第四章 解析函数的幂级数表示方法

第四章 解析函数的幂级数表示方法
第一节 级数和序列的基本性质 1、复数项级数和复数序列： 复数序列就是：
111222,,...,,...n n n z a ib z a ib z a ib =+=+=+在这里，n z 是复数，
,Im ,Re n n n n b z a z ==一般简单记为}{n z 。

按照|}{|n z 是有界或无界序列，
我们也称}{n z 为有界或无界序列。

设0z 是一个复常数。

如果任给0ε>，可以找到一个正数N ，使得当
n>N 时
ε<-||0z z n ,
那么我们说{}n z 收敛或有极限0z ，或者说{}n z 是收敛序列，并且收敛于0z ，记作
0lim z z n n =+∞
→。

如果序列{}n z 不收敛，则称{}n z 发散，或者说它是发散序列。

令0z a ib =+，其中a 和b 是实数。

由不等式
0||||||||||n n n n n a a b b z z a a b b --≤-≤-+-及
容易看出，0lim z z n n =+∞
→等价于下列两极限式：
,lim ,lim b b a a n n n n ==+∞
→+∞
→
因此，有下面的注解：
注1、序列{}n z 收敛（于0z ）的必要与充分条件是：序列{}n a 收敛（于a ）以及序列{}n b 收敛（于b ）。

注2、复数序列也可以解释为复平面上的点列，于是点列{}n z 收敛于
0z ，或者说有极限点0z 的定义用几何语言可以叙述为：任给0z 的一个
邻域，相应地可以找到一个正整数N ，使得当n N >时，n z
在这个邻域内。

注3、利用两个实数序列的相应的结果，我们可以证明，两个收敛复数序列的和、差、积、商仍收敛，并且其极限是相应极限的和、差积、商。

定义4.1复数项级数就是
12......n z z z ++++
或记为1
n n z +∞
=∑，或n z ∑，其中n z 是复数。

定义其部分和序列为：
12...n n z z z σ=+++
如果序列{}n σ收敛，那么我们说级数n z ∑收敛；如果{}n σ的极限是
σ，那么说n z ∑的和是σ，或者说n z ∑收敛于σ，记作
1
n
n z
σ+∞
==∑，
如果序列{}n σ发散，那么我们说级数n z ∑发散。

注1、对于一个复数序列{}n z ，我们可以作一个复数项级数如下
121321()()...()...n n z z z z z z z -+-+-++-+
则序列{}n z 的敛散性和此级数的敛散性相同。

注2级数
n
z
∑收敛于σ的N ε-定义可以叙述为：
0,0,,N n N ε∀>∃>>使得当时有
1
||n
k k z σε=-<∑，
注3如果级数n z ∑收敛，那么
1lim lim ()0,n n n n n z σσ+→+∞
→+∞
=-=
注4令
Re ,Re ,Im ,Re ,Im n n n n n n a z a z b z a b σσ
=====，
我们有 1
1
n n
n k k k k a i b σ===+∑∑
因此，级数n z ∑收敛于σ的充分与必要条件是：级数n a ∑收敛于a 以及级数n b ∑收敛于b 。

注5关于实数项级数的一些基本结果，可以不加改变地推广到复数项级数，例如下面的柯西收敛原理：
定理4.2柯西收敛原理（复数项级数）：级数n z ∑收敛必要与充分条件是：任给0ε>，可以找到一个正整数N ，使得当n>N ，p=1,2,3,…时，
12|...|n n n p z z z ε++++++<
柯西收敛原理（复数序列）：序列{}n z 收敛必要与充分条件是：任给
0ε>，可以找到一个正整数N ，使得当m 及n>N ，
||n m z z ε
-<
对于复数项级数n z ∑，我们也引入绝对收敛的概念： 定义4.2如果级数
12||||...||...n z z z ++++
收敛，我们称级数n z ∑绝对收敛。

非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛
复级数n z ∑收敛的一个充分条件为级数n z ∑收敛
注1、级数n z ∑绝对收敛必要与充分条件是：级数n a ∑以及n b ∑绝
对收敛：事实上，有
1
1
1
1
1
||||||||||,
n
n n n
k
k nk k k k k n
k k k k a
b z a b ======≤=≤+∑∑∑∑∑及
注2、若级数n z ∑绝对收敛，则n z ∑一定收敛。

例4.1当||1α<时，21......n ααα+++++绝对收敛；并且有
1
2
111...,lim 01n n
n n αααααα++→+∞
-++++==-
我们有，当||1α<时，
211.......1n αααα
+++++=
-
定理4.1如果复数项级数'n z ∑及"n z ∑绝对收敛，并且它们的和分别为',"αα，那么级数
'"'"'"
12111(...)n n n n z z z z z z +∞
-=+++∑ 也绝对收敛，并且它的和为'"αα。

2、复变函数项级数和复变函数序列：
定义4.3 设{()}(1,2,...)n f z n =在复平面点集E 上有定义，那么：
...
)(...)()(21++++z f z f z f n
是定义在点集E 上的复函数项级数，记为1
()n n f z +∞
=∑，或()n f z ∑。

设函
数f(z)在E 上有定义，如果在E 上每一点z ，级数()n f z ∑都收敛于
()f z ，那么我们说此复函数项级数在E 上收敛于()f z ，或者此级数
在E 上有和函数()f z ，记作
),
()(1
z f z f
n n
=∑+∞
=
设
),...(),...,(),(21z f z f z f n
是E 上的复函数列，记作+∞=1)}({n n z f 或)}({z f n 。

设函数)(z ϕ在E 上有定义，如果在E 上每一点z ，序列)}({z f n 都收敛于)(z ϕ，那么我们说此复函数序列在E 上收敛于)(z ϕ，或者此序列在E 上有极限函数)(z ϕ，记作
),()(lim z z f n n ϕ=+∞
→
注1、复变函数项级数∑)(z f n 收敛于()f z 的N -ε定义可以叙述为：
有时使得当,,0,0N n N >>∃>∀ε
.|)()(|1ε<-∑=z f z f n
k k
注2、复变函数序列)}({z f n 收敛于)(z ϕ的N -ε定义可以叙述为：
有时使得当,,0,0N n N >>∃>∀ε
.|)()(|εϕ<-z z f n
定义4.4如果任给0>ε，可以找到一个只与ε有关，而与z 无关的正整数()N N ε=，使得当E z N n ∈>,时，有
.|)()(|1ε<-∑=z f z f n
k k
或 .|)()(|εϕ<-z z f n
那么我们说级数∑)(z f n 或序列)}({z f n 在E 上一致收敛于()f z 或)(z ϕ。

注解1、和实变函数项级数和序列一样，我们也有相应的柯西一致收敛原理：
定理4.5柯西一致收敛原理（复函数项级数）：复函数项级数∑)(z f n 在
E 上一致收敛必要与充分条件是：任给0>ε，可以找到一个只与ε有
关，而与z 无关的正整数)(εN N =，使得当E z N n ∈>,，p =1,2,3,…时，有
.|)(...)()(|21ε<++++++z f z f z f p n n n
柯西一致收敛原理（复函数序列）：复变函数序列)}({z f n 在E 上一致收敛必要与充分条件是：任给0>ε，可以找到一个只与
ε有关，而与
z 无关的正整数)(εN N =，使得当E z N n m ∈>,,时，有
.
|)()(|ε<-z f z f m n
注2、一致收敛的魏尔斯特拉斯判别法(优级数准则)：设
,...)2,1)}(({=n z f n 在复平面点集E 上有定义，并且设
是一个收敛的正项级数。

设在E 上，
,...),2,1( |)(|=≤n a z f n n
那么级数∑)(z f n 在E 上绝对收敛且一致收敛。

这样的正项级数1n n a ∞
=∑称为复函数项级数∑)(z f n 的优级数.
定理 4.6 设复平面点集E 表示区域、闭区域或简单曲线。

设
,...)2,1)}(({=n z f n 在集
E 上连续，并且级数∑)(z f n 或序列)}({z f n 在E 上
一致收敛于()f z 或)(z ϕ，那么f (z )或)(z ϕ在E 上连续。

定理4.7 设,...)2,1)((=n z f n 在简单曲线C 上连续，并且级数∑)(z f n 或序列)}({z f n 在C 上一致收敛于()f z 或)(z ϕ，那么
...
...21++++n a a a
,)()(1
⎰∑⎰
=+∞
=C
n C
n dz z f dz z f
或
.)()(⎰⎰
=C
C
n dz z dz z f ϕ
注1、在研究复函数项级数和序列的逐项求导的问题时，我们一般考虑解析函数项级数和序列；
注2、我们主要用莫勒拉定理及柯西公式来研究和函数与极限函数的解析性及其导数。

定义4.5设函数,...)2,1)}(({=n z f n 在复平面C 上的区域D 内解析。

如果级数∑)(z f n 或序列)}({z f n 在D 内任一有界闭区域（或在一个紧集）上一致收敛于()f z 或)(z ϕ，那么我们说此级数或序列在D 中内闭（或内紧）一致收敛于()f z 或)(z ϕ。

定理4.9（魏尔斯特拉斯定理）设函数,...)2,1)((=n z f n 在区域D 内解析，并且级数∑)(z f n 或序列)}({z f n 在D 内闭一致收敛于函数()f z 或)(z ϕ，那么()f z 或)(z ϕ在区域D 内解析，并且在D 内
,)()(1
)()
(∑+∞
==n k n k z f z f
或
,...).3,2,1(),(lim )()()(==+∞
→k z f z k n n k ϕ
证明：先证明()f z 在D 内任一点0z 解析，取0z 的一个邻域U ，使其包含在D 内，在U 内作一条简单闭曲线C 。

由定理4.7以及柯西定理，
,0)()(1
==∑⎰⎰
+∞
=n C
n C
dz z f dz z f
因为根据莫勒拉定理，可见()f z 在U 内解析。

再由于0z 是D 内任意一点，因此()f z 在D 内解析。

其次，设U 的边界即圆K 也在D 内，于是
∑+∞
=+-11
0)
()
(n k n z z z f ， 对于K z ∈一致收敛于
1
0)()
(+-k z z z f 。

由定理4.7，我们有
,)()(21
)()(2111010∑⎰⎰+∞
=++-=-n K k n K k dz z z z f i
dz z z z f i ππ 也就是
,...)3,2,1(,)()(1
)()
(==∑+∞
=k z f z f
n k n k
因此，定理中关于级数的部分证明结束。

对于序列，我们也先证明)(z ϕ在D 内任一点0z 解析，取0z 的一个邻域
U ，使其包含在D 内，在U 内作一条简单闭曲线C 。

由定理4.7以及
柯西定理，
,0)(lim
)(lim )(===⎰
⎰⎰
+∞→+∞
→C
n n C n z C
dz z f dz z f dz z f
因为根据莫勒拉定理，可见)(z ϕ在U 内解析。

再由于0z 是D 内任意一点，因此)(z ϕ在D 内解析。

其次，设U 的边界即圆K 也在D 内，于是
1
0)()
(+-k n z z z f ，
对于K z ∈一致收敛于
1
0)
()
(+-k z z z ϕ。

由定理4.7，我们有
dz z z z f i dz z z z i K k n n K k ⎰⎰++∞→+-=-1
010)()(lim 21
)()(21πϕπ
dz z z z f i K k n n ⎰++∞→-=1
)()(21
lim
π 也就是
,...).3,2,1(),(lim )()()(==+∞
→k z f z k n n k ϕ
因此，定理中关于序列的部分证明结束。

第二节 幂级数
幂级数：本节研究一类特别的解析函数项级数，即幂级数
...
)(...)()()(02020100
0+-++
-+-+=-∑+∞
=n n n n n
z z z z z z z z ααααα
其中z 是复变数，系数n α是任何复常数。

注1、这类级数在复变函数论中有特殊重要的意义； 注2、一般幂级数在一定的区域内收敛于一个解析函数；
注3、在一点解析的函数在这点的一个邻域内可以用幂级数表示出来，因此一个函数在某个点解析的必要与充分条件是，它在这个点的某个邻域内可以展开成一个幂级数。

首先研究幂级数的收敛性，我们有阿贝尔第一定理：
定理4.10(阿贝尔定理) 如果幂级数∑+∞
=-00)(n n n z z α在)(01z z ≠收敛，那么它
在||||010z z z z -<-内绝对收敛且内闭一致收敛. 证明：由于幂级数∑+∞
=-00)(n n n z z α在)(01z z ≠收敛，所以有
0)(lim 01=-+∞
→n n n z z α，
因此存在着有限常数M ，使得10|()|n n z z M α-≤ (0,1,...)n =。

把级数改写成
n
n n n z z z z z z ∑∞
+=⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛---001001)(α
则有
01010
|()||()|
n
n n n n z z z z z z z z αα--=--
10
,n
n z z M
Mk z z -≤=-
其中已令
,0
10
k z z z z =--由于级数,0
∑+∞
=k n Mk 收敛，所以此幂级数在满足
||||010z z z z -<-的任何点 z 绝对收敛且内闭一致收敛。

推论 4.11 若幂级数∑+∞
=-0
0)(n n n z z α在20()z z ≠发散,则它在以0z 为心并通
过2z 的圆周外部发散.
注1：与幂级数∑+∞
=-00)(n n n z z α相对应，作实系数幂级数
...||...||||||||22100
+++++=∑+∞
=n n n n n
x x x x ααααα
其中x 为实数。

则有
设0||n n n x α+∞
=∑的收敛半径是R ，那么按照不同情况，我们分别有：
(1)、如果+∞<<R 0，那么当R z z <-||0时，级数∑+∞
=-0
0)(n n n z z α绝对收敛，
当R z z >-||0时，级数∑+∞
=-0
0)(n n n z z α发散；
（2）如果+∞=R ，那么级数∑+∞
=-0
0)(n n n z z α在复平面上每一点绝对收敛；
（3）如果R =0，那么级数∑+∞
=-0
0)(n n n z z α在复平面上除去0z z =外每一点
发散。

证明：
（1）先考虑+∞<<R 0的情形。

如果R z z <-||01，那么可以找到一个正实数1r ，使它满足R r z z <<-101||。

由于级数∑+∞
=0||n n n x α在1r x =时绝对收敛，
所以级数∑+∞
=-0
0)(n n n z z α在10r z z =-时绝对收敛，从而它在1z z =时也绝对
收敛。

如果R z z >-||01，那么可以找到一个正实数2r ，使它满足R r z z >>-201||。

假定级数∑+∞
=-00)(n n
n z z α在2z z =时收敛，那么级数∑+∞
=0
||n n n x α在2r x =时也收
敛，与所设相矛盾。

（2）如果+∞=R ，则对任何实数x ，级数∑+∞
=0||n n n x α都绝对收敛。

如果
r z z =-||01，由于级数∑+∞
=0
||n n
n x α在r x =时绝对收敛，所以级数∑+∞
=-0
0)(n n
n z z α在r z z =-0时绝对收敛，从而它在1z z =时也绝对收敛，由于1z 的任意性，那么级数∑+∞
=-00)(n n n z z α在复平面上每一点绝对收敛；
（3）如果R =0，则对任何实数0≠x ，级数∑+∞
=0
||n n n x α都发散。

若存在一
个复数)(01z z ≠，使得∑+∞
=-0
01)(n n n z z α收敛，则由定理4.10，当|
|||010z z z z -<-时，∑+∞=-0
0)(n n
n z z α绝对收敛，即∑+∞
=-0
0||||n n n z z α收敛，所以存在0≠x ，使得
∑+∞
=0
||n n n
x α
收敛，与假设矛盾。

注1、当+∞<<R 0时，对于R z z =-||0，级数∑+∞
=-0
0)(n n n z z α的敛散性不定。

注2、和数学分析中一样，注解1中的)0(+∞<<R R 称为此级数的收敛半径；而R z z <-||0称为它的收敛圆盘。

当+∞=R 时，我们说此级数的收敛半径是∞+，收敛圆盘扩大成复平面。

当R =0时，我们说此级数的收敛半径是0，收敛圆盘收缩成一点0z 。

注3、因此，求∑+∞
=-00)(n n
n z z α的收敛半径的问题归结成求∑+∞
=0
||n n n x α的收
敛半径的问题。

和数学分析中一样，常见情况下，可以用达朗贝尔法则或柯西法则求出。

对于一般情况，则可用柯西-阿达马公式求出，因此，有下面的定理： 定理4.12（柯西-阿达马公式） 如果下列条件之一成立：
（1） |,|lim 1
n
n n l αα++∞
→= （2） ,||l i m n n n l α+∞→= （3） ,||l i m n n n l α+∞
→= 级数∑+∞
=-0
0)(n n n z z α的收敛半径
1
,0,;0,;,0l l l R l l ⎧≠≠+∞⎪⎪
==+∞⎨⎪+∞=⎪⎩
注1、公式中的l 总是存在的。

注2、（上极限的定义）已给一个实数序列}{n a 。

数),(+∞-∞∈L 满足下列条件：任给0>ε，（1）至多有有限个ε+>L a n ；（2）有无穷个ε->L a n ，
那么说序列}{n a 的上极限是L ，记作
,lim L a n n =+∞
→
如果任给0>M ，有无穷个M a n >，那么说序列}{n a 的上极限是∞+，记作
,lim +∞=+∞
→n n a
如果任给0>M ，至多有有限个M a n ->，那么说序列}{n a 的上极限是
∞-，记作
.lim -∞=+∞
→n n a
注3、（柯西-阿达马公式的证明）设+∞<<l 0，任取定z ’，使得l
z z 1
|'|0<-。

可以找到0>ε，使得)
2(1
|'|0ε+<-l z z 。

又由上极限的定义，存在着N>0，使得当n>N 时
,||εα+<l n
n
从而
n n n l l z z )]2/()[(|'|||0εεα++<-
因此级数∑+∞
=-0
0)(n n n z z α在'z z =时绝对收敛。

由于'z 的任意性，得到此级
数在l
z z 1||0<-内绝对收敛。

另一方面，任取定"z ，使得l
z z 1|"|0>-。

可以找到)2/,0(l ∈ε，使得
)
2(1
|"|0ε->
-l z z 。

又由上极限的定义，有无穷多个n α，满足εα->l n n ||，即满足
n n n l l z z )]2/()[(|"|||0εεα-->-
因此级数∑+∞
=-0
0)(n n n z z α在"z z =时发散，从而此级数在l
z z 1||0>-内发散。

例4.2试求下列各幂级数的收敛半径R (1)2
0n
n z n
∞
=∑
(2)20n
n z n
∞
=∑ 解 (1)2
11lim
lim()1n x x n c n R c n
→∞
→∞++=== (2)11(1)!lim
lim 01
!
n x x n
c n l c n +→∞
→∞+===,故R =+∞ 注1、由柯西准则我们可以证明，复数项级数收敛的一个必要条件也是其通项趋近于0 幂级数和的解析性 定理4.13
（1） 幂级数0()()n
n
n f z c z a +∞
==-∑(4.5)的和函数()f z 在其收敛圆周:(0)k z a R R -<<≤+∞内解析。

（2） 在k 内，幂级数0()()n n n f z c z a +∞
==-∑可以逐项求导至任意阶，即
()1()!(1)2()(1)
(1)()p n p p p n f z p c p p c z a n n n p c z a -+=++-+
+--+-+
(1,2)p = (4.6)
且其收敛半径与0
()()n n n f z c z a +∞
==-∑收敛半径相同。

（3）()
!
p p f a c p = (0,1,2,p = （4.7）
证明 由定理 4.10,幂级数
()n n
n z a α
+∞
=-∑在其收敛圆
:(0)k z a R R -<<≤+∞内内闭一致收敛于()f z ,而其各项0()n n c z z -
(0,1,2,)n =又都在Z 平面上解析,故由定理4.9,本定理的(1)(2)部分
得证.逐项求p 阶导数(0,1,2,)p =,得
()!
p p f a c p = (1,2,)
p =
注意到00()()c f a f a ==即得(4.7)
注(1)本定理还有一条结论:级数(4.5)可沿k 内曲线C 逐项积分,且其收敛半径与原级数相同.
注(2)所有的幂级数(4.5)至少在中心a 是收敛的,但收敛半径等于零的级数没有什么有益的性质,是平凡情景. 第三节 解析函数的泰勒展式
定理4.14、设函数f (z )在区域D 内解吸a D ∈圆盘:||K z a R -<含于D 那么在K 内，()f z 能展开成幂级数
2()
'()"()
()()()()1!2!()...()...
!
n n f a f a f z f a z a z a f a z a n =+
-+-++-+ (4.8) 其中系数()11()()
,2()!
n n n C f f a c d i z n ζζπζ+==-⎰ (4.9) 证明：设D z ∈。

以a 为心，在U 内作一个圆k ，使z 属于其内区域。

我们有
⎰-=
C d z
f i z f ,)
(21)(ζζζπ 由于当C ∈ζ时，1z a
q a
ζ-=<-， 又因为
)1|...(| (111)
2<+++++=-ααααα
n 所以
101111
()1()()
n
n n z a
z a z a a a z a a ζζζζζ+∞
+===⋅
---------=-∑ 上式的级数当C ∈ζ时一致收敛。

把上面的展开式代入积分中，然后利用一致收敛级数的性质，得
01()()...()...n n f z c c z a c z a =+-++-+
其中，
()11()(),2()!(0,1,2,...;0!1)
n n n C f f a c d i z n n ζζπζ+==-==⎰
由于z 是k 内任意一点，定理的结论成立。

下面证明展式的唯一性
设另有展式'0()()n n n f z c z a ∞
==-∑ (:)z k z a R ∈-<由定理4.13(3)可
知'
()
!
n n n f a c c n == (0,1,2,3,
n = 故展式是唯一的.
定理4.15 函数f (z )在一点a 解析的必要与充分条件是：它在a 的某个
邻域内有定理4.14中的幂级数展式。

(4.8)称为()f z 在点a 的泰勒展式, (4.9)等号右边的级数则称为泰勒级数.
幂级数的和函数在其收敛圆周上的状况 定理 4.16 如果幂级数
0()n
n n c z a ∞
=-∑ 的收敛半径R>0 且0
()()n n n f z c z a ∞
==-∑(:)z k z a R ∈-<
则()f z 在收敛圆周:c z a R -=上至少有一奇点,即不可能有这样的函数()f z 存在,它在z a R -<内与()f z 恒等,而在c 上处处解析 注(1)纵使幂级数在其收敛圆周上处处收敛,其和函数在收敛圆周上任然至少有一个奇点
例4.3求z z e z cos ,sin ,在z =0的泰勒展式。

解：由于z z e e =)'(，所以1|)(0)(==z n z e ，因此
...!
1
...!2112++++
+=n z z n z z e 同理，有
...)!
2(1)1(...!41!211cos 2142+-+-+-=-n
n z n z z z ...)!
12(1)1(...!51!31sin 12153+--+-+-
=--n n z n z z z z 由于在复平面上，以某些射线为割线而得的区域内，多值函数---对数函数和一般幂函数可以分解成解析分支，因此在已给区域中任一圆盘内，可以作出这些分支的泰勒展式。

例4.4求ln(1)z +的下列解析分支在z =0的泰勒展式：
)
)1arg()
1arg(|1|ln )1ln(ππ<+<-+++=+z z i z z
解：已给解析分支在z =0的值为0，它在z =0的一阶导数为1，二阶导数为-1，n 阶导数为)!1()1(--n n ,…,因此，它在z =0或在|z|<1的泰勒展式是：
...)1(...32)1ln(132+-+-+-=+-n
z z z z z n
n 其收敛半径1。

例4.5求α)1(z +的下列解析分支在z =0的泰勒展式（其中α不是整数），
)01(ln )1ln(=+z e α。

解：已给解析分支在z =0的值为1，它在z =0的一阶导数为α，二阶导数为)1(-αα，n 阶导数为)1)...(1(+--n ααα,…,因此，它在z =0或在|z|<1的泰勒展式是：
...)(...)2(12)1ln(+++++=+n z z n
z z e α
ααα
其中!)
1)...(1(n n n +--=
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛αααα，其收敛半径为1。

注:这是二项式定理的推广，对α为整数的情况也 第四节 解析函数零点的孤立性及唯一性定理
定义4.7设函数f (z )在解析区域D 内一点a 的值为零，那么称a 为f (z )的零点。

设f (z )在U 内的泰勒展式是：
212()()()...()...n n f z c z a c z a c z a =-+-++-+
现在可能有下列两种情形：
（1）如果当n =1,2,3,…时，0n c =,那么f (z )在U 内恒等于零。

（2）如果12,,...,,...n c c c 不全为零，并且对于正整数m ，0m c ≠，而对
于n<m ，0n c =，那么我们说a 是f (z )的m 阶零点。

按照m=1，或m >1，
我们说0z 是f (z )的单零点或m 阶零点。

如果a 是解析函数f (z )的一个m 阶零点，那么显然在a 的一个邻域D 内
()()(),()0,m f z z a z a φφ=-=
其中)(z ϕ在U 内解析。

因此存在一个正数0>ε，使得当0||z a ε<-<时，
0)(≠z ϕ。

于是0)(≠z f 。

换而言之，存在着a 的一个邻域，其中a 是f (z )
的唯一零点。

定理4.18 设函数f (z )在0z 解析，并且0z 是它的一个零点，那么或者f (z )在0z 的一个邻域内恒等于零，或者存在着0z 的一个邻域，在其中0z 是f (z )的唯一零点。

注解：此性质我们称为解析函数零点的孤立性。

推论4.19 设(1)函数f (z )在邻域:k z a R -<内解吸,(2)在k 内有()f z 的一列零点{}()n n z z a ≠ 收敛于a ,则()f z 在k 内恒为零.
注(1)推论4.19中的条件(2)可代换成更强的条件: ()f z 在k 内某一子区域上恒等于0 解析函数的唯一性：
我们知道，已知一般有导数或偏导数的单实变或多实变函数在它的定义范围内某一部分的函数值，完全不能断定同一个函数在其他部分的函数值。

解析函数的情形和这不同：已知某一个解析函数在它区域内某些部分的值，同一函数在这区域内其他部分的值就可完全确定。

定理4.20（解析函数的唯一性定理）设函数f (z )及g (z )在区域D 内解
析。

设k z
是D 内彼此不同的点(k=1,2,3,…)，并且点列}{k z 在D 内有极限点。

如果,...)3,2,1)(()(==k z g z f k k ，那么在D 内，f (z )=g (z )。

证明：假定定理的结论不成立。

即在D 内，解析函数F (z )=f (z )-g (z )不恒等于0。

显然,...)2,1(0)(==k z F k 。

设0z 是点列}{k z 在D 内有极限点。

由于F (z )在0z 连续，可见0)(0=z F 。

可是这时找不到0z
的一个邻域，在其中0z
是F (z )唯一的零点，与解析函数零点的孤立性矛盾。

例4.6在复平面解析、在实数轴上等于sin x 的函数只能是sin z. 解：设f (z )在复平面解析，并且在实轴上等于sin x ，那么在复平面解析f (z )-sin z 在实轴等于零，由解析函数的唯一性定理，在复平面解析上f (z )-sin z =0，即f (z )=sin z 。

例4.7是否存在着在原点解析的函数f (z )，满足下列条件：
（1）、;21
)21(,0)121(
n n f n f ==- （2）、.1
)1(+=n n
n f
其中n =1,2,3,…。

解：（1）、由于,...)3,2,1}21
{}121{
=-n n
n （及都以0为聚点，由解析函数的唯一性定理，f (z )=z 是在原点解析并满足n
n f 21
)21(=的唯一的解析函
数；但此函数不满足条件,...)3,2,1(0)1
21
(==-n n f 。

因此在原点解析并满足这些条件的函数不存在； (2)、我们有./111)1
(n n
f +=
由解析函数的唯一性定理，z
z f +=11
)(是在原点解析并满足此条件的唯一的解析函数
定理4.23(最大模原理)设函数()f z 在区域D 内解析,则()f z 在D 内任何点都不能达到最大值,除非在D 内()f z 恒于常数.
证 如果用M 表()f z 在D 内的最小上界,则有0M <<+∞.假定在D 内有一点0z ,函数()f z 的模在0z 达到它的最大值,即()f z M =
(1)应用平均值定理于以0z 为中心,并且连同它的周界一起都全含于区
域D 内的一个圆0z z R -<,就得到
20001()(Re )2i f z f z d πϕϕπ
=+⎰
由次推出 20001()(Re )2i f z f z d πϕϕπ
≤+⎰ (4.15)
由于 0(Re )i f z M ϕ+≤,而0()f z M =
从不等式(4.15)可以推出,对于任何(02)ϕϕπ≤≤
0(Re )i f z M ϕ+=
事实上对于某一个值0ϕϕ=有
0(Re )i f z M ϕ+< 那么根据()f z 的连续性,不等式0(Re )i f z M ϕ+<在某个充分小的领域区间00ϕεϕϕε-<<+内成立.同时在这个区间外,总是
0(Re )i f z M ϕ+≤
在这样的情况下,由(4.15)得
20001()(Re )2i M f z f z d M πϕϕπ=≤+<⎰
矛盾,因此我们已经证明了:在以点0z 为中心得每一个充分小的圆周少上()f z M =,换句话说,在0z 点的足够小的领域k 内(k 及其周界全含
于D 内)有()f z M =.所以()f z 在k 内为一常数,再由唯一性定理,必
()f z 在D 内为一常数.
推论4.24设
(1)函数()f z 在有界区域D 内解析,在闭域D D D =+∂上连续
(2)()f z M ≤ ()Z D ∈,
则除()f z 为常数的情景外()f z M < ()Z D ∈
注1在珂西不等式中的()max ()z a R
M x f z -==现在也可理解成()max ()z a R
M x f z -≤= 注2可由第七章的保域定理来做出最大模原理的几何解释
注3最大模原理说明了解析函数在区域边界上的最大模可以限制区域内的最大模,这是解析函数特有的性质。