重庆一中2024年九年级下学期数学3月月考模拟试卷+答案

重庆市第一中学2023-2024学年九年级下学期数学3月月考模拟试卷
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）的相反数是（）
A．B．C．2 D．﹣2
2．（4分）六个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图为（）
A．B．
C．D．
3．（4分）反比例函数的图象一定经过的点是（）
A．（2，3）B．（23）C．（1，6）D．（﹣1，﹣6）
4．（4分）如图，直线m∥n，点A在直线n上，点B在直线m上，连接AB，过点A作AC⊥AB，交直线m于点C．若∠1＝50°，则∠2的度数为（）
A．20° B．30° C．40° D．50°
5．（4分）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点为O（0，0），A（12，9），B（9，0）．以点O为位似中心，在第三象限内作与△OAB的位似比为的位似图形△OCD，则点C的坐标为（）
A．（﹣3，﹣3）B．（﹣4，﹣3）C．（﹣3，﹣4）D．（﹣6，﹣3）
6．（4分）估计的值应在（）
A．8和9之间B．9和10之间
C．10和11之间D．11和12之间
7．（4分）下列图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有3个菱形，第②个图形中一共有7个菱形，第③个图形中一共有13个菱形，…，按此规律排列下去，第⑧个图形中菱形的个数为（）
A．57 B．72 C．73 D．91
8．（4分）如图，在△ABC中，∠A＝30°，点O是边AB上一点，以点O为圆心，以OB为半径作圆，⊙O恰好与AC 相切于点D，连接BD．若BD平分∠ABC，AD＝2，则线段BC的长是（）
A．2 B．C．D．
9．（4分）如图，正方形ABCD，分别取AD和CD边的中点E、F，连接BE、连接AF相交于点G，连接CG，若∠ABE ＝α，则∠DCG的度数为（）
A．αB．2αC．90°﹣αD．90°﹣2α
10．（4分）对多项式x﹣y﹣z﹣m﹣n（x，y，z，m，n均不为零），任意加括号（括号里至少有两个字母，且括号中不再含有括号）并同时改变括号前的符号，然后按给出的运算顺序重新运算，称此一系列操作为“变括操作”．例如：x+（y﹣z）﹣m﹣n＝x+y﹣z﹣m﹣n，x﹣y+（z﹣m﹣n）＝x﹣y+z﹣m﹣n，…．下列说法：
①不存在“变括操作”，使其运算结果与原多项式相等；
②只有一种“变括操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；
③若同时添加两个括号，所有可能的“变括操作”共有4种不同运算结果．
其中正确的个数是（）
A．0 B．1 C．2 D．3
二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）
11．（4分）计算：（）﹣1﹣2cos30°+|﹣|﹣（4﹣π）0＝．
12．（4分）如图，△ABC中∠A＝115°，若图中沿虚线剪去∠A，则∠1+∠2＝°．
13．（4分）寒假期间，小明、小红二人在《满江红》《流浪地球2》《中国乒乓》《熊出没》四部影片中各自随机选择了一部影片观看（假设两人选择每部影片的机会均等），则二人恰好选择同一部影片观看的概率为．
14．（4分）近年来我市大力发展旅游产业，已知旅游总收入从2015年的150亿元上升到2017年的216亿元，设这两年旅游总收入的年平均增长率为x，则可列方程．
15．（4分）如图，在矩形ABCD中，以A为圆心，AD的长为半径画弧，交AB于点F，再以B为圆心，BA的长为半径画弧，交CD于点E．已知，AD＝2，则图中阴影部分的面积为．
16．（4分）在正方形ABCD中，AB＝6，对角线AC、BD相交于点O，对角线BD上有一点E，连接EC，过点E作EF⊥EC，分别交AD、AC于点F、H，连接CF交BD于点G，将△EFG沿EF翻折得到△EFI，此时点G的对应点I 恰好落在线段AC上，若AF＝FD，则点I到EF的距离为．
17．（4分）若关于x的不等式组有解且至多有2个偶数解且关于y的分式方程＝3 的解为非负整数，则所有满足条件的整数a的值之和为．
18．（4分）对于一个三位正整数n n满足：百位数字、十位数字与个位数字之和等于15，那称这个数为“月圆数”，例如：n1＝843，8+4+3＝15，∴843是“月圆数”；n2＝133，…1+3+3＝7≠15，∴133不是“月圆数”．若m，p都是“月圆数”，m＝300+10a+b，p＝100a+60+c（a，b，c均为1﹣9的整数），规定F（m，p）＝，若s是m去掉百位数字后剩余部分组成的一个两位数，t是p去掉其百位数字后剩余部分组成的一个两位数，若s 与t的和能被11整除，则F（m，p）的值为．
三．解答题（共8小题，满分78分）
19．（8分）计算：
（1）（2a+1）（2a﹣1）﹣4a（a﹣1）；（2）．
20．（10分）在学习直角三角形的过程中，小明遇到了一个问题：在直角三角形ABC中，∠B＝90°，AD平分∠CAB，探究AC，AB，CD，DB是否成比例线段，小明的思路是：首先过点D作AC的垂线，从而构造与△ADB全等的三角形，再通过三角形面积建立等量关系，使问题得到解决．请根据小明的思路完成下面的作图与填空：
尺规作图：过点D作DE⊥AC于点E（用基本作图，保留作图痕迹，不写作法、结论）．
证明：∵AD平分∠CAB，
∴，
∵DE⊥AC，
∴，
∴∠DEA＝∠B，
在△ADE和△ADB中，
，
∴△ADE≌△ADB（AAS），
∴，
又∵∠DEA＝∠B＝90°，
∴•AB＝，
∴CD•AB＝AC•DE＝，
即，
∴AC，AB，CD，DB为成比例线段．
21．（10分）为了引导学生充分认识心理健康对自身发展的重要性，某校开展了以“关爱自我，悦享成长”为主题的心理健康月系列活动．其中该校八、九年级在心理健康月中进行了关于心理健康相关知识的测试，现从八、九年级中各随机抽取10名学生的成绩（百分制，单位：分）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A.60≤x＜70；B.70≤x＜80；C.80≤x＜90；D.90≤x≤100）．下面给出了部分信息：
八年级10名学生的成绩是：66，75，77，80，82，84，84，86，96，100，
九年级10名学生的成绩在C组中的数据是：81，83，86，86，
八、九年级抽取的学生成绩统计表：
年级八年级九年级
平均数83 83
中位数83 b
众数c86
方差86.7 77.2
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝，b＝，c＝；
（2）根据以上数据，你认为该校八年级、九年级中哪个年级学生掌握知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）该校八年级有1200人、九年级有650人参加了此次心理健康测试，请估计两个年级参加心理健康测试的成绩不低于90分的共有多少人．
22．（10分）2024年龙年春晚吉祥物形象“龙辰辰”正式发布亮相，作为中华民族重要的精神象征和文化符号，千百年来，龙的形象贯穿文学、艺术、民俗、服饰、绘画等各个领域，也呈现了吉祥如意、平安幸福的美好寓意．吉祥物“龙辰辰”的产生受到众人的热捧．某工厂计划加急生产一批该吉祥物，决定选择使用A、B两种材料生产吉祥物．已知使用B材料的吉祥物比A材料每个贵50元，用3000元购买用A材料生产吉祥物的数量是用1500元购买B材料生产吉祥物数量的4倍．
（1）求售卖一个A材料、一个B材料的吉祥物各需多少元？
（2）一所中学为了激励学生奋发向上，准备用不超过3000元购买A、B两种材料的吉祥物共50个，来奖励学生．恰逢工厂对两种材料吉祥物的价格进行了调整：使用A材料的吉祥物的价格按售价的九折出售，使用B材料的吉祥物比售价提高了20%，那么该学校此次最多可购买多少个用B材料的吉祥物？
23．（10分）如图，在直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，AB＝15，BC＝20，动点P从点C出发，以每秒5个单位的速度沿C→B→A运动，同时动点Q从点B出发，以每秒个单位的速度沿B→A运动，P，Q相遇时停止运动．过点P作PN⊥AC于点N，过点Q作QM⊥AC于点M．设点P的运动时间为x秒（x≥0），MN的长度为y（y≥0）．
（1）请直接写出y与x的函数关系式并注明自变量x的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出y与x的函数图象，并写出该函数的一条性质；
（3）当该函数图象与直线有两个交点时，b的取值范围为．
24．（10分）如图，五边形ABCDE是一个公园沿湖的健身步道（步道可以骑行），BD是仅能步行的跨湖小桥．经勘测，点B在点A的正北方935米处，点E在点A的正东方，点D在点B的北偏东74°，且在点E的正北方，∠C ＝90°，BC＝800米，CD＝600米．（参考数据：sin74°≈0.96，cos74°≈0.27，tan74°≈3.55）
（1）求AE的长度（结果精确到1米）；
（2）小明和爸爸在健身步道锻炼，小明以200米/分的速度从点A出发沿路线A→B→C→D→E→A的方向骑行，爸爸以150米/分的速度从点B出发沿路线B→D→E→A的方向跑步前行．两人约定同时出发，那么小明和爸爸谁先到达A点？请说明理由．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2交x轴于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，交y轴于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是直线BC上方抛物线上一动点，过点P作PD∥y轴交BC与于D点，过点P作PE⊥AC交直线AC于点E，求PE+PD取得最大值时，点P的坐标及此时对应的最大值；
（3）在（2）问前提下，将原抛物线沿射线AC方向平移个单位，新抛物线的对称轴与x轴交于点K，在直线AP上是否存在点G，连接KG，过G作线段GK的垂线交y轴于H，连接HK，使∠HKG＝30°．若存在，请直接写出点G的坐标．
26．（10分）在△ABC中，点D为线段BC上一动点，点E为射线AC上一动点，连接AD，BE．（1）若AC＞AB，AD⊥BC，当点E在线段AC上时，AD，BE交于点F，点F为BE中点．
①如图1，若BF＝，BD＝3，AD＝7，求AE的长度；
②如图2，点G为线段AF上一点，连接GE并延长交BC的延长线于点H．若点E为GH中点，∠BAC＝60°，∠DAC
＝2∠EBC，求证：AG+DF＝AB．
（2）如图3，若AC＝AB＝3，∠BAC＝60°．当点E在线段AC的延长线上时，连接DE，将△DCE沿DC所在直线翻折至△ABC所在平面内得到△DCM，连接AM，当AM取得最小值时，△ABC内存在点K，使得∠ABK＝∠CAK，当KE取得最小值时，请直接写出AK2的值．
重庆市第一中学2023-2024学年九年级下学期数学3月月考模拟试卷（答案）一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）的相反数是（）
A．B．C．2 D．﹣2
【答案】A
2．（4分）六个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图为（）
A．B．
C．D．
【答案】A
3．（4分）反比例函数的图象一定经过的点是（）
A．（2，3）B．（2，﹣3）C．（1，6）D．（﹣1，﹣6）
【答案】B
4．（4分）如图，直线m∥n，点A在直线n上，点B在直线m上，连接AB，过点A作AC⊥AB，交直线m于点C．若∠1＝50°，则∠2的度数为（）
A．20° B．30° C．40° D．50°
【答案】C
5．（4分）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点为O（0，0），A（12，9），B（9，0）．以点O为位似中心，在第三象限内作与△OAB的位似比为的位似图形△OCD，则点C的坐标为（）
A．（﹣3，﹣3）B．（﹣4，﹣3）C．（﹣3，﹣4）D．（﹣6，﹣3）
【答案】B
6．（4分）估计的值应在（）
A．8和9之间B．9和10之间
C．10和11之间D．11和12之间
【答案】C
7．（4分）下列图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有3个菱形，第②个图形中一共有7个菱形，第③个图形中一共有13个菱形，…，按此规律排列下去，第⑧个图形中菱形的个数为（）
A．57 B．72 C．73 D．91
【答案】C
8．（4分）如图，在△ABC中，∠A＝30°，点O是边AB上一点，以点O为圆心，以OB为半径作圆，⊙O恰好与AC 相切于点D，连接BD．若BD平分∠ABC，AD＝2，则线段BC的长是（）
A．2 B．C．D．
【答案】B
9．（4分）如图，正方形ABCD，分别取AD和CD边的中点E、F，连接BE、连接AF相交于点G，连接CG，若∠ABE
＝α，则∠DCG的度数为（）
A．αB．2αC．90°﹣αD．90°﹣2α
【答案】D
10．（4分）对多项式x﹣y﹣z﹣m﹣n（x，y，z，m，n均不为零），任意加括号（括号里至少有两个字母，且括号中不再含有括号）并同时改变括号前的符号，然后按给出的运算顺序重新运算，称此一系列操作为“变括操作”．例如：x+（y﹣z）﹣m﹣n＝x+y﹣z﹣m﹣n，x﹣y+（z﹣m﹣n）＝x﹣y+z﹣m﹣n，…．下列说法：
①不存在“变括操作”，使其运算结果与原多项式相等；
②只有一种“变括操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；
③若同时添加两个括号，所有可能的“变括操作”共有4种不同运算结果．
其中正确的个数是（）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）
11．（4分）计算：（）﹣1﹣2cos30°+|﹣|﹣（4﹣π）0＝ 2 ．
【答案】2．
12．（4分）如图，△ABC中∠A＝115°，若图中沿虚线剪去∠A，则∠1+∠2＝295 °．
【答案】295．
13．（4分）寒假期间，小明、小红二人在《满江红》《流浪地球2》《中国乒乓》《熊出没》四部影片中各自随机选
择了一部影片观看（假设两人选择每部影片的机会均等），则二人恰好选择同一部影片观看的概率为．
【答案】．
14．（4分）近年来我市大力发展旅游产业，已知旅游总收入从2015年的150亿元上升到2017年的216亿元，设这两年旅游总收入的年平均增长率为x，则可列方程150（1+x）2＝216 ．
【答案】见试题解答内容
15．（4分）如图，在矩形ABCD中，以A为圆心，AD的长为半径画弧，交AB于点F，再以B为圆心，BA的长为半
径画弧，交CD于点E．已知，AD＝2，则图中阴影部分的面积为．
【答案】．
16．（4分）在正方形ABCD中，AB＝6，对角线AC、BD相交于点O，对角线BD上有一点E，连接EC，过点E作EF⊥EC，分别交AD、AC于点F、H，连接CF交BD于点G，将△EFG沿EF翻折得到△EFI，此时点G的对应点I
恰好落在线段AC上，若AF＝FD，则点I到EF的距离为．
【答案】．
17．（4分）若关于x的不等式组有解且至多有2个偶数解且关于y的分式方程＝3 的解为非负整数，则所有满足条件的整数a的值之和为7 ．
【答案】7．
18．（4分）对于一个三位正整数n，如果n满足：百位数字、十位数字与个位数字之和等于15，那称这个数为“月圆数”，例如：n1＝843，8+4+3＝15，∴843是“月圆数”；n2＝133，…1+3+3＝7≠15，∴133不是“月圆数”．若m，p都是“月圆数”，m＝300+10a+b，p＝100a+60+c（a，b，c均为1﹣9的整数），规定F（m，p）＝，若s是m去掉百位数字后剩余部分组成的一个两位数，t是p去掉其百位数字后剩余部分组成的一个两位数，若s 与t的和能被11整除，则F（m，p）的值为307 ．
【答案】307．
三．解答题（共8小题，满分78分）
19．（8分）计算：
（1）（2a+1）（2a﹣1）﹣4a（a﹣1）；
（2）．
【答案】（1）4a﹣1；
（2）．
20．（10分）在学习直角三角形的过程中，小明遇到了一个问题：在直角三角形ABC中，∠B＝90°，AD平分∠CAB，探究AC，AB，CD，DB是否成比例线段，小明的思路是：首先过点D作AC的垂线，从而构造与△ADB全等的三角形，再通过三角形面积建立等量关系，使问题得到解决．请根据小明的思路完成下面的作图与填空：
尺规作图：过点D作DE⊥AC于点E（用基本作图，保留作图痕迹，不写作法、结论）．
证明：∵AD平分∠CAB，
∴①∠EAD＝∠BAD，
∵DE⊥AC，
∴②∠DEA＝90° ，
∴∠DEA＝∠B，
在△ADE和△ADB中，
，
∴△ADE≌△ADB（AAS），
∴④DE＝DB，
又∵∠DEA＝∠B＝90°，
∴•AB＝，
∴CD•AB＝AC•DE＝⑤2S△ADC，
即，
∴AC，AB，CD，DB为成比例线段．
【答案】∠EAD＝∠BAD，∠DEA＝90°，AD＝AD，DE＝DB，AC•DB．
21．（10分）为了引导学生充分认识心理健康对自身发展的重要性，某校开展了以“关爱自我，悦享成长”为主题的心理健康月系列活动．其中该校八、九年级在心理健康月中进行了关于心理健康相关知识的测试，现从八、九年级中各随机抽取10名学生的成绩（百分制，单位：分）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A.60≤x＜70；B.70≤x＜80；C.80≤x＜90；D.90≤x≤100）．下面给出了部分信息：
八年级10名学生的成绩是：66，75，77，80，82，84，84，86，96，100，
九年级10名学生的成绩在C组中的数据是：81，83，86，86，
八、九年级抽取的学生成绩统计表：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝30 ，b＝84.5 ，c＝84 ；
（2）根据以上数据，你认为该校八年级、九年级中哪个年级学生掌握知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）该校八年级有1200人、九年级有650人参加了此次心理健康测试，请估计两个年级参加心理健康测试的成绩不低于90分的共有多少人．
【答案】（1）30，84.5，84；
（2）九年级学生掌握知识较好，理由见解析；
（3）435人．
22．（10分）2024年龙年春晚吉祥物形象“龙辰辰”正式发布亮相，作为中华民族重要的精神象征和文化符号，千百年来，龙的形象贯穿文学、艺术、民俗、服饰、绘画等各个领域，也呈现了吉祥如意、平安幸福的美好寓意．吉祥物“龙辰辰”的产生受到众人的热捧．某工厂计划加急生产一批该吉祥物，决定选择使用A、B两种材料生产吉祥物．已知使用B材料的吉祥物比A材料每个贵50元，用3000元购买用A材料生产吉祥物的数量是用1500元购买B材料生产吉祥物数量的4倍．
（1）求售卖一个A材料、一个B材料的吉祥物各需多少元？
（2）一所中学为了激励学生奋发向上，准备用不超过3000元购买A、B两种材料的吉祥物共50个，来奖励学生．恰逢工厂对两种材料吉祥物的价格进行了调整：使用A材料的吉祥物的价格按售价的九折出售，使用B材料的吉祥物比售价提高了20%，那么该学校此次最多可购买多少个用B材料的吉祥物？
【答案】（1）使用A材料生产的吉祥物的单价为50元/个，使用B材料生产的吉祥物的单价为100元/个；
（2）该学校此次最多可购买10个使用B材料生产的吉祥物．
23．（10分）如图，在直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，AB＝15，BC＝20，动点P从点C出发，以每秒5个单位的速度沿C→B→A运动，同时动点Q从点B出发，以每秒个单位的速度沿B→A运动，P，Q相遇时停止运动．过点P作PN⊥AC于点N，过点Q作QM⊥AC于点M．设点P的运动时间为x秒（x≥0），MN的长度为y（y≥0）．
（1）请直接写出y与x的函数关系式并注明自变量x的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出y与x的函数图象，并写出该函数的一条性质；
（3）当该函数图象与直线有两个交点时，b的取值范围为＜b≤16 ．
【答案】（1）；
（2）画出y与x的函数图象见解答，该函数的性质是函数值y随x的增大而减小．（答案不唯一，如：y的最大值为16．）
（3）＜b≤16．
24．（10分）如图，五边形ABCDE是一个公园沿湖的健身步道（步道可以骑行），BD是仅能步行的跨湖小桥．经勘测，点B在点A的正北方935米处，点E在点A的正东方，点D在点B的北偏东74°，且在点E的正北方，∠C ＝90°，BC＝800米，CD＝600米．（参考数据：sin74°≈0.96，cos74°≈0.27，tan74°≈3.55）
（1）求AE的长度（结果精确到1米）；
（2）小明和爸爸在健身步道锻炼，小明以200米/分的速度从点A出发沿路线A→B→C→D→E→A的方向骑行，爸爸以150米/分的速度从点B出发沿路线B→D→E→A的方向跑步前行．两人约定同时出发，那么小明和爸爸谁先到达A点？请说明理由．
【答案】（1）AE的长度约为960米；
（2）爸爸先到达A点，理由见解答．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2交x轴于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，交y轴于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是直线BC上方抛物线上一动点，过点P作PD∥y轴交BC与于D点，过点P作PE⊥AC交直线AC于点E，求PE+PD取得最大值时，点P的坐标及此时对应的最大值；
（3）在（2）问前提下，将原抛物线沿射线AC方向平移个单位，新抛物线的对称轴与x轴交于点K，在直线AP上是否存在点G，连接KG，过G作线段GK的垂线交y轴于H，连接HK，使∠HKG＝30°．若存在，请直接写出点G的坐标．
【答案】（1）y＝﹣x2+x+2；
（2）当P（，）时，有最大值；
（3）G（，）或（﹣，）．
26．（10分）在△ABC中，点D为线段BC上一动点，点E为射线AC上一动点，连接AD，BE．（1）若AC＞AB，AD⊥BC，当点E在线段AC上时，AD，BE交于点F，点F为BE中点．
①如图1，若BF＝，BD＝3，AD＝7，求AE的长度；
②如图2，点G为线段AF上一点，连接GE并延长交BC的延长线于点H．若点E为GH中点，∠BAC＝60°，∠DAC
＝2∠EBC，求证：AG+DF＝AB．
（2）如图3，若AC＝AB＝3，∠BAC＝60°．当点E在线段AC的延长线上时，连接DE，将△DCE沿DC所在直线翻折至△ABC所在平面内得到△DCM，连接AM，当AM取得最小值时，△ABC内存在点K，使得∠ABK＝∠CAK，当KE取得最小值时，请直接写出2的值．
【答案】（1）①．
（2）或．。