专题18 角平分线定理(学生版)

专题18 角平分线定理
一．选择题（共8小题）
1．在ABC中，2AB，73AB，4BC，CD平分ACB交AB于点D，则线段
AD

的长为( )
A．1 B．23 C．12 D．13
2．已知在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，AD是BAC的平分线，2CDBD，
2b
，则(c )

A．2 B．1 C．3 D．2
3．在ABC中，已知BAC的平分线交BC于点M，且:2:3BMMC．若60AMB，

则(ABACBC )
A．2 B．5 C．7 D．3
4．ABC中，点D在AB上，CD平分ACB．若CAa，CBb，||2a，||1b，则(CD
)

A．1233ab B．2133ab C．3455ab D．4355ab
5．在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，120ABC，ABC的平分线
交AC于点D，且1BD，则4ac的最小值为( )
A．8 B．9 C．10 D．7

6．在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3sin()32cBa，20CACB，
7c，则ABC
的内切圆的半径为( )
A．2 B．1 C．3 D．3
7．设I为ABC的内心，延长线段AI交线段BC于点D，若3CDDB，则sin:sin(BC
)
A．2:1 B．3:1 C．4:1 D．9:1

8．ABC中，1cos8A，4AB，2AC，则A的角平分线AD的长为( )
A．22 B．23 C．2 D．1
二．填空题（共9小题）
9．在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知60A，6bc，且
ABC

的面积为3，则ABC的内切圆的半径为 ．
10．在ABC中，58ac，60B，其内切圆半径为3，则其外接圆半径为 ．
11．设I为ABC的内心，三边长7AB，6BC，5AC，点P在边AB上，且2AP，
若直线IP交直线BC于点Q，则线段QC的长为 ．

12．在ABC中，角A为3，角A的平分线AD交BC于点D，已知23AD，且
1
()3ABADACR
，则AB在AD方向上的投影是 ．

13．在ABC中，3AB，1AC，23A，AD是A的平分线，则ADAB的值为
14．ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，角A的内角平分线交BC于点D，
若1a，112bc，则AD的取值范围是
15．在ABC中，D为AC上一点，且2AD，1DC，BD为ABC的角平分线，则
ABC

面积的最大值为 ．
16．在ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且2cos(2cos)AaC，2c，
D
为AC上一点，:1:3ADDC，则ABC面积最大时，BD ．
17．已知l是ABC的内心，2AC，3BC，4AB，若AIxAByAC，则xy ．
三．解答题（共14小题）
18．已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且coscos2cosaBbAcC．
（1）求角C；
（2）如图，边AB的垂直平分线ED交AB于E，交边AC于D，3AE，10BC，求
AD
长．

19．在①2cos2aCcb；②24coscos(tanScAacCSA为ABC的面积）③
cos3(sin)tancB
bCaC
这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并作答．

在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，_____，AD为ABC的角平分线，
且3AD．求角A的大小及ABC面积的最小值．
20．已知ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足sin()2sinsinABAC．
（Ⅰ）求B；
（Ⅱ）若点D为BC上一点，2DC，6C，DE平分ADC交AC于点E，7ADECDESS，
求BD．

21．已知三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
coscos2cosaBbAcB
．
（1）求角B；

（2）若4A，角B的角平分线交AC于点D，6BD，求CD的长．
22．如图，在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2coscoscosaAbCcB．
（1）求角A的大小；
（2）若点D在边AC上，且BD是ABC的平分线，2AB，4BC，求AD的长．

23．ABC中，D是BC上的点，AD平分BAC，ABD面积是ADC面积的2倍．
（1）求sinsinBC；

（2）若1AD，22DC，求BD和AC的长．
24．已知ABC中，角A，B，C对应的边为a，b，c，2AB，3sin3B．
（1）求sinC的值；
（2）若角A的平分线AD的长为26，求b的值．
25．在ABC中，已知边10c，又已知cos4cos3AbBa，求a，b及ABC的内切圆的半径．
26．已知ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且2cosabC．
（1）判断ABC的形状并证明；
（2）若30C，ABC的面积23S，求ABC的内切圆半径r．
27．在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足
2cossinsin223cosaBAbAaC
．
（1）求tanC的值；
（2）设ABC的内切圆半径为r，若4c，求ABC的面积取最大值时r的值．
28．在ABC中，ABC，ACb，BCa，已知coscos2cosaBbAcA，点D是
BC

边上的一点．
（1）求A的值；

（2）证明：sinsinsinBACBADCADADACAB；
（3）若AD是A的角平分线，且1AD，求ABAC的最小值．
29．ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为AC边上一点，BD为ABC的
角平分线，2AD，1DC．

（1）求sinsinAC的值；
（2）求ABC面积的最大值．
30．在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设(,),(cos,cos)mbcnCB，
且2cosmnaA．
（1）求角A的大小；
（2）若4b，5c，D在BC上，AD是BAC的角平分线，求||AD．
31．在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知44coscbaB．
（1）求sinA；
（2）若6c，AD为BAC的角平分线，D在BC上，且10AD，求b．