15 第6章-梁弯曲时的位移02b

qB2
2 Fl 2 q D1 EI
（顺时针）
将相应的位移进行叠加，即得：
wB wB1 wB 2
4 Fl 14Fl 6 Fl 3EI 3EI EI
2 2 2
3
3
3
（向下）
q B q B1 q B 2
Fl 2 Fl 5Fl 2 EI EI 2 EI
（顺时针）
Fl q B1 q C1 2 EI
2
（顺时针）
对图b，可得D截面的挠度和转角为：
F
·
(b)
wD2
直线
qD2
wD2
qD2 BD qB 2
wB2
F 2l wD 2 3EI 2 P 2l q D2 2 EI
3
同理可得此时B截面的挠度和转角为：
wB 2
8Fl3 4 Fl 2 14Fl3 wD 2 q D 2 BD l （向下） 3EI 2 EI 3EI
24EI
3
ql3 384EI
将相应的位移进行叠加，即得：
wC wC1 wC 2
5ql 4 5ql 4 0 768EI 768EI
（向下）
q A q A1 q A2
q B q B1 q B 2
ql3 ql3 3ql3 （顺时针） 48EI 384EI 128EI ql3 ql3 7ql3 48EI 384EI 384EI
q B右 q BF q Bq
B
3 qa3 qa3 2qa 2 EI 6 EI 3EI （逆时针）
（2）图a可看成为右支座有一定竖直位移（位移量 为wB）的简支梁，此时D截面的挠度为：
A F wB /2 wDF
直线
(a)
wB F/ 2
wD wDF
q F A a/2 a D EI B EI a C
解：可在铰接点处将梁分成图a和b所示两部分，并 可求得铰接点处的一对作用力与反作用力为：
F FB FB qa 2
A
F wB /2 wDF
直线
(a)
wB F/ 2 q F/ 2 wB B C
(b)
图a和b中分别给出了两部分的变形情况。 并且图b又可分解为图c所示两种载荷的组合。
y
Fl 3 wc 48EI
例：利用叠加原理求图a所示弯曲刚度为EI的简支 梁的跨中挠度wC和两端截面的转角qA，qB。
q A y l (a)
C
l/2
B
x
解：可将原荷载看成为图b所示关于跨中C截面的正 对称和反对称荷载的叠加。
q/2 A C l q/2 B +A B
C l/2
q/2
l/2
(b)
1）对正对称荷载，跨中截面C的挠度和两端的转 角分别为：
1. 简单荷载作用下梁的挠度与转角 F Fl 2 qB A 2 EI B x qB v B
l
y
A
Fl3 wB 3EI
q
qB
l
y
B
x
ql 3 qB 6 EI ql 4 wB 8EI
vB
A
M
qB
l
y
B
x
vB
Ml qB EI
Ml 2 wB 2 EI
M
A
C
qA
l
vC
qB
B x
Ml qA 3EI
§6-3 按叠加原理计算梁的挠度和转角
梁在若干个荷载共同作用时的挠度或转角，等 于在各个荷载单独作用时的挠度或转角的代数和。 这就是计算弯曲变形的叠加原理。 由于：1）小变形，轴向位移可忽略； 2）线弹性范围工作。 因此，梁的挠度和转角与载荷成线性关系，可 用叠加原理求复杂载荷作用下梁的挠度和转角。 简单载荷下梁的挠度和转角，必须记住！
（逆时针）
例：利用叠加原理求图示弯曲刚度为EI的悬臂梁自 由端B截面的挠度和转角。
F A l C EI l F D l B
解：原荷载可看成为图a和b两种荷载的叠加，对应 的变形和相关量如图所示。
F
(a)
wC1
q C1
直线
qC1 2l qB1
·
wC1
wB1
F
(b)
wD1
直线
qD1
wD1
qD1 BD qB 2
6
梁 的 位 移
第6章 梁弯曲时的位移
§6-1 梁的位移—挠度及转角
q (转角)
A B x C1 y w(挠度)
图 5-1
对于本书采用的坐标系，由下图可见：
x M y M>0, w″<0 y M<0, w″>0
x
M
M x 即： w EI
对等直梁：
EIw M x
此即为挠曲线的近似微分方程，其积分为：
qC q B qCq
（向下）
qa4 1 qa3 5qa4 wC a 8EI 12 EI 24EI qa qa qa qC 6 EI 12EI 4 EI
A a EI F=qa D a B a
3 3 3
（顺时针）
qB qB×a qCq w
Cq
C
例：利用叠加原理求图示弯曲刚度为EI的中间铰梁铰 接点B处的挠度和B点右截面的转角以及D截面的挠度， 其中：F=2qa。
3
（向下）
2a 2 qa3 qa q B q B1 q B 2
16EI
qa4 wCq 8 EI
qa （顺时针） 3EI 12EI
（2）对图b，C截面的挠度和转角分别为：
q Cq
qa3 6 EI
原外伸梁C端的挠度和转角也可按叠加原理求得，即： 所以：
wC wCq q B a
Ml qB 6 EI
y
Ml 2 wc 16EI
A
a
F
B
x
Fa2 3x a , a x l w 6 EI
vB
l
y
Fa 2 qB 2 EI
Fa2 3l a wB 6 EI
Fl 2 qB 16EI
F
A
C
qA
l 2
vC
qB
l 2
B
x
Fl 2 qA 16EI
5q 2l 4 5ql 4 wC1 384EI 768EI
q 2l q A1 q B1
ql 24EI 48EI
3
3
2）对反对称荷载，跨中截面C的挠度等于零，并 可分别将AC段和CB段看成为l/2简支梁，即有：
wC 2 0
q 2l 2 q A2 q B 2
EI w M x d x C1
EIw [ M x d x] d x C1 x D1
C1、D1为常数，由梁的边界条件（包括位移约 束和连续条件）确定。
常数C1、D1确定后，代入上两式即可分别得到 梁转角方程和挠曲线方程，从而可确定任一截面的 转角和挠度。
wB2
对图a，可得C截面的挠度和转角为：
F
(a)
wC1
q C1
直线
qC1 2l qB1
wC1
wB1
Fl 3 wC1 3EI
Fl 2 q C1 2 EI
由位移关系可得此时B截面的挠度和转角为：
Fl3 Fl 2 4 Fl3 wB1 wC1 qC1 BC 2l （向下） 3EI 2 EI 3EI
(c)
+ (d) qa2/2
图c中D截面的挠度和B截面的转角为：
qa2a wD1 48EI
3
qa2a q B1 16EI
qa 3EI
3
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
图d中D截面的挠度和B截面的转角为：
wD 2
2qa4 16EI
qB2
将相应的位移进行叠加，即得：
wD wD1 wD 2
qa4 qa4 qa4 6 EI 8EI 24EI
1 2qa 11qa 13qa wB （向下） 2 48EI 48EI 48EI
4
4
4
q F/ 2
B
C
+
(c)
B
C
（1）对图b，可得其B截面的挠度和转角为：
qa wBFB 3EI 3 qa q BFB 2 EI
进行相应的叠加可得：
4
qa4 wBq 8EI
q Bq
qa3 6 EI
（向下）
wB wBFB
qa 4 qa4 11qa4 wBq 3EI 8EI 24EI
例：由叠加原理求图示弯曲刚度为EI的外伸梁C截面 的挠度和转角以及D截面的挠度。
A
a EI F=qa D a B a C
解：可将外伸梁看成是图a和b所示的简支梁和悬臂 梁的叠加。
F=qa A qa B
EI
D (a)
qa2/2 B (b) C
（1）对图a，其又可看成为图c和d所示荷载的组合。
F=qa A