2工程力学静力学第二章 基本力系

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即：平面汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用 平面汇交力系的合力等于各分力的矢量和， 线通过各力的汇交点。 线通过各力的汇交点。 二、平面汇交力系平衡的几何条件（力多边形自行封闭） 平面汇交力系平衡的几何条件（力多边形自行封闭） 平面汇交力系平衡的充要条件是
R = ∑F = 0
在上面几何法求力系的合力中，合力 为零意味着力多边形自行封闭。所以平 平 面汇交力系平衡的必要与充分的几何条 件是： 件是： 力多边形自行封闭 或 力系中各力的矢量和等于零
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§2 - 3
问题的提出： 问题的提出： 平面一般力系的简化
与力偶不同，力是滑移 矢量而不是自由矢量， 其作用线如果作平行移 动，会改变它对刚体的 作用效果。
力线平移
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力线平移定理 F` O
∥ F`=F``= F
F`
. .
A
F
O
.
F``
结论: 力的作用线可以平行移动,移动后必须附加一个力偶 必须附加一个力偶,附加力偶 必须附加一个力偶 的力偶矩等于原来的力对所移动点的力矩。 M=mo（F） 平移结果： 平移结果：一力平移后即引出一个附加力偶以维持力在原作用点时的 作用效应，附加力偶之矩等于原力对新作用点之矩，转动方向取决于 原力绕新作用点的转动方向。
由图可看出，各分力在x轴和在y 轴投影的和分别为：
即：
Rx = X1 + X2 + X4 = ∑X
Ry = Y1 + Y2 + Y3 + Y4 = ∑Y
Rx = ∑ X
R y = ∑Y
合力投影定理：合力在某一轴上的投影， 合力投影定理：合力在某一轴上的投影，等于各分力在同一 轴上投影的代数和。 轴上投影的代数和。
SCD
由EB=BC=0.4m，
tg ϕ =
EB 0 . 4 1 = = AB 1 . 2 3
cos 450 RA = S CD ⋅ = 3.16 kN cos ϕ
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P = = 4.24 kN 0 0 sin 45 − cos 45 ⋅ tgϕ
解题技巧及说明： 解题技巧及说明： 1、一般地，对于只受三个力作用的物体，且角度 、一般地，对于只受三个力作用的物体， 特殊时用几何法（解力三角形）比较简便。 特殊时用几何法（解力三角形）比较简便。 2、一般对于受多个力作用的物体，且角度不特殊或 、一般对于受多个力作用的物体， 特殊，都用解析法。 特殊，都用解析法。 3、投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中 、投影轴常选择与未知力垂直， 只有一个未知数。 只有一个未知数。
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力偶臂
力偶对任一点的矩完全取决于力偶矩 m =±Fd =± d
m o (F ) + m o (F ′) = F • x − F ′( d + x ) = − Fd
空间力偶三要素: 空间力偶三要素: 大小、转向、 大小、转向、作用平面 O 逆正 + 顺负 －
.
x d
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三、平面力偶系的合成与平衡
∑ Mo( Fi) = 0
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[例] 已知：如图 F、Q、l, 求：mO (F ) 和 mo (Q) 例 、 解：
l mO (F )=F⋅d =F⋅ sinα
mo (Q) =−Q⋅l
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二、平面力偶及其性质
力偶：作用于同一物体上的一对力，等值、反向，但不共线。 力偶 作用于同一物体上的一对力，等值、反向，但不共线。 作用于同一物体上的一对力 力偶的表示： 力偶的表示：（ 力偶矩： 力偶矩： ， ） =± d= ± d ±
即： 为平衡的充要条件， 为平衡的充要条件，也叫平衡方程
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[例1] 已知 P=2kN 例 解：①研究AB杆 ②画出受力图 ③列平衡方程
求SCD , RA
∑ X =0
RA⋅cosϕ − SCD⋅cos450 =0
ϕ
∑Y =0 − P− RA ⋅sinϕ + SCD ⋅sin450 =0
④解平衡方程 解得：
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§2-2 平面力偶与平面力偶系
力对物体可以产生 一、力矩： 力矩： 移动效应--取决于力的大小、方向 移动效应 转动效应--取决于力矩 力矩的大小、方向 转动效应 力矩
一般地，设平面上作用一力F， 在平面内任取一点O称为矩心 矩心， 矩心 O点到力作用线的垂直距离d称为力臂。 力
M O ( F ) = ± F ⋅d
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4、对力的方向判定不准的，一般用解析法。 、对力的方向判定不准的，一般用解析法。 5、解析法解题时，力的方向可以任意设，如果求出 、解析法解题时，力的方向可以任意设， 负值，说明力方向与假设相反。 负值，说明力方向与假设相反。 对于二力构件，一般先设为拉力，如果求出负值， 对于二力构件，一般先设为拉力，如果求出负值， 说明物体受压力。 说明物体受压力。
例：起重机的挂钩。
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§2–1 平面汇交力系的合成和平衡条件 §2–2 力偶与力偶系 §2-3 力线平移
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§2-1 汇交力系的合成与平衡条件
一、汇交力系合成的几何法 1.两个共点力的合成 1.两个共点力的合成
cos(180° − α) = −cosα
可由力的平行四边形法则作，也可用力的三角形来作。 由余弦定理,合力的大小：
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合力的大小： 合力的大小： 方向： 方向：
Ry tgθ = Rx
∴
θ =tg−1
Ry ∑Y −1 =tg Rx ∑X
作用点： 为该力系的汇交点 作用点： （三）平面汇交力系合成与平衡的解析法 从前述可知：平面汇交力系平衡的必要与充分条件是该力系 的合力为零。
Rx = ∑ X = 0 Ry = ∑ Y = 0
1、强度：大小 、强度： 2、转向：使研究对象绕O点（矩心）逆时针方向（趋势） 、转向：使研究对象绕 点 矩心）逆时针方向（趋势） 为正；反之为负。 为正；反之为负。
力矩的性质： 力矩的性质：
1、矩心不同，力矩不同。 、矩心不同，力矩不同。 2、力沿其作用线移动到同一物体的任何位置，力矩不 变。 、力沿其作用线移动到同一物体的任何位置， 3、力过矩心，力矩为零。 、力过矩心，力矩为零。 力矩的平衡：作用于物体上的所有力对某一点之矩的代数和为零。 力矩的平衡：作用于物体上的所有力对某一点之矩的代数和为零。 即：
X = ± Fx = ± F cos α Y = ± Fy = ± Fsinα = ± Fcosβ
F = X + Y = Fx + Fy
2 2 2 2
1、力在相互平行且同向的坐标轴上，投影是相同。 2、力沿其作用线平移或传递到同一坐标系的任一位 置，在同一坐标轴上的投影不变。
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（二）合力投影定理
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力线平移定理是力系简化的理论基础。 图所示钢筋棍凝土柱子受偏心荷 载P作用，试析此力的作用效应． 解 :将此力平移至柱的轴线上，由 力线平移定理，得到一力P‘和力 偶M，其力偶矩M＝-p·e。 由此可知，力p使柱压缩，而力偶 M使柱发生顺时针方向的弯曲。
i=1
n
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两点的约束反力。 例：图示结构，已知M=800N.m，求A、C 两点的约束反力。 图示结构，已知 ，
M AC = RC ⋅ d = 0.255 R C ( N .m )
∑M
i
=0
M AC − M = 0
RC = 3137 N
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例：一工件上需钻三个孔，钻头力偶矩分别为m1=100kNm， m2=200kNm， m3=300kNm。求夹具对工件的约束反力。 A A
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力偶矩的性质：
1、力偶在任何一个轴上均无投影。 、力偶在任何一个轴上均无投影。 2、力偶没有合力。 、力偶没有合力。 3、不可能用一个力与一对力偶相平衡。 、不可能用一个力与一对力偶相平衡。 4、只要保证力偶的二要素不变，可以任意更换力偶，不 、只要保证力偶的二要素不变，可以任意更换力偶， 改变对刚体的作用效应—等效力偶。 改变对刚体的作用效应 等效力偶。 等效力偶 5、力偶矩与矩心无关。 、力偶矩与矩心无关。
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结论: 结论:
M = m1 + m 2 + L + m n = ∑ mi
i =1
n
平面力偶系合成结果还是一个力偶, 平面力偶系合成结果还是一个力偶,其力偶矩为各力偶矩的代 数和。 数和 平面力偶系平衡的充要条件 充要条件是 平面力偶系平衡的充要条件是:所有各力偶矩的代数和等于 零。
即
∑ mi = 0
F =P⋅tgα
NB=
P cos α
r 2 −(r −h)2 又由几何关系： tgα = =0.577 r −h
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所以
F=11.5kN , NB=23.1kN
由作用力和反作用力的关系，碾子对障碍物的压力等于 碾子对障碍物的压力等于23.1kN。 碾子对障碍物的压力等于 此题也可用力多边形方法用比例尺去量。 此题也可用力多边形方法用比例尺去量。
工程力学
Engineering Mechanics
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引 言
力系分为：平面力系、 力系分为：平面力系、空间力系 平面力系 ①平面汇交力系 ②平面平行力系 ③平面力偶系 平面一般力系(平面任意力系 平面任意力系) ④ 平面一般力系(平面任意力系)
平面汇交力系： 平面汇交力系 各力的作用线都在同一平面内且 汇交于一点的力系。 研究方法：几何法，解析法。 研究方法：几何法，解析法。
平面力偶系:平面力系中的各力两两组成力偶，叫平面力偶系。 平面力偶系 设有两个力偶
d
d
Q m1 = F1d1 ;
m2 = − F2 d 2
又m1 = P1d
m2 = − P2′d
R A = P1 − P2' RB = P1' − P2
∴ 合力矩 M =RA ⋅d =(P −P2' )d =P d −P2' d =m1 +m2 1 1
解：研究对象和受力如图,反力 改变量构成一力偶，则
− M + ( 6 . 4 − 4 . 6 )l = 0
ΣM = 0
M = 1.8l = 4.5 kN ⋅ m
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力对//它的轴的矩为零。即力 与轴共面时 力对轴之矩为零。 与轴共面时， 力对 它的轴的矩为零。即力F与轴共面时，力对轴之矩为零。 它的轴的矩为零
+
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说明： 说明： ①
M
O
( F ) 是矢量。
② F↑,d↑转动效应明显。 ③ M O (F )是影响转动的独立因素。
M 当F=0或d=0时， O (F ) =0。
④ 单位N•m, N
•mm，kN • • •m。
⑤ M O (F ) =2⊿AOB=F•d ,2倍⊿形面积。
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力矩二要素： 力矩二要素：
表示力偶的大小
力偶矩两要素： 力偶矩两要素： 1、强度：大小。 、强度：大小。 2、转向：有使物体逆时针方向转动趋势为正，反之为负。 、转向：有使物体逆时针方向转动趋势为正，反之为负。
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力偶与力矩的异同
力偶：是指作用在同一个物体上，大小相等，方向相反， 力偶 作用点不同的两个力所组成的力系，其作用线不在同一条 直线上，是个矢量。 力矩：是力和该力的作用线到作用点距离（也就是力臂） 力矩 的积。也是个矢量。 二者的相同点：都是矢量；都可以用右手法则来判断其方 二者的相同点 向；对物体都有矩的作用，都有是物体转动的趋势。 二者的区别：力偶是一定是两个力；而力矩则不一定是两 二者的区别 个力。
L
L
B
B
解：研究工件，受力如右图所示。主动力系为一力偶系，根据力偶的性 质，反力也必为一反力偶，由力偶系的平衡方程
Σm =0
有
m1+ m2+ m3-NAL=0
m1 + m2 + m3 解得 N A = L 28
为了测定飞机螺旋桨所受的空气阻力偶，可将飞机水 平放置，其一轮搁置在地秤上。当螺旋桨未转动时， 测得地秤所受的压力为4.6kN，当螺旋桨转动时，测得 地秤所受的压力为6.4kN。已知两轮间距离l=2.5m，求 螺旋桨所受的空气阻力偶的矩M。
几何法解题步骤： 选研究对象② 几何法解题步骤：①选研究对象②作出受力图 作力多边形， ③作力多边形，选择适当的 比例尺 ④求出未知数 几何法解题不足： 精度不够，误差大； 几何法解题不足： ①精度不够，误差大； 作图要求精度高； ②作图要求精度高； ③不能表达各个量之间的函 数关系。 数关系。
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Байду номын сангаас
三、汇交力系的解析法 （一）力的正交分解法
R = F1 + F2 + 2F1 F2 cosα
2 2
合力方向由正弦定理：
F1 R = sin ϕ sin( 180 − α )
可以确定sinφ
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2、多个汇交力的合成（力多边形法则） 、多个汇交力的合成（力多边形法则）
F
1
结论： 结论： R=F +F +F +F 1 2 3 4
即：R = ∑ F
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[例] 已知压路机碾子重P=20kN, r=60cm, 欲拉过h=8cm的障碍物。 例 求：在中心作用的水平力F的大小和碾子对障碍物的压力。 解： ①选碾子为研究对象 ②取分离体画受力图 ∵当碾子刚离地面时NA=0,拉力F最大,这时 拉力F和自重及支反力NB构成一平衡力系。 由平衡的几何条件，力多边形封闭，故