美妙的幻方

类型 的幻方也各具风彩 ， 深受人们 的喜爱．
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图 ７
图 ８
大约 ｌ 世纪 ，我 国的纵横 图传 到欧洲 ， ５ 引 起了当地人们 的极大兴趣 ，成千上万 的人沉醉 于幻方 之 中． 国 画家丢勒 （４７ １２ ） 德 １２－ ５ ８ 就是 其 中的一位． 他找到 了一个 四阶幻方 ， 如图 ８ 并 ，
图 １ ２
４ １ ９ １ ２ ６ ４ ２
３ ６ ２ ２ ７ ４ ５
我 国数学家张潮 （６ 年～ 在他 的“ １５ ） 算法补
图” 介绍 了许多非常别 致的幻 方 ， 中， 优美 的“ 龟
图９
６ ７ 一¨ 一 ｌ １ ２ ０ ４ —３ —５ ２ —８ ｌ ９
●
据说 ， 大约公元前 ２０ 年 ， ０ ０ 位于 陕西的洛 数学家杨辉给 出了一种 Ｔ々 々｛ 如、 、 ， 简便 的方法 ： 图 ３ 将 ｜ ＾ ， Ｉｔ ， ． ． 河 常常泛滥 成灾 。 威胁着 两岸人们 的生产与生 活． ， 于是 大禹 Ｅ夜奔波忙碌 ， ｔ 三过家门而不入 ，
文聚六 图” 是其 中的一种 ． 图 １． １ 就 如 １ 图 １中，
有 ２ 个数 。 ４ 每块龟文六边形上的数字和为 ７ ． ５ 在幻方 中。最为稀有 的幻方莫过于六角幻
５ — １
８ — ２ Ｏ ９ ３ —４
方， 如图 １． ２它的 ｌ 条 直线上 的数字 和都 为 １ ５ ９ 的 ２ ， ３． 倍 即 ８它是 由一位名 叫阿 当斯 的人 ， 经 过 四十多年 的不懈 努力 才创作 出来 的． 它的完
９ ２ １＋ ＝ ４更为奇妙的是 把这个 幻方边上的 限于篇幅 ， ＋ ＋５８ ３． 这里就不作介绍 了． 行或列移到另一边上去 ，所得到 的正方形排列 除了上面提及的一类正方形幻方外 ，其它 仍是一个幻方 ．
９ ７ ２ １ ６ ６ １ ２ １ ３ ３ １ ５ １ ８ １ ０ ４ １ ４ Ｉ １ ５ １ ６ ５ ９ ３ １ ０ ６ ２ １ １ ７ ｌ ３ ８ １ ２
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１ ６
１ ２
８
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图 ２ 由三行三列九个数字组成 的正方形 是
图 ５
图 ６
．
排列 ， 它的每一行 、 每一列 、 每条对角 线上 的三
个数 字的和都是 同一个 常数 １． ５ 这种美妙 的正
图５ 是怎样构造出来的呢？杨辉 为此给 出 ： 了一种十分简单 的方法 。它与三阶幻 方的构造 一
图 １ １
把 它反映 在他的著名 版画 《 忧郁症 》 有 趣 的 中． 是， 丢勒 在这一 幻方中把版画创作 的年代 １ １ ５４
也放 了进 去． 他可能正是从 １ ５和 １ ４这两 个数
出发 ． 通过不断地试验而找出了其余的数字．
１ ２ ２ ９ ０ １ ２ ３
ｌ １ １ １ ８ ８ ２ ７ ０ ２ ｌ １ １ ５ ｌ １ ３ ５
． —
母 舟
图３ 图４
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不仅 如此 ， 杨辉 对幻方还进 行 了较 系统 的
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研究 ． 他也是 世界上第一位 把幻方 当作数学 问 题来研究 的数学家 ． 他构造 出了多种幻 方 ， 中 其 的一 种就是 ４阶幻 方 ． 图 ５ 如 ． 它是 由十六个 数
１ １、 １、 和 ６ ７和 ０ ４和 １ 分别对调 ， 到图 ５ ３ 就得 ・ 在四阶幻方 中，一个颇 为著名 的幻方是 印
三阶幻 方是怎样构造出来 的呢？我 国宋朝 度太苏神庙石碑上的幻方 ， 如图７ 它刻于 １ ， １鞠
交
囊
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｜ 穗
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世纪． 这个幻方中 ， 不但每行 、 每列 、 每条对角线 更值得一 提的是 ， １ 图 ０中隐含 了如何 由三阶幻 上的数字和为 ３ ， ４ 而且有 ２ ０组某两行 、 两列交 方出发构造 出五阶幻方 ，又进 而由五阶幻方构 叉点上 的 四个 数字 ， 它们 的和也都 为 ３ ， ４ 例如 造 出七 阶幻方等的方 法 ， 这些行之有效 的方法 ．
方形 排列 ， 在我 国历史上 ， 曾叫做 “ 宫 图”也 有所不同． ６ 先将 １ １ 九 ， 如图 。 至 ６的十六个数字按 顺序排列 在四行 、 四列的方格 中 ， 然后把两条对 叫做纵横 图． ， 后来 人们 称它为“ 幻方”因为图 ２ ．
的正方形排列是 由三行 三列 组成 的 ， 以它被 角线上关 于正方形 中心对称 的四对数 ， 所 ６和 ｌ 、 ｌ 称 为三阶幻方 ． 已经确认 ， 现在 洛书是 世界上最 古老 的幻方． 、
１ ９ 至 九个数字斜着排 列 ， 然后把上 、 下两个数 字１ ９ 和 对调 ， 、 左 右两个数 字 ７和 ３ 调 ， 对 得
～～ ．
带领着人们开沟挖中的上 、 、 、 四个数字 ９ ． 下 左 右 、 １３ ７分别写进与它相邻 的空 格 中，就得到前 、， 了上天 ， 战胜 了洪灾 ． 后来 ， 只神 龟驮着 一幅 一 图从河 中跳跃 出来 ， 它将这幅图献给大禹． 根据 面 的 图 ２ ． 图上 的九个数字 ， 大禹得到上 天赐给 的九种 治 理天下 的方法 ． 幅图 ． 这 就是 闻名 于世 的洛 书 ， 见图 １ ． 洛书 中每个 小 圆圈都 代表一个 １ 所 以 ． 把它写成现在的形式就是 图 ２ ．
字组 成的一种正方 形排列 ， 其中每行 、 每列 、 每
ｒ～
条对角线上 的数字和都是 ３ ． ４
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图 ２
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