步步高高中数学 步步高选修2-2 第一章1.5

[学习目标] 1.了解定积分的概念.2.理解定积分的几何意义.3.通过求曲边梯形面积的过程和解决有关汽车行驶路程问题的过程，了解“以直代曲”“以不变代变”的思想.4.能用定积分的定义求简单的定积分.
知识点一曲边梯形的面积和汽车行驶的路程
1.曲边梯形的面积
(1)曲边梯形：由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的图形称为曲边梯形(如图①所示).
(2)求曲边梯形面积的方法
把区间[a，b]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形，对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值(如图②所示).
(3)求曲边梯形面积的步骤：①分割，②近似代替，③求和，④取极限.
2.求变速直线运动的(位移)路程
如果物体做变速直线运动，速度函数v＝v(t)，那么也可以采用分割，近似代替，求和，取极限的方法，求出它在a≤t≤b内所作的位移s.
思考(1)如何计算下列两图形的面积？
(2)求曲边梯形面积时，对曲边梯形进行“以直代曲”，怎样才能尽量减小求得的曲边梯形面积的误差？
答案 (1)①直接利用梯形面积公式求解.②转化为三角形和梯形求解.
(2)为了减小近似代替的误差，需要先分割再分别对每个小曲边梯形“以直代曲”，而且分割的曲边梯形数目越多，得到的面积的误差越小. 知识点二 定积分的概念
如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝b 将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )作和式∑i ＝1n
f (ξi )Δx ＝∑i ＝1
n
b －a
n f (ξi )，
当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作⎠⎛
a
b f (x )d x ，即
⎠
⎛a
b f (x )d x ＝lim n →∞∑i ＝1n b －a
n f (ξi ).其中a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，
b ]叫做积分区间，函数f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式. 思考 (1)如何理解定积分？
(2)用定义求定积分⎠⎛a
b f (x )d x 的一般步骤是什么？
答案 (1)定积分是一个数值(极限值)，它的值仅仅取决于被积函数与积分的上、下限，而与积分变量用什么字母表示无关，即⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛a b f (u )d u ＝⎠⎛a
b f (t )d t ＝…(称为积分形式的不变性)，
另外，定积分⎠⎛a
b f (x )d x 的值与积分区间[a ，b ]息息相关，不同的积分区间，定积分的积分限不
同，所得的值也不同，例如⎠⎛01(x 2＋1)d x 与⎠⎛0
3(x 2＋1)d x 的值就不同.
(2)①分割：将区间[a ，b ]n 等分，记第i 个小区间为[x i －1，x i ]，区间长度Δx ＝x i －x i －1；②近似代替、求和：取点ξi ∈[x i －1，x i ]，⎠⎛a
b f (x )d x ≈
∑i ＝1
n
f (ξi )Δx ；③取极限：⎠⎛
a
b f (x )d x ＝lim Δx →0∑
i ＝
1n f (ξi )Δx . 知识点三 定积分的几何意义与性质 1.定积分的几何意义
由直线x ＝a ，x ＝b (a <b )，x 轴及一条曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积设为S ，则有：
(1)在区间[a ，b ]上，若f (x )≥0，则S ＝⎠⎛a b f (x )d x ，如图(1)所示，即⎠⎛a
b f (x )d x ＝S .
(2)在区间[a ，b ]上，若f (x )≤0，则S ＝－⎠⎛a b f (x )d x ，如图(2)所示，即⎠⎛a
b f (x )d x ＝－S .
(3)若在区间[a ，c ]上，f (x )≥0，在区间[c ，b ]上，f (x )≤0，则S ＝⎠⎛a
c f (x )
d x －⎠
⎛c
b f (x )d x ，如图(3)
所示，
即⎠⎛a
b f (x )d x ＝S A －S B (S A ，S B 表示所在区域的面积).
2.定积分的性质
(1)⎠⎛a b kf (x )d x ＝k ⎠⎛a
b f (x )d x (k 为常数)；
(2)⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝⎠⎛a b f 1(x )d x ±⎠⎛a
b f 2(x )d x ；
(3)⎠⎛a
b f (x )d x ＝⎠⎛a
c f (x )
d x ＋⎠⎛c
b f (x )d x (其中a <
c <b ).
思考 设v ＝v (t )在时间区间[t 1，t 2]上连续且恒有v (t )≥0，定积分⎠⎛t 1t 2 v (t )d t 的意义是什么？ 答案 定积分⎠⎛t 1t 2 v (t )d t 表示做变速直线运动的物体在时间区间[t 1，t 2]内经过的路程，这就是
定积分⎠⎛t 1
t 2 v (t )d t 的物理意义.
题型一 求图形的面积问题
例1 用定积分的定义求曲线y ＝x 3＋1与x ＝0，x ＝1及y ＝0所围成的曲边梯形的面积. 解 ①分割：将区间[0,1]等分成n 个小区间⎣⎡⎦⎤0，1n ，⎣⎡⎦⎤1n ，2n ，…，⎣⎡⎦⎤i －1n ，i n ，…，⎣⎡⎦⎤n －1n ，n n ，每个小区间的长度为Δx ＝i n －i －1n ＝1
n ，过各区间端点作x 轴的垂线，从而得到n 个小曲边梯
形，它们的面积分别记为ΔS 1，ΔS 2，…，ΔS i ，…，ΔS n . ②近似代替：对区间⎣⎡
⎦⎤i －1n ，i n 上的小曲边梯形，以区间左端点i －1n 对应的函数值f ⎝⎛⎭⎫i －1n ＝
⎝⎛⎭
⎫i －1n 3＋1为一边的长，以Δx ＝1n 为邻边的长的小矩形面积近似代替小曲边梯形的面积，即
ΔS i ≈f ⎝⎛
⎭⎫i －1n Δx ＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫i －1n 3＋11
n .
③求和：S n ＝ΔS 1＋ΔS 2＋…＋ΔS n ＝∑i ＝1n
ΔS i ≈∑i ＝1n
f ⎝⎛⎭⎫i －1n Δx ＝∑i ＝1
n ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫i －1n 3＋11
n
＝1
n
4[03＋13＋23＋…＋(n －1)3]＋1
＝1n 4·(n －1)2·n 2
4＋1＝n 2－2n ＋14n 2＋1. ④取极限：当n →∞时，S n 趋近于54，
即S ＝lim n →∞S n ＝5
4
. 所以曲边梯形的面积是54
.
反思与感悟 对图形进行分割实现了把求不规则的图形面积化归为矩形面积，但这仅是近似值，分割得越细，近似程度就会越高，这就是“以直代曲”方法的应用. 跟踪训练1 求由直线x ＝0，x ＝1，y ＝0和曲线y ＝x (x －1)围成的图形的面积. 解 (1)分割：
将曲边梯形分成n 个小曲边梯形，用分点1n ，2
n ，…，n －1n
把区间[0,1]等分成n 个小区间⎣⎡⎦⎤0，1n ，⎣⎡⎦⎤1n ，2n ，…，⎣⎡⎦⎤i －1n ，i n ，…，⎣⎡⎦⎤n －1n
，n n ，
简写作⎣⎡
⎦
⎤i －1n ，i n (i ＝1,2，…，n )，每个区间的长度为Δx ＝i n －i －1n ＝1
n . 过各分点作x 轴的垂线，把曲边梯形分成n 个小曲边梯形，它们的面积分别记作：ΔS 1，ΔS 2，…，ΔS i ，…，ΔS n . (2)近似代替：
用小矩形面积近似代替小曲边梯形面积. 在小区间⎣⎡
⎦⎤
i －1n ，i n 上任取一点x i (i ＝1,2，…，n )，为了计算方便取x i 为小区间的左端点，以
点x i 的函数值f (x i )＝⎝⎛
⎭⎫i －1n ⎝⎛⎭
⎫i －1n －1为一边，以小区间长度Δx ＝1
n 为邻边的小矩形的面积近
似代替第i 个小曲边梯形的面积，可以近似地表示为ΔS i ≈f (x i )·Δx ＝⎝⎛⎭⎫i －1n ·⎝⎛⎭⎫i －1n －1·1
n (i ＝
1,2，…，n ). (3)求和：
因为每一个小矩形的面积都可以作为相应的小曲边梯形面积的近似值，所以n 个小矩形面积的和，就是曲边梯形面积S 的近似值.即 S ＝∑i ＝1
n
ΔS i ≈∑i ＝1
n
f (x i )Δx ＝∑i ＝1
n
⎝⎛
⎭⎫i －1n ⎝⎛⎭⎫i －1n －1·1n ＝1n 3∑i ＝1n (i －1)2
－1n 2∑i ＝1
n
(i －1)
＝16(n －1)(2n －1)n n 3
－1
2n (n －1)n 2 ＝1－n 26n 2＝－16＋1
6n 2.① (4)取极限：
当分点数目愈多，即Δx 愈小时，和式①的值就愈接近曲边梯形的面积S ，因此，当n →∞，即Δx →0时，和式①的逼近值就是所求曲边梯形的面积. 当Δx →0时，S →－1
6
(负号表示图象在x 轴下方).
所以由直线x ＝0，x ＝1，y ＝0和曲线y ＝x (x －1)围成图形的面积是1
6.
题型二 求汽车行驶的路程
例2 汽车以速度v 做匀速直线运动时，经过时间t 所行驶的路程为s ＝v t .如果汽车做变速直线运动，在时刻t 的速度为v (t )＝t 2＋2(v 的单位：km/h ，t 的单位：h)，那么它在1≤t ≤2这段时间内行驶的路程s (单位：km)是多少？
解 将区间[1,2]等分成n 个小区间，即第i 个小区间为⎣⎡⎦⎤1＋i －1n ，1＋i
n (i ＝1,2，…，n ).
所以Δs ＝f ⎝⎛⎭⎫1＋i －1n ·1
n ，
s n ＝∑i ＝1
n
f ⎝⎛⎭⎫1＋i －1n ·1
n
＝1n ∑i ＝1n ⎣⎡⎦⎤
⎝⎛⎭⎫1＋i －1n 2＋2 ＝1n ∑i ＝1n ⎣⎡⎦
⎤(i －1)2n 2＋2(i －1)n ＋3 ＝1n ⎩
⎨⎧
3n ＋1n 2[02＋12＋22＋…＋(n －1)2]
⎭
⎬⎫＋1n [0＋2＋4＋6＋…＋2(n －1)] ＝3＋(n －1)(2n －1)6n 2＋n －1n
.
s ＝lim n →∞ s n
＝lim n →∞ ⎣⎡⎦⎤3＋(n －1)(2n －1)6n 2＋n －1n ＝133
. 所以这段时间内行驶的路程s 是13
3
km.
反思与感悟 利用类比转化的思想，把求汽车行驶的路程转化为求时间—速度坐标系中的曲边梯形的面积，再用求曲边梯形的面积方法来解决此问题.
跟踪训练2 一物体自200 m 高空自由落下，求它在开始下落后的第3秒至第6秒之间的距离.(g ＝9.8 m/s 2)
解 自由落体的下落速度为v (t )＝gt .
将[3,6]等分成n 个小区间，每个区间的长度为3
n
.
在第i 个小区间⎣
⎡⎦⎤3＋3(i －1)n ，3＋3i
n (i ＝1,2，…，n )上，以左端点函数值作为该区间的速度.
所以s n ＝∑i ＝1
n
v ⎣⎡⎦⎤3＋3(i －1)n 3n ＝∑i ＝1n ⎣⎡⎦⎤3g ＋3g n (i －1)·3n ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫3ng ＋3g n [1＋2＋…＋(n －1)]·3n ＝9g ＋9g n 2·n (n －1)2＝9g ＋92g ·⎝⎛⎭
⎫
1－1n . 所以s ＝lim n →∞ s n
＝lim n →∞ ⎣⎡⎦⎤9g ＋92g ·⎝⎛⎭⎫1－1n ＝9g ＋92
g ＝27
2
×9.8＝132.3(m). 故该物体在下落后第3 s 至第6 s 之间的距离是132.3 m. 题型三 由定积分的几何意义求定积分 例3 利用定积分的几何意义，求： (1) ⎠⎛－3
3
9－x 2d x ；
(2)⎠⎛0
3(2x ＋1)d x .
解 (1)在平面上y ＝9－x 2表示的几何图形为以原点为圆心，以3为半径的上半圆，如图(1)所示.
其面积为S ＝12πr 2＝9
2π.
由定积分的几何意义知⎠⎛－3
3
9－x 2d x ＝9
2
π.
(2)在坐标平面上，f (x )＝2x ＋1为一条直线.
⎠⎛0
3
(2x ＋1)d x 表示直线f (x )＝2x ＋1，x ＝0，x ＝3围成的直角梯形OABC 的面积，如图(2)所示. 其面积为S ＝1
2
(1＋7)×3＝12.
根据定积分的几何意义知⎠⎛0
3(2x ＋1)d x ＝12.
反思与感悟 利用定积分的几何意义求定积分，关键是准确确定被积函数的图象，以及积分区间，正确利用相关的几何知识求面积，求不规则图形的面积常用分割法，注意分割点的选取.
跟踪训练3 利用定积分的几何意义计算. (1) ⎠⎛－1
1x d x ；
(2) ⎠⎛－R
R
R 2－x 2d x .
解 (1)如图①所示，定积分为图中阴影部分面积A 减去B . ∵S A ＝S B ＝12，∴⎠
⎛－1
1x d x ＝12－1
2＝0.
(2)如图②所示，定积分为图中阴影部分面积，而阴影部分面积为π
2R 2，
∴⎠⎛－R
R
R 2－x 2d x ＝π
2
R 2.
因对定积分的几何意义理解不准确致误
例4 如图所示，f (x )在区间[a ，b ]上，则阴影部分的面积S 为( )
A.⎠⎛a
b f (x )d x
B.⎠⎛a c f (x )d x －⎠⎛c
b f (x )d x
C.－⎠⎛a c f (x )d x －⎠⎛c
b f (x )d x
D.－⎠⎛a c f (x )d x ＋⎠⎛c
b f (x )d x
错解 错选A 或B 或C.
错因分析 错误的原因在于对定积分的几何意义不理解或理解不够透彻.
正解 若f (x )≥0，则在[a ，b ]上阴影部分的面积S ＝⎠⎛a
b f (x )d x ；若f (x )≤0，则在[a ，b ]上阴影
部分的面积S ＝－⎠⎛a
b f (x )d x ；若在[a ，
c ]上，f (x )≤0，在[c ，b ]上，f (x )≥0，则在[a ，b ]上阴
影部分的面积S ＝－⎠⎛a c f (x )d x ＋⎠⎛c
b f (x )d x ，故选D.
防范措施 定积分的几何意义是在x 轴上半部计算的面积取正值，在x 轴下半部计算的面积取负值.
1.把区间[1,3]n 等分，所得n 个小区间的长度均为( ) A.1n B.2n C.3n D.12n
答案 B
解析 区间[1,3]的长度为2，故n 等分后，每个小区间的长度均为2
n .
2.定积分⎠⎛a
b f (x )d x 的大小( )
A.与f (x )和积分区间[a ，b ]有关，与ξi 的取法无关
B.与f (x )有关，与区间[a ，b ]以及ξi 的取法无关
C.与f (x )以及ξi 的取法有关，与区间[a ，b ]无关
D.与f (x )、积分区间[a ，b ]和ξi 的取法都有关 答案 A
3.求由曲线y ＝1
2x 2与直线x ＝1，x ＝2，y ＝0所围成的平面图形面积时，把区间5等分，则面
积的近似值(取每个小区间的左端点)是________. 答案 1.02
解析 将区间5等分所得的小区间为⎣⎡⎦⎤1，65，⎣⎡⎦⎤65，75，⎣⎡⎦⎤75，85，⎣⎡⎦⎤85，95，⎣⎡⎦⎤9
5，2，于是所求平面图形的面积近似等于110⎝⎛⎭⎫1＋3625＋4925＋6425＋8125＝110×255
25＝1.02. 4.根据定积分的几何意义，用不等号连接下列式子：
①⎠⎛01x d x ________⎠⎛0
1x 2 d x ；
②⎠⎛0
24－x 2d x ________⎠⎛0
22d x .
答案 ①> ②<
1.求曲边梯形面积和汽车行驶的路程的步骤： (1)分割：n 等分区间[a ，b ]； (2)近似代替：取点ξi ∈[x i －1，x i ]； (3)求和：∑i ＝1
n
f (ξi )·b －a
n ；
(4)取极限：S ＝lim n →∞
∑i ＝1
n
f (ξi )·b －a
n .“近似代替”也可以用较大的矩形来代替曲边梯形，为了计算方便，可以取区间上的一些特殊点，如区间的端点(或中点). 2.定积分⎠⎛
a
b f (x )d x
是一个和式∑i ＝1
n
b －a
n f (ξi )的极限，是一个常数.
3.可以利用“分割、近似代替、求和、取极限”求定积分；对于一些特殊函数，也可以利用几何意义求定积分.
4.定积分的几何性质可以帮助简化定积分运算.
一、选择题
1.当n 的值很大时，函数f (x )＝x 2在区间⎣⎡⎦⎤
i －1n ，i n (i ＝1,2，
…，n )上的值可以近似代替的是( )
A.f ⎝⎛⎭⎫1n
B.f ⎝⎛⎭⎫2n
C.f ⎝⎛⎭⎫i n
D.f (0) 答案 C
解析 当n 很大时，用区间⎣⎡⎦⎤
i －1n ，i n 内任意点所对应的函数值都可以近似代替，此时函数值
变化很小.
2.在等分区间的情况下，f (x )＝1
1＋x 2(x ∈[0,2])及x 轴所围成的曲边梯形面积和式的极限形式
正确的是( )
A.lim n →∞∑n
i ＝1 ⎣
⎢⎡⎦⎥⎤
11＋(i n )2·2n
B.lim n →∞∑n
i ＝1 ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
11＋(2i n )2·2n C.lim n →∞∑n
i ＝1 ⎝⎛⎭
⎫11＋i 2·1n
D.lim n →∞∑n
i ＝1 ⎣
⎢⎡⎦⎥⎤11＋(i n )2·n 答案 B
解析 将区间[0,2]进行n 等分，每个区间长度为2
n
.
3.一物体沿直线运动，其速度v (t )＝t ，这个物体在t ＝0到t ＝1这段时间内所走的路程为( ) A.13 B.12 C.1 D.32
答案 B
解析 曲线v (t )＝t 与直线t ＝0，t ＝1，横轴围成的三角形面积S ＝1
2即为这段时间内物体所走
的路程.
4.下列命题不正确的是( )
A.若f (x )是连续的奇函数，则⎠⎛－a
a f (x )d x ＝0
B.若f (x )是连续的偶函数，则⎠⎛－a a f (x )d x ＝2⎠⎛0
a f (x )d x
C.若f (x )在[a ，b ]上连续且恒正，则⎠⎛a
b f (x )d x ＞0
D.若f (x ) 在[a ，b ]上连续且⎠⎛a
b f (x )d x >0，则f (x )在[a ，b ]上恒正
答案 D
解析 对于A ，f (－x )＝－f (x )，⎠⎛－a a f (x )d x ＝⎠⎛－a 0f (x )d x ＋⎠⎛0a f (x )d x ＝－⎠⎛0a f (x )d x ＋⎠⎛0
a f (x )d x ＝0，
同理B 正确；由定积分的几何意义知，当f (x )>0时，⎠⎛a b f (x )d x >0即C 正确；但⎠⎛a
b f (x )d x >0，
不一定有f (x )恒正，故选D.
5.已知f (x )＝x 3－x ＋sin x ，则⎠⎛－2
2f (x )d x 的值为( )
A.等于0
B.大于0
C.小于0
D.不确定
答案 A
解析 由题意知f (x )为奇函数，由奇函数的性质有
⎠⎛－20f (x )d x ＝－⎠⎛02f (x )d x ，而⎠⎛－22f (x )d x ＝⎠⎛－2
0f (x )d x ＋⎠⎛02f (x )d x ＝0. 6.与定积分⎠⎜⎛0
3π2|sin x |d x 相等的是( ) A.⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎠⎜⎛03π2sin x d x B.⎠⎜⎛0
3π2sin x d x C.⎠⎛0 πsin x d x －⎠⎜⎛π
3π2sin x d x D.⎠⎜⎛ππ2sin x d x ＋⎠⎜⎜⎛π23π2sin x d x 答案 C
解析 当x ∈(0，π]时，sin x ≥0；
当x ∈(π，3π2
]时，sin x <0. ∴由定积分的性质可得
⎠⎜⎛03π2|sin x |d x ＝⎠⎛0 π|sin x |d x ＋⎠⎜⎛π3π2|sin x |d x ＝⎠⎛0 πsin x d x ＋⎠⎜⎛π3π2 (－sin x )d x ＝⎠⎛0 πsin x d x －⎠⎜⎛π
3π2sin x d x . 二、填空题
7.已知⎠⎛0t x d x ＝2，则⎠⎛－t
0x d x ＝________. 答案 －2
解析 ∵f (x )＝x 在[－t ，t ]上是奇函数，
∴⎠⎛－t
t x d x ＝0.而⎠⎛－t t x d x ＝⎠⎛－t 0x d x ＋⎠⎛0t x d x ， 又⎠⎛0t x d x ＝2，∴⎠⎛－t
0x d x ＝－2. 8.由y ＝sin x ，x ＝0，x ＝－π，y ＝0所围成图形的面积写成定积分的形式是S ＝________. 答案 －⎠⎛－π
0sin x d x 解析 由定积分的意义知，由y ＝sin x ，x ＝0，x ＝－π，y ＝0围成图形的面积为S ＝－⎠⎛－π0 sin x d x .
9.设f (x )是连续函数，若⎠⎛01f (x )d x ＝1，⎠⎛02f (x )d x ＝－1，则⎠⎛1
2f (x )d x ＝________. 答案 －2
解析 因为⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01f (x )d x ＋⎠⎛1
2f (x )d x ， 所以⎠⎛12f (x )d x ＝⎠⎛02f (x )d x －⎠⎛0
1f (x )d x ＝－2. 10.定积分⎠⎛0
1x (2－x )d x 的值为________. 答案 π4
解析 因为y ＝x (2－x )，
所以(x －1)2＋y 2＝1，它表示以(1,0)为圆心，1为半径的圆. 定积分⎠⎛0
1x (2－x )d x 就是该圆的面积的四分之一， 所以定积分⎠⎛0
1x (2－x )d x ＝π4. 三、解答题
11.求由直线x ＝0，x ＝2，y ＝0与曲线y ＝x 2所围成的曲边梯形的面积. 解 令f (x )＝x 2.
(1)分割
将区间[0,2]n 等分，分点依次为
x 0＝0，x 1＝2n ，x 2＝4n ，…，x n －1＝2(n －1)n
，x n ＝2. 第i 个区间为⎣⎡⎦⎤2i －2n
，2i n (i ＝1,2，…，n )，每个区间长度为Δx ＝2i n －2i －2n ＝2n . (2)近似代替、求和
取ξi ＝2i n
(i ＝1,2，…，n )， S n ＝∑i ＝1n f ⎝⎛⎭⎫2i n ·Δx ＝∑i ＝1
n ⎝⎛⎭⎫2i n 2·2n ＝8n 3
∑i ＝1n i 2 ＝8n
3(12＋22＋…＋n 2) ＝8n 3·n (n ＋1)(2n ＋1)6＝43
⎝⎛⎭⎫2＋3n ＋1n 2. (3)取极限
S ＝lim n →∞ S n ＝lim n →∞ 43⎝⎛⎭⎫2＋3n ＋1n 2＝83
， 即所求曲边梯形的面积为83
. 12.利用定积分表示下列曲线围成的平面区域的面积：
(1)y ＝0，y ＝x ，x ＝2；
(2)y ＝x －2，x ＝y 2.
解 (1)曲线所围成的区域如图(1)所示.设此面积为S ，则S ＝⎠⎛02(x －0)d x ＝⎠⎛02x d x .
(2)曲线所围成的平面区域如图(2)所示，设此面积为S ，则12,A A S S S =+ A 1由y ＝x ，y ＝－x ，x ＝1围成；
A 2由y ＝x ，y ＝x －2和x ＝1围成.
∴1A S ＝⎠⎛0
1[x －(－x )]d x ， 21A S ＝⎠⎛1
4[x －(x －2)]d x . ∴S ＝⎠⎛012x d x ＋⎠⎛1
4(x －x ＋2)d x . 13.是否存在常数a ，使得⎠⎛－1
a x 5d x 的值为0？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由. 解 ⎠⎛－1
a x 5d x 表示直线x ＝－1，x ＝a ，y ＝0和曲线y ＝x 5所围成的各部分面积的代数和，且在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积取负号. 因为f (x )＝x 5为奇函数，
所以⎠⎛－10x 5d x ＝－⎠⎛0
1x 5d x ， 所以要使⎠⎛－1
a x 5d x ＝0成立，则a ＝1. 故存在a ＝1，使⎠⎛－1
a x 5d x ＝0.。