湖南省长郡中学2011届高三第一次模拟考试(PDF版)理数答案
湖南省长郡中学高三数学第一次模拟考试试卷(理科)
SEFAB C湖南省长郡中学2008年高三数学第一次模拟考试试卷(理科)时 量:120分钟 满 分: 150分一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知命题p ：1≤∈x cos R x ，有对任意，则（ ）A ．1≥∈⌝x cos R x p ，使：存在B ．1≥∈⌝x cos R x p ，有：对任意C ．1>∈⌝x cos R x p ，使：存在D ．1>∈⌝x cos R x p ，有：对任意2．设a b →→,是非零向量，若函数()()()f x x a b a x b →→→→=+∙-的图像是一条直线，则必有（ ） A ．a b →→⊥B ．//a b →→C ． a b →→=D ．a b →→≠3． 设 n S 表示等差数列{}n a 的前n 项和，已知51013S S =，那么1020SS =（ ） A ．19B ．310C ．18D ．134．直线l ：(2)2y k x =-+与圆C ：22220x y x y +--=有两个不同的公共点，则k 的取值范围是（ ）A ．（一∞，一1）B ．（一1，1）C ．（一1，+∞）D ．（一∞，一1）（一1，+∞）5．如图，在正四面体S —ABC 中，E 为SA 的中点，F 为∆ABC的中心，则异面直线EF 与AB 所成的角是 （ ） A ．30︒ B ．45︒ C ．60︒ D ．90︒6．设0,1a b a b >>+=且111log ,log ,log a ba b x b y ab z a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭===则,,x y z 之间的大小关系是（ ）A ．y x z <<B ．y z x <<C ． z y x <<D ．x y z <<7．设F 1、F 2为椭圆13422=+y x 的左、右焦点，过椭圆中心任作一条直线与椭圆交于P 、Q 两点，当四边形PF 1QF 2面积最大时，→--→--⋅21PF PF 的值等于（ ）A ．0B ．1C ．2D ．48．函数)(x f 的定义域为（0，+∞）且m x f x f ,0)(,0)(>'>为正数，则函数)()(m x f m x y +⋅+=（ ）A ．存在极大值B ．存在极小值C ．是增函数D ．是减函数9．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的各个顶点与各棱的中点共20个点中，任取两点连成直线，在这些直线中任取一条，它与BD 1 垂直的概率为（ ）A ．16621 B ．19021C ． 19027 D ．1662710．设}m in{21n x x x ，，， 表示n x x x ，，， 21中最小的一个．给出下列命题： ①1}1m in{2-=-x x x ，； ②设a 、b ∈R +，有}4m in{22b a ba +，≤21； ③设a 、b ∈R ，0≠a ，||||b a ≠，有||||}|||||||m in{|22b a a b a b a -=--，． 其中所有正确命题的序号有（ ） A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③二、填空题：本大题共5小题，每小题5分 ，共25分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上11．设)(),1,0()1(2x f x x x x x f n 且≠+++=- 中所有项的系数和为A n ，则2lim 2nn n A +→∞的值为12．已知向量(,2),(3,5)a m b =-=-，且a 与b 的夹角为钝角，则m 的取值范围是 ． 13．对于)2,0(π∈x ，不等式16cos sin 122≥+xpx 恒成立，则p 的取值范围是 。
湖南省2011届高三十二校第一次联考数学理
湖 南 省2011届高三十二校第一次联考数 学 试 题（理）总分：150分 时量：120分钟一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案填在答题卡中对应位置． 1．若复数a －i2＋i （a ∈R ，i 为虚数单位）是纯虚数，则a 的值为（ ）A ．－2B ．12C ．－12D ．22．“a ＝－1”是“直线a 2x －y ＋6＝0与直线4x －（a －3）y ＋9＝0互相垂直”的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20—80mg/100ml （不含80）之间，属于酒后驾车；血液酒精浓度在80mg/100ml （含80）以上时，属醉酒驾车．据《法制晚报》报道，2010年8月15日至8月28日，全国查处酒后驾车和醉酒驾车共28800人，如下图是对这28800人酒后驾车血液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布直方图，则属于醉酒驾车的人数约为（ ）A ．2160B ．2880C ．4320D ．8640 4．若下列程序框图中输入n ＝6，m ＝4，那么输出的p 等于（ ）A ．720B ．360C ．240D ．120 5．已知{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＋2a n ＋1－a n ＋1a n ＝1，则a 6－a 5的值为（ ）A ．0B ．18C ．96D ．6006．设双曲线M ：x 2a2－y 2＝1，点C （0,1），若直线212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ （t 为参数）交双曲线的两渐近线于点A 、B ，且BC ＝2AC ，则双曲线的离心率为 （ ）A ．52B ．103C ． 5D ．107．已知a ＝∫π0（sin t －cos t ）d t ，则（x －1ax ）6的展开式中的常数项为（ ）A ．20B ．－20C ．52D ．－528．设点P 是△ABC 内一点（不包括边界），且AP ＝m AB ＋n AC （m ，n ∈R ），则（m ＋1）2＋（n －1）2的取值范围是 （ ）A ．（0,2）B ．（0,5）C ．（1,2）D ．（1,5）二、填空题：本大题共7小题，每小题5分 ，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．9．在电影拍摄爆炸场面的过程中，为达到逼真的效果，在火药的添加物中需对某种化学药品的加入量进行反复试验，根据经验，试验效果是该化学药品加入量的单峰函数．为确定一个最好的效果，拟用分数法从33个试验点中找出最佳点，则需要做的试验次数至多是 ．10．某地为上海“世博会”招募了20名志愿者，他们的编号分别是1号、2号、…、19号、20号，若要从中任意选取4人再按编号大小分成两组去做一些预备服务工作，其中两个编号较小的人在一组，两个编号较大的人在另一组，那么确保5号与14号入选并被分配到同一组的选取种数是 ． 11．如下图，AC 是⊙O 的直径，B 是圆上一点，∠ABC 的平分线与⊙O 相交于D ，已知BC＝1，AB ＝3，则AD ＝．12．一个几何体的三视图如下图所示，其中正视图和侧视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形．则用个这样的几何体可以拼成一个棱长为4的正方体．13．在平面直角坐标系xOy 中，设D 是由不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+≥+-00101y y x y x 表示的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向E 中随机投一点，则所投点落在D 中的概率是 ．14．已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，且f （x ＋2）＋f （x ）＝0，当x ∈[0,1]时，f （x ）＝2x －1，则f （log 18125）＝ ．15．已知函数f （x ）＝（x 2－x －1a）e ax （a ≠0）．（1）曲线y ＝f （x ）在点A （0，f （0））处的切线方程为 ；（2）当a >0时，若不等式f （x ）＋3a ≥0对x ∈[－3a ，＋∞）恒成立，则实数a 的取值范围为 ．三、解答题：本大题共6小题，共75分． 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，m ＝（cos A ，cos C ），n ＝（3c －2b ，3a ）且m ⊥n ． （1）求角A 的大小；（2）若角B ＝π6，BC 边上的中线AM 的长为7，求△ABC 的面积．17．（本小题满分12分）2011年1月，某校就如何落实“湖南省教育厅《关于停止普通高中学校组织三年级学生节假日补课的通知》”，举办了一次座谈会，共邀请50名代表参加，他们分别是家长20人，学生15人，教师15人．（1）从这50名代表中随机选出2名首先发言，问这2人是教师的概率是多少？（2）从这50名代表中随机选出3名谈假期安排，若选出3名代表是学生或家长，求恰有1人是家长的概率是多少？（3）若随机选出的2名代表是学生或家长，求其中是家长的人数为ξ的分布列和数学期望．18．（本小题满分12分）如图，已知三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，AA 1＝AB ＝AC ＝1，AB ⊥AC ，M 、N 分别是CC 1、BC 的中点，点P 在A 1B 1上，且满足A 1P ＝λA 1B 1（λ∈R ）．（1）证明：PN ⊥AM ；（2）当λ取何值时，直线PN 与平面ABC 所成的角θ最大？并求该最大角的正切值；（3）若平面PMN 与平面ABC 所成的二面角为45°，试确定点P 的位置．19．（本小题满分13分）随着国家政策对节能环保型小排量车的调整，两款1．1升排量的Q 型车、R 型车的销量引起市场的关注．已知2010年1月Q 型车的销量为a 辆，通过分析预测，若以2010年1月为第1月，其后两年内Q 型车每月的销量都将以1%的比率增长，而R 型车前n 个月的销售总量T n 大致满足关系式：T n ＝228a （1．012n －1）（n ≤24，n ∈N *）． （1）求Q 型车前n 个月的销售总量S n 的表达式；（2）比较两款车前n 个月的销售总量S n 与T n 的大小关系； （3）试问从第几个月开始Q 型车的月销售量小于R 型车月销售量的20%，并说明理由．（参考数据：54.5828≈1．09，lg1.09lg1.01≈8．66）20．（本小题满分13分）已知双曲线G 的中心在原点，它的渐近线与圆x 2＋y 2－10x ＋20＝0相切．过点P（－4,0）作斜率为14的直线l ，使得l 和G 交于A ，B 两点，和y 轴交于点C ，并且点P在线段AB 上，又满足|PA |·|PB |＝|PC |2． （1）求双曲线G 的渐近线的方程； （2）求双曲线G 的方程；（3）椭圆S 的中心在原点，它的短轴是G 的实轴．如果S 中垂直于l 的平行弦的中点的轨迹恰好是G 的渐近线截在S 内的部分，求椭圆S 的方程．21．（本小题满分13分）已知常数a 为正实数，曲线C n ：y ＝nx 在其上一点P n （x n ，y n ）的切线l n 总经过定点（－a,0）（n ∈N *）．（1）求证：点列：P 1，P 2，…，P n 在同一直线上； （2）求证：∑=<<+ni in y an 12)1ln( （n ∈N *）．参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分． 9．7 10．21 11．2 12．3 13．1π 14．1415．（1）2x ＋y ＋1a ＝0 （2）（0，ln 3]三、解答题：本大题共6小题，满分75分．16．解：（1）因为（2b －3c ）cos A ＝3a cos C ，所以（2sin B －3sin C ）cos A ＝3sin A cos C,2sin B cos A ＝3sin A cos C ＋3sin C cos A ＝3sin （A ＋C ）， 则2sin B cos A ＝3sin B ，所以cos A ＝32，于是A ＝π6．（6分） （2）由（1）知A ＝B ＝π6，所以AC ＝BC ，C ＝2π3．设AC ＝x ，则MC ＝12x ，AM ＝7．在△AMC 中，由余弦定理得AC 2＋MC 2－2AC·MC cos C ＝AM 2，即x 2＋（x 2）2－2x·x2·cos 120°＝（7）2，解得x ＝2，故S △ABC ＝12x 2sin 2π3＝3．（12分）17．解：（1）50名代表中随机选出2名的方法数为C 250，选出的2人是教师的方法数为C 215， ∴2人是教师的概率为P ＝C 215C 250＝15×1450×49＝335．（3分）（2）法一：设“选出的3名代表是学生或家长”为事件A ，“选出的3名代表中恰有1人为家长”为事件B ，则P （A ）＝C 335C 350＝187560，P （A·B ）＝C 120C 215C 350＝328，P （B|A ）＝P(A·B)P(A)＝60187．（7分）法二：由题意，所求概率即为35名家长或学生代表中恰有1人为家长、2人为学生的概率，即P ＝C 120C 215C 335＝60187．（3）∵ξ的可能取值为0,1,2，又P （ξ＝0）＝C 215C 235＝317，P （ξ＝1）＝C 120·C 115C 235＝60119，P （ξ＝2）＝C 220C 235＝38119，∴随机变量ξEξ＝0×317＋1×60119＋2×38119＝136119．（12分）18．解：（1）证明：如图，以AB ，AC ，AA 1分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系A－xyz ．则P （λ，0,1），N （12，12，0），M （0,1，12），（2分）从而PN ＝（12－λ，12，－1），AM ＝（0,1，12），PN ·AM ＝（12－λ）×0＋12×1－1×12＝0，所以PN ⊥AM ．（3分）（2）平面ABC 的一个法向量为n ＝（0,0,1）， 则sin θ＝|sin （π2－〈PN ，n 〉）|＝|cos 〈PN ，n 〉|＝|PN ·n|PN |·|n||＝1(λ－12)2＋54（※）．（5分）而θ∈[0，π2]，当θ最大时，sin θ最大，tan θ最大，θ＝π2除外，由（※）式，当λ＝12时，（sin θ）max ＝255，（tan θ）max ＝2．（6分）（3）平面ABC 的一个法向量为n ＝AA 1＝（0,0,1）． 设平面PMN 的一个法向量为m ＝（x ，y ，z ）， 由（1）得MP ＝（λ，－1，12）．由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+--⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅.021,021)21(,0,0z y x z y x m m λλ得（7分）解得))1(2,12,3(,3.3)1(2,312λλλλ-+==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=m x x z x y 得令． （9分） ∵平面PMN 与平面ABC 所成的二面角为45°，∴|cos 〈m ，n 〉|＝|m ·n |m |·|n ||＝|2(1－λ)|9＋(2λ＋1)2＋4(1－λ)2＝22，解得λ＝－12．（11分）故点P 在B 1A 1的延长线上，且|A 1P |＝12．（12分）19．解：（1）Q 型车每月的销售量{a n }是以首项a 1＝a ，公比q ＝1＋1%＝1．01的等比数列．（2分）前n 个月的销售总量S n ＝a (1.01n －1)1.01－1＝100a （1．01n －1）（n ∈N *，且n ≤24）．（2）∵S n －T n ＝100a （1．01n －1）－228a （1．012n －1）＝100a （1．01n －1）－228a （1．01n －1）（1．01n ＋1）＝－228a （1．01n －1）·（1．01n ＋3257）．又1．01n －1>0,1．01n ＋3257>0，∴S n <T n ．（8分）（3）记Q 、R 两款车第n 个月的销量分别为a n 和b n ，则a n ＝a ×1．01n －1．当n ≥2时，b n ＝T n －T n －1＝228a （1．012n －1）－228a （1．012n －2－1）＝228a ×（1．012－1）×1．012n －2＝4．5828a 1．012n －2．（10分） b 1＝4．5828a （或228×0．0201a ），显然20%×b 1<a 1． 当n ≥2时，若a n <20%×b n ， 即a ×1．01n －1<15×4．5828a ×1．012n －2，1．012（n －1）>54.5828×1．01n －1,1．01n －1>54.5828≈1．09，n －1>lg1.09lg1.01≈8．66． ∴n ≥10，即从第10个月开始，Q 型车月销售量小于R 型车月销售量的20%．（13分）20．解：（1）设双曲线G 的渐近线的方程为y ＝kx ，则由渐近线与圆x 2＋y 2－10x ＋20＝0相切可得|5k |k 2＋1＝5，所以k ＝±12，即双曲线G 的渐近线的方程为y ＝±12x ．（3分）（2）由（1）可设双曲线G 的方程为x 2－4y 2＝m ， 把直线l 的方程y ＝14（x ＋4）代入双曲线方程，整理得3x 2－8x －16－4m ＝0， 则x A ＋x B ＝83，x A x B ＝－16＋4m 3．（*）∵|PA |·|PB |＝|PC |2，P 、A 、B 、C 共线且P 在线段AB 上，∴（x P －x A ）（x B －x P ）＝（x P －x C ）2，即（x B ＋4）（－4－x A ）＝16， 整理得4（x A ＋x B ）＋x A x B ＋32＝0． 将（*）代入上式得m ＝28，∴双曲线的方程为x 228－y 27＝1．（8分）（3）由题可设椭圆S 的方程为x 228＋y 2a2＝1（a >27），设垂直于l 的平行弦的两端点分别为M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），MN 的中点为P （x 0，y 0），则x 2128＋y 21a 2＝1，x 2228＋y 22a2＝1， 两式作差得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)28＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)a 2＝0．由于y 1－y 2x 1－x 2＝－4，x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0，所以x 028－4y 0a2＝0，所以，垂直于l 的平行弦中点的轨迹为直线x 28－4ya 2＝0截在椭圆S 内的部分．又由已知，这个轨迹恰好是G 的渐近线截在S 内的部分，所以a 2112＝12，即a 2＝56，故椭圆S 的方程为x 228＋y 256＝1．（13分）21．证法一：（1）∵f （x ）＝nx ，∴f ′（x ）＝12nx·（nx ）′＝12·nx ．（1分）C n ：y ＝nx 在点P n （x n ，y n ）处的切线l n 的斜率k n ＝f ′（x n ）＝12·nx n ，∴l n 的方程为y －y n ＝12·nx n （x －x n ）．（2分）∵l n 经过点（－a,0），∴y n ＝－12·n x n （－a －x n ）＝12·nx n （a ＋x n ）．又∵P n 在曲线C n 上，∴y n ＝nx n ＝12·nx n （a ＋x n ），∴x n ＝a ，∴y n ＝na ，∴P n （a ，na ）总在直线x ＝a 上，即P 1，P 2，…，P n 在同一直线x ＝a 上．（4分） （2）由（1）可知y n ＝an ，∴f （i ）＝a y i ＝1i＝1i．（5分） 1i ＝22i <2i ＋i －1＝2（i －i －1）（i ＝1,2，…，n ）， ∑∑∑===--<=n i ni ni i i i i y a 111)1(21 2)]1()12()01[(2n n n =--++-+-= ．（9分）设函数F （x ）＝x －ln （x ＋1），x ∈[0,1]，有F （0）＝0，∴F ′（x ）＝12x －1x ＋1＝x ＋1－2x 2x (x ＋1)＝(x －1)22x (x ＋1)>0（x ∈（0,1）），∴F （x ）在[0,1]上为增函数，即当0<x <1时F （x ）>F （0）＝0，故当0<x <1时x >ln （x ＋1）恒成立．（11分） 取x ＝1i （i ＝1,2,3，…，n ），f （i ）＝1i >ln （1＋1i）＝ln （i ＋1）－ln i ， 即f （1）＝11>ln2，f （2）＝12>ln （1＋12）＝ln3－ln2，…，f （n ）＝1n>ln （n ＋1）－ln n ，)1ln(]ln )1[ln()2ln 3(ln 2ln 121111)(11+=-+++-+>+++==∴∑∑==n n n ni i f ni n i 综上所述有∑=<<+ni in y an 12)1ln( （n ∈N *）．（13分） 证法二：（1）设切线l n 的斜率为k n ，由切线过点（－a,0）得切线方程为y ＝k n （x ＋a ），则方程组⎩⎨⎧≥=+=)0()(2y nx y a x k y n 的解为⎩⎨⎧==n n y y x x ．（1分）由方程组用代入法消去y 化简得k 2n x 2＋（2ak 2n －n ）x ＋k 2n a 2＝0，（*）有Δ＝（2ak 2n －n ）2－4k 2n ·k 2n a 2＝－4ank 2n ＋n 2＝0，∴k 2n ＝n 4a．（2分）代入方程（*），得n 4a x 2＋（2a ·n 4a －n ）x ＋n 4a ·a 2＝0，即x 2－2a ·x ＋a 2＝0，∴x ＝a ，即有x n ＝a ，y n ＝nx n ＝na ，即P 1，P 2，…，P n 在同一直线x ＝a 上．（4分） （2）先证：0<x <1时x >x >ln （x ＋1），以下类似给分．。
2011年湖南省长沙市长郡中学理科实验班招生考试数学试卷
2011年湖南省长沙市长郡中学理科实验班招生考试数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分）1．（4分）函数图象的大致形状是（）A．B．C．D．考点：反比例函数的图象．分析：由题意只需找到图象在x轴下方的不经过原点的函数图象即可．解答：解：由函数解析式可得x可取正数，也可取负数，但函数值只能是负数；所以函数图象应在x轴下方，并且x，y均不为0．故选D．点评：解决本题的关键是根据在函数图象上的点得到函数图象的大致位置．2．（4分）（2007•临沂）小明随机地在如图所示的正三角形及其内部区域投针，则针扎到其内切圆（阴影）区域的概率为（）A．B．πC．πD．考点：几何概率．专题：计算题．分析：针扎到内切圆区域的概率就是内切圆的面积与正三角形面积的比．解答：解：∵如图所示的正三角形，∴∠CAB=60°，设三角形的边长是a，∴AB=a，∵⊙O是内切圆，∴∠OAB=30°，∠OBA=90°，∴BO=tan30°AB=a，则正三角形的面积是a2，而圆的半径是a ，面积是a2，因此概率是a2÷a2=．故选C．点评：用到的知识点为：边长为a的正三角形的面积为：a2；求三角形内切圆的半径应构造特殊的直角三角形求解．3．（4分）满足不等式n200＜5300的最大整数n等于（）A．8B．9C．10 D．11考点：幂的乘方与积的乘方．分析：将不等式左右两边理由幂的乘方运算法则变形为指数相同的两个幂，通过计算可求出n的最大值．解答：解：n200=（n2）100，5300=（125）100，所以n2＜125，最大整数n=11．故选D．点评：本题利用了幂的乘方、积的乘方以及分数的基本性质进行变形而求的．4．（4分）甲、乙两车分别从A，B两车站同时开出相向而行，相遇后甲行驶1小时到达B站，乙再行驶4小时到达A站．那么，甲车速是乙车速的（）A．4倍B．3倍C．2倍D．1.5倍考点：分式方程的应用．专题：行程问题．分析：如果设A，B两车站路程为s，甲、乙车速分别为a，b，那么当甲、乙两车分别从A，B两车站同时开出相向而行到相遇时所用时间为．又相遇后甲行驶1小时到达B站，根据甲由A车站行驶到B车站的时间不变可列出方程=+1①，同样，乙再行驶4小时到达A站，根据乙由B车站行驶到A车站的时间不变可列出方程=+4②，将方程①②变形，即可求出的值，从而得出正确选项．解答：解：设A，B两车站路程为s，甲、乙车速分别为a，b．由题意，有．变形得，两式相除，得．故选C．点评：本题考查分式方程在行程问题中的应用．分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．行程问题常用的基本关系式为路程=速度×时间，解题时，紧紧抓住行程问题的三个基本量：路程、速度、时间进行分析．注意本题所设未知数有三个，但只能列出两个方程，不能求出未知数的具体值，将两个方程变形，求出a与b的比值即可．5．（4分）图中的矩形被分成四部分，其中三部分面积分别为2，3，4，那么，阴影三角形的面积为（）A．5B．6C．7D．8考点：面积及等积变换．专题：几何图形问题．分析：如图所示，设矩形面积为s，按图中所设的长度，得a（c+d）=4，bc=6，d（a+b）=8，从而结合图形可得出关于s的一个等式，然后将选项代入判断即可得出答案．解答：解：设矩形面积为s，按图中所设的长度，得a（c+d）=4，bc=6，d（a+b）=8，s=（a+b）（c+d）=ac+ad+bc+bd，∵ac+ad=4，bc=6，da+bd=8，∴18﹣ad=s，∴ac=s﹣14，三式相乘，得a（c+d）•bc•d（a+b）=abcds=4×6×8，ads=32①；又ac=s﹣14，bd=s﹣10，所以abcd=（s﹣14）（s﹣10），6ad=（s﹣14）（s﹣10）②；由①②得s（s﹣14）（s﹣10）=192，用四个选项的值验证，当阴影面积为7时s=16，s（s﹣14）（s﹣10）=16×2×6=192成立．故选C．点评：本题考查面积及等积变换，有一定难度，在解答本题时将图形合适的分解是解答本题的关键．6．（4分）如图，AB是圆的直径，CD是平行于AB的弦，且AC和BD相交于E，∠AED=α，那么△CDE与△ABE的面积之比是（）A．c osαB．s in2αC．c os2αD．1﹣sinα考点：相似三角形的判定与性质；圆周角定理．分析：C D与AB平行，则△CDE与△ABE相似，要求△CDE，△ABE的面积之比，只需求出两三角形的相似比；连接AD，构造直角三角形，然后利用锐角三角形函数求出相似比，面积比等于相似比的平方．解答：解：连接AD，∵AB∥DC，∴△CDE∽△ABE，∴S△CDE：S△ABE=，∵AB是圆的直径，∴∠ADB=90°，∴cos∠AED=，∵∠AED=α，∴=cosα，∴S△CDE：S△ABE==cos2α．故选C．点评：本题结合锐角三角形函数考查了相似三角形的性质，两三角形相似，面积比等于相似比的平方．7．（4分）两杯等量的液体，一杯是咖啡，一杯是奶油．舀一勺奶油到咖啡杯里，搅匀后舀一勺混合液注入到奶油杯里．这时，设咖啡杯里的奶油量为a，奶油杯里的咖啡量为b，那么a和b的大小为（）A．a＞b B．a＜b C．a=b D．与勺子大小有关考点：分式的混合运算．专题：应用题．分析：设各杯的量为1，一勺的量为x．第一次：咖啡杯里的奶油量为x，奶油杯里的咖啡量为0；第二次：咖啡杯里的奶油量为，奶油杯里的咖啡量为，分别计算再进行比较即可．解答：解：设各杯的量为1，一勺的量为x．第一次：咖啡杯里的奶油量为x，奶油杯里的咖啡量为0；第二次：咖啡杯里的奶油量为，奶油杯里的咖啡量为．所以a=b．故选C．点评：此题考查分式的混合运算在实际生活中的应用，理清题意，找到等量关系是关键．8．（4分）设A，B，C是三角形的三个内角，满足3A＞5B，3C＜2B，这个三角形是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．都有可能考点：三角形内角和定理．专题：推理填空题．分析：由3A＞5B，3C＜2B，得到3A+2B＞5B+3C，则A＞B+C，不等式两边加A，得到2A＞A+B+C，在利用三角形的内角和定理得A＞90°，即可判断三角形的形状．解答：解：∵3A＞5B，2B＞3C，∴3A+2B＞5B+3C，即A＞B+C，不等式两边加A，∴2A＞A+B+C，而A+B+C=180°，∴2A＞180°，即A＞90°，∴这个三角形是钝角三角形．故选B．点评：本题考查了三角形的内角和定理：三角形的三个内角的和为180°．也考查了代数式的变形能力以及三角形的分类．二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．（5分）用数字1，2，3，4，5，6，7，8不重复地填写在下面连等式的方框中，使这个连等式成立：1+□+□=9+□+□=8+□+□=6+□+□1+8+6=9+5+1=8+3+4=6+7+2．考点：有理数的加法．专题：计算题．分析：先将数字1，2，3，4，5，6，7，8相加可得36，再将1，9，8，6相加可得24，又（36+24）÷4=60÷4=15，可知每组数字的和为15等式成立．解答：解：∵1+2+3+4+5+6+7+8=36，1+9+8+6=24，36+24=60，60÷4=15，∴1+8+6=9+5+1=8+3+4=6+7+2．故答案为：8，6，5，1，3，4，7，2．点评：本题考查了有理数的加法，趣味性较强，有一定的难度，找准每组数字的和是解题的关键．10．（5分）如图，正三角形与正六边形的边长分别为2和1，正六边形的顶点O是正三角形的中心，则四边形OABC的面积等于．考点：等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质．专题：计算题．分析：过点O作三角形边的垂线，垂足为E、F，根据O为等边△ABC的中新可得OE=OF，即四边形OABC的面积等于四边形OEBF的面积，故求四边形OEBF的面积即可解题．解答：解：过点O作三角形边的垂线，垂足为E、F，∵O为等边△ABC的中心，∴OE=OF，所求四边形OABC的面积等于四边形OEBF的面积，即正三角形面积的．正三角形的面积为×2×=，故四边形OABC的面积=，故答案为．点评：本题考查了等边三角形面积的计算，考查了等边三角形中心为角平分线、中线、高线、垂直平分线的交点，本题中求证四边形OABC的面积等于四边形OEBF的面积是解题的关键．11．（5分）计算：=．考点：分母有理化．专题：计算题．分析：一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．注意解答本题要进行两次分母有理化．解答：解：原式===．故应填．点评：主要考查二次根式的有理化．根据二次根式的乘除法法则进行二次根式有理化．二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．即一项符号和绝对值相同，另一项符号相反绝对值相同．12．（5分）五支篮球队举行单循坏赛（就是每两队必须比赛1场，并且只比赛一场），当赛程进行到某一天时，A队已赛了4场，B队已赛了3场，C队已赛了2场，D队已赛了1场，那么到这一天为止一共已经赛了6场，E队比赛了2场．考点：有理数的加减混合运算．分析：由A队已赛了4场，B队已赛了3场，C队已赛了2场，D队已赛了1场可知，A和全部对手进行了比赛，D除A外都没有比，B除D外都比过，C和DE没有比，推出E得比赛场次，再算出一共得比赛场次即可解得．解答：解：每队要进行4场比赛∵A队已赛了4场，B队已赛了3场，C队已赛了2场，D队已赛了1场，∴D只和A比赛，没和其他队比赛，B和ACE都进行了比赛，C和AB举行了比赛，E和AB进行了比赛，故E队比赛了2场，到这一天为止一共已经赛了（4+3+2+1+2）÷2=6 场．故答案为6、2．点评：本题主要考查学生的逻辑推理能力，注意两队进行1场比赛，最后的场次相加应除以2．13．（5分）（2006•无锡）已知∠AOB=30°，C是射线OB上的一点，且OC=4．若以C为圆心，r为半径的圆与射线OA有两个不同的交点，则r的取值范围是2＜r≤4．考点：直线与圆的位置关系；含30度角的直角三角形．分析：根据直线与圆的位置关系及直角三角形的性质解答．若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．解答：解：由图可知，r的取值范围在OC和CD之间．在直角三角形OCD中，∠AOB=30°，OC=4，则CD=OC=×4=2；则r的取值范围是2＜r≤4．点评：解答本题要画出图形，利用数形结合可轻松解答．注意：当d=半径时，有一个交点，故r＞2．14．（5分）如图，△ABC为等腰直角三角形，若AD=AC，CE=BC，则∠1=∠2（填“＞”、“＜”或“=”）考点：等腰直角三角形；勾股定理．分析：先过E作EF⊥AB，设CA=CB=3，利用勾股定理求出EF=BF=，再证明Rt△DCE与Rt△AFE 相似即可得出答案．解答：解：过E作EF⊥AB，设CA=CB=3，AB=3AD=AC=1，CD=2CE=BC=1，EB=2EF=BF=AF=AB﹣BF=3﹣=2，所以=，所以，Rt△DCE与Rt△AFE相似．所以，∠1=∠2．故填：=．点评：此题考查学生对等腰直角三角形，勾股定理和相似三角形的判定与性质的理解和掌握，此题的关键是过E作EF⊥AB，这是此题的突破点，然后利用相似三角形即可证明，此题属于中档题．三、解答题（共3小题，满分38分）15．（12分）（2009•深圳）迎接大运，美化深圳，园林部门决定利用现有的3490盆甲种花卉和2950盆乙种花卉搭配A、B两种园艺造型共50个摆放在迎宾大道两侧，已知搭配一个A种造型需甲种花卉80盆，乙种花卉40盆，搭配一个B种造型需甲种花卉50盆，乙种花卉90盆．（1）某校九年级（1）班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计，问符合题意的搭配方案有几种？请你帮助设计出来．（2）若搭配一个A种造型的成本是800元，搭配一个B种造型的成本是960元，试说明（1）中哪种方案成本最低？最低成本是多少元？考点：一元一次不等式组的应用．专题：方案型．分析：（1）摆放50个园艺造型所需的甲种和乙种花卉应＜现有的盆数，可由此列出不等式求出符合题意的搭配方案来；（2）根据两种造型单价的成本费可分别计算出各种可行方案所需的成本，然后进行比较；也可由两种造型的单价知单价成本较低的造型较多而单价成本较高的造型较少，所需的总成本就低．解答：解：（1）设搭配A种造型x个，则B种造型为（50﹣x）个，依题意得解这个不等式组得，∴31≤x≤33∵x是整数，∴x可取31，32，33∴可设计三种搭配方案①A种园艺造型31个B种园艺造型19个②A种园艺造型32个B种园艺造型18个③A种园艺造型33个B种园艺造型17个．（2）方法一：由于B种造型的造价成本高于A种造型成本．所以B种造型越少，成本越低，故应选择方案③，成本最低，最低成本为33×800+17×960=42720（元）方法二：方案①需成本31×800+19×960=43040（元）方案②需成本32×800+18×960=42880（元）方案③需成本33×800+17×960=42720（元）∴应选择方案③，成本最低，最低成本为42720元．点评：本题主要考查不等式在现实生活中的应用，运用了分类讨论的思想进行比较．16．（12分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC=BC，D为⊙O中上一点，延长DA至点E，使CE=CD．（1）求证：AE=BD；（2）若AC⊥BC，求证：AD+BD=CD．考点：圆周角定理；全等三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：（1）根据同弧上的圆周角相等，得∠CBA=∠CDE，则∠ACB=∠ECD，可证明△ACE≌△BCD，则AE=BD；（2）根据已知条件得，∠CED=∠CDE=45°，则DE=CD，从而证出结论．解答：证明：（1）在△ABC中，∠CAB=∠CBA．在△ECD中，∠E=∠CDE．∵∠CBA=∠CDE，（同弧上的圆周角相等），∴∠E=∠CDE=∠CAB=∠CBA，∵∠E+∠ECD+∠EDC=180°，∠CAB+∠ACB+∠ABC=180°，∴∠ACB=∠ECD，∴∠ACB﹣∠ACD=∠ECD﹣∠ACD．∴∠ACE=∠BCD，在△ACE和△BCD中，∠ACE=∠BCD；CE=CD；AC=BC，∴△ACE≌△BCD．∴AE=BD；（2）若AC⊥BC，∵∠ACB=∠ECD．∴∠ECD=90°，∴∠CED=∠CDE=45°，∴，又∵AD+BD=AD+EA=ED，∴AD+BD=CD．点评：本题是一道综合题，考查了圆周角定理和全等三角形的判定和性质，解答这类题一些学生不会综合运用所学知识解答问题，不知从何处入手造成错解．17．（14分）（2007•河北）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=50，AD=75，BC=135．点P从点B出发沿折线段BA﹣AD﹣DC以每秒5个单位长的速度向点C匀速运动；点Q从点C出发沿线段CB方向以每秒3个单位长的速度匀速运动，过点Q向上作射线QK⊥BC，交折线段CD﹣DA﹣AB于点E．点P、Q同时开始运动，当点P与点C重合时停止运动，点Q也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．（1）当点P到达终点C时，求t的值，并指出此时BQ的长；（2）当点P运动到AD上时，t为何值能使PQ∥DC；（3）设射线QK扫过梯形ABCD的面积为S，分别求出点E运动到CD、DA上时，S与t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）（4）△PQE能否成为直角三角形？若能，写出t的取值范围；若不能，请说明理由．考点：等腰梯形的性质；全等三角形的判定与性质；直角三角形的性质；平行四边形的判定．专题：压轴题；动点型．分析：（1）把BA，AD，DC它们的和求出来再除以速度每秒5个单位就可以求出t的值，然后也可以求出BQ的长；（2）如图1，若PQ∥DC，又AD∥BC，则四边形PQCD为平行四边形，从而PD=QC，用t 分别表示QC，BA，AP，然后就可以得出关于t的方程，解方程就可以求出t；（3）①当点E在CD上运动时，如图2分别过点A、D作AF⊥BC于点F，DH⊥BC于点H，则四边形ADHF为矩形，然后根据已知条件可以证明△ABF≌△DCH，根据全等三角形的性质可以得到FH=AD=75，BF=CH=30，DH=AF=40，再求出tanC=，在Rt△CQE中，QE，QC就可以用t表示，这样射线QK扫过梯形ABCD的面积为S也可以用t表示了；②当点E在DA上运动时，如图1．过点D作DH⊥BC于点H，由①知DH=40，CH=30，又QC=3t，从而ED=QH=QC﹣CH=3t﹣30，现在的射线QK扫过梯形ABCD的面积S就是梯形QCDE，可以用t表示了．（4）△PQE能成为直角三角形．①当点P在BA（包括点A）上，即0＜t≤10时，如图2．过点P作PG⊥BC于点G，则PG=PB•sinB=4t，又有QE=4t=PG，易得四边形PGQE为矩形，此时△PQE总能成为直角三角形②当点P、E都在AD（不包括点A但包括点D）上，即10＜t≤25时，如图1．由QK⊥BC和AD∥BC可知，此时，△PQE为直角三角形，但点P、E不能重合，即5t﹣50+3t﹣30≠75，解得t≠．③当点P在DC上（不包括点D但包括点C），即25＜t≤35时，如图3．由ED＞25×3﹣30=45，可知，点P在以QE=40为直径的圆的外部，故∠EPQ不会是直角．由∠PEQ＜∠DEQ，可知∠PEQ一定是锐角．对于∠PQE，∠PQE≤∠CQE，只有当点P与C重合，即t=35时，如图4，∠PQE=90°，△PQE为直角三角形．解答：解：（1）t=（50+75+50）÷5=35（秒）时，点P到达终点C．（1分）此时，QC=35×3=105，∴BQ的长为135﹣105=30．（2分）（2）如图1，若PQ∥DC，又AD∥BC，则四边形PQCD为平行四边形，从而PD=QC，由QC=3t，BA+AP=5t得50+75﹣5t=3t，解得t=．经检验，当t=时，有PQ∥DC．（4分）（3）①当点E在CD上运动时，如图2．分别过点A、D作AF⊥BC于点F，DH⊥BC于点H，则四边形ADHF为矩形，且△ABF≌△DCH，从而FH=AD=75，于是BF=CH=30．∴DH=AF=40．又QC=3t，从而QE=QC•tanC=3t•=4t．（注：用相似三角形求解亦可）∴S=S△QCE=QE•QC=6t2；（6分）②当点E在DA上运动时，如图1．过点D作DH⊥BC于点H，由①知DH=40，CH=30，又QC=3t，从而ED=QH=QC﹣CH=3t﹣30．∴S=S梯形QCDE=（ED+QC）DH=120t﹣600．（8分）（4）△PQE能成为直角三角形．（9分）当△PQE为直角三角形时，t的取值范围是0＜t≤25且t≠或t=35．（12分）根据全等三角形的性质（注：（4）问中没有答出t≠或t=35者各扣（1），其余写法酌情给分）下面是第（4）问的解法，仅供教师参考：①当点P在BA（包括点A）上，即0＜t≤10时，如图2．过点P作PG⊥BC于点G，则PG=PB•sinB=4t，又有QE=4t=PG，易得四边形PGQE为矩形，此时△PQE总能成为直角三角形．②当点P、E都在AD（不包括点A但包括点D）上，即10＜t≤25时，如图1．由QK⊥BC和AD∥BC可知，此时，△PQE为直角三角形，但点P、E不能重合，即5t﹣50+3t﹣30≠75，解得t≠．③当点P在DC上（不包括点D但包括点C），即25＜t≤35时，如图3．由ED＞25×3﹣30=45，可知，点P在以QE=40为直径的圆的外部，故∠EPQ不会是直角．由∠PEQ＜∠DEQ，可知∠PEQ一定是锐角．对于∠PQE，∠PQE≤∠CQE，只有当点P与C重合，即t=35时，如图4，∠PQE=90°，△PQE为直角三角形．综上所述，当△PQE为直角三角形时，t的取值范围是0＜t≤25且t≠或t=35．点评：此题综合性很强，把图形的变换放在梯形的背景中，利用等腰梯形的性质结合已知条件探究图形的变换，根据变换的图形的性质求出运动时间．。
湖南省长郡中学2011届高三分班考试物理试题
绝密★启用前湖南省长郡中学2011届高三分班考试物理试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题1．一物体做匀减速直线运动，初速度大小为10m/s ，加速度大小为1m/s2，则物体在停止运动前1s 内的平均速度大小为 （ ） A ．0．5m/s B ．5m/s C ．1m/s D ．5．5m/s 2．关于近代物理学的结论中，哪些是正确的： （ ） A ．宏观物体的物质波波长非常小，极易观察到它的波动性 B ．氢原子的能级是不连续的，辐射光子的能量也是不连续的 C ．光电效应现象中，光电子的最大初动能与照射光的频率成正比 D ．光的干涉现象中，干涉亮条纹部分是光子到达几率大的地方 3．类比是一种有效的学习方法，通过归类和比较，有助于掌握新知识，提高学习效率．在类比过程中，既要找出共同之处，又要抓住不同之处．某同学对机械波和电磁波进行类比，总结出下列内容，其中不正确的是 （ ） A ．机械波的频率、波长和波速三者满足的关系，对电磁波也适用 B ．机械波和电磁波都能产生干涉和衍射现象 C ．机械波的传播依赖于介质，而电磁波可以在真空中传播 D ．机械波既有横波又有纵波，而电磁波只有纵波4．点电荷A 和B ，分别带正电和负电，电量分别为4Q 和Q ，在AB 连线上，如图所示，电场强度为零的地方在 （ ）A ．A 和B 之间 B ．A 右侧C ．B 左侧D ．A 的右侧及B 的左侧5．物体在两个相互垂直的力作用下运动，力F1对物体做功6J ，物体克服力F2做功8J ，则F1、F2的合力对物体做功为 （ ） A ．14J B ．10J C ．2J D ．-2J重力），恰能沿直线从左向右飞越此区域，则若电子以相同的速率从右向左水平飞入该区域，则电子将 （ ）A ．沿直线飞越此区域B ．电子将向上偏转C ．电子将向下偏转D ．电子将向纸外偏转7．地球和木星绕太阳运行的轨道都可以看作是圆形的．已知木星的轨道半径约为地球轨道半径的5．2倍，则木星与地球绕太阳运行的线速度之比约为 （ ） A ．0．19 B ．0．44 C ．2．3 D ．5．28．在光滑水平面上有三个完全相同的小球排成一条直线．2、3小球静止，并靠在一起，1球以速度v 0射向它们，如图所示．设碰撞中不损失机械能，则碰后三个小球的速度可能值是 （ ）A ．032131v v v v ===B ．032121,0v v v v ===C ．032121,0v v v v ===D ．0321,0v v v v ===9．如图所示，正方形容器处在匀强磁场中，一束电子从a 孔垂直进入磁场射入容器中，其中一部分从c 孔射出，一部分从d 孔射出，则下列说法正确的是 （ ）A ．从两孔射出的电子速率之比为1:2==d c v vB ．从两孔射出的电子在容器中运动所用时间之比为1:2:=d c t tC ．从两孔射出的电子在容器中运动时的加速度大小之比1:2:=d c a aD ．从两孔射出的电子在容器中运动时的加速度大小之比1:2:=d c a a电压表并联在A、C两点间时，电压表读数为U；当并联在A、B两点间时，电压表读数也为U；当并联在B、C两点间时，电压表读数为零，则出现此种情况的原因可能是（R1、R2阻值相差不大）（）A．AB段断路B．BC段断路 C．AB段短路D．BC段短路第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 二、实验题11．（4分）如图所示，螺旋测微器的读数是 ．12．（4分）在欧姆表测电阻的实验中，用“×10”挡测量一个电阻的阻值，发现表针偏转角度较小，正确的判断和做法是下列选项中的 和 ． A ．这个电阻阻值较小 B ．这个电阻阻值较大 C ．为了把电阻测得更准确一些，应换用“×1”挡，重新测量 D ．为了把电阻测得更准确一些，应换用“×100”挡，重新测量 13．（4分）如图是用打点计时器打出一系列点的纸带，纸带固定在一个做匀加速直线运动的小车后面，A 、B 、C 、D 、E 为选好的计数点．相邻计数点间的时间间隔为0．04s ．由图上数据可从纸带上求出小车在运动中的加速度a= m/s 2以及打点计时器打下C点时小车的瞬时速度= m/s ．14．（8分）热敏电阻是传感电路中常用的电子元件．现用伏安法研究热敏电阻在不同温度下的伏安特性曲线（伏安特性曲线是指用电器的电流I 与所加电压U 的关系在U-I 坐标中所作出的图线），要求特性曲线尽可能完整，实验用的原理图如图所示．已知常温下待测热敏电阻的阻值约4~5毟．热敏电阻和温度计插入带塞的保温杯中，杯内有一定量的冷水，其它备用的仪表和器具有： 盛有热水的热水杯电源（3V 、内阻可忽略） 直流电流表（内阻约1Ω） 直流电压表（内阻约5kΩ） 滑动变阻器（0~20Ω） 开关、导线若干．请在空格内填上适当的内容：a ．往保温杯中加入一些热水，待温度稳定时读出 的值；b ．调节滑动变阻器，快速读出 的值；d ．绘出各测量温度下热敏电阻的 ． 三、简答题15．（8分）一物体做匀变速直线运动，从某时刻开始计时，即t=0，在此后连续两个2s 内物体通过的位移分别为8m 和16m ，求： （1）物体的加速度大小； （2）t=0时物体的速度大小 四、计算题16．（10分）如图所示，A 和B 之间的距离为0．1m ，电子在A 点的速度70100.1⨯=v m/s ．已知电子的电量19106.1-⨯=e C ，电子质量301091.0-⨯=m kg ．（1）要使电子沿半圆周由A 运动到B ，求所加匀强磁场的大小和方向； （2）电子从A 运动到B 需要多少时间?17．（10分）如图所示，在光滑水平的地面上，有一辆上表面光滑的正在以速度0v 向右运动的小车，车上的木块一样与车一起以0v 向右运动，车左端有一固定挡板P ，挡板和车的质量为M=16kg ，在挡板P 和质量为M=9kg 的木块之间有少量炸药，炸药爆炸提供给小车和木块的总机械能为E 0=1800J ．若要使炸药爆炸后木块的动能等于E 0，在爆炸前小车的速度0v 为多少?18．（12分）如图所示，一带电粒子以速度0v 沿上板边缘垂直于电场线射入匀强电场，它刚好贴着下板边缘飞出．已知匀强电场两极板长为l ，间距为d ，求：（1）如果带电粒子的速度变为20v ，则离开电场时，沿场强方向偏转的距离y 为多少?（2）如果带电粒子的速度变为20v ，板长l 不变，当它的竖直位移仍为d 时，它的水平位移x 为多少?（粒子的重力忽略不计）参考答案1．A【来源】湖南省长郡中学2011届高三分班考试物理试题【解析】2．BD【来源】湖南省长郡中学2011届高三分班考试物理试题【解析】3．D【来源】湖南省长郡中学2011届高三分班考试物理试题【解析】4．C【来源】湖南省长郡中学2011届高三分班考试物理试题【解析】5．D【来源】湖南省长郡中学2011届高三分班考试物理试题【解析】6．C【来源】湖南省长郡中学2011届高三分班考试物理试题【解析】7．B【来源】湖南省长郡中学2011届高三分班考试物理试题【解析】8．D【来源】湖南省长郡中学2011届高三分班考试物理试题【解析】9．AD【来源】湖南省长郡中学2011届高三分班考试物理试题【解析】10．AD【来源】湖南省长郡中学2011届高三分班考试物理试题【解析】11．5．824mm~5．826mm【来源】湖南省长郡中学2011届高三分班考试物理试题【解析】12．B D【来源】湖南省长郡中学2011届高三分班考试物理试题【解析】13．2．5m/s20．75m/s【来源】湖南省长郡中学2011届高三分班考试物理试题【解析】14．a．温度计b．电流表和电压表c．温度d．伏安特性曲线【来源】湖南省长郡中学2011届高三分班考试物理试题【解析】15．（1）2m/s2（2）2m/s【来源】湖南省长郡中学2011届高三分班考试物理试题 【解析】 16．（1）垂直纸面向里 0．0011T （2）1．57×10-8s 【来源】湖南省长郡中学2011届高三分班考试物理试题 【解析】 17．0v =4m/s【来源】湖南省长郡中学2011届高三分班考试物理试题 【解析】 18．（1）14y d =（2）2.5l【来源】湖南省长郡中学2011届高三分班考试物理试题【解析】因为带电粒子在电场中运动，受到的电场力与速度无关，所以a 是一定的⎪⎩⎪⎨⎧==2021at d t v l 2202l dv a =（1）t v l '=02d v l l dv t a y 41422121222202=⋅⋅='=（2）如图示：将速度反向延长交上板的中点，由相似△l x d d l x 5.1,414321='='l x l x 5.2='+=∴水平位移。
长沙市2011届高三最新高考模拟试卷(数学理)
2011年长沙市高考模拟试卷（理科）数学（I卷）满分：150分时量：120分钟—、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 己知i是虚数单位，实数x,y满足，则x-y的值为A. -1B. 0C. 1D. 22. 已知集合.则.=A. B. C. D.3. 函数.的零点一定位于区间A. (1, 2)B. (2, 3)C. (3，4)D. (4，5)4. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于A. B.C. D. 32 +5. 若圆(x-a)2+(y-a)2=4上，总存在不同两点到原点的距离等于1，则实数a的取值范围是A. B.C. D.6. 在.中，a,b，c是角A,B的对边,若a,b,c成等比数列，A = 60°，则=A. B. 1 C. D.7. 若抛物线y2=4x的焦点是F,准线是l，点M(4,4)是抛物线上一点，则经过点F、M且与l相切的圆共有A. O个B. 1个C. 2个D. 4个8. 已知函数;y=f(x)是定义在R上的奇函数，且当时，都有不等式成立,若,，则a,b，c的大小关系是A.a>b>cB.c>b>a c.c>a>b D a>c>b二、填空题（本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在题中横线上.) (―)必做题（9~13题）9. 已知n为正偶数，且的展开式中第4项的二项式系数最大，则第4项的系数是_______(用数字作答）10. 已知随机变量，若，则的值为_______.11. 某教育管理部门用问卷调查的方式对当地1000名中学生开展了‘我爱读名著”活动情况调查，x(单位：小时）表示平均半学年度课外读书时间，现按读书时间分下列四种情况进行统计：①0 ~ 10小时；②10 ~ 20小时; ③20 ~ 30小时；④30小时以上。
2011年湖南省高考数学试卷(理科)答案与解析
2011年湖南省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）（2011?湖南）若a，b∈R，i为虚数单位，且（a+i）i=b+i则（）A．a=1，b=1 B．a=﹣1，b=1 C．a=﹣1，b=﹣1 D．a=1，b=﹣1 【考点】复数相等的充要条件．【专题】计算题．【分析】利用复数的乘法运算将等式化简；利用复数相等实部、虚部分别相等；列出方程求出a，b的值．【解答】解：（a+i）i=b+i即﹣1+ai=b+i∴a=1，b=﹣1故选D【点评】本题考查两个复数相等的充要条件：实部、虚部分别相等．2．（5分）（2011?湖南）设集合M={1，2}，N={a2}，则“a=1”是“N?M”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件【考点】集合关系中的参数取值问题．【专题】集合．【分析】先由a=1判断是否能推出“N?M”；再由“N?M”判断是否能推出“a=1”，利用充要条件的定义得到结论．【解答】解：当a=1时，M={1，2}，N={1}有N?M当N?M时，a 2=1或a2=2有所以“a=1”是“N?M”的充分不必要条件．故选A．【点评】本题考查利用充要条件的定义判断一个命题是另一个命题的条件问题．3．（5分）（2011?湖南）设如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．9π+42 B．36π+18 C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题．【分析】由三视图可知，下面是一个底面边长是3的正方形且高是2的一个四棱柱，上面是一个球，球的直径是3，该几何体的体积是两个体积之和，分别做出两个几何体的体积相加．【解答】解：由三视图可知，几何体是一个简单的组合体，下面是一个底面边长是3的正方形且高是2的一个四棱柱，上面是一个球，球的直径是3，该几何体的体积是两个体积之和，四棱柱的体积3×3×2=18，球的体积是，∴几何体的体积是18+，故选D．【点评】本题考查由三视图求面积和体积，考查球体的体积公式，考查四棱柱的体积公式，本题解题的关键是由三视图看出几何图形，是一个基础题．4．（5分）（2011?湖南）通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：由算得，．参照附表，得到的正确结论是（）A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”【考点】独立性检验的应用．【专题】常规题型．【分析】题目的条件中已经给出这组数据的观测值，我们只要把所给的观测值同节选的观测值表进行比较，发现它大于6.635，得到有99%以上的把握认为“爱好这项运动与性别有关”．【解答】解：由题意算得，．∵7.8＞6.635，∴有0.01=1%的机会错误，即有99%以上的把握认为“爱好这项运动与性别有关”故选：C．【点评】本题考查独立性检验的应用，这种问题一般运算量比较大，通常是为考查运算能力设计的，本题有创新的地方就是给出了观测值，只要进行比较就可以，本题是一个基础题．5．（5分）（2011?湖南）设双曲线的渐近线方程为3x±2y=0，则a的值为（）A．4 B．3 C．2 D．1【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题．【分析】先求出双曲线的渐近线方程，再求a的值．【解答】解：的渐近线为y=，∵y=与3x±2y=0重合，∴a=2．故选C．【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用．6．（5分）（2011?湖南）由直线与曲线y=cosx 所围成的封闭图形的面积为（）A．B．1 C．D．【考点】定积分在求面积中的应用．【专题】计算题．【分析】为了求得与x轴所围成的不规则的封闭图形的面积，可利用定积分求解，积分的上下限分别为与，cosx即为被积函数．【解答】解：由定积分可求得阴影部分的面积S=cosxdx==﹣（﹣）=，所以围成的封闭图形的面积是．故选D．【点评】本小题主要考查定积分的简单应用、定积分、导数的应用等基础知识，考查运算求解能力，化归与转化思想、考查数形结合思想，属于基础题．7．（5分）（2011?湖南）设m＞1，在约束条件下，目标函数z=x+my的最大值小于2，则m的取值范围为（）A．（1，）B．（，+∞） C．（1，3）D．（3，+∞）【考点】简单线性规划的应用．【专题】压轴题；数形结合．【分析】根据m＞1，我们可以判断直线y=mx的倾斜角位于区间（，）上，由此我们不难判断出满足约束条件的平面区域的形状，再根据目标函数Z=X+my对应的直线与直线y=mx垂直，且在直线y=mx与直线x+y=1交点处取得最大值，由此构造出关于m的不等式组，解不等式组即可求出m的取值范围．【解答】解：∵m＞1故直线y=mx与直线x+y=1交于点，目标函数Z=X+my对应的直线与直线y=mx垂直，且在点，取得最大值其关系如下图所示：即，解得1﹣＜m＜又∵m＞1解得m∈（1，）故选：A．【点评】本题考查的知识点是简单线性规划的应用，其中根据平面直线方程判断出目标函数Z=X+my对应的直线与直线y=mx垂直，且在点取得最大值，并由此构造出关于m的不等式组是解答本题的关键．8．（5分）（2011?湖南）设直线x=t与函数f（x）=x2，g（x）=lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为（）A．1 B．C．D．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【专题】计算题；压轴题；转化思想．【分析】将两个函数作差，得到函数y=f（x）﹣g（x），再求此函数的最小值对应的自变量x的值．【解答】解：设函数y=f（x）﹣g（x）=x2﹣lnx，求导数得=当时，y′＜0，函数在上为单调减函数，当时，y′＞0，函数在上为单调增函数所以当时，所设函数的最小值为所求t的值为故选D【点评】可以结合两个函数的草图，发现在（0，+∞）上x2＞lnx 恒成立，问题转化为求两个函数差的最小值对应的自变量x的值．二、填空题（共8小题，每小题5分，满分35分）9．（5分）（2011?湖南）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，曲线C2的方程为p（cosθ﹣sinθ）+1=0，则C1与C2的交点个数为 2 ．【考点】简单曲线的极坐标方程；双曲线的参数方程．【专题】计算题．【分析】先根据sin2α+cos2α=1，求出曲线C1的直角坐标方程，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，求出曲线C2的直角坐标方程，然后判定交点个数即可．【解答】解：∵曲线C1的参数方程为（α为参数），sin2α+cos2α=1∴曲线C1的直角坐标方程为x2+（y﹣1）2=1∵ρcosθ=x，ρsinθ=y，p（cosθ﹣sinθ）+1=0∴曲线C2的方程为x﹣y+1=0而圆心到直线的距离d=0＜r，故C1与C2的交点个数为2故答案为：2【点评】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互，属于基础题．10．（5分）（2011?湖南）设x，y∈R，且xy≠0，则的最小值为9 ．【考点】基本不等式．【专题】计算题．【分析】对展开，利用基本不等式即可求得其最小值．【解答】解：∵x，y∈R，且xy≠0，∴=1+4+≥5+2=9 当且仅当时等号成立，∴的最小值为9．故答案为9．【点评】此题是个基础题．考查利用基本不等式求最值，注意正、定、等，考查学生利用知识分析解决问题的能力和计算能力．11．（2011?湖南）如图，A，E是半圆周上的两个三等分点，直径BC=4，AD⊥BC，垂足为D，BE与AD相交于点F，则AF的长为．【考点】与圆有关的比例线段．【专题】选作题．【分析】根据半圆的三等分点，得到三个弧对应的角度是60°，根据直径所对的圆周角是直角得到直角三角形的有关长度，做出要求的线段的长度．【解答】解：∵A，E是半圆周上的两个三等分点∴弧EC是一个60°的弧，∴∠EBC=30°，则CE=2，连接BA，则BA=2，∴在含有30°角的直角三角形中，BD=1，DF=，AD=∴AF=，故答案为：【点评】本题考查与圆有关的比例线段，考查圆周角定理，考查含有30°角的直角三角形的有关运算，本题是一个基础题．12．（5分）（2011?湖南）设S n是等差数列{a n}（n∈N*）的前n 项和，且a1=1，a4=7，则S9= 81 ．【考点】等差数列的前n项和．【专题】计算题．【分析】先根据数列{a n}为等差数列，求出公差d，然后根据等差数列的前n项和公式求得S9．【解答】解：∵数列{a n}为等差数列，∴a n=a1+（n﹣1）d，S n=na1+∵a1=1，a4=7∴a4=1+（4﹣1）d=7∴d=2∴S9=9×1+×2=81故答案为：81【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式和前n项和公式．13．（5分）（2011?湖南）若执行如图所示的框图，输入x1=1，x 2=2，x3=3，=2，则输出的数等于．【考点】循环结构．【专题】图表型．【分析】先弄清该算法功能，S=0+（1﹣2）2=1，i=1，满足条件i＜3，执行循环体，依此类推，当i=3，不满足条件i＜3，退出循环体，输出所求即可．【解答】解：S=0+（1﹣2）2=1，i=1，满足条件i＜3，执行循环体，i=2S=1+（2﹣2）2=1，i=2，满足条件i＜3，执行循环体，i=3S=1+（3﹣2）2=2，i=3，不满足条件i＜3，退出循环体，则S=×2=故答案为：【点评】本题主要考查了方差的计算，算法和程序框图是新课标新增的内容，在近两年的新课标地区高考都考查到了，这启示我们要给予高度重视，属于基础题．14．（5分）（2011?湖南）在边长为1的正三角形ABC中，设，，则= ﹣．【考点】向量在几何中的应用．【专题】计算题；数形结合；转化思想．【分析】根据，，确定点D，E在正三角形ABC中的位置，根据向量加法满足三角形法则，把用表示出来，利用向量的数量积的运算法则和定义式即可求得的值．【解答】解：∵，∴D为BC的中点，∴，∵，∴，∴=）==﹣，故答案为：﹣．【点评】此题是个中档题，考查向量的加法和数量积的运算法则和定义，体现了数形结合的思想．15．（5分）（2011?湖南）如图，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE（阴影部分）内”，则（1）P（A）= ；（2）P（B|A）= ．【考点】条件概率与独立事件．【专题】计算题；压轴题．【分析】此题是个几何概型．用面积法求出事件A“豆子落在正方形EFGH内”的概率p（A），同理求出P（AB），根据条件概率公式P（B|A）=即可求得结果．【解答】解：用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，∴P （A）==，B表示事件“豆子落在扇形OHE（阴影部分）内”，P（AB）==，∴P（B|A）=．故答案为：．【点评】此题是个基础题．考查条件概率的计算公式，同时考查学生对基础知识的记忆、理解和熟练程度．16．（5分）（2011?湖南）对于n∈N+，将n表示n=a0×2k+a1×2k﹣1+a2×2k﹣2+…+a k﹣1×21+a k×20，当i=0时，a i=1，当1≤i≤k时，a1为0或1．记I（n）为上述表示中a i为0的个数（例如：1=1×20，4=1×22+0×21+0×20，故I（1）=0，I（4）=2），则（1）I（12）= 2 ；（2）= 1093 ．【考点】带余除法．【专题】计算题；压轴题；分类讨论；转化思想．【分析】（1）根据题意，分析可得，将n表示n=a0×2k+a1×2k﹣1+a2×2k﹣2+…+a k﹣1×21+a k×20，实际是将十进制的数转化为二进制的数，易得12=1×23+1×22+0×21+0×20，由I（n）的意义，可得答案；（2）将n分为n=127，64≤n≤126，32≤n≤63，…n=1等7种情况，有组合数的性质，分析其中I（n）的取值情况，与二项式定理结合，可转化为等比数列的前7项和，计算可得答案．【解答】解：（1）根据题意，12=1×23+1×22+0×21+0×20，则I （12）=2；（2）127=1×26+1×25+1×24+1×23+1×22+1×21+1×20，设64≤n≤126，且n为整数；则n=1×26+a1×25+a2×24+a3×23+a4×22+a5×21+a6×20，a1，a2，a3，a4，a5，a6中6个数都为0或1，其中没有一个为1时，有C60种情况，即有C60个I（n）=6；其中有一个为1时，有C61种情况，即有C61个I（n）=5；其中有2个为1时，有C62种情况，即有C62个I（n）=4；…2I（n）=C6026+C61×25+C62×24+C63×23+C64×22+C65×2+1=（2+1）n=36，同理可得：=35，…=31，2I（1）=1；则=1+3+32+…+36==1093；故答案为：（1）2；（2）1093．【点评】解本题关键在于分析题意，透彻理解I（n）的含义的运算，注意转化思想，结合二项式定理与等比数列的前n项和公式进行计算．三、解答题（共6小题，满分75分）17．（12分）（2011?湖南）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足csinA=acosC．（1）求角C的大小；（2）求sinA﹣cos（B+）的最大值，并求取得最大值时角A、B的大小．【考点】三角函数的恒等变换及化简求值．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】（1）利用正弦定理化简csinA=acosC．求出tanC=1，得到C=．（2）B=﹣A ，化简sinA﹣cos（B+）=2sin（A+）．因为0＜A ＜，推出求出2sin（A+）取得最大值2．得到A=，B=【解答】解：（1）由正弦定理得sinCsinA=sinAcosC，因为0＜A＜π，所以sinA＞0．从而sinC=cosC，又cosC≠0，所以tanC=1，C=．（2）有（1）知，B=﹣A，于是=sinA+cosA=2sin（A+）．因为0＜A ＜，所以从而当A+，即A=时2sin（A+）取得最大值2．综上所述，cos（B+）的最大值为2，此时A=，B=【点评】本题是中档题，考查三角形的有关知识，正弦定理的应用，三角函数的最值，常考题型．18．（12分）（2011?湖南）某商店试销某种商品20天，获得如下数据：试销结束后（假设该商品的日销售量的分布规律不变），设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存货少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率．（Ⅰ）求当天商品不进货的概率；（Ⅱ）记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列．【专题】应用题．【分析】（I）“当天商品不进货”包含两个事件的和事件，利用古典概型概率公式求出两个事件的概率；再利用互斥事件的和事件概率公式求出当天商品不进货的概率．（II）求出x可取的值，利用古典概型概率公式及互斥事件和事件的概率公式求出x取每一个值的概率值；列出分布列；利用随机变量的期望公式求出x的期望．【解答】解：（I）P（“当天商店不进货”）=P（“当天商品销售量为0件”）+（“当天的商品销售量为1件”）=（II）由题意知，X的可能取值为2，3P（X=2）=P（“当天商品销售量为1件”）=P（X=3）=（“当天的销售量为0”）+P（“当天的销售量为2件”）+P（“当天的销售量为3件”）=故x的分布列X的数学期望为EX=【点评】本题考查古典概型的概率公式、互斥随机的概率公式、随机变量的数学期望公式、求随机变量的分布列的步骤．19．（12分）（2011?湖南）如图，在圆锥PO中，已知PO=，⊙O的直径AB=2，C是的中点，D为AC的中点．（Ⅰ）证明：平面POD⊥平面PAC；（Ⅱ）求二面角B﹣PA﹣C的余弦值．【考点】平面与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．【专题】计算题；证明题．【分析】（Ⅰ）连接OC，先根据△AOC是等腰直角三角形证出中线OD⊥AC，再结合PO⊥AC证出AC⊥POD，利用平面与平面垂直的判定定理，可证出平面POD⊥平面PAC；（Ⅱ）过O分别作OH⊥PD于H，OG⊥PA于G，再连接GH，根据三垂线定理证明∠OGH为二面角B﹣PA﹣C的平面角，最后分别在Rt△ODA、Rt△ODP、Rt△OGH中计算出OH、OG和sin∠OGH，最后求出所求二面角的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）连接OC，∵OA=OC，D是AC的中点∴AC⊥OD又∵PO⊥底面⊙O，AC?底面⊙O∴AC⊥PO∵OD、PO是平面POD内的两条相交直线∴AC⊥平面POD，而AC?平面PAC∴平面POD⊥平面PAC（Ⅱ）在平面POD中，过O作OH⊥PD于H，由（Ⅰ）知，平面POD⊥平面PAC所以OH⊥平面PAC，又∵PA?平面PAC∴PA⊥HO在平面PAO中，过O作OG⊥PA于G，连接GH，则有PA⊥平面OGH，从而PA⊥HG．故∠OGH为二面角B﹣PA﹣C的平面角在Rt△ODA中，OD=OA?sin45°=在Rt△ODP中，OH=在Rt△OPA中，OG=在Rt△OGH中，sin∠OGH=所以cos∠OGH=故二面角B﹣PA﹣C的余弦值为【点评】直线与平面垂直是证明空间垂直的关键，立体几何常常利用三垂线定理作辅助线，来求与二面角的平面角有关的问题．20．（13分）（2011?湖南）如图，长方形物体E在雨中沿面P （面积为S）的垂直方向作匀速移动，速度为v（v＞0），雨速沿E移动方向的分速度为c（c∈R）．E移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：（1）P或P的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与|v﹣c|×S成正比，比例系数为；（2）其它面的淋雨量之和，其值为，记y为E移动过程中的总淋雨量，当移动距离d=100，面积S=时．（Ⅰ）写出y的表达式（Ⅱ）设0＜v≤10，0＜c≤5，试根据c的不同取值范围，确定移动速度v，使总淋雨量y最少．【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（Ⅰ）E移动时的总淋雨量应该等于单位时间内的淋雨量乘以所用的时间，可先求出单位时间内的淋雨量的式子，再乘以时间即可；（Ⅱ）根据绝对值的性质，将（Ⅰ）中的函数分解为分段函数的形式，再由c的不同取值范围讨论函数的单调性，在不同的情况下，单调区间不同，总淋雨量最小值对应的v值也不同．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，E移动时单位时间内的淋雨量为，故（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当0＜v≤c时，当c≤v≤10时，故（1）当0＜c＜时，y是关于v的减函数，故当v=10时，；（2）当时，在（0，c]上y是关于v的减函数，在（c，10]上，y是关于v的增函数，故当v=c时，答：（Ⅰ）函数y的表达式为（Ⅱ）（1）在0＜c的情况下，当v=10时，总淋雨量y最少；（2）在的情况下，当v=c时，总淋雨量y最少．【点评】本题着重考查函数应用能力，所建立的函数式为含有绝对值的式子．解决问题的关键一是要能根据v的范围将式子化简为分段函数，二是要将常数c进行讨论得出函数的单调性，从而得出不同情形下的最小值点．21．（13分）（2011?湖南）如图，椭圆C1：=1（a＞b＞0）的离心率为，x轴被曲线C2：y=x2﹣b截得的线段长等于C1的长半轴长．（Ⅰ）求C1，C2的方程；（Ⅱ）设C2与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于点A、B，直线MA，MB分别与C1相交于D，E．（i）证明：MD⊥ME；（ii）记△MAB，△MDE的面积分别是S1，S2．问：是否存在直线l，使得=？请说明理由．【考点】圆锥曲线的综合．【专题】计算题；综合题；压轴题；转化思想．【分析】（Ⅰ）先利用离心率得到一个关于参数的方程，再利用x轴被曲线C2：y=x2﹣b截得的线段长等于C1的长半轴长得另一个方程，两个方程联立即可求出参数进而求出C1，C2的方程；（Ⅱ）（i）把直线l的方程与抛物线方程联立可得关于点A、B 坐标的等量关系，再代入求出k MA?k MB=﹣1，即可证明：MD⊥ME；（ii）先把直线MA的方程与抛物线方程联立可得点A的坐标，再利用弦长公式求出|MA|，同样的方法求出|MB|进而求出S1，同理可求S2．再代入已知就可知道是否存在直线l满足题中条件了．【解答】解：（Ⅰ）由题得e=，从而a=2b，又2=a，解得a=2，b=1，故C1，C2的方程分别为，y=x2﹣1．（Ⅱ）（i）由题得，直线l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为y=kx，由得x2﹣kx﹣1=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2是上述方程的两个实根，于是x1+x2=k，x1x2=﹣1，又点M的坐标为（0，﹣1），所以k MA?k MB=====﹣1．故MA⊥MB，即MD⊥ME．（ii）设直线MA的斜率为k1，则直线MA的方程为y=k1x﹣1．由，解得或．则点A的坐标为（k1，k12﹣1）．又直线MB的斜率为﹣，同理可得点B的坐标为（﹣，﹣1）．|MA|?|MB|=?|k1|??|﹣|=．于是s由得（1+4k12）x2﹣8k1x=0．解得或，，则点D的坐标为（，）．又直线ME的斜率为﹣．同理可得点E的坐标为（，）．于是s22=|MD|?|ME|=．故=，解得k12=4或k12=．又由点A，B的坐标得，k==k1﹣．所以k=±．故满足条件的直线存在，且有两条，其方程为y=x和y=﹣x．【点评】本题是对椭圆与抛物线以及直线与抛物线和直线与椭圆的综合问题的考查．是一道整理过程很麻烦的题，需要要认真，细致的态度才能把题目作好．22．（13分）（2011?湖南）已知函数f（x）=x3，g（x）=x+．（Ⅰ）求函数h（x）=f（x）﹣g（x）的零点个数．并说明理由；（Ⅱ）设数列{a n}（n∈N*）满足a1=a（a＞0），f（a n+1）=g（a n），证明：存在常数M，使得对于任意的n∈N*，都有a n≤M．【考点】数列与不等式的综合；根的存在性及根的个数判断．【专题】综合题；压轴题．【分析】（Ⅰ）由h（x）=知，x∈[0，+∞），而h（0）=0，且h（1）=﹣1＜0，h（2）=6﹣，再研究函数在（0，+∞）上的单调性，以确定零点个数即可（Ⅱ）记h（x）的正零点为x 0，即，当a＜x0时，由a1=a，即a1＜x0，而，a2＜x0．由此猜测a n＜x0．当a≥x0时，由（Ⅰ）知，当x∈（x1，+∞）时，h（x）单调递增，h（a）＞h （x0）=0，从而a2＜a，由此猜测a n＜a．然后用数学归纳法证明．【解答】解：（Ⅰ）由h（x）=知，x∈[0，+∞），而h （0）=0，且h（1）=﹣1＜0，h（2）=6﹣，则x=0为h（x）的一个零点，且h（x）在（1，2）内有零点，∴h（x）至少有两个零点．由h（x）=，记，则，当x∈（0，+∞）时，g（x）单调递增，故可判断出h（x）在（0，+∞）仅有一个零点，综上所述，h（x）有且只有两个零点．（Ⅱ）记h（x）的正零点为x 0，即，（1）当a＜x0时，由a1=a，即a1＜x0，而x0．，∴a由此猜测a n＜x0．下面用数学归纳法证明：①当n=1时，a1＜x0，成立．②假设当n=k时a k＜x0成立，则当n=k+1时，由x0．，知a因此当n=k+1时，a k+1＜x0成立．故对任意的n∈N*，a n≤x0成立．（2）当a≥x0时，由（Ⅰ）知，当x∈（x0，+∞）时，h（x）单调递增，∴h（a）＞h（x0）=0，从而a2≤a，由此猜测a n≤a．下面用数学归纳法证明：①当n=1时，a1≤a，成立．②假设当n=k时a k＜a成立，则当n=k+1时，由a．，知a因此当n=k+1时，a k+1＜a成立．故对任意的n∈N*，a n≤a成立．综上所述，存在常数M，使得对于任意的n∈N*，都有a n≤M．【点评】本题考查数列的性质和运用，解题时要注意不等式性质的合理运用和数学归纳法的证明过程．。
2011届长郡中学高三月考试卷5理数(答案)
炎德·英才大联考理科数学参考答案(长郡版)-1炎德·英才大联考长郡中学2011届高三月考试卷(五)数学(理科)参考答案一㊁选择题题 号12345678答 案D C D A C C B D 二㊁填空题9.102 10.14 11.12 12.45 13.3 14.(2b ,2a ) 14a b s i n α15.S n -S n -1=22n -2(n ≥2) S n =4n 3+23三㊁解答题16.解:(1)由条件,→O P =(12,c o s 2θ),→O Q =(s i n 2θ,-1),∴→O P ㊃→O Q =12s i n 2θ-c o s 2θ=-12,∴12(1-c o s 2θ)-c o s 2θ=-12,∴c o s 2θ=23,∴c o s 2θ=2c o s 2θ-1=13.(6分)…………………………………………………………………………………(2)由(1)知c o s 2θ=23,s i n 2θ=13,∴P (12,23),Q (13,-1).又点P 在角α的终边上,点Q 在角β的终边上,∴由三角函数的定义,s i n α=2314+49=45,c o s α=35,s i n β=-119+1=-31010,c o s β=1010,∴s i n (α+β)=s i n αc o s β+c o s αs i n β=45×1010+35×(-31010)=-1010.(12分)…………………………17.解:(1)由该几何体的三视图知A C ⊥面B C E D ,且E C =B C =A C =4,B D =1,∴S 梯形B C E D =12×(4+1)×4=10,∴V =13㊃S 梯形B C E D ㊃A C =13×10×4=403,即该几何体的体积V 为403.(5分)………………………………………………………………………………(2)解法1:D E 上存在点Q ,使得A Q ⊥B Q ,取B C 中点O ,过点O 作O Q ⊥D E 于点Q ,则点Q 满足题设.连结E O ㊁O D ,在R t △E C O 和R t △O B D 中,∵E C C O =O B B D =2,∴R t △E C O ∽R t △O B D ,∴∠C E O =∠D O B .∵∠E O C +∠C E O =90°,∴∠E O C +∠D O B =90°,∴∠E O D =90°.∵O E =C E 2+C O 2=25,O D =O B 2+B D 2=5,∴O Q =O E ㊃O D E D =25㊃55=2,∴以O 为圆心㊁以B C 为直径的圆与D E 相切,切点为Q ,∴B Q ⊥C Q .∵A C ⊥面B C E D ,B Q ⊂面C E D B ,∴B Q ⊥A C ,∴B Q ⊥面A C Q .又∵A Q ⊂面A C Q ,∴B Q ⊥A Q .(12分)…………………………………………………………………………解法2:以C 为原点,以C A ,C B ,C E 所在直线为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系.设满足题设的点Q 存在,其坐标为(0,m ,n ),则→A Q =(-4,m ,n ),→B Q =(0,m -4,n ),→E Q =(0,m ,n -4),→Q D =(0,4-m ,1-n ).∵A Q ⊥B Q ,∴m (m -4)+n 2=0. ①炎德·英才大联考理科数学参考答案(长郡版)-2∵点Q 在E D 上,∴存在λ∈R (λ>0)使得→E Q =λ→Q D ,∴(0,m ,n -4)=λ(0,4-m ,1-n )⇒m =4λ1+λ,n =4+λ1+λ. ②②代入①得(λ+41+λ)2=16λ(1+λ)2⇒λ2-8λ+16=0,解得λ=4.∴满足题设的点Q 存在,其坐标为(0,165,85).(12分)………………………………………………………18.解:记 小球落入A 袋中”为事件A , 小球落入B 袋中”为事件B ,则小球落入A 袋中当且仅当小球一直向左落下或一直向右落下,故P (A )=(12)3+(12)3=14,P (B )=1-P (A )=34.(3分)……………………(1)获得两次一等奖的概率为P =P (A )㊃P (A )=116.(5分)…………………………………………………(2)X 可以取20,30,40,P (X =20)=(34)2=916;P (X =30)=C 1214㊃34=38;P (X =40)=(14)2=116.(9分)…………………………………………………………………………………分布列为:X203040P 91638116所以E X =20×916+30×38+40×116=25.(11分)……………………………………………………………(3)参加摇奖,可节省25元;打折优惠,可节省24元.故参加摇奖.(13分)…………………………………19.解:(1)P x =1000+5x +110x 2x (3分)……………………………………………………………………………=1000x +x 10+5≥25(当且仅当x =100时,取等号),∴生产100套时,每套成本费用最低.(6分)……………………………………………………………………(2)由题设,利润f (x )=(a x +b )x -(1000+5x +110x 2)=-110x 2+(b -5)x +a -1000,x ∈(0,200].(8分)…………………………………当5(b -5)≤200,即b ≤45时,f m a x (x )=f [5(b -5)]=52(b -5)2+a -1000,∴当产量为5b -25套时,利润最大.(11分)……………………………………………………………………当5(b -5)>200,即b >45时,函数f (x )在(0,200]上是增函数,∴当产量为200套时,f m ax (x )=200b +a -6000.综上所述,当b ≤45时,产量为5b -25套时,最大利润为52(b -5)2+a -1000元;当b >45时,产量为200套时,最大利润为200b +a -6000元.(13分)………………………………………20.解:(1)由2b =2,得b =1.又由点M 在直线x =a 2c 上,得a 2c =2.故1+c 2c =2,∴c =1,从而a =2.所以椭圆方程为x 22+y 2=1.(3分)………………………………………………………………………………(2)以O M 为直径的圆的方程为x (x -2)+y (y -t )=0,即(x -1)2+(y -t 2)2=t 24+1,炎德·英才大联考理科数学参考答案(长郡版)-3 其圆心为(1,t 2),半径r =t 24+1.(5分)……………………………………………………………………因为以O M 为直径的圆被直线3x -4y -5=0截得的弦长为2,所以圆心到直线3x -4y -5=0的距离d =r 2-1=t 2,所以|3-2t -5|5=t 2,解得t =4.所求圆的方程为(x -1)2+(y -2)2=5.(8分)…………………………………………………………………(3)方法一:由平几知:|O N |2=|O K ||O M |,其中K 为F N 与O M 的交点.直线O M :y =t 2x ,直线F N :y =-2t (x -1).由y =t 2x y =-2t(x -1ìîíïïïï)得x K =4t 2+4,∴|O N |2=1+t 24x K ㊃1+t 24x M =(1+t 24)㊃4t 2+4㊃2=2.所以线段O N 的长为定值2.(13分)……………………………………………………………………………方法二:设N (x 0,y 0),则→F N =(x 0-1,y 0),→O M =(2,t ),→MN =(x 0-2,y 0-t ),→O N =(x 0,y 0).∵→F N ⊥→O M ,∴2(x 0-1)+t y 0=0,∴2x 0+t y 0=2. ①又→MN ⊥→O N ,∴x 0(x 0-2)+y 0(y 0-t )=0,∴x 20+y 20=2x 0+t y 0. ②∴由①②可得x 20+y 20=2.所以,|→O N |=x 20+y 20=2为定值.(13分)……………………………………………………………………21.解:(1)∵f '(x )=2x -a x ,∴f '(1)=2-a =0,∴a =2.(2分)………………………………………………………………………………∴g (x )=x -2x .由g '(x )=1-1x >0⇒x >1,g '(x )=1-1x <0⇒0<x <1,∴g (x )的单调减区间是(0,1),单调增区间是[1,+∞).(4分)…………………………………………………………………………………(2)证明:∵1<x <e 2,∴0<l n x <2,∴2-l n x >0.欲证x <2+l n x 2-l n x ,只需证明2x -x l n x <2+l n x ,即只需证l n x >2(x -1)x +1.记h (x )=l n x -2(x -1)x +1,则h '(x )=(x -1)2x (x +1)2.当1<x <e 2时,h '(x )>0,∴h (x )在(1,e 2)上是增函数.又h (x )在[1,e 2)上是连续的,∴h (x )>h (1)=0,∴h (x )>0,即l n x -2(x -1)x +1>0,∴l n x >2(x -1)x +1,故结论成立.(8分)……………………………………………………………………………(3)由题意知C 1:H (x )=x -2x +6.问题转化为G (x )=x 2-2l n x -(x -2x +6)=0在x ∈(0,+∞)上解的个数.(10分)……………………∵G '(x )=2x -21x -1+1x =2x 2-2-x +x x =(x -1)(2x x +2x +x +2)x ,∴G '(x )>0⇒x >1,G '(x )<0⇒0<x <1,∴G (1)是G (x )在x >0上的最小值.又G (1)=-4<0,G (1e 4)>0,G (e 2)>0,且G (x )在x >0上是连续的,所以G (x )=x 2-2l n x -(x -2x +6)=0在x ∈(0,+∞)上有2个解,即C 1与f (x )对应曲线C 2的交点个数是2个.(13分)………………………………………………………。
2011年湖南高考数学理科试卷(带详解)
2011年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）一选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.1.若,a b ∈R ，i 为虚数单位，且(i)i i a b +=+，则 （ ） A ．1,1a b == B ．1,1a b =-= C ．1,1a b =-=- D ．1,1a b ==-【测量目标】复数的四则运算.【考查方式】利用复数相等的条件直接求值. 【难易程度】容易 【参考答案】D【试题解析】因(i)i 1i i a a b +=-+=+，根据复数相等的条件可知1,1a b ==-. 2.设{1,2}M =，2{}N a =，则“1a =”是“N M ⊆”则 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件 【测量目标】集合间的关系,充分必要条件. 【考查方式】给出两个集合直接考查. 【难易程度】容易 【参考答案】A【试题解析】因“1a =”，即{1}N =，满足“N M ⊆”，反之“N M ⊆”，则2{}={1}N a =，或2{}={2}N a =，不一定有“1a =”.3.如图一是某几何体的三视图，则该几何体的体积为 （ ）第3题图A ．9π122+ B ．9π182+ C ．9π42+ D ．36π18+【测量目标】由三视图求几何体的体积.【考查方式】给出三视图，通过判断直接求体积. 【难易程度】容易 【参考答案】B【试题解析】由三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组合体， 其体积3439π()332π+18322V =+⨯⨯=. 4.通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：男 女 总计爱好40 20 60 不爱好20 30 50 总计60 50 110由22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++算得22110(40302020)7.860506050K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯ 附表：2()P K k … 0.0500.010 0.001 k3.8416.63510.828参照附表，得到的正确结论是 （ ）A ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” 【测量目标】独立性检验.【考查方式】给出统计图表直接考查. 【难易程度】容易 【参考答案】C【试题解析】由27.8 6.635,K ≈>而2( 6.635)0.010P K =…，故由独立性检验的意义可知选C.5.设双曲线2221(0)9x y a a -=>的渐近线方程为320x y ±=，则a 的值为 （ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【测量目标】双曲线的简单几何性质.【考查方式】由双曲线方程直接求出渐近线方程，再结合给出的渐近线方程比较求解. 【难易程度】容易 【参考答案】C【试题解析】：由双曲线方程可知渐近线方程为3y x a=±，故可知2a =. 6. 由直线ππ,,033x x y =-==与曲线cos y x =所围成的封闭图形的面积为（ ） A ．12 B ．1 C．2D【测量目标】定积分的几何意义.【考查方式】直接给出曲线和直线方程求面积. 【难易程度】容易 【参考答案】D【试题解析】由定积分知识可得ππ33ππ33cosd sin |(22S x x --===-=⎰7. 设1m >，在约束条件1y xy mx x y ⎧⎪⎨⎪+⎩………下，目标函数z x my =+的最大值小于2，则m 的取值范围为 （ ） A．(1,1 B．(1)+∞ C ．(1,3) D ．(3,)+∞ 【测量目标】线性规划求最值.【考查方式】给出约束条件和目标函数的范围求目标函数y 轴系数的值. 【难易程度】容易 【参考答案】A【试题解析】可知z x my =+在点1(,)11m m m++取最大值，由 21211m m m+<++解得11m <<. 8.设直线x t =与函数2(),()ln f x x g x x ==的图像分别交于点,M N ，则当||MN 达到最小时t 的值为 （ ）A ．1B ．12C ．2D ．2【测量目标】利用导数判断单调性求最值.【考查方式】利用直线与曲线相交，求相交直线方程再运用导数性质求解. 【难易程度】容易 【参考答案】D【试题解析】由题2||ln MN x x =-，(0)x >不妨令2()ln h x x x =-，则1()2h x x x'=-，令()0h x '=解得2x =，因(0,)2x ∈时，()0h x '<，当()2x ∈+∞时，()0h x '>，所以当2x =时，||MN 达到最小，即2t =.二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号的横线上.一、选做题（请考生在第9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分） 9.在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为cos ,1sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，曲线2C 的方程为()cos sin 10ρθθ-+=，则1C 与2C 的交点个数为 . 【测量目标】坐标系与参数方程.【考查方式】给出极坐标方程与参数方程，将其转化为普通方程后解不等式求解. 【难易程度】容易【参考答案】2【试题解析】曲线221:(1)1C x y +-=，2:10C x y -+=，由圆心到直线的距离01d ==<，故1C 与2C 的交点个数为2. 10.设,x y ∈R ,则222211()(4)x y y x++的最小值为 . 【测量目标】不等式选讲.【考查方式】给出两个乘式直接考查. 【难易程度】中等 【参考答案】9【试题解析】由柯西不等式可知2222211()(4)(12)9x y y x+++=…. 11.如图，,A E 是半圆周上的两个三等分点，直径4BC =，AD BC ⊥,垂足为D , BE 与AD 相交与点F ，则AF 的长为 .第11题图【测量目标】几何证明选讲.【考查方式】通过线段和圆的位置关系考查. 【难易程度】容易【参考答案】3【试题解析】由题可知，60AOB EOC ∠=∠=，2OA OB ==,得1OD BD ==,3DF =，又23AD BD CD ==，所以3AF AD DF =-=. 二、必做题（12~16题）12．设n S 是等差数列*{}()n a n ∈N 的前n 项和，且141,7a a ==，则5______S = 【测量目标】等差数列的前n 项和.【考查方式】给出等差数列某两项的值求出通项再求和. 【难易程度】容易 【参考答案】25【试题解析】由141,7a a ==可得11,2,21n a d a n ===-，所以5(19)5252S +⨯==. 13．若执行如图所示的框图，输入1231,2,3,2x x x x ====， 则输出的数等于 .第13 题图【测量目标】循环结构的程序框图. 【考查方式】直接给出程序框图考查. 【难易程度】中等 【参考答案】23【试题解析】由框图的算法功能可知，输出的数为三个数的方差，则222(12)(22)(32)233S -+-+-==. 14．在边长为1的正三角形ABC 中，设2,3BC BD CA CE == ，则________AD BE =.【测量目标】平面向量在平面几何中的运用. 【考查方式】给出向量间的关系求解. 【难易程度】容易 【参考答案】14-【试题解析】由题12AD CD CA CB CA =-=- ，13BE CE CB CA CB =-=-，所以111171()()232364AD BE CB CA CA CB CB CA =--=--+=-. 15．如图， EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，B 表示事件“豆子落在扇形OHE （阴影部分）内”，则（1）=______P A （）；（2）=______P B A （|）第15题图【测量目标】几何概型.【考查方式】利用两个图形面积的比值求解. 【难易程度】容易 【参考答案】（1）2π；（2）1=4PB A （|） 【试题解析】（1）由几何概型概率计算公式可得2==πS P A S 正圆（）； （2）由条件概率的计算公式可得21×1π4===24πP AB P B A P A （）（|）（）.16.对于*n ∈N ，将n 表示为1210012122222k k k k k n a a a a a ---=⨯+⨯+⨯++⨯+⨯ ，当0i =时，1i a =，当1i k 剟时，i a 为0或1.记()I n 为上述表示中i a 为0的个数，（例如0112=⨯，2104120202=⨯+⨯+⨯：故(1)0,(4)2I I ==）则（1）(12)_____I = （2）127()12______I n n ==∑【测量目标】排列组合及其应用. 【考查方式】利用特定的条件求解. 【难易程度】较难 【参考答案】（1）2；（2）1093【试题解析】（1）因3211212+120202=⨯⨯+⨯+⨯，故(12)2I =；（2）在2进制的(2)k k …位数中，没有0的有1个，有1个0的有11C k -个，有2个0的有21C k -个，……有m 个0的有1C m k -个，……有1k -个0的有11C 1k k --=个.故对所有2进制为k 位数的数n ，在所求式中的()2I n 的和为：0112211111112C 2C 2C 23k k k k k k ------⨯++++=. 又712721=-恰为2进制的最大7位数，所以1277()1122231093I n k n k -===+=∑∑.三．解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足sin cos c A a C =.（I ）求角C 的大小；（II πcos()4A B -+的最大值，并求取得最大值时角,A B 的大小． 【测量目标】正弦定理，三角函数的最值. 【考查方式】给出边角之间的关系求解. 【难易程度】容易 【试题解析】（I ）由正弦定理得sin sin sin cos .C A A C = 因为0π,A <<所以sin 0.A >πsin cos .cos 0,tan 1,4C C C C C =≠==从而又所以则.(步骤1) （II ）由（I ）知3π.4B A =-于是 πcos()cos(π)4A B A A -+=--πcos 2sin().6A A A =+=+3πππ11ππππ0,<+<,=,,46612623A A A A <<∴+= 从而当即时π2sin()6A +取最大值2．（步骤2）πcos()4A B -+的最大值为2，此时π5π,.312A B ==（步骤3） 18. 某商店试销某种商品20天，获得如下数据：当天营业结束后检查存货，若发现存货少于2件，则当天进货补充．．至3件，否则不进货．．．，将频率视为概率.(Ⅰ）求当天商品不进货．．．的概率； （Ⅱ）记X 为第二天开始营业时该商品的件数，求X 的分布列和数学期望. 【测量目标】对立事件的概率，离散型随机变量的期望. 【考查方式】运用实际生活背景考查.【难易程度】容易 【试题解析】（I ）P （“当天商店不进货”）=P （“当天商品销售量为0件”）+P （“当天商品销售量1件”）=153202010+=.（步骤1） （II ）由题意知，X 的可能取值为2，3.51(2)()204P X P ====“当天商品销售量为1件”； (3)()+()+(1953)++32020204P X P P P ====“当天商品销售量为0件”“当天商品销售量为2件”“当天商品销售量为3件”（步骤）故X 的分布列为X2 3 P 14 34 X 的数学期望为13112+3=444EX =⨯⨯.（步骤4）19.（本题满分12分）如图，在圆锥PO 中，已知PO O = 的直径2,,A B C A B D A C=是的中点,为的中点． （I ）证明：;POD PAC ⊥平面平面 （II ）求二面角B PA C --的余弦值．第18题图【测量目标】面面垂直，二面角.【考查方式】在圆锥中考查. 【难易程度】容易 【试题解析】（I ）连接OC ， 因为OA OC =,D 为AC 中点，所以AC OD ⊥. 又,,.PO O AC O AC PO ⊥⊂⊥ 底面底面所以因为,OD PO 是平面POD 内的两条相交直线，所以AC POD ⊥平面而AC PAC ⊂平面，所以POD PAC ⊥平面平面.（步骤1）（II ）在平面POD 中，过O 作OH PD ⊥于H ，由（I ）知，POD PAC ⊥平面平面,所以,OH PAC ⊥平面又,PA PAC ⊂平面所以PA OH ⊥.在平面PAO 中，过O 作OG PA G ⊥于,连接HG ,则有PA OGH ⊥平面， 从而PA HG ⊥，所以OGH ∠是二面角B PA C --的平面角．（步骤2）在Rt ,sin 452ODA OD OA ==△中在Rt ,POD OH ===△中在Rt ,POA OG ===△中在Rt ,sin OH OHG OGH OG ∠===△中所以cos 5OGH ∠=. 故二面角B PA C --的余弦值为5.（步骤3）第19题图20. 如图，长方形物体E 在雨中沿面P （面积为S ）的垂直方向作匀速移动，速度为(0)v v >，雨速沿E 移动方向的分速度为()c c ∈R .E 移动时单位时间．．．．内的淋雨量包括两部分：（1）P 或P 的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与v c -×S 成正比，比例系数为110；（2）其它面的淋雨量之和，其值为12，记y 为E 移动过程中的总淋雨量，当移动距离d =100，面积S =32时. （Ⅰ）写出y 的表达式；（Ⅱ）设0＜v …10,0＜c …5，试根据c 的不同取值范围，确定移动速度v ，使总淋雨量y 最少.第19题图【测量目标】分段函数模型，利用函数单调性及最值. 【考查方式】利用将立体几何与函数综合考查. 【难易程度】中等【试题解析】（I ）由题意知，E 移动时单位时间内的淋雨量为31||202v c -+， 故100315(||)(3||10)202y v c v c v v=-+=-+.（步骤1） （II ）由(I)知，当0v c <…时，55(310)(3310)15c y c v v v+=-+=-； 当10c v <…时，55(103)(3310)15c y v c v v-=-+=+. 故5(310)15,05(103)15,10c v c vy c c v v +⎧-<⎪⎪=⎨-⎪+<⎪⎩…….（步骤2）(1)当1003c <…时，y 是关于v 的减函数.故当10v =时，min 3202cy =-.（步骤3） (2) 当1053c <…时，在(0,]c 上，y 是关于v 的减函数；在(,10]c 上，y 是关于v 的增函数；故当v c =时，min 50y c=.（步骤4） 21.(本小题满分13分） 如图，椭圆221221(0)x y C a b a b +=>>：，x轴被曲线22:C y x b =- 截得的线段长等于1C 的长半轴长.（Ⅰ）求1C ，2C 的方程；（Ⅱ）设2C 与y 轴的交点为M ，过坐标原点O 的直线l 与2C 相交于点A,B ,直线MA ,MB 分别与1C 相交于D ,E .（i ）证明：MD ME ⊥；(ii)记△MAB ,△MDE 的面积分别是12,S S .问：是否存在直线l ,使得121732S S =? 请说明理由.第21题图【测量目标】椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系. 【考查方式】利用直线与椭圆相交的位置关系和条件考查. 【难易程度】较难【试题解析】（I）由题意知c e a ==2a b =，又a =，解得2,1a b ==.故1C ，2C 的方程分别为2221,14x y y x +==-. （步骤1） （II ）（i ）由题意知，直线l 的斜率存在，设为k ， 则直线l 的方程为y kx =.由21y kx y x =⎧⎨=-⎩得210x kx --=，（步骤2） 设1122(,),(,)A x y B x y ，则12,x x 是上述方程的两个实根，于是1212,1x x k x x +==-. 又点M 的坐标为(0,1)-，所以2221212121212121211(1)(1)()1111MA MBy y kx kx k x x k x x k k k k x x x x x x +++++++-++=====--故MA MB ⊥，即MD ME ⊥.（步骤3）（ii ）设直线MA 的斜率为1k ，则直线MA 的方程为11y k x =-，由1211y kx y x =-⎧⎨=-⎩解得01x y =⎧⎨=-⎩或1211x k y k =⎧⎨=-⎩，则点A 的坐标为211(,1)k k -（步骤4） 又直线MB 的斜率为11k -，同理可得点B 的坐标为21111(,1)k k --.于是211111111||||||||.22||k S MA MB k k k +==-= （步骤5）由1221440y k x x y =-⎧⎨+-=⎩得2211(14)80k x k x +-=，解得01x y =⎧⎨=-⎩或12121218144114k x k k y k ⎧=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩，则点D 的坐标为2112211841(,)1414k k k k -++；（步骤6） 又直线ME 的斜率为11k -，同理可得点E 的坐标211221184(,)44k k k k --++ 于是2112221132(1)||1||||2(14)(4)k k S MD ME k k +==++ 因此21122111(417)64S k S k =++（步骤7） 由题意知，21211117(417)6432k k ++=,解得214k = 或2114k =. 又由点,A B 的坐标可知，21211111111k k k k k k k -==-+，所以3.2k =± 故满足条件的直线l 存在，且有两条，其方程分别为32y x =和32y x =-.（步骤8） 22.（本小题满分13分）已知函数f (x ) =3x ，g (x )=x（Ⅰ）求函数h (x )=f (x )-g (x )的零点个数，并说明理由；（Ⅱ）设数列*{}()n a n ∈N 满足1(0)a a a =>，1()()n n f a g a +=，证明：存在常数M ,使得对于任意的*n ∈N ，都有n a …M . 【测量目标】利用导数求单调性，不等式恒成立问题.【考查方式】给出两个函数式，利用导数及不等式求解.【难易程度】较难【试题解析】（I）由3()h x x x =-知，[0,)x ∈+∞，而(0)0h =，且(1)10,(2)60h h =-<=，则0x =为()h x 的一个零点，且()h x 在12（，）内有零点，因此()h x 至少有两个零点（步骤1） 122()(1)h x x x x -=--，记122()1x x x ϕ-=--，则321()22x x x ϕ-'=+. 当(0,)x ∈+∞时，()0x ϕ'>，因此()x ϕ在(0,)+∞上单调递增，则()x ϕ在(0,)+∞内至多只有一个零点.因此()h x 在(0,)+∞内也至多只有一个零点，综上所述，()h x 有且只有两个零点.（步骤2） （II ）记()h x 的正零点为0x，即300x x =（1）当0a x <时，由1a a =，即10a x <.而332100a a x x ==，因此20a x <，由此猜测：0n a x <.下面用数学归纳法证明： ①当1n =时，10a x <显然成立；（步骤3） ②假设当(1)n k k =…时，有0k a x <成立，则当1n k =+时，由13300k k a a x x +=+<知，10k a x +<，因此，当1n k =+时，10k a x +<成立. 故对任意的*n ∈N ，0n a x <成立.（步骤4）（2）当0a x …时，由（1）知，()h x 在0(,)x +∞上单调递增.则0()()0h a h x =…，即3a a +….从而2331a a a a ==，即2a a …，由此猜测：n a a ….下面用数学归纳法证明：①当1n =时，1a a …显然成立；（步骤5） ②假设当(1)n k k =…时，有k a a …成立，则当1n k =+时，由133k k a a a a +=+知，1k a a +…，因此，当1n k =+时，1k a a +…成立.故对任意的*n ∈N ，n a a …成立. 综上所述，存在常数0max{,}M x a =，使得对于任意的*n ∈N ，都有n a M ….（步骤6）。
2011年高考湖南省数学试卷-理科(含详细答案)
2011年高考湖南省数学试卷-理科(含详细答案)D男 女 总计 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 总计 60 50 110由22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++算得22110(40302020)7.860506050K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯附表：2()P K k ≥ 0.050 0.010 0.001k3.841 6.635 10.828 参照附表，得到的正确结论是（ ）A ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”5.设双曲线2221(0)9x y a a-=>的渐近线方程为320x y ±=，则a 的值为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．16. 由直线,,033x x y ππ=-==与曲线cos y x =所围成的封闭图形的面积为（ ）A ．12B ．1C ．32D 37. 设1m >，在约束条件1y xy mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩下，目标函数z x my=+的最大值小于2，则m 的取值范围为（ ）A ．(1,12)B ．(12,)++∞C ．(1,3)D ．(3,)+∞8.设直线x t =与函数2(),()ln f x x g x x ==的图像分别交于点,M N ，则当||MN 达到最小时t 的值为（ ）A ．1B ．12C 5D 2二填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号的横线上。
一、选做题（请考生在第9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）9.在直角坐标系xoy 中，曲线C 1的参数方程为cos ,1sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）在极坐标系（与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，曲线2C 的方程为()cos sin 10ρθθ-+=，则1C 与2C 的交点个数为 。
湖南省长郡中学高三下学期第一次模拟考试数学(理)试题(解析版)
湖南省长郡中学高三下学期第一次模拟考试数学（理）试题（解析版）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则等于（）A. B. C. D.2. 若，则等于（）A. B. C. D.3. 下列函数中，既是偶函数，又是在区间上单调递减的函数为（）A. B. C. D.4. 执行如图所示的算法，则输出的结果是（）A. B. C. D.5. 某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（）A. B. C. D.6. 将函数的图象向右平移个单位，得到的图像关于原点对称，则的最小正值为（）A. B. C. D.7. 某赛季甲、乙两名篮球运动员各13场比赛得分情况用茎叶图表示如图：根据上图，对这两名运动员地成绩进行比较，下列四个结论中，不正确．．．的是A. 甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差B. 甲运动员得分的中位数大于乙运动员得分的中位数C. 甲运动员的得分平均值大于乙运动员的得分平均值D. 甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定8. 已知等比数列的各项都是正数，且，，成等差数列，（）A. 6B. 7C. 8D. 99. 在中，内角，，的对边分别为，，，若的面积为，且，则（）A. B. C. D.10. 已知双曲线的左右焦点分别为，，为双曲线的中心，是双曲线的右支上的点，的内切圆的圆心为，且圆与轴相切于点，过作直线的垂线，垂足为，若为双曲线的离心率，则（）C. D. 与关系不确定11. 如图，在中，、分别是、的中点，若（，），且点落在四边形内（含边界），则的取值范围是（）A. B. C. D.12. 在实数集中，我们定义的大小关系“”为全体实数排了一个“序”，类似的，我们这平面向量集合上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“”．定义如下：对于任意两个向量，，当且仅当“”或“且”，按上述定义的关系“”，给出下列四个命题：①若，，，则；②若，，则；③若，则对于任意的，；④对于任意的向量，其中，若，则．其中正确的命题的个数为（）A. 4B. 3C. 2D. 1第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 若的展开式中的系数是，则实数__________．14. 已知直线过抛物线的焦点，且与的对称轴垂直，与交于、两点，，为的准线上一点，则的面积为__________．15. 已知的半衰期为5730年（是指经过5730年后，的残余量占原始量的一半）．设的原始量为，经过年后的残余量为，残余量与原始量的关系如下：，其中表示经过的时间，为一个常数．现测得湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时的残余量约占原始量约占原始量的．请你推断一下马王堆汉墓的大致年代为距今__________年．（已知）16. 已知（），且满足的整数共有个，（）的最大值为，且，则实数的取值范围为__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列，满足，，，．（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和．18. 如图，是边长为3的正方形，平面，，且，．（1）试在线段上确定一点的位置，使得平面；（2）求二面角的余弦值．19. 为了引导居民合理用水，某市决定全面实施阶梯水价．阶梯水价原则上以住宅（一套住宅为一户）的月用水量为基准定价，具体划分标准如表：从本市随机抽取了10户家庭，统计了同一月份的月用水量，得到如图茎叶图：（1）现要在这10户家庭中任意选取3家，求取到第二阶梯水量的户数的分布列与数学期望；（2）用抽到的10户家庭作为样本估计全市的居民用水情况，从全市依次随机抽取10户，若抽到户月用水量为二阶的可能性最大，求的值．20. 已知，是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，线段与轴的交点满足．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点作不与轴重合的直线，设与圆相交于，两点，与椭圆相交于，两点，当且时，求的面积的取值范围．21. 已知函数，其中是自然对数的底数．（1）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围；（2）已知正数满足：存在，使得成立．试比较与的大小，并证明你的结论．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，圆的方程为．（1）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程；（2）直线的参数方程是（为参数），与交于、两点，，求直线的斜率．23. 选修4-5：不等式选讲已知函数，其中．（1）当时，求不等式的解集；（2）已知关于的不等式的解集为，求的值．湖南省长郡中学高三下学期第一次模拟考试数学（理）试题（解析版）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】∵集合∴∵集合∴故选D.2. 若，则等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：.考点：复数概念即运算.【易错点晴】在复数的四则运算上,经常由于疏忽而导致计算结果出错.除了加减乘除运算外,有时要结合共轭复数的特征性质和复数模的相关知识,综合起来加以分析.在复数的四则运算中,只对加法和乘法法则给出规定,而把减法、除法定义为加法、乘法的逆运算.复数代数形式的运算类似多项式的运算,加法类似合并同类项；复数的加法满足交换律和结合律,复数代数形式的乘法类似多项式乘以多项式,除法类似分母有理化；用类比的思想学习复数中的运算问题.3. 下列函数中，既是偶函数，又是在区间上单调递减的函数为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】对于，函数是奇函数，不满足题意；对于，，函数是偶函数，在区间上，，函数单调递减，故满足题意；对于，函数是偶函数，在区间上，，函数单调递增，故不满足题意；对于，函数是偶函数，在区间上，不是单调函数，故不满足题意，故选B.4. 执行如图所示的算法，则输出的结果是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：，，；，，；，，，故输出.考点：程序框图．【方法点睛】本题主要考查程序框图的条件结构流程图，属于容易题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：（1）不要混淆处理框和输入框；（2）注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；（3）注意区分当型循环结构和直到型循环结构；（4）处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；（5）要注意各个框的顺序.5. 某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】该几何体为一个正方体去掉一个倒四棱锥，其中正方体棱长为，倒四棱锥顶点为正方体中心，底面为正方体上底面，因此体积是，选A.6. 将函数的图象向右平移个单位，得到的图像关于原点对称，则的最小正值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：只要把的对称中心平移到原点，所得图象就关于原点对称.详解：的图象在轴左边最靠近原点的对称中心为，因此把图象向右最小平移个单位，就满足题意.故选A.点睛：的图象的对称中心是，对称轴方程为（），是奇函数，则原点是其一个对称中心，是偶函数，则轴是其一个对称轴.7. 某赛季甲、乙两名篮球运动员各13场比赛得分情况用茎叶图表示如图：根据上图，对这两名运动员地成绩进行比较，下列四个结论中，不正确．．．的是A. 甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差B. 甲运动员得分的中位数大于乙运动员得分的中位数C. 甲运动员的得分平均值大于乙运动员的得分平均值D. 甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定【答案】D【解析】分析：根据茎叶图提供的数据，分别计算极差、中位数、均值、方差可得结论.详解：由茎叶图甲极差为47－18＝29，乙的极差是33－17＝16，A正确；甲中位数是30，乙中位数是26，B正确；甲均值为，乙均值为25，C正确，那么只有D不正确，事实上，甲的方差大于乙的方差，应该是乙成绩稳定.故选D.点睛：茎叶图中间是茎，是十位数字，两边是叶，是个位数字，由此可写出所有数据，然后根据各数字特征计算比较即可.8. 已知等比数列的各项都是正数，且，，成等差数列，（）A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】D【解析】分析：根据等比数列的定义，只要计算出公比即可.详解：∵成等差数列，∴，即，解得（－1舍去），∴，故选D.点睛：正整数满足，若数列是等差数列，则，若数列是等比数列，则，时也成立，此性质是等差数列（等比数列）的重要性质，解题时要注意应用.9. 在中，内角，，的对边分别为，，，若的面积为，且，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：把用表示，再结合余弦定理可得.详解：∵，∴，∴，∴，∴，（∵舍去），∴，，故选B.点睛：解三角形问题，主要是确定选用什么公式：正弦定理、余弦定理、三角形的面积，一般可根据已知条件和要求的问题确定，象本题,右边要用到余弦定理，因此左边选择公式，这样才能达到迅速化简的目的.10. 已知双曲线的左右焦点分别为，，为双曲线的中心，是双曲线的右支上的点，的内切圆的圆心为，且圆与轴相切于点，过作直线的垂线，垂足为，若为双曲线的离心率，则（）A. B.C. D. 与关系不确定【答案】C【解析】试题分析：，内切圆与x轴的切点是A，∵，由圆切线长定理有，设内切圆的圆心横坐标为x，则，即，∴，即A为右顶点，在中，由条件有，在中，有，∴.考点：双曲线的标准方程、向量的运算、圆切线长定理.11. 如图，在中，、分别是、的中点，若（，），且点落在四边形内（含边界），则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：利用平面向量的线性运算，得出满足的不等关系，再利用线性规划思想求解.详解：由题意，当在线段上时，，当点在线段上时，，∴当在四边形内（含边界）时，（＊），又，作出不等式组（＊）表示的可行域，如图，表示可行域内点与连线的斜率，由图形知，，即，∴，，故选C.点睛：在平面向量的线性运算中，如图，的范围可仿照直角坐标系得出，，类比于轴，直角坐标系中有四个象限，类比在（）中也有四个象限，如第Ⅰ象限有，第Ⅱ象限有，第Ⅲ象限有，第Ⅳ象限有，也可类比得出其中的直线方程，二元一次不等式组表示的平面区域等等.12. 在实数集中，我们定义的大小关系“”为全体实数排了一个“序”，类似的，我们这平面向量集合上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“”．定义如下：对于任意两个向量，，当且仅当“”或“且”，按上述定义的关系“”，给出下列四个命题：①若，，，则；②若，，则；③若，则对于任意的，；④对于任意的向量，其中，若，则．其中正确的命题的个数为（）A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】B【解析】分析：按照新定义，对每一个命题进行判断.详解：①是正确的；②中，满足已知，则，只要有一个没有等号，则一定，若，则，都满足，正确；③∵，∴命题正确，④中若，则，但，错误，因此有①②③正确，故选B.点睛：新定义问题，关键是正确理解新概念，并掌握解决新概念下问题的方法，有一定的难度.本题中新概念关系“＞”与向量的坐标之间的大小关系联系在一起，由实数大小关系的传递性可得新关系“＞”的传递性，但向量的数量积与新关系“＞”之间没有必然的联系，这可通过举反例说明.实际上举反例说明一个命题是错误的，是数学中一个常用的方法.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 若的展开式中的系数是，则实数__________．【答案】-2【解析】的展开式的通项为,令,得,即,解得.14. 已知直线过抛物线的焦点，且与的对称轴垂直，与交于、两点，，为的准线上一点，则的面积为__________．【答案】36【解析】分析：可由得出，从而可得抛物线方程，抛物线的准线方程，因此的边上的高易得.详解：不妨设抛物线方程为，，，∴准线方程为，到直线的距离为6，∴.故答案为36.点睛：过抛物线的焦点与对称轴垂直的弦是抛物线的通径，通径长为.15. 已知的半衰期为5730年（是指经过5730年后，的残余量占原始量的一半）．设的原始量为，经过年后的残余量为，残余量与原始量的关系如下：，其中表示经过的时间，为一个常数．现测得湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时的残余量约占原始量约占原始量的．请你推断一下马王堆汉墓的大致年代为距今__________年．（已知）【答案】2292【解析】由题意可知，当时，，解得.现测得湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时的残余量约占原始量的.所以，得,.16. 已知（），且满足的整数共有个，（）的最大值为，且，则实数的取值范围为__________．【答案】【解析】分析：首先判断出函数是偶函数，这样由得，可解得，其次还要注意时，是常数，这样，从而，即恒成立，利用导数求出的最大值即可．注意到，因此在上递减才能符合要求．详解：∵，∴是偶函数，又由绝对值性质知时，是增函数，所以由得，解得或，结合，可知也满足要求，所以，故.即在时恒成立.，且，可得当时，单调递减，符合题意；当时，，使得在单调递增，不合题意，舍去.故答案为.点睛：本题有两个知识点，一个函数方程，解函数方程的方法是确定函数的性质如单调性、奇偶性、周期性等，利用函数性质去，本题是利用偶函数的性质及单调性性质得出，当然还要注意在上函数为常数，否则会漏解；二是不等式恒成立问题，也就量用导数求函数最值问题，此题中要掌握复合函数的求导法则，同时本题判断导数的正负还用到了整体换元思想，二次函数的性质，这要求我们要熟练掌握这些知识并能灵活应用．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列，满足，，，．（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和．【答案】(1)见解析;(2).【解析】分析：（1）只要证得是常数即可，为此由已知得，代入，变形可证，从而得得的通项公式；（2）由（1）得，利用错位相减法可求和.详解：（1）∵，∴，由，∴，化简得，∵，∴，即（），而，∴数列是以1为首项，1为公差的等差数列．∴，即，∴（）．（2）由（1）知，，∴，∴，两式相减得，，故．点睛：解决数列求和问题首先要掌握等差数列和等比数列的前项和公式，其次要掌握一些特殊数列的求和方法，设是等差数列，是等比数列，则数列用分组求和法求和，数列用错位相减法求和，数列用裂项相消法求和.18. 如图，是边长为3的正方形，平面，，且，．（1）试在线段上确定一点的位置，使得平面；（2）求二面角的余弦值．【答案】(1)见解析;(2).【解析】分析：（1）设平面ACF与BD交于点M，与BE交于点N，M点就量所求，由此可知M是BD的三等分点中靠近B点的一个，由线面平行的判定定理可证；（2）分别以DA，DC，DE为轴建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求出平面ABE和平面CBE的法向量，由法向量的夹角可得所求二面角.详解：（1）证明：取的三等分点（靠近点），过作交于，则有，由平面，，可知平面，∴，∴，且．∴四边形为平行四边形，可知，∴平面，∵，∴为的一个三等分点（靠近点）．（2）如图建立空间直角坐标系：则，，，，，，，设平面的法向量为，由可得．设平面的法向量为，由可得，因为二面角为钝二面角，可得，所以二面角余弦值为．点睛：立体几何中求空间角问题，除用几何法求解以外还可用空间向量法求解，建立空间直角坐标系，对直线求出直线的方向向量，对平面求出平面的法向量，则两直线方向向量的夹角与异面直线所成的角相等或互补，直线的方向向量与平面的法向量的夹角余弦和绝对值等于直线与平面所成角的正弦，两平面的法向量的夹角与二面角相等或互补，具体地可根据图形进行判断.19. 为了引导居民合理用水，某市决定全面实施阶梯水价．阶梯水价原则上以住宅（一套住宅为一户）的月用水量为基准定价，具体划分标准如表：从本市随机抽取了10户家庭，统计了同一月份的月用水量，得到如图茎叶图：（1）现要在这10户家庭中任意选取3家，求取到第二阶梯水量的户数的分布列与数学期望；（2）用抽到的10户家庭作为样本估计全市的居民用水情况，从全市依次随机抽取10户，若抽到户月用水量为二阶的可能性最大，求的值．【答案】(1)见解析;(2)6.【解析】分析：（1）由茎叶图可知抽取的10户中用水量为一阶的有2户，二阶的有6户，三阶的有2户．第二阶段水量的户数的可能取值为0,1,2,3，由超几何分布概率公式计算出概率，得概率分布列，再由期望公式可计算出期望；（2）设为从全市抽取的10户中用水量为二阶的家庭户数，依题意得，由二项分布概率公式计算出，比较它们的大小求得最大值（可用作商法：即，和可得值，即.........................详解：（1）由茎叶图可知抽取的10户中用水量为一阶的有2户，二阶的有6户，三阶的有2户．第二阶段水量的户数的可能取值为0,1,2,3，，，，，所以的分布列为．（2）设为从全市抽取的10户中用水量为二阶的家庭户数，依题意得，所以，其中0,1,2， (10)设，若，则，；若，则，．所以当或，可能最大，，所以的取值为．点睛：本题主要要分清概率分布的类型，然后选用不同的公式计算概率，超几何分布与二项分布是两个重要的概率分布，超几何分布是统计学上一种离散概率分布．它描述了由有限个物件中抽出n个物件，成功抽出指定种类的物件的次数（不归还）；二项分布即在每次试验中只有两种可能的结果，而且两种结果发生与否互相对立，并且相互独立，其它各次试验结果无关，事件发生与否的概率在每一次独立试验中都保持不变．20. 已知，是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，线段与轴的交点满足．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点作不与轴重合的直线，设与圆相交于，两点，与椭圆相交于，两点，当且时，求的面积的取值范围．【答案】(1);(2).【解析】分析：（1）由知是中点，从而得轴，因此得，再把点坐标代入椭圆方程再结合可解得得椭圆方程；（2）设直线的方程为，，，代入圆方程可得，计算，由可解得，设，把代入椭圆方程可得，由计算出面积，最后根据的范围得面积的范围.详解：（1）∵，则为线段的中点，∴是的中位线，又，∴，于是，且，解得，，∴椭圆的标准方程为．（2）由（1）知，，由题意，设直线的方程为，，，由得，则，．．∵，∴，解得．由消得，设，，则．设，则，其中，∵关于在上为减函数，∴，即的面积的取值范围为．点睛：直线与椭圆相交问题，常常设交点坐标为，设直线方程，由直线方程与椭圆方程联立，消元后用韦达定理得，然后再求得弦长、斜率、面积等，并代入，从而把弦长、斜率、面积表示为参数（如）的函数，利用函数的知识可求得最值、范围或者证明其为定值.21. 已知函数，其中是自然对数的底数．（1）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围；（2）已知正数满足：存在，使得成立．试比较与的大小，并证明你的结论．【答案】(1);(2)见解析.【解析】分析：（1）设，不等式可化为，对可把作为一个整体，分子分母同除以，转化后可利用基本不等式求得其最值，从而得的范围；（2）令函数，则，由导数可求得的最小值，而题中命题成立，即这个最小值，从而可得的取值范围，而比较与，即比较与的大小，即比较与的大小.于是可构造函数（），利用导数得出其单调性，从而得结论.详解：（1）由条件知在上恒成立，令（），则，所以对于任意成立．因为，∴，当且仅当，即时等号成立．因此实数的取值范围是．（2）令函数，则，当时，，，又，故，所以是上的单调递增函数，因此在上的最小值是．由于存在，使成立，当且仅当最小值，故，即．与均为正数，同取自然底数的对数，即比较与的大小，试比较与的大小．构造函数（），则，再设，，从而在上单调递减，此时，故在上恒成立，则在上单调递减．综上所述，当时，；当时，；当时，．点睛：在不等式恒成立和能成立两个问题中要注意转化的等价性：对任意，不等式恒成立，对任意，不等式恒成立，存在，使不等式成立，存在，使不等式成立.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，圆的方程为．（1）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程；（2）直线的参数方程是（为参数），与交于、两点，，求直线的斜率．【答案】(1);(2)或．【解析】试题分析：（Ⅰ）利用，化简即可求解；（Ⅱ）先将直线化成极坐标方程，将的极坐标方程代入的极坐标方程得，再利用根与系数的关系和弦长公式进行求解.试题解析：（Ⅰ）化圆的一般方程可化为.由，可得圆的极坐标方程.（Ⅱ）在（Ⅰ）中建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为.设，所对应的极径分别为，，将的极坐标方程代入的极坐标方程得.于是，..由得，.所以的斜率为或.视频23. 选修4-5：不等式选讲已知函数，其中．（1）当时，求不等式的解集；（2）已知关于的不等式的解集为，求的值．【答案】(1);(2).【解析】分析：（1）由绝对值的定义去年绝对值符号，分类求解；（2）与（1）类似，由绝对值定义去年绝对值符号，再由题意解不等式可得.详解：（1）当时，当时，由得，解得；当时，由得无解；当时，由得，解得，故不等式的解集为．（2）令，则由，解得，又知的解集为，所以于是解得．点睛：本题考查解含绝对值不等式，一般是根据绝对值定义去掉绝对值符号，分类求解，有时也可根据绝对值的性质（例如平方后）去绝对值符号后求解.。
2011年高考湖南卷理科数学试题及答案
正视图侧视图俯视图 图1 2011年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学（湖南卷）参考公式：（1）()()()P AB P B A P A =，其中,A B 为两个事件，且()0P A >， （2）柱体体积公式V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高。
（3）球的体积公式343V R π=，其中R 为求的半径。
2011年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若,a b R ∈，i 为虚数单位，且()a i i b i +=+则 A ．1a =，1b = B ．1,1a b =-=C ．1,1a b =-=-D ．1,1a b ==-2．设集合{}{}21,2,,M N a ==则 “1a =”是“N M ⊆”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件3．设图1是某几何体的三视图，则该几何体的体积为 A ．9122π+B ．9182π+C ．942π+D ．3618π+4由()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++算得，()22110403020207.860506050K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯．参照附表，得到的正确结论是A ．再犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B ．再犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”5．设双曲线()222109x y a a -=>的渐近线方程为320x y ±=，则a 的值为A ．4B ．3C ．2D ．16．由直线,,033x x y ππ=-==与曲线cos y x =所围成的封闭图形的面积为A ．12B ．1CD 7．设m ＞1，在约束条件1y x y mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩下，目标函数z=x+my 的最大值小于2，则m 的取值范围为A ．（1，1B ．（1+∞）C ．（1,3 ）D ．（3，+∞）8．设直线x=t 与函数2()f x x = ()lng x x = 的图像分别交于点M,N,则当MN 达到最小时t 的值为A ．1B ．12C D 二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡．．．中对应号后的横线上。
2011年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)数学试题 (理科)(解析版)
为( )
A．1
1
B．
2
5
C．
2
2
D．
2
二、填空题：本大题共 8 小题，考生作答 7 小题，每小题 5 分，共 35 分，把答案填在答．题．卡．中对应 号后的横线上。 （一）选做题（请考生在 9、10、11 三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）
9．在直角坐标系
xOy
中，曲线
C1
的参数方程为
x
0 ，则 a 的值为(
)
A．4 B．3 C．2 D．1
答案：C
解析：由双曲线方程可知渐近线方程为 y 3 x ，故可知 a 2 。 a
6．由直线 x , x , y 0 与曲线 y cos x 所围成的封闭图形的面积为( ) 33
A． 1 2
B．1
C． 3 2
D． 3
y x
7．设
1 4
16．对于 n N * ,将 n 表示 n a0 2k a1 2k 1 a2 2k 2 ... a k1 21 a k 20 ,当 i 0 时， ai 1 ,当1 i k 时, a1 为 0 或 1．记 I (n) 为上述表示中 ai 为 0 的个数（例如： I 1 20, 4 1 22 0 21 0 20 ）,故 I (1) 0 , I (4) 2 ）,则
的最小值为
。
10．9
11．如图 2，A,E 是半圆周上的两个三等分点，直径 BC=4，
AD⊥BC,垂足为 D,BE 与 AD 相交与点 F，则 AF 的长为
。
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23
11．
3
（二）必做题（11～16 题）
12．设 Sn 是等差数列{an} (n N ) ，的前 n 项和，且 a1 1, a4 7 ，
湖南省2011年高考模拟试题(1)
湖南省2011年高考模拟试题（1）理科数学一．选择题（本大题8小题，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求）． 1．复数212ii+-的虚部是 A ．0B ．iC ．1D ．-12．设随机变量ξ服从标准正态分布()0 1N ，，在某项测量中，已知()196P .ξ<=0.950，则ξ在()1.-∞-，96内取值的概率为A ．0.025B ．0.050C ．0.950D ．0.975 3．若某程序框图如右图所示，则该程序运行后输出的B 等于 A ．63 B ．31 C ．15 D ．74．在ABC AB BC AB ABC ∆=+⋅∆则中，若,02的形状是A ．∠C 为钝角的三角形B ．∠B 为直角的直角三角形C ．锐角三角形D ．∠A 为直角的直角三角形5．函数x x x f 3log )1(sin )(--=π的零点个数是 A ．1 B ．2C ．3D ．46．己知()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0<x 时，2)(+=x x f ，那么不等式01)(2<-x f 的解集是A ．5{|0}2x x <<B ．3{|2x x <-或50}2x ≤< C ．}023|{≤<-x xD ．3{|02x x -<<或50}2x << 7．已知某一几何体的正视图与侧视图如图，则下列图形中，可以是该几何体的俯视图的图形有A ．①②③⑤B ．②③④⑤C ．①②④⑤D ．①②③④8．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的左顶点、右焦点分别为A 、F ，点B （0，b ），-=+，则该双曲线离心率e 的值为A ．213+B ．215+C ．215-D ．2二．填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分）．（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须做答．9．一个总体分为A 、B 两层，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为30的样本，已知B 层中每个个体被抽到的概率都是112，则总体中的个体数为 ． 10．已知)22cos(sin 2sin 2,0παααπα-=<<，则等于 ．11．已知实数x 、y 满足三个不等式：,623,44,1243≥+≥+≤+y x y x y x 则xy 的最大值是 ． 12．定义等积数列：在一个数列中，若每一项与它的后一项的积是同一常数，那么这个数列叫做等积数列，这个数叫做公积．已知等积数列}{n a 中，,21=a 公积为5，当n 为奇数时,这个数列的前n 项和n S = ．13．已知集合A={(x,y)|0≤y ≤sinx, 0≤x ≤π},集合B={(x,y)|(x-2)2+(y-2)2≤ 8},在集合B 中任意取一点P ,则P ∈A 的概率是 ．（二）选做题：在下面3道小题中选做2题，3题都选只计算前2题的得分． 14．(坐标系与参数方程) 在极坐标系中，点()20P ，与点Q 关于直线22)4cos(=-πθρ对称，PQ = ．15．（几何证明选讲）如图，已知△ABC 内接于圆O ，点D 在OC 的延长线上，AD 是⊙0的切线，若∠B=30°，AC=2，则OD 的长为 ．16．（柯西不等式）已知：x+2y+3z=1,则222x y z ++的最小值是 ．三．解答题（有6大道题，共75分，要求写出推理和运算的过程）． 16．（本小题满分12分）已知函数21)122cos()122sin(3)122(sin )(2-++++=πππx x x x f ． （Ⅰ）求()f x 的值域；（Ⅱ）若()f x （x>0）的图象与直线12y =交点的横坐标由小到大依次是1x ，2x ，…，n x ，求数列{}n x 的前2n 项的和．17．（本小题满分12分）如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC,090=∠BCA ，AP=AC, 点D ，E 分别在棱,PB PC 上，且BC//平面ADE ．（Ⅰ）求证：DE ⊥平面PAC ；（Ⅱ）当二面角A DE P --为直二面角时，求多面体ABCED 与PAED 的体积比． 18．（本小题满分12分）某大学开设甲、乙、丙三门选修课，学生是否选修哪门课互不影响． 已知学生小张只选甲的概率为08.0，只选修甲和乙的概率是12.0，至少选修一门的概率是88.0，用ξ表示小张选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积．（Ⅰ）求学生小张选修甲的概率；（Ⅱ）记“函数ξ+=2)(x x f x 为R 上的偶函数”为事件A ，求事件A 的概率；（Ⅲ）求ξ的分布列和数学期望．19．(本题满分13分)已知椭圆)(112222１ >=-+a a y a x 的左右焦点为21,F F ，抛物线C ：px y 22=以F 2为焦点且与椭圆相交于点M ，直线F 1M 与抛物线C 相切． （Ⅰ）求抛物线C 的方程和点M 的坐标；（Ⅱ）过F 2作抛物线C 的两条互相垂直的弦AB 、DE ，设弦AB 、DE 的中点分别为F 、N ，求证直线FN 恒过定点； 20．(本题满分13分)如图，两个工厂B A ,相距km 2，点O 为AB 的中点，现要在以O 为圆心，km 2为半径的圆弧MN 上的某一点P 处建一幢办公楼，其中AB NB AB MA ⊥⊥,．据测算此办公楼受工厂A 的“噪音影响度”与距离AP 的平方成反比，比例系数是1，办公楼受工厂B 的“噪音影响度” 与距离BP 的平方也成反比，比例系数是4，办公楼受B A ,两厂的“总噪音影响度”y 是受B A ,两厂“噪音影响度”的和，设AP 为xkm ． （Ⅰ）求“总噪音影响度” y 关于x 的函数关系，并求出该函数的定义域； （Ⅱ）当AP 为多少时，“总噪音影响度”最小？ 21．（本小题满分13分）已知数列{}n x 的前n 项和为n S 满足nn n x S S ++=+111,*1,21N n S ∈=（Ⅰ）猜想数列{}2n x 的单调性，并证明你的结论； （Ⅱ）对于数列{}nu 若存在常数M ＞0,对任意的n N '∈，恒有1121...n n n n u u u u u u M +--+-++-≤，则称数列{}nu 为B-数列．问数列{}n x 是B-数列吗？并证明你的结论．参考答案一．选择题二．填空题 9．360； 10．815； 11．3； 12．419-n ； 13．π41； 14．22； 15．548；16．114三．解答题17．解：（Ⅰ）21)6sin(232)6cos(1)(-+++-=ππx x x f )6cos(21)6sin(23ππ+-+=x x x x sin )66sin(=-+=ππ，所以f(x) 的值域为[-1,1]．（Ⅱ）由正弦曲线的对称性、周期性可知2221π=+x x ，22243ππ+=+x x 2)1(22,212ππ+-=+-n x x n n ．ππππ)34(9521221-++++=++++∴-n x x x x n n πππ)2(4)1(212n n n n n -=⋅-+=18．解：（Ⅰ） BC//平面ADE, BC ⊂平面PBC, 平面PBC ⋂平面ADE=DE ，∴BC//ED ．∵PA ⊥底面ABC ，BC ⊂底面ABC ， ∴PA ⊥BC ．又90BCA ︒∠=，∴AC ⊥BC ．∵PA ⋂AC=A ， ∴BC ⊥平面PAC ．∴DE ⊥平面PAC ． （Ⅱ）由（Ⅰ）知， DE ⊥平面PAC ，又∵AE ⊂平面PAC ，PE ⊂平面PAC ，∴DE ⊥AE ，DE ⊥PE ，∴∠AEP 为二面角A DE P --的平面角，∴90AEP ︒∠=，即AE ⊥PC ， ∵AP=AC, ∴E 是PC 的中点，ED 是∆PBC 的中位线．13==∴--PED BCED PDE A BCED A S S V V19．解：（Ⅰ）设学生小张选修甲、乙、丙的概率分别为x 、y 、z ．依题意得⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧=----=-=--5.06.04.0,88.0)1)(1)(1(1,12.0)1(,08.0)1)(1(z y x z y x z xy z y x 解得 ，所以学生小张选修甲的概率为0.4．（Ⅱ）若函数x x x f ξ+=2)(为R 上的偶函数，则ξ=0．当ξ=0时，表示小张选修三门功课或三门功课都没选．)1)(1)(1()0()(z y x xyz P A P ---+===∴ξ24.0)6.01)(5.01)(4.01(6.05.04.0=---+⨯⨯=∴事件A 的概率为24.0．（Ⅲ）依题意知20，=ξ，则ξ的分布列为∴ξ的数学期望为52.176.0224.00=⨯+⨯=ξE ．20．解：（Ⅰ）由椭圆方程得半焦距1)1(c 22=--a a ＝，所以椭圆焦点为1(1,0)F -，2(1,0)F ．又抛物线C 的焦点为)0,2(p ,2,12==∴p px y C 42=∴：． 设),(11y x M 则1214x y =，直线M F 1的方程为)1(111++=x x y y 代入抛物线C 得 212121221)1(4)1(4,)1(4)1(+=++=+x x x x x x x y 即M F x x x x x 112121,0)1( =++-∴与抛物线C 相切， 04)121221=-+∆∴x x ＝（，)2,1(,11±=∴M x ．（Ⅱ）设AB 的方程为1+=ty x 代入x y 42=，得0442=--ty y ，设),(),(2211y x B y x A ，则t y y t y y 2242121=+=+，242)(22121+=++=+t y y t x x ，122221+=+t x x ，所以)2 12(2t t F ， +，将t 换成)212( 12t tN t -+-，得 由两点式得FN 的方程为3)1(=--y tt x ．当3 0==x y 时，所以直线FN 恒过定点)0, 3( ． 21．解：（Ⅰ）连接OP ，设,AOP α∠=则323παπ≤≤．在△AOP 中，由余弦定理得22212212cos 54cos x αα=+-⨯⨯=-， 在△BOP 中，由余弦定理得22212212cos()54cos BP παα=+-⨯⨯-=+， ∴2210BP x =-．则2222141410y AP BP x x =+=+-．∵323παπ≤≤，则11cos 22α-≤≤，∴354cos 7α≤-≤x ≤≤221410y x x x=+≤≤- （Ⅱ）令2,t x =14(37)10y t t t =+≤≤-．∴222214(10)(310)(10)(10)t t y t t t t -+-'=+=--． 由0y '=，得103t =，或10t =-（舍去）；当103,03t y '<<<，函数在10(3,)3上单调递减；当107,03t y '<<>，函数在10(,7)3上单调递增． ∴当103t =时，即x =APkm ）时，“总噪音影响度”最小． 22．解：（Ⅰ）由已知得112x =及111n nx x +=+，求得23456235813,,,,3581321x x x x x =====．由246x x x >>猜想：数列{}2n x 是递减数列．下面用数学归纳法证明：（1）当n=1时，已证命题成立；（2）假设当n=k 时命题成立，即222k k x x +>，易知20k x >，那么23212224212321231111(1)(1)k k k k k k k k x x x x x x x x ++++++++--=-=++++=22222122230(1)(1)(1)(1)k k k k k k x x x x x x ++++->++++即2(1)2(1)2k k x x +++>，也就是说，当n=k+1时命题也成立，结合（1）和（2）知，命题成立． （Ⅱ） 数列{}n x 是B-数列． 当n=1时，12116n n x x x x +-=-=， 当2n ≥时，易知1111101,12,12n n n n x x x x ---<<∴+<=>+，111115(1)(1)(1)(1)212n n n n n x x x x x ----∴++=++=+≥+11111111(1)(1)n n n n n n n n x x x x x x x x -+---∴-=-=++++ 2n-111221n-12225551265n n n n x x x x x x ---≤-≤-≤≤-= （）（）（）1121...n n n n x x x x x x +--+-++-185521)52(161<--⋅≤n ， 所以数列{}n x 是B-数列．。
2011年高考湖南省数学试卷_理科[含详细答案]
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2011年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页，时量120分钟，满分150分。
参考公式：（1）()()()P AB P B A P A =，其中,A B 为两个事件，且()0P A >， （2）柱体体积公式V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高。
（3）球的体积公式343V R π=，其中R 为求的半径。
一选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。
1.若,a b R ∈，i 为虚数单位，且()a i i b i +=+，则（ ）A ．1,1a b ==B ．1,1a b =-=C ．1,1a b =-=-D ．1,1a b ==-2.设{1,2}M =，2{}N a =，则“1a =”是“N M ⊆”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件3.右图一是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．9122π+B ．9182π+ C ．942π+ D ．3618π+4.通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表： 男 女 总计 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 总计6050110由22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++算得22110(40302020)7.860506050K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯ 附表：2()P K k ≥ 0.0500.010 0.001k3.841 6.635 10.828参照附表，得到的正确结论是（ ）A ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”5.设双曲线2221(0)9x y a a -=>的渐近线方程为320x y ±=，则a 的值为（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．16. 由直线,,033x x y ππ=-==与曲线cos y x =所围成的封闭图形的面积为（ ）A ．12B ．1 CD7. 设1m >，在约束条件1y x y mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩下，目标函数z x my =+的最大值小于2，则m 的取值范围为（ ）A．(1,1 B．(1)++∞ C ．(1,3) D ．(3,)+∞8.设直线x t =与函数2(),()ln f x x g x x ==的图像分别交于点,M N ，则当||MN 达到最小时t 的值为（ ） A ．1 B ．12CD．2二填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号的横线上。
数学_2011年湖南省高考数学模拟试卷1(理科)(含答案)
2011年湖南省高考数学模拟试卷1（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分） 1. 复数2+i 1−2i的虚部是（ ）A 0B iC 1D −12. 设随机变量ξ服从标准正态分布N(0, 1)，在某项测量中，已知P(|ξ|<1.96)=0.950，则ξ在(−∞, 1.96)内取值的概率为（ ） A 0.025 B 0.050 C 0.950 D 0.9753. 若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的B 等于（ ）A 63B 31C 15D 74. 在△ABC 中，若AB →⋅BC →+AB 2→=0，则△ABC 的形状是（ ）A ∠C 为钝角的三角形B ∠B 为直角的直角三角形C 锐角三角形D ∠A 为直角的直角三角形5. 函数f(x)=sinπ(1−x)−log 3x 的零点个数是（ ） A 1 B 2 C 3 D 46. 己知y =f(x)是定义在R 上的奇函数，当x <0时，f(x)=x +2，那么不等式2f(x)−1<0的解集是( )A {x|0<x <52} B {x|x <−32或0≤x <52} C {x|−32<x ≤0} D {x|−32<x <0或0<x <52}7. 已知某一几何体的正视图与侧视图如图，则在下列图形中，可以是该几何体的俯视图的图形有（ ）A ①②③⑤B ②③④⑤C ①②④⑤D ①②③④8. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左顶点、右焦点分别为A 、F ，点B(0, b)，若|BA →+BF →|=|BA →−BF →|，则该双曲线离心率e 的值为（ ）A√3+12 B √5+12 C √5−12D √2二、填空题（共8小题，每小题5分，满分35分）9. 一个总体分为A ，B 两层，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本．已知B 层中每个个体被抽到的概率都为112，则总体中的个体数为________．10. 已知0<α<π，2sin2α=sinα，则cos(2α−π2)等于________．11. 已知实数x 、y 满足三个不等式：3x +4y ≤12，x +4y ≥4，3x +2y ≥6，则xy 的最大值是________．12. 定义等积数列：在一个数列中，若每一项与它的后一项的积是同一常数，那么这个数列叫做等积数列，这个数叫做公积．已知等积数列{a n }中，a 1=2，公积为5，当n 为奇数时，这个数列的前n 项和S n =________．13. 已知集合A ={(x, y)|0≤y ≤sinx, 0≤x ≤π}，集合B ={(x, y)|(x −2)2+(y −2)2≤8}，在集合B 中任意取一点P ，则P ∈A 的概率是________．14. （坐标系与参数方程） 在极坐标系中，点P(2, 0)与点Q 关于直线ρcos(θ−π4)=2√2对称，|PQ|=________．15. （几何证明选做题）如图，已知：△ABC 内接于圆O ，点D 在OC 的延长线上，AD 是圆O 的切线，若∠B =30∘，AC =2，则OD 的长为________． 16. 已知x +5y +3z =1，则x 2+y 2+z 2的最小值为________．三、解答题（共6小题，满分75分）17. 已知函数f(x)=sin 2(x2+π12)+√3sin(x2+π12)cos(x2+π12)−12． （1）求f(x)的值域；（2）若f(x)(x >0)的图象与直线y =12交点的横坐标由小到大依次是x 1，x 2…，x n ，求数列{x n }的前2n 项的和．18. 如图，在三棱锥P −ABC 中，PA ⊥底面ABC ，∠BCA =90∘，AP =AC ，点D ，E 分别在棱PB ，PC 上，且BC // 平面ADE（1）求证：DE⊥平面PAC；（2）当二面角A−DE−P为直二面角时，求多面体ABCED与PAED的体积比．19. 某大学开设甲、乙、丙三门选修课，学生是否选修哪门课互不影响．已知学生小张只选甲的概率为0.08，只选修甲和乙的概率是0.12，至少选修一门的概率是0.88，用ξ表示小张选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积．（1）求学生小张选修甲的概率；（2）记“函数f(x)=x2+ξx为R上的偶函数”为事件A，求事件A的概率；（3）求ξ的分布列和数学期望．20. 已知椭圆x2α2+y2α2−1=1(a>1)的左右焦点为F1，F2，抛物线C:y2=2px以F2为焦点且与椭圆相交于点M，直线F1M与抛物线C相切．（1）求抛物线C的方程和点M的坐标；（2）过F2作抛物线C的两条互相垂直的弦AB、DE，设弦AB、DE的中点分别为F、N，求证直线FN恒过定点．21. 2006年6月某工厂将地处A，B两地的两个小工厂合成一个大厂，为了方便A，B两地职工的联系，企业准备在相距2km的A，B两地之间修一条笔直的公路（即图中的线段AB），经测量，在A地的北偏东60∘方向，B地的西偏北45∘方向的C处有一半径为0.7km的公园，则修筑的这条公路会不会穿过公园？为什么？22. 已知数列{x n}的前n项和为S n满足S n+1=S n+11+x n ，S1=12nn∈N+（1）猜想数列{x2n}的单调性，并证明你的结论；（2）对于数列{u n}若存在常数M>0，对任意的n∈N+，恒有|u n+1−u n|+|u n−u n−1|+−+|u2−u1|≤M则称数列{U n}为B−数列．问数列{x n}是B−数列吗？并证明你的结论．2011年湖南省高考数学模拟试卷1（理科）答案1. C2. A3. A4. D5. C6. B7. D8. B9. 12010. √15811. 312. 9n−1413. 14π14. 2√215. 416. 13517. 解：（1）f(x)=1−cos(x+π6 )2+√32sin(x+π6)−12=√32sin(x+π6)−12cos(x+π6)=sinx所以f(x)的值域为[−1, 1]（2）由正弦曲线的对称性、周期性可知x1+x22=π2，x3+x42=2π+π2，x2n−1+x2n2=2(n−1)π+π2∴ x1+x2+...+x2n−1+x2n=π+5π+…(4n−3)π=(2n2−n)π18. 解：（1）∵ BC // 平面ADE，BC⊂平面PBC，平面PBC∩平面ADE=DE∴ BC // ED∵ PA⊥底面ABC，BC⊂底面ABC∴ PA⊥BC．又∠BCA=90∘，∴ AC⊥BC．∵ PA∩AC=A，∴ BC⊥平面PAC．∴ DE⊥平面PAC．（2）由（1）知，DE⊥平面PAC，又∵ AE⊂平面PAC，PE⊂平面PAC，∴ DE⊥AE，DE⊥PE，∴ ∠AEP为二面角A−DE−P的平面角，∴ ∠AEP=90∘，即AE⊥PC，∵ AP=AC，∴ E是PC的中点，ED是△PBC的中位线．∴ V A−BCEDV A−PDE =S BCEDS PDE=3119. 解：（1）设学生小张选修甲、乙、丙的概率分别为x、y、z依题意得{x(1−y)(1−z)=0.08 xy(1−z)=0.121−(1−x)(1−y)(1−z)=0.88解得{x=0.4y=0.6z=0.5所以学生小张选修甲的概率为0.4（2）若函数f(x)=x2+ξx为R上的偶函数，则ξ=0当ξ=0时，表示小张选修三门功课或三门功课都没选．∴ P(A)=P(ξ=0)=xyz+(1−x)(1−y)(1−z)=0.4×0.5×0.6+(1−0.4)(1−0.5)(1−0.6)=0.24∴ 事件A的概率为0.24（3）依题意知ξ=0，2则ξ的分布列为20. 解：（1）由椭圆方程得半焦距c =√a 2−(a 2−1)=1， 所以椭圆焦点为F 1(−1, 0)，F 2(1, 0)，又抛物线C 的焦点为(p 2，0)，∴ p2=1，p =2，∴ C:y 2=4x ，设M(x 1, y 1)，则y 12=4x 1，直线F 1M 的方程为y =y 1x1+1(x +1)，代入抛物线C 得y 12(x +1)2=4x(x 1+1)2，即4x 1(x +1)2=4x(x 1+1)2，∴ x 1x 2−(x 12+1)x +x 1=0，∴ F 1M 与抛物线C 相切，∴ △=(x 12+1)2−4x 12=0，∴ x 1=1，M(1, ±2)，（2）设AB 的方程为x =ty +1，代入y 2=4x ，得y 2−4ty −4=0，设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，则y 1+y 2=4t ，y 1+y 22=2t ，x 1+x 2=t(y 1+y 2)+2=4t 2+2，x 1+x 22=2t 2+1，所以F(2t 2+1, 2t)，将t 换成−1t得N(2t2+1,−2t)，由两点式得FN 的方程为x −(t −1t )y =3， 当y =0时x =3，所以直线FN 恒过定点(3, 0)． 21. 计划修筑的这条公路不会穿过公园． 22. 解：（1）由已知得x 1=12，x n+1=11+x n，∴ x 2=23，x 3=35，x 4=58，猜想数列{x 2n }是递减数列下面用数学归纳法证明：①当n =1时，已证命题成立②假设当n =k 时命题成立，即x 2k >x 2k+2 易知x 2k >0，那么x 2k+2−x 2k+4=11+x2k+1−11+x2k+3>0即x 2（k+1）>x 2（k+1）+2也就是说，当n =k +1时命题也成立，结合①和②知，命题成立 （2）数列{x n }是B −数列．当n =1时，|x n+1−x n |=|x 2−x 1|=16，当n ≥2时，易知0<x n−1<1，∴ 1+x n−1<2，x n >12 ∴ (1+x n )(1+x n−1)=2+x n−1≥52 ∴ |x n+1−x n |=|11+x n−11+xn−1|=|x n −x n−1|×1(1+xn )(1+x n−1)≤25|x n −x n−1|≤−≤16×(25)n−1∴ |x n+1−x n |+|x n −x n−1|+−+|x 2−x 1|≤16×1−(25)n1−25<518所以数列{x n}是B−数列．。