专题18 角平分线定理(学生版)

专题18 角平分线定理

一．选择题（共8小题）

1．在ABC ∆中，2A B ∠=∠，73AB =

，4BC =，CD 平分ACB ∠交AB 于点D ，则线段AD 的长为( )

A ．1

B ．23

C ．12

D ．13

2．已知在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，AD 是BAC ∠的平分线，

2CD BD =，2b =，则(c = )

A ．2

B ．1

C ．3 D

3．在ABC ∆中，已知BAC ∠的平分线交BC 于点M ，且:2:3BM MC =．若60AMB ∠=︒，则(AB AC BC

+= )

A ．2

B

C ．7

D ．3 4．ABC ∆中，点D 在AB 上，CD 平分ACB ∠．若CA a =，CB b =，||2a =，

||1b =，则(CD = ) A ．1233a b + B ．2133a b + C ．3455a b + D ．4355

a b + 5．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为( )

A ．8

B ．9

C ．10

D ．7

6．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin()3c B π+=，20CA CB =，7c =，则ABC ∆的内切圆的半径为( )

A B ．1 C ．3 D ．37．设I 为ABC ∆的内心，延长线段AI 交线段BC 于点D ，若3CD DB =，则sin :sin (B C = )

A ．2:1

B ．3:1

C ．4:1

D ．9:1 8．ABC ∆中，1cos 8A =

，4AB =，2AC =，则A ∠的角平分线AD 的长为( )

A ．

B ．

C ．2

D ．1

二．填空题（共9小题）

9．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知60A =︒，6b c +=，且ABC ∆

ABC ∆的内切圆的半径为 ．

10．在ABC ∆中，58a c =，60B =︒，则其外接圆半径为 ．

11．设I 为ABC ∆的内心，三边长7AB =，6BC =，5AC =，点P 在边AB 上，且2AP =，若直线IP 交直线BC 于点Q ，则线段QC 的长为 ．

12．在ABC ∆中，角A 为3

π，角A 的平分线AD 交BC 于点D ，已知AD =，且1()3AB AD AC R λλ=-∈，则AB 在AD 方向上的投影是 ．

13．在ABC ∆中，3AB =，1AC =，23

A π∠=，AD 是A ∠的平分线，则AD A

B 的值为 14．AB

C ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，角A 的内角平分线交BC 于点

D ，

若1a =，112b c

+=，则AD 的取值范围是 15．在ABC ∆中，D 为AC 上一点，且2AD =，1DC =，BD 为ABC ∠的角平分线，则ABC ∆面积的最大值为 ．

16．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，且2cos cos )A a C =，2c =，

D 为AC 上一点，:1:3AD DC =，则ABC ∆面积最大时，BD = ．

17．已知l 是ABC ∆的内心，2AC =，3BC =，4AB =，若AI xAB y AC =+，则x y += ．

三．解答题（共14小题）

18．已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos cos 2cos a B b A c C +=．

（1）求角C ；

（2）如图，边AB 的垂直平分线ED 交AB 于E ，交边AC 于D ，AE BC AD 长．

19．在①2cos 2a C c b +=；②24cos cos (tan S c A ac C S A

=+为ABC ∆的面积）③cos

sin )tan c B b C a C

-=这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并作答． 在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，_____，AD 为ABC ∆的角平分线，

且AD A 的大小及ABC ∆面积的最小值．

20．已知ABC ∆中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足sin()sin A B A C -=-． （Ⅰ）求B ；

（Ⅱ）若点D 为BC 上一点，2DC =，6C π=

，DE 平分ADC ∠交AC 于点E ，

ADE CDE S ∆∆=，求BD ．

21．已知三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且

cos cos 2cos a B b A c B +=．

（1）求角B ；

（2）若4A π

=，角B 的角平分线交AC 于点D ，BD =，求CD 的长．

22．如图，在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，

b ，

c ，若2cos cos cos a A b C c B =+． （1）求角A 的大小；

（2）若点D 在边AC 上，且BD 是ABC ∠的平分线，2AB =，4BC =，求AD 的长．

23．ABC ∆中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，ABD ∆面积是ADC ∆面积的2倍．

（1）求sin sin B C

；

（2）若1AD =，DC =，求BD 和AC 的长．

24．已知ABC ∆中，角A ，B ，C 对应的边为a ，b ，c ，2A B =，sin B ． （1）求sin C 的值；

（2）若角A 的平分线AD 的长为b 的值．

25．在ABC ∆中，已知边10c =，又已知cos 4cos 3

A b

B a ==，求a ，b 及AB

C ∆的内切圆的半径． 26．已知ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且2cos a b C =．

（1）判断ABC ∆的形状并证明；

（2）若30C =︒，ABC ∆的面积S =ABC ∆的内切圆半径r ．

27．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足

2cos sin sin 2cos a B A b A C +=．