表达式,
然后，令，利用二元二次方程根的判别式确定的范围，从而求出
的面积的最大值，并结合1）的
结果求出△ABQ 面积的最大值，。