四川省成都石室中学2019届高三12月一诊模拟数学文试卷(精品解析)

四川省成都石室中学2019届高三12月一诊模拟数学文试卷（解析版）
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.已知全集，集合，集合，那么集合
A. . [0,1）
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】解：解得，；
；
；
；
；
；
．
故选：C．
可以求出集合A，B，然后进行补集、交集的运算即可．
考查对数函数和幂函数的单调性，描述法、区间的定义，以及交集和补集的运算．
2.若向量，是非零向量，则“”是“，夹角为”的
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】解：，向量，是非零向量，，夹角为
“”是“，夹角为”的充要条件．
故选：C．
根据充分条件和必要条件的定义结合向量的运算进行判断即可．
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据向量的运算是解决本题的关键．
3.已知等差数列中，前n项和，满足，则
A. 54
B. 63
C. 72
D. 81
【答案】B
【解析】解：等差数列中，前n项和，满足，
，
，
．
故选：B．
利用等差数列前n项和公式得，求出，再由，能求出结果．
本题考查等差数列的前9项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4.已知双曲线C：，其焦点F到C的一条渐近线的距离为2，该双曲线的离心率为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：双曲线C：，其焦点到C的一条渐近线的距离为2，
可得，可得，，所以，
所以双曲线的离心率为：．
故选：A．
求出双曲线的焦点坐标以及双曲线的渐近线方程，然后利用已知条件求解即可．
本题考查双曲线的简单性质的应用，渐近线方程以及离心率求法，考查计算能力．
5.下列结论正确的是
A. 当且时，
B. 当时，
C. 当时，无最小值
D. 当时，
【答案】B
【解析】解：当时，，可得；当时，，，故A错误；由的导数为，当时，函数y递增；当时，函数y递减，
可得函数y的最小值为1，即，即，故B正确；
当时，递增，可得时，取得最小值，故C错误；
当时，递增，可得最小值为，故D错误．
故选：B．
讨论，，结合对数的性质，以及基本不等式可判断A；由的导数，判断单调性和最小
值，可判断B；由当时，递增，可判断C；由当时，递增，可判断D．
本题考查函数的最值求法，注意运用基本不等式和导数判断单调性，考查分类讨论思想方法，以及运算能力，属于中档题．
6.已知口袋里放有四个大小以及质地完全一样的小球，小球内分别标有数字1，3，5，7，约定林涛先从口袋
中随机摸出一个小球，打开后记下数字为a，放回后韩梅从口袋中也随机摸出一个小球，打开后记下数字为b，则的概率为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：口袋里放有四个大小以及质地完全一样的小球，小球内分别标有数字1，3，5，7，
约定林涛先从口袋中随机摸出一个小球，打开后记下数字为a，
放回后韩梅从口袋中也随机摸出一个小球，打开后记下数字为b，
基本事件总数，
包含的基本事件有：
，，，，，，，，，，共10种，
的概率．
故选：D．
基本事件总数，利用列举法求出包含的基本事件有10种，由此能求出的概率．
本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
7.已知定义在R上的奇函数满足，且当时，，
若，则
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：根据题意，函数满足，则有，即函数的周期为4，
故，，
若，则有，
又由函数为奇函数，则有，变形可得，
又由当时，，则有，
解可得；
故选：A．
根据题意，分析可得函数的周期为4，进而可得，，据此可得，则有，结合函数的周期性可得，结合函数的解析式可得答案．
本题考查函数的周期性与奇偶性的应用，注意分析函数的周期，属于基础题．
8.已知，则的面积为
A. B. C. D. 1
【答案】A
【解析】解：根据题意，，，
有，，
则
可得，则
则
故选：A．
根据向量数量积和面积公式可求得．
本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属基础题．
9.如图，已知底面为直角三角形的直三棱柱，其三视图如图所示，则异面直线与所成角
的余弦值为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：如图所示，可以将四三棱柱补形为长方体，
可得，则异面直线与所成角为，
由三视图可知，，
．
即异面直线与所成角的余弦值为．
故选：D．
由题意，可以将四三棱柱补形为长方体，得到异面直线与
所成角，再由余弦定理求解．
本题考查空间几何体的三视图，考查异面直线所成角的求法，关键是找出异面直线所成角，是中档题．
10.已知函数，且分别在，处取得最大值和最小值，则的最小值为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：，
，即
，即
当时，取得最小值．
故选：B．
首先把函数转化为，得，，得取得最小值．
本题考查的性质，把函数转化为的形式是关键．
11.已知抛物线C：的焦点坐标为，点，过点P作直线l交抛物线C于A，B两点，过A，B
分别作抛物线C的切线，两切线交于点Q，且两切线分别交x轴于M，N两点，则面积的最小值为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：物线C：的焦点坐标为，
，
，
抛物线C：，
设，，
，
，
过点A的切线方程为，
过点B的切线方程为，
则两切线的交点为，
由AB过点，设直线方程为，
由，消y可得，
，，
，
又，，
，
当时，此时面积最小，最小值为，
故选：C．
先求出抛物线的方程，再分别表示出两个切线方程，联立可求得Q的坐标表示出点Q到直线AB的距离，设直线AB的方程，抛物线联立求，根据韦达定理和求出MN，利用三角形面积公式表示出三角形面积，即可求出面积的最大值
本题主要考查了抛物线与直线的位置关系，点到直线距离公式的应用考查了学生分析推理和运算的能力，属于中档题
12.已知函数的两个零点为，，且，，则方程
的实数根的个数为
A. 6
B. 5
C. 4
D. 3
【答案】D
【解析】解：设，则，由题意知有两个根，，
且，
由题意不妨设，则，
，
当或时，，当时，，
则在时，
取得极大值，
在处取得极小值，
当，，，，
则由图象知，当，时，方程，有3
个不同的解，
即方程的实数根的个数为3，
故选：D．
利用换元法设，则，结合t的范围，以及，的根的个数，利用数形结合进行判断即可本题主要考查函数与方程的应用，利用换元法转化为两个函数图象交点个数，结合数形结合是解决本题的关键综合性较强．
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.若x，y满足约束条件，则的最大值______．
【答案】12
【解析】解：x，y满足约束条件的可行域如图，
由图象可知：
目标函数过点时
z取得最大值，，
故答案为：12．
先画出x，y满足约束条件的可行域，再求出可行域中各角点
的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数
的最小值．
在解决线性规划的问题时，我们常用“角点法”，其步骤为：由约束条件画出可行域求出可行域各个角点的坐标将坐标逐一代入目标函数验证，求出最优解．
14.执行如图所示的程序框图，若输入，则输出y的值为______．
【答案】
【解析】解：模拟程序的运行，可得
当时，，此时；
当时，，此时；
当时，，此时；
当时，，此时；
故输出的y的值为：．
故答案为：．
由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量y的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．
15.在矩形ABCD中，，，E为DC边上的中点，P为线段AE上的动点，设向量，则
的最大值为______．
【答案】2
【解析】解：以A为原点，AB，AD所在直线为x，y轴
建立平面直角坐标系，
则，，，
设，，
，，，
，
，
，
，
，
故答案为：2．
以A为原点，AB，AD为x，y轴建立平面直角坐标系，易得各点坐标，设P点坐标为，，根据所给等式建立坐标之间的关系，易得，得解．
此题考查了平面向量基本定理，难度适中．
16.已知数列中，，，设其前n项和为，若对任意的，恒
成立，则k的最小值为______．
【答案】
【解析】解：由，变形为：，，
数列是公比为2，首项为1的等比数列．
．
．
对任意的，恒成立，
．
令，则时，．
时，．
，数列的前3项单调递增，从第3项开始单调递减．
时，数列取得最大值，．
故答案为：．
由，变形为：，，利用等比数列的通项公式可得，利用求和公式可得代入，化简，通过作差利用数列的单调性即可得出最小值．
本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、转化法、作差法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
三、解答题（本大题共7小题，共70.0分）
17.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，的面积为，F为边AC上一点．
求c；
若，求．
【答案】本题满分为12分
解：，，的面积为，
解得：，分
由余弦定理可得：，分由可得，
，，分
在中，由正弦定理，可得：，
，
，分
，
，分
分
【解析】由已知利用三角形的面积公式可求b的值，根据余弦定理可得c的值；
由可得，可求，，由已知根据正弦定理，由，可求，根据两角和的正弦函数公式即可计算得解的值．
本题主要考查了三角形的面积公式，余弦定理，正弦定理，两角和的正弦函数公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
18.如图，在四棱锥中，底面为菱形，已知，，
，．
求证：平面平面ABCD；
求点B到面AED的距离．
【答案】证明：如图，过D作，连结EO，
，，，
≌，
，，
，，，
，，面ABE，
面ABCD，平面平面ABCD．
解：设B到AED的距离为d，
由可知，，
在等腰中，，，，
，，
解得，点B到面AED的距离为．
【解析】过D作，连结EO，推导出≌，，，从而面ABE，由
此能证明平面平面ABCD．
设B到AED的距离为d，由，能求出点B到面AED的距离．
本题考查面面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．
19.基于移动互联技术的共享单车被称为“新四大发明”之一，短时间内就风靡全国，带给人们新的出行体验某共
享单车运营公司的市场研究人员为了解公司的经营状况，对该公司最近六个月内的市场占有率进行了统计，结果如下表：
请在给出的坐标纸中作出散点图，并用相关系数说明可用线性回归模型拟合月度市场占有率y与月份代码x之间的关系；
求y关于x的线性回归方程，并预测该公司2018年2月份的市场占有率；
根据调研数据，公司决定再采购一批单车扩大市场，现有采购成本分别为1000元辆和800元辆的A，B两款车型报废年限各不相同考虑到公司的经济效益，该公司决定先对两款单车各100辆进行科学模拟测试，得到两款单车使用寿命频数表如下：
经测算，平均每辆单车每年可以为公司带来收入500元不考虑除采购成本之外的其他成本，假设每辆单车的使用寿命都是整数年，且用频率估计每辆单车使用寿命的概率，以每辆单车产生利润的期望值为决策依据
如果你是该公司的负责人，你会选择采购哪款车型？
参考数据：，，．参考公式：相关系数，回归直线方程为
其中：，．
【答案】解：散点图如图所示
，
，
，
所以两变量之间具有较强的线性相关关系，
故可用线性回归模型拟合两变量之间的关系．
，
又，
，
回归直线方程为，
2018年2月的月份代码，
，
所以估计2018年2月的市场占有率为．
用频率估计概率，A款单车的利润X的分布列为：
元．
B款单车的利润Y的分布列为：
元
以每辆单车产生利润的期望值为决策依据，故应选择B款车型．
【解析】画出散点图，求出相关系数，判断线性相关性即可；
求出回归方程的系数，求出回归方程，代入函数值检验即可；
求出分布列，求出数学期望比较即可判断．
本题考查了散点图，考查回归方程以及分布列和数学期望，是一道中档题．
20.已知点是椭圆E：上一点，、分别是椭圆的左右焦点，且．
求曲线E的方程；
若直线l：不与坐标轴重合与曲线E交于M，N两点，O为坐标原点，设直线OM、ON的斜率分别为、，对任意的斜率k，若存在实数，使得，求实数的取值范围．
【答案】解：设，，
，
由，，
曲线E的方程为：
设，，
当时，；
当时，，
由对任意k恒成立，则
综上
【解析】根据点P在椭圆上以及，列方程组可解出，，从而可得曲线E的方程；
联立直线l与曲线E，根据韦达定理以及判别式和斜率公式，不等式恒成立可得．
本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属中档题．
21.已知函数，其中，，．
若是的一条切线，求a的值；
在间的前提下，若存在正实数，使得，求的取值范围．
【答案】解：的导数为，
设与相切于，可得，，
化为，
设，导数为，当时，递增；
时，递减，可得处取得最小值0，
则，；
，可得，
即，
设，令，，
时，递减；时，递增，
可得，
即有，
解得或舍去，
当且仅当时，恒成立，
综上可得的范围为．
【解析】求得的导数，设出切点，可得切线的斜率，可得a，m的方程，解得m，a；
由题意可得，即，设，令，求得导数和单调性，可得最小值，解不等式可得所求范围．
本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性、极值和最值，考查构造函数法，以及化简整理的运算能力，属于中档题．
22.在平面直角坐标系xOy中，直线的参数方程为：为参数，在以坐标原点为极点，x轴
的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为：，直线与曲线交于A，B两点，
求曲线的普通方程及的最小值；
若点，求的最大值．
【答案】解：曲线的极坐标方程为：，
，
曲线的普通方程为，即．
直线的参数方程为：为参数，
直线与曲线交于A，B两点，
最小时，圆心距最大为，
的最小值为：．
设直线上点A，B对应参数方程为参数的参数分别为，，
将直线与方程联立方程，得：
，，
，，
，
当时，取最大值70．
【解析】由曲线的极坐标方程，能求出曲线的普通方程由最小时，圆心距最大为，能求出的最小值．
将直线与方程联立方程，得，从而，，进而，由此能求出的最大值．
本题考查曲线的普通方程的求法，考查弦长的求法，考查两线段平方和的求法，考查直角坐标方程、参数方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
23.已知函数，
当时，解不等式；
若存在，使得不等式的解集非空，求b的取值范围．
【答案】解：当时，函数，
解不等式化为，
即，
，
解得，
不等式的解集为；
由，
得，
设，
则不等式的解集非空，等价于；
由，
；
由题意知存在，使得上式成立；
而函数在上的最大值为，
；
即b的取值范围是
【解析】时不等式化为，根据绝对值的定义求出解集即可；
由不等式得，构造函数，
不等式的解集非空等价于，利用绝对值不等式求出在上的最大值即可．本题考查了绝对值不等式的解法与应用问题，也考查了函数在某一区间上的最值问题，是中档题．。