专题06 对数与对数函数及其复合函数题型归纳

专题06 对数与对数函数及其复合函数综合问题
重难点一 对数的概念
如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作N
x a log =，其中a 叫
做对数的底数，N 叫做真数.
重难点二 对数的性质、换底公式与运算性质
(1)对数的性质：①a log a N ＝N ；②log a a b ＝b (a >0，且a ≠1). (2)对数的运算法则；如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么
①N M MN a a a log log )(log +=； ②N M N M
a a a log log log -=； ③M n M a n a log log =(n ∈R)； ④
b n
m b a m
a n log log =.
(3)换底公式：a
b
b c c a log log log =
(a ，b 均大于零且不等于1). 重难点三 对数函数及其性质
(1)概念：y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，定义域是(0，＋∞). (2)
一、重难点题型突破
重难点1 对数与对数式的化简求值 如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么：
(1)log a (MN )＝log a M ＋log a N ；(2)log a M
N
＝log a M －log a N ；(3)log a M n ＝n log a M (n ∈R )．
例1-1．（1）（2017·全国高一课时练习）已知lg 9=a,10b =5，则用a ，b 表示log 3645为 ．
【解析】由已知得lg5b =，则36lg 45lg 5lg 9log 45lg 36lg 4lg 92lg 2b a
a
++=
==++， 因为10
lg 2lg 1lg515
b ==-=-，所以2lg 22(1)22b a a b a b a b a a b +++==+-+-+，
即36log 4522
a b
a b +=
-+.
（2）（四川省绵阳市南山中学2018-2019学年高一上期中）若3a =5b =225，则+=（ ）
A.
B.
C. 1
D. 2
【解析】
则
，故选：A ． 例1-2．（1）（2020·成都市·成都实外高一月考）
()()()4839log 3log 3log 2log 2lg100+⋅+⋅
【解析】()4839(log 3log 3)(log 2log 2l 10)g 0+⋅+⋅
2233111(log 3log 3)(log 2log 2)2232=++⨯2353
2log 3log 2
62
=⨯⋅5lg 3lg 25lg 2322lg =⨯⨯= （2）（2019·四川省成都市郫都区第四中学高一期中）
3
32922
log log log 3log 4.39--⋅
【解析】原式()33222
log 21log 22log 302log 3
=----⋅
=．
【变式训练】（1）()2
81lg500lg
lg 64lg 2lg552
+-++ 【详解】由对数的运算性质，可得原式=1
2lg 5lg100lg8lg 5lg 641++--+ =lg100lg8lg81+-+=2lg101213+=+=.
（2）（2019·成都七中实验学校高一期中）计算：
22log 5
log 10
+lg2-log 483log 23+．
1a 1
b
12
14
35225a b ==35log 225,log 225a b ∴==225225225111
log 3log 5log 152
a b +=+==
【详解】
22log 5log 10+lg2－log 483log 23+=lg5+lg2－32+2=1－3
22
+=32． （3）（2020·四川成都市·成都七中高一月考）已知323,18.a
b log ==
（1）求()2a b -的值；（2
）求214b
a -+⨯的值.
【解析】()1由23a =得，2log 3a =.
所以()()()232332log 32log 18log 3log 9log 18a b -=⋅-=⋅-
()23323log 3log 18log 9log 3log 21=-⋅-=-=-；
()2由3log 18b =得318b =，
所以(
)
22
1
442
b
a a -+⨯
=⋅
24336=⨯==
【变式训练2】（1）已知2log (2)log log a a a M N M N -=+，则
M
N
的值为（ ） A ．
14
B ．4
C ．1
D ．4或1
【解析】因为2log (2)log log a a a M N M N -=+，
所以2log (2)log a a M N MN -=（）
，2
(2)M N MN -=， 2540M M
N N
-+=（
）, 解得
=1（舍去），
=4，故选B.
（2）（2020·四川师范大学附属中学高一期中）设25a b m ==，且11
2a b
+=，则m =（ ）
A
B ．10
C ．20
D ．100
【解析】因为25a b m ==，所以25log ,log a m b m ==，
所以
11
log 2log 5log 102m m m a b
+=+==，210m ∴=，0m >，
∴m =A （3）（2019·四川成都市·双流中学高一期中）若2312a b ==，则21
a b
+=________．
【解析】由题意得23log 12,log 12a b ==，则
121211
log 2,log 3a b
==， 所以
()
212121221
2log 2log 3log 231a b
+=+=⨯=. 重难点2 对数函数图像
例2.（1）（2018·四川省新津中学高一开学考试）当1a >时， 在同一坐标系中，函数
x y a -= 与log a y x =-的图像是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【解析】由于1a >，所以1x
x
a y a -=⎛⎫
= ⎪⎝⎭
为R 上的递减函数，且过()0,1；log a y x =-为()0,∞+上的单调递减函数，且过()1,0，故只有D 选项符合.故选：D.
（2）已知函数log ()a y x c =+（,a c 为常数，其中0,1a a >≠）的图象如图，则下列结论成立的是（ ）
A ．0,1a c >>
B ．1,01a c ><<
C ．01,1a c <<>
D ．01,01a c <<<< 【解析】由图象可知01a <<，当0x =时，log ()log 0a a x c c +=>，得01c << （3）（恒过定点问题）（2020·四川高一期中）函数log (3)1a y x =-+(0a >且1a ≠)的图
像恒过定点P ,则点P 的坐标是( )
A ．(4,1)
B ．(3,1)
C ．(4,0)
D ．(3,0)
【解析】
函数log (3)1a y x =-+,(0a >且1a ≠).∴令31x -=,解得4x =
当4x =,1y =，∴ 函数log (3)1a y x =-+(0a >且1a ≠)的图像恒过定点(4,1)P . 故选:A ．
【变式训练】（1）（2020·绵阳·三台中学实验学校高一期末）函数()2log 21x
f x =-的图
象大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【详解】
()()()
222log 12,0
log 21log 21,0
x x x
x f x x ⎧-<⎪
=-=⎨->⎪⎩，
由复合函数的单调性可知，函数()y f x =的单调递减区间为(),0-∞，单调递增区间为
()0,+∞，排除B 、C 选项.当0x <时，021x <<，则0121x <-<，此时
()()
2log 120x f x =-<，排除D 选项.故选：A.
（2）（2019·四川遂宁市·高一期末）已知函数(0x y a a =>且1a ≠）是增函数，那么函数
1
()log 1
a
f x x =-的图象大致是（ ） A ．B ．C ． D ．
【详解】由题意，函数(0x y a a =>且1a ≠）是增函数，可得1a >，
又由函数1()log 1a
f x x =-满足
1
01x >-，解得1x >，排除C 、D 项， 又由函数1
()log log (1)1
a
a f x x x ==---， 根据复合函数的单调性，可得函数()f x 为单调递减函数.故选：B .
（3）（2019·四川成都市·成都外国语学校高一期中）函数log (25)1a y x =--恒过定点的
坐标为__________.
【解析】函数log (25)1a y x =--，当3x =时, log (235)11a y =⨯--=-，
所以定点坐标为()3,1-，故答案为: ()3,1-
重难点3 对数函数定义域
例3.（1）（2019·四川泸州市·高一期中）函数()()
21
log 2f x x =-的定义域为
_____________
【解析】由()2log 20
20x x ⎧-≠⎨->⎩
得23x x >≠且，
所以函数()()
21
log 2f x x =
-的定义域为{}|23x x x >≠且.
（2）（2020·四川绵阳市·高二期末（文））已知函数(
)f x =()f x 的定义
域为______. 【解析】2
1log 0x x x >⎧⇒≥⎨
≥⎩，所以函数()f x 的定义域为[)1,+∞.故答案为：[)1,+∞
（3）（2019·四川高一期末（文））已知函数(
)
2
()lg 3f x mx mx m =--+的定义域为R ，则实数m 的取值范围为_____．
【解析】函数(
)
2
()lg 3f x mx mx m =--+的定义域为R 等价于对于任意的实数R x ∈，
230mx mx m --+>恒成立，当0m =时成立
当0m ≠时，等价于2
0120()4(3)0
5m m m m m >⎧⇒<<⎨∆=---+<⎩，综上可得120,5⎡⎫
⎪⎢⎣⎭ 【变式训练】（1）（2019·四川成都市·
川大附中分校高一期中）函数()
1
lg 3y x =-的定义域是______．
【解析】要使函数有意义，需满足()103030x x lg x ⎧-≥⎪
->⎨⎪-≠⎩
，解得12x ≤<或23x <<，
故答案为[
)()1,22,3⋃
（2）（2020·四川眉山市·
仁寿一中高一期中）函数y =
）
A ．（0，1]
B ．4
5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
，
C ．415⎛⎤ ⎥⎝⎦
，
D ．415⎛⎫ ⎪⎝⎭
，
【解析】由函数y =0541x <-≤，解得415
x <≤.故选：C
（3）2020·四川成都市·
成都七中高一期中）函数()ln f x x = ） A ．[0,2]
B ．(0,2]
C ．(0,)+∞
D ．(2,)+∞
【解析】由题意得，函数的定义域需满足0
20x x >⎧⎨-≥⎩
，解得：02x <≤
所以函数的定义域是(]
0,2.故选:B.
（4）函数(
)
2
()lg 2f x x x a =++，若它的定义域为R ，则a ____．
【解析】函数(
)
2
()lg 2f x x x a =++的定义域为R ，则220x x a ++>恒成立，
故440a ∆=-<，即1a >；
重难点4 对数函数单调性
例4.（1）（2020·四川成都市·成都实外高一月考）已知函数()
f x =该函数的单调递减区间是（ ） A ．R
B ．30,4⎛⎫
⎪⎝⎭
C ．3,14⎛⎤ ⎥⎝⎦
D ．3,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
【解析】要使函数(
)f x =
则()0.5431log 430430430
x x x x -≤⎧-≥⎧⇒⎨⎨->->⎩⎩，解得314x <≤，即函数的定义域为3,14⎛⎤
⎥⎝⎦，
因为43t x =-在3,14⎛⎤
⎥⎝⎦
上递增，0.5log u t =在()0,∞
+递减，y =[)0,+∞递
增，
所以()
f x =3,14⎛⎤
⎥⎝⎦
上递减，故选：C. （2）（2020·四川成都市·成都七中高一期中）若函数()2
13
()log 45f x x x =-++，则()f x 的
单调递增区间为（ ） A ．()2,5
B ．()1,2-
C ．()2,+∞
D ．(),2-∞
【解析】令245t x x =-++，则
13
log y t =，由真数
0t >得15x -<<，
∵抛物线245t x x =-++的开口向下，对称轴2x =，
∵245t x x =-++在区间()1,2-上单调递增，在区间()2,5上单调递减， 又∵
13
log y t =在定义域上单调递减，由复合函数的单调性可得：
()213
()log 45f x x x =-++的单调递增区间为()2,5.故选：A.
（3）（2019·四川省泸州高级中学校高一月考）已知函数log (1)a y ax =-在()1,2上是增函
数，则a 的取值范围是（ ） A ．()1,2
B ．[]1,2
C ．10,2⎛
⎫ ⎪⎝⎭
D ．10,2
⎛⎤ ⎥⎝
⎦
【详解】∵log (1)a y ax =-在()1,2上是增函数，∵0a >，∵函数1t ax =-在()1,2上是减
函数，∵01a <<．再根据0112010
a a a <<⎧⎪-≥⎨⎪-≥⎩
，求得1
02a <≤，故选：D ．
（4）（2020·四川成都市·树德中学高一月考）若函数()()
2
2log 3f x x ax a =--在区间
(],2-∞-上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．(),4-∞
B ．(]4,4-
C ．[)4,4-
D ．()
[),42,-∞--+∞
【解析】函数()()
2
2log 3f x x ax a =--在区间(],2-∞-上是减函数，
则内函数23x a a u x --=区间(],2-∞-上是减函数，且0>u 在区间(],2-∞-上恒
成立，所以24224(2)230a a a a a ⎧
≥-≥-⎧⎪
⇒⎨⎨
<⎩⎪-+->⎩
，所以实数a 的取值范围是[)4,4-.选：C. （5）（2020·四川省绵阳南山中学高一期中）已知函数()()233,1
log ,1a a x a x f x x x ⎧--+<=⎨
≥⎩
满足12x x ≠时恒有
1212
()()
0f x f x x x ->-成立，那么实数a 的取值范围是（ ）
A ．()1,2
B ．51,4⎛⎤
⎥⎝⎦ C ．()1,+∞ D ．5,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭
【解析】因为函数()f x 满足12x x ≠时恒有
1212
()()
0f x f x x x ->-成立，
所以函数()()233,1
log ,1a a x a x f x x x ⎧--+<=⎨
≥⎩
在R 上单调递增，
所以()20
1233log 1
a a a a a ⎧->⎪>⎨⎪--+≤⎩
，解得5,24a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.故选：D.
【变式训练】（1）（2020·四川攀枝花市·攀枝花七中高三月考（理））函数f （x ）=ln （223x x --）的递增区间为（ ） A ．(,1)-∞-
B ．(1,)+∞
C ．(3,)+∞
D ．(1,3)
【解析】求得函数的定义域为(,1)
(3,)-∞-+∞，设内函数223,
t x x =--(,1)(3,)x ∈-∞-⋃+∞，外函数为ln y t =，外函数在(0,)∞单调递增，内函数
在(3,)x ∈+∞单调递增，根据复合函数单调性“同增异减”，所以函数f(x)在区间
(3,)x ∈+∞上单调递增，选C.
（2）（2019·四川绵阳市·三台中学实验学校高一月考）函数()log (3)a f x ax =-在[]13，
上单调递增，则a 的取值范围是（ ）
A ．()1
+∞， B ．()01，
C ．103⎛
⎫ ⎪⎝⎭
，
D ．()3
+∞， 【解析】
()log (3)a f x ax =-在[]13，上单调递增，而函数()3t x ax =-在[]13，上单调递
增，复合函数的单调性得1a >，且30a ->，解得3a >，即()3a ∈+∞，
，故选：D ．
（3）（2020·四川成都市·成都外国语学校高一期中）函数2
log (2)a y x ax =-+在区间
(],1-∞上是减函数，则a 的取值范围是（ ）
A ．(0,1)
B ．[2，)+∞
C ．[2，3)
D ．(1,3)
【解析】若01a <<，则22t x ax =-+在区间(],1-∞上为增函数，不可能，舍去；若
1a >，则22t x ax =-+在区间(],1-∞上为减函数，且0t >,1
2
120
a
a ⎧≥⎪∴⎨⎪-+>⎩23a ∴≤<
即a 的取值范围是[)2,3.故选：C.
（4）（2020·四川绵阳市·高一期末）已知0a >，且1a ≠，若函数
()()
2log 21a f x ax x =-+
在1
,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上是增函数，则实数a 的取值范围为（ ）
A ．10,3
⎛⎤ ⎥⎝
⎦
B ．[
)3,+∞ C ．(]10,1,33⎛⎤ ⎥
⎝
⎦
D ．[)10,
3,3⎛⎤
+∞ ⎥⎝⎦
【解析】令2
()21t g x ax x ==-+（0a >，且1a ≠），则()0>g x 在1
,33
⎡⎤⎢⎥⎣
⎦
上恒成立，
11321093
a a ⎧≤⎪⎪∴⎨⎪-+>⎪⎩或13
9610a a ⎧≥⎪⎨⎪-+>⎩或11
331210
a a a ⎧<<⎪⎪⎨⎪-+>⎪⎩，解得：1a >，
所以外层函数log a f x
t 在定义域内是单调增函数，
若函数()()
2
log 21a f x ax x =-+在1,33⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上是增函数，
则内层函数2
21t ax x =-+在1,33⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上是增函数，113a ∴≤，且1a >，
解得3a ≥，实数a 的取值范围为[
)3,+∞，故选：B ． （5）（2019·四川省南充高级中学高一月考）已知函数()()(
)21,2log 1,12a a x a x f x x x ⎧-+≥⎪
=⎨
-<<⎪⎩是
()1,+∞上的减函数，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．21,52⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
B ．20,5⎛⎤ ⎥⎝⎦
C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．10,5
⎛⎤ ⎥⎝
⎦
【解析】因为函数()()(
)21,2
log 1,12a a x a x f x x x ⎧-+≥⎪=⎨-<<⎪⎩是()1,+∞上的减函数，
所以21001log 12(21)a
a a a a -<⎧⎪<<⎨⎪≥-+⎩，即120l 25a a a ⎧
<⎪⎪<<⎨⎪⎪≤
⎩
，解得2
05a <≤，故选：B
重难点5 对数函数值域
例5.（1）（2011·四川攀枝花市·高二月考（理））函数
2
12
()log (32)f x x x =--的值域为 （ ）
A ．[2,)-+∞
B ．[
)1-+∞， C ．(0,)+∞ D ．[1,0)-
【解析】由2032x x -->得31x -<<或1x >，
所以函数
2
12
()log (32)f x x x =--的定义域为()3,1-， 当()3,1x ∈-， (]2232(1)40,4y x x x =---∈=++
又
12
log y x =在()
0,∞+上单调递减，min 12
log 42y ==-， 所以函数
2
12
()log (32)f x x x =--在()3,1-上的取值范围是[)2,-+∞.故选A. （2）（2019·四川成都市·树德中学高一月考）已知(
)
2
()lg 2f x ax x a =-+的值域为R ，
则实数a 的取值范围为（ ） A ．(,1)
(1,)-∞-+∞ B ．()1,+∞ C ．[1,1]-
D ．[0,1]
【解析】因为(
)
2
()lg 2f x ax x a =-+的值域为R ，所以函数2
2y ax x a =-+可以取到
任意的正实数，若0a =，该式为2x ，符合题意，若0a ≠，则2
440a a >⎧⎨∆=-≥⎩
， 解得01a <≤，所以实数a 的取值范围是[0,1]，故选：D. 【变式训练】（1）（2018·成都市·成都外国语学校高一月考）若函数
22()log (1)f x ax ax =++的值域为R 的函数，则a 的取值范围是（ ）
A ．(4,)+∞
B ．(,4)-∞
C ．[4,)+∞
D ．(,4]-∞
【详解】设y=ax 2+ax+1，根据题意（0，+∞）∵{y|y=ax 2+ax+1}；
∵2
040a a a ⎧
⎨=-≥⎩
＞；解得a≥4；∵实数a 的取值范围为[4，+∞）．故选C ． （2）函数(
)
2
()lg 2f x x x a =++，若它的值域为R ，则a _______．
【解析】函数()
2
()lg 2f x x x a =++为R ，则()0,∞+是函数2
2y x x a =++值域的子
集，
则440a ∆=-≥，即1a ≤.故答案为：1≤. 重难点6 对数函数最值
例6.（1）（2020·四川宜宾市·高一期末）若函数()log a f x x =（0a >，且1a ≠）在区间
[]2,4上的最小值为2，则实数a 的值为（ ）
A
．
2
B
C ．2
D
或2
【解析】由题：函数()log a f x x =（0a >，且1a ≠）在区间[]
2,4上的最小值为2， 当1a >时，()log a f x x =在[]
2,4单调递增，所以最小值()2log 22a f ==
，解得
a =01a <<时，()log a f x x =在[]2,4单调递减，
所以最小值()4log 42a f ==，解得2a =
，不合题意，所以a =
故选：B
（2）（2020·南昌市第三中学高一期中）已知03x <≤，求函数11
2
2
()log log 4
x f x x =⋅的最小值为________． 【详解】
函数11
111112
2
2222
2()log log log log log 4log log 4032,x
f x x x x x x x ⎛⎫
⎛⎫
=⋅=-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭<≤， 令112
2log log 3,t x ⎡⎫=∈+∞⎪⎢⎣
⎭
，则()()()2
12
211,log 3,h t t t t t ⎡⎫=+=+-∈+∞⎪⎢⎣
⎭
，
所以当1t =-即2x =时，函数()h t 的最小值为1-，即()f x 的最小值为1-，答案为：
1-.
【变式训练】（1）（2020·眉山市·仁寿一中高一期中）已知函数(
)
12
2
()log 238f x x x =-+.
求函数()f x 在1
[,2]2
上的值域；
【解析】()f x 的定义域为1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦.因为2
238y x x =-+的最小值为2
42835588
⨯⨯-=
. 最大值为22232810⨯-⨯+=，故函数()f x 在1,22
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的值域为
114455log 10,log 8⎡⎤⎢⎥⎣⎦
；
（2）（2019·四川遂宁市·高一期中）设函数22()log (4)log (2)f x x x =⋅,
1
416
x ≤≤． （1）若2log t x =,求t 取值范围； （2）求()f x 的最值，并给出最值时对应的x 的值. 解析：（1）
[]21
4,log 4,16
2x t x ≤≤∴=∈-. （2）由（1）可得()()()()()
2222log 4log 22log 1log f x x x x x =⋅=++2
2
3132+24
t t t ⎛⎫=++=- ⎪⎝⎭，
3
2t ∴=-
，可得23log 2x =-，解得322x -=时，()min 1
4
f x =-，当2t =即4x =时，()max 12f x =.
重难点7 比较大小
例7-1.图中曲线是对数函数log a
y x =的图象，已知a 43，35，1
10
四个值，则相应于1C ，2C ，3C ，4C 的a 值依次为( )
A 43，35，110
B 43，110，35
B ．
C ．4335，110
D ．43110，3
5 【解析】由已知中曲线是对数函数log a
y x =的图象，
由对数函数的图象和性质，可得1C ，2C ，3C ，4C 的a 值从小到大依次为：4C ，3C ，
2C ，1C ，由a 43，35，1
10
四个值，
故1C ，2C ，3C ，4C 的a 43，35，1
10，故选：A ．
例7-2．（1）（2021·四川遂宁市·高一期末）已知3412a b ，log a c b =，则,,a b c 的大小
关系为（ ）
A ．a b c <<
B ．c b a <<
C ．b a c <<
D ．c a b << 【解析】因为3412a
b ，所以3332log 9log 12log 273a =<=<=，
4441log 4log 12log 162b =<=<=，所以23a <<，12b <<，所以log log 1a a c b a =<=，所以c b a <<.故选：B
（2）（2020·四川成都市·成都实外高一月考）已知2log 0.8a =，3log b π=，
7log 6c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）
A ．a b c <<
B ．b a c <<
C ．a c b <<
D ．c a b <<
【详解】22log 0.8log 10a =<=，即0a <；
33log log 31b π=>=，即1b >；7770log 1log 6log 71<=<=，即01c <<，
所以a c b <<.故选：C
【变式训练】（1）（2020·四川成都市·成都外国语学校高一期中）已知3log 5a =，
23
log 2b =，
0.25c -=，则,,a b c 的大小关系为（ ）
A ．a c b >>
B ．a b c >>
C ．c b a >>
D ．c a b >>
【解析】因为33log 5log 31a =>=，
223
3
log 2log 10b =<=，
0.200551c -<=<=，
所以a c b >>，故选：A
（2）（2020·四川成都市·成都七中高一期中）已知3log 0.3a =，0.13=b ，30.1=c ，则（ ） A ．a b c <<
B ．c a b <<
C ．a c b <<
D ．b c a <<
【详解】由函数3log y x =在()0,∞+上单调递增，0.31<，∵33log 0.3log 10a =<=； 由函数3x
y =在R 上单调递增，0.10>，∵0.10331b =>=；
由指数函数0.1x
y =在R 上单调递减，30>，∵3000.10.11c <=<=； ∵01a c b .故选：C.
例7-3.（2021·四川省成都市玉林中学高一期末）已知奇函数()f x 在R 上是减函数.若
()2log 4.6a f =，2
2log 9b f ⎛
⎫=- ⎪⎝⎭
，()
0.9
2c f =--，则a ､b ､c 的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．c b a >> C ．b a c >> D ．c a b >>
【解析】因为奇函数()f x 在R 上是减函数. 若()2log 4.6a f =，2
22229log log log 992b f f f ⎛⎫⎛
⎫⎛
⎫=-=-=
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭⎝
⎭，
()()0.90.922c f f =--=，∵0.9229log 4.6log 222
>>>，
∵()()0.9
229log 4.6log 22f f f ⎛⎫<< ⎪
⎝⎭
，即c b a >>.故选：B. 【变式训练】（1）（2018·四川成都市·双流中学（理））若定义在(),-∞+∞上的偶函数()
f x 在区间(],0-∞上单调递减，设()4lo
g 7a f =，12log 3b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，()1.6
2c f =，则
,,a b c 的大小关系是（ ）
A ．c a b <<
B ．c b a <<
C ．b c a <<
D ．a b c <<
【解析】
()f x 是定义在(),-∞+∞上的偶函数，
()()1222log 3log 3log 3b f f f ⎛⎫
∴==-= ⎪⎝⎭
，
4421log 7log 9log 32,<<=< 1.622>， 1.6442log 9log 7∴>>,
偶函数()f x 在[)0,+∞上为减函数，∴()
f x 在(],0-∞上是增函数， 所以()4lo
g 7f <12
log 3f ⎛⎫ ⎪⎝
⎭
<()1.6
2
f ，即a b c <<，故选D.
（2）（蓉城名校联盟2020年高一期中联考）设)(x f 是定义域为R 的偶函数，且在)
0(∞+，单调递减，则 ( )
A ．)
31
(log )
3
()
3
(24334
f f f >>-
-
B ．)3()3()3
1
(log 34
432-->>f f f
C ．)
3()3()31
(log 43
34
2-->>f f f
D ．)3
1
(log )
3
()
3
(23443
f f f >>-
-
【解析】∵)(x f 是定义域为R 的偶函数，∴)3(log )3log ()3
1
(log 222f f f =-=，
又x
y 3=是R 上的增函数，∴3log 13
324
33
4<<<-
-
，因为)(x f 在)0(∞+，单调递减，
所以)3
1
(log )
3
()3
(243
34f f f >>-
-；选A.
重难点8 对数型复合函数的应用
例8．已知，函数.
（1）求的定义域；（2）当时，求不等式的解集.
【解析】（1）由题意得：，解得 因为，所以；故的定义域为
（2）因为，所以，
，
因为，所以，即
2a >()()()44log 2log f x x a x =---()f x 4a =()()253f x f -≤200x a x ->⎧⎨->⎩2
x x a >⎧⎨
<⎩
2a >2x a <<()f x ()2,a 4a =()()()4425log 27log 92f x x x -=---()443log 1log 10f =-=()()253f x f -≤()()44log 27log 920x x ---≤
，从而，解得
故不等式的解集为. 【变式训练】已知函数（，且）在上的最大值为2.
（1）求的值；（2）若，求使得成立的的取值范围. 【解析】（1）由题意，当时，函数在上单调递增，
因此，解得
时，函数在
上单调递减，因此， 解得.综上可知：
. （2）由不等式，即，又，根据对数函数
的性质，可得，即
，解得.
二、课堂定时训练（45分钟）
1.（2020·四川成都市·高一期中）设2log 3a =，则6log 12可表示为（ ）
A ．
12a
a
++ B ．
21a
a
++ C ．
12a
a
+ D ．
21a
a
+ 【解析】
2 log 3a =，∴2226222log 12log 3log 42
log 12log 6log 2log 31
a a ++=
==++.故选B.
2．如果,0log log 2
12
1<<y x 那么( )
A ．1y x <<
B ．1x y <<
C ．1x y <<
D ．1y x <<
【解析】根据对数函数的性质得1x y >>．
3.在同一直角坐标系中，函数，(a >0，且a ≠1)的图象可能是( ) ()()44log 27log 92x x -≤-270
9202792x x x x
->⎧⎪
->⎨⎪-≤-⎩
742x <≤()()253f x f -≤7,42⎛⎤
⎥⎝⎦
()log a f x x =0a >1a ≠1,24⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
a 01a <<(()2)0f f x ->x 1a >()log a f x x =1,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦
max ()(2)log 22a f x f ===a =01a <<()log a f x x =1,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦1
4
max 1()()log 24
a f x f ===12a =
a =1
2
a =(()2)0f f x ->log (()2)log 1a a f x ->01a <<0()21f x <-<12
2log 3x <<1184
x <<1x y a =
1
(2
log )a
y x =+
【解析】当时，函数的图象过定点且单调递减，则函数的图象过定点且单调递增，函数的图象过定点且单调递减，D 选项符合；当时，函数的图象过定点且单调递增，则函数的图象过定点且单调递减，函数的图象过定点且单调递增，各选项均不符合.综上，选D.
4．（2013·雅安市·高三月考（文））1
(0,)2
x ∈时，4log x
a x <恒成立，则a 取值范围是
_______
【解析】当10,
2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
时，函数4x
y =的图象如下图所示：
因为对于任意10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，总有4log x a x <恒成立，则y log a x =的图象恒在4x y =的上
方，因为y log a x =与4x
y =的图象相交于1,22⎛⎫
⎪⎝⎭
时代入对数函数，求得2a =
所以此时a
的取值范围为,12⎫
⎪⎪⎣⎭
01a <<x
y a =(0,1)1
x
y a =
(0,1)1log 2a y x ⎛⎫=+
⎪
⎝⎭1
(,0)2
1a >x
y a =(0,1)1
x
y a =
(0,1)1log 2a y x ⎛⎫=+ ⎪
⎝⎭1
(,02
）
5．（2020·四川成都市·成都七中高一月考）设0.30.2
0.3log 0.2,0.2,0.3a b c ===，则
,,a b c 的大小关系为（ ） A ．c b a <<
B ．b c a <<
C ．a b c <<
D ．a c b <<
【解析】0.30.3log 0.2log 0.31a =>=，0.300.20.21b =<=，
0.200.30.31c =<=，0.20.30.30.30.30.2c =>>.b c a ∴<<.故选：B.
6．已知定义在R 上的函数()2
1x m
f x -=- （m 为实数）为偶函数，记0.5lo
g 3a =，
()2log 5b f =，()2c f m =则,,a b c 的大小关系为( )
A ．a b c <<
B ．a c b <<
C ．c a b <<
D ．c b a << 【解析】因为函数()2
1x m
f x -=-为偶函数，所以0m =，即()21x
f x =-，
所以2
21
log log 330.521(log 3)log 21213123a f f ⎛
⎫===-=-=-= ⎪⎝
⎭，()2log 5b f =
2log 5214=-=， ()02(0)210c f m f ===-=，所以c a b <<，故选C ．
7．（2020·四川省江油市第一中学高一期中）设()f x 是R 上的偶函数，且在[)0+∞，
上是单调递增，若(2)0f =，则使
12
(log )0f x <成立的x 的取值范围是（ ）
A
．4⎫⎪⎪⎝⎭
B ．104⎛⎫
⎪⎝⎭
，
C
．14⎛ ⎝⎭
D ．1,44⎛⎫
⎪⎝⎭
【详解】因为()f x 是R 上的偶函数，且在[)0+∞，
上是单调递增函数，且(2)0f =， 所以()f x 在()0∞-,
上是单调递减函数，(2)0f -=， 由12(log )0f x <，得122log 2
x x -<<⎧⎪⎨⎪>⎩解得144x <<.故选：D
8．2019·四川遂宁市·高一期中）已知函数()
2
13()log f x x ax a =--在1,2⎛⎫-∞- ⎪
⎝
⎭上是增函数，则a 的取值范围为（ ）
A ．[)1-+∞，
B ．(]，-1-∞
C ．112⎡
⎤-⎢⎥⎣⎦
，
D ．112⎡⎫-⎪⎢⎣⎭
，
【详解】已知函数()
213
()log f x x ax a =--在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝
⎭
上是增函数，
13
log y t =单调递
减，则t ＝x 2﹣ax -a 在,
2a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭单调递减，又t ＝x 2﹣ax -a>0在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝
⎭恒成立，故
122
1042
a
a a ⎧≥-⎪⎪⎨
⎪+-≥⎪⎩ 解得112a -≤≤ ，故选：C 9.（2019·四川成都市·成都外国语学校高一期中）设x 、y 、z 为正数，且235x y z ==，则 A ．2x <3y <5z B ．5z <2x <3y C ．3y <5z <2x
D ．3y <2x <5z
【解析】令235(1)x y z
k k ===>，则2log x k =，3log =y k ，5log =z k
∵22lg lg 3lg 913lg 23lg lg8x k y k =⋅=>，则23x y >， 22lg lg5lg 2515lg 25lg lg32
x k z k =⋅=<，则25x z <，故选D 10.（2020·四川师范大学附属中学高一期中）若函数2
2()log (23)f x x ax =-++在区间
内单调递减，则a 的取值范围是____________．
【解析】函数
开口向下，对称轴是直线x=a,所以要使函数
22()log (23)f x x ax =-++在区间
内单调递减，需有
且
,解得
．
11．（2020·河北省沧州市高三一模）已知函数()1
ln 1x f x ax
-=-为奇函数，则a =______. 【解析】由于函数()1
ln
1x f x ax
-=-为奇函数，则()()f x f x -=-，即111ln ln ln 111x x ax ax ax x ----=-=+--，1111
x ax ax x ---∴=+-，整理得22211x a x -=-，解得
1a =±。

当1a =时，真数111x x -=
=--，不合乎题意；当1a =-时，()1
ln 1
x f x x -=+，解不等式
1
01
x x ->+，解得1x <-或1x >，此时函数()y f x =的定义域为()(),11,-∞-+∞，定义域关于原点对称，合乎题意。

综上所述，1a =-。

12．（2020·四川省成都市新都一中高三月考（文））已知函数
()()324,1log ,1
a a x a x f x x x ⎧-+<=⎨≥⎩对任意不相等的实数1x ，2x ，都有
()()
12120f x f x x x -<-，则a 的取值范围为______.
【详解】由题知：对任意不相等的实数1x ，2x ，都有
()()
1212
0f x f x x x -<-， 所以()f x 在R 上为减函数，
故32001324log 1
a a a a a -<⎧⎪<<⎨⎪-+≥⎩
，解得：2273a ≤<.故答案为：22,73⎡⎫⎪⎢⎣⎭
13.（2019年高考全国Ⅱ卷理）已知()f x 是奇函数，且当0x <时，()e ax f x =-.若
(ln 2)8f =，则a =__________．
【解析】由题意知()f x 是奇函数，且当0x <时，()e ax
f x =-，又因为ln 2(0,1)∈，
(ln 2)8f =，所以ln 2e 8a --=-，两边取以e 为底数的对数，得ln 23ln 2a -=，所以
3a -=
14.（蓉城名校联盟2020年高一期中联考）求下列各式的值：
（1）2log 3232
lg25lg8log 27log 223+-⨯+
（2
）()2
1
23
2
3
313(0.008)3850--
-
⎛⎫⎛⎫
+÷-π- ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
【解析】
（1）原式232lg 27lg 23lg3lg 2
lg5lg 232(lg5lg 2)323323lg 2lg3lg 2lg3
=+-
⨯+=+-⨯+=-+= （2
）原式2222
1
3
33
32
27185011251812527-
-
⎛⎫
⎛⎫⎛⎫
=+÷-=+ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭⎝⎭
2
224135121399⎛⎫
=+-=+-= ⎪⎝⎭4219=+-139
=
15. 已知函数． （1）判断奇偶性并证明你的结论；（2）解方程． 【解析】（1）根据题意，为奇函数； 证明：
，所以定义域为，关于原点对称；
任取，则2211log log 1011x x x x -+⎛⎫
=⋅== ⎪+-⎝⎭
．
则有，为奇函数； （2）由（1）知，，即
，
，即，或， 又由，则有，综上，不等式解集为
16.（河南省金太阳2020年高一期中联考）已知函数()
22()log 43f x ax x =-+.
（1）若()f x 的定义域为R ，求a 的取值范围；（2）若()f x 的值域为R ，求a 的取值范围. 【解析】（1）∵函数()f x 的定义域为R ，∴2430ax x μ=-+>在R 上恒成立 分类讨论：当0a =时，430x μ=-+>不恒成立； 当0a ≠时，041620
3a a a >⎧⇒>⎨
∆=-<⎩综上，4,3a ⎛⎫
∈+∞ ⎪⎝⎭. （2）∵函数()f x 的值域为R ，∴243ax x μ=-+能取到大于0的一切实数；
当0a =时，43x μ=-+，满足题意；当0a ≠时，0401620
3a a a >⎧⇒<≤⎨
∆=-≥⎩综上，403a ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦，. ()2
1log 1x
f x x
+=-()f x ()1f x <-()f x 10111x
x x
+>⇒-<<-()f x ()11-，()11
x ∈-，()()22
11log log 11x x
f x f x x x
-+-+=++-()()f x f x -=-()f x 11x -<<()()()
2
11log 11x f x x +<-⇒<--111
212x x -+<=-()()()221111221x x x x x +--+-=--()31021x x +=<-3101x x +>-13x ∴<-1x >11x -<<113x -<<-113，⎛
⎫-- ⎪⎝
⎭
17．（2020·成都市实验外国语学校（西区）高一期中）已知函数
()2
()log log 2(0,1)a a f x x x a a =-->≠.
（1）当2a =时，求(2)f ；（2）求解关于x 的不等式()0f x >； （3）若[2,4],()4x f x ∀∈≥恒成立，求实数a 的取值范围.
【详解】（1）当2a =时，()()2
22log log 2f x x x =--()21122f ∴=--=-
（2）由()0f x >得：()()()2
log log 2log 2log 10a a a a x x x x --=-+>
log 1a x ∴<-或log 2a x >，当1a >时，解不等式可得：1
0x a
<<
或2x a > 当01a <<时，解不等式可得：1
x a
>
或20x a << 综上所述：当1a >时，()0f x >的解集为()2
10,
,a a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
；当01a <<时，()0
f x >的解集为()
2
10,,a
a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
（3）由()4f x ≥得：()()()2
log log 6log 3log 20a a a a x x x x --=-+≥
log 2a x ∴≤-或log 3a x ≥
①当1a >时，()max log log 4a a x =，()min log log 2a a x =
2log 42log
a a a -∴≤-=或3log 23log a a a ≥=，解得：1a <≤
②当01a <<时，()max log log 2a a x =，()min log log 4a a x =
2log 22log a a a -∴≤-=或3log 43log a a a ≥=1a ≤<
综上所述：a 的取值范围为(3
,11,
22⎫
⎤⎪⎦⎪⎣⎭。