2022-2023学年山东省聊城市第二中学高一年级上册学期第二次月考数学试题【含答案】

2022-2023学年山东省聊城市高一上学期第二次月考数学试题
一、单选题1．满足的集合的个数（ ）
{}{}11234A ⊆⊆，，，A ．4B ．8
C ．15
D ．16
B
【分析】由
，可得集合A 是集合的子集且1在子集中，从
{}{}11234A ⊆⊆，，，{}1,2,3,4而可求出集合A 【详解】解：因为，
{}{}11234A ⊆⊆，，，所以
，
{}{}{}{}{}{}{}{}1,1,2,1,3,1,4,1,2,3,1,2,4,1,3,4,1,2,3,4A =所以满足集合A 的个数为8，故选：B
2．二次函数的图像如图所示，则不等式的解集为（ ）
2y ax bx c =++2
0ax bx c ++≥
A ．
B ．
C ．
D ．{}
0x ∅
{}
x x x ≠R
A
【分析】数形结合求出不等式的解集.
【详解】，即．根据图象知，只有在
时，x 取其它任何
20ax bx c ++≥0y ≥0x x ==0y 实数时y 都是负值.故选：A ．
3．不等式的解集是（ ）
2
9610x x ++≤A ．B ．
13x x ⎧⎫≠-⎨⎬
⎩⎭1133x x ⎧⎫
-≤≤⎨⎬⎩⎭
C ．
D ．
∅13x x ⎧⎫=-⎨⎩⎭D
左边配方成完全平方可得.
【详解】解:由原不等式左边配方得
，
()2
310
x +≤，∴310x +=.
∴
1
3x =-故解集为: 13x x ⎧⎫=-⎨⎬
⎩⎭故选:D
4．2020年书生中学高中学生运动会，某班62各学生中有一半的学生没有参加比赛，参加比赛的学生中，参加田赛的有16人，参加径赛的有23人，则田赛和径赛都参加的学生人数为（ ）A ．7B ．8
C ．10
D ．12
B
【分析】根据题意画出对应的韦恩图，进而求出结论.
【详解】解：根据题意画出韦恩图：
设田赛和径赛都参加的人为，因为名学生中有一半的学生没有参加比赛，所以参x 62加比赛的学生有人，故根据韦恩图，；31162331x x x -++-=8x =故田赛和径赛都参加的人为人.8故选：B 5．代数式取得最小值时对应的值为（ ）
224
x x +
x A ．2B
C ．D
．2
±D
【分析】利用基本不等式求出最小值及对应的值.
x
【详解】在分母的位置，则．
2
x 20x >
，当且仅当
，即，,2244x x +
≥=224x x =22x =x =故选：D ．
6．已知，，则的最小值是（ ）
0,0a b >>2a b +=14y a b =
+
A ．
B ．472
C ．
D ．5
92C
【分析】利用题设中的等式，把的表达式转化成
，展开后，利用基本y 14
(
)()
2a b a b ++不等式求得的最小值.
y 【详解】因为，，
0,0a b >>2a b +=
所以
（当且仅当，
14145259()()22222a b b a y a b a b a b +=+=+=++≥+=22b a
a b =即时等号成立）.2b a =所以
的最小值是.
14y a b =
+
92故选：C.
本题主要考查利用基本不等式求最值，其中解答中熟记基本不等式求最值的条件“一正、二定、三相等”，准确运算是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
7．不等式的解集为，则的值为（ ）2
50ax x c ++>11{|}32x x <<a c ，A ．
B ．
C ．
D ．
61a c ==，61
a c =-=-，1,1a c ==16
a c =-=-，B
【分析】由题知方程的两根为
和，进而结合韦达定理求解即
2
50ax x c ++=12x =
1
3x =可.
【详解】解：因为不等式的解集为
，2
50ax x c ++>11{|}
32x x <<所以方程的两根为
和，2
50ax x c ++=12x =13x =所以由韦达定理得：，即11115
,2323
c a a ⨯=+=-
61a c =-=-，故选：B
8．已知非负实数满足，则的最小值（ ）,a b +=1a b 1112a b +
++A ．1B ．2
C ．3
D ．4
A
【分析】由得，故
+=1a b ()()11214a b +++=⎡⎤⎣⎦，展开之后利用基本不等式求解即可()()1111
11212412a b a b a b ⎛⎫+=++++⎡⎤ ⎪⎣⎦++++⎝⎭【详解】因为非负实数满足，,a b +=1a b 所以
，
()()124a b +++=所以，
()()11214a b +++=⎡⎤⎣⎦所以()()1111112124
12a b a b a b ⎛⎫+=++++⎡⎤ ⎪
⎣⎦++++⎝⎭．1212412b a a b ++⎛⎫=++≥
⎪++⎝⎭121
4⎛+= ⎝当且仅当，即时，取等号．
+2+1
=+1+2
+=1b a a b a b ⎧⎪
⎨⎪⎩=1=0a b ⎧⎨⎩综上，的最小值为1，11
12a b +
++故选：A ．
二、多选题
9．下列命题正确的有（ ）．
A ．若命题，，则，:p x ∃∈R 2
10x x ++<:p x ⌝∀∈R 210
x x ++≥B ．不等式的解集为2
450x x -+>R
C ．是
的充分不必要条件
1x >()()120x x -+
>D ．x ∀∈R x
=ABC
对A ，由含有一个量词命题的否定即可判断；对B ，结合二次函数的图象即可判断；对C ，先求出
的解集，再由充分条件，必要条件的定义即可判断；对
()()120x x -+>D ，由特殊值即可判断.
【详解】解：对A ，若命题，，则，，故
:p x ∃∈R 2
10x x ++<:p x ⌝∀∈R 210x x ++≥A 正确；
对B ，，
2
450x x -+> 令，
2
45y x x =-+则
，
()2
44540
∆=--⨯=-<又
的图象开口向上，2
45y x x -=+ 不等式的解集为；故B 正确；
∴2
450x x -+>R 对C ，由
，
()()120x x -+>解得：或，2x <-1x >设
，
，
()
1,A =+∞()()
,21,B =-∞-⋃+∞则，故是
的充分不必要条件，故C 正确；
A B ⊆1x >()()120x x -+>
对D ，当，故D 错误.
=1x -11
=≠-故选：ABC.
10．，，的值可以为（ ）
x ∀∈R 22
2563x x x x m ++>++m A ．7B ．3C ．5D ．4
BD
【分析】移项后利用一元二次不等式，开口向上而且要大于零，所以无解即可.
【详解】，移项得．
x ∀∈R 222563x x x x m ++>++2
260x x m ++->，.
()22460m ∆=--<5m <故选：BD ．
11．下列结论正确的是（ ）A ．若函数
对应的方程没有根，则不等式的解集为
()
20y ax bx c a =++≠2
0ax bx c ++>R
B ．不等式在上恒成立的充要条件是，且2
0ax bx c ++≤R 0a <240
b a
c ∆=-≤C ．若关于x 的不等式的解集为，则
2
10ax x +-≤R 1
4
a ≤-
D ．不等式的解集为11x >{}0<<1x x CD
【分析】由二次函数的图像、方程和不等式之间的关系能判断A 、B 、C ，由分式不等式能确定选项D ．【详解】A ．若函数
对应的方程没有根，则，故
()
20y ax bx c a =++≠2
40b ac ∆=-<当时，不等式的解集为，故本选项不符合题意；
0a <2
0ax bx c ++>∅B ．“在R 上恒成立”推不出“且”，反例：
2
0ax bx c ++≤0a <240b ac ∆=-≤在R 上恒成立，但．故本选项不符合题意；20010x x +-≤=0a C ．分两种情况考虑：① 当时，的解集不是R ；
=0a 10x -≤② 当时，的解集为R ，所以，即．故本选项符合0a ≠2
10ax x +-≤<01+40a a ≤⎧⎨⎩1
4a ≤-题意；
D ．，即，，，解得．故本选项符合题意．1
1
x >110x ->10x x ->()10x x ->01x <<故选：CD ．
12．已知的斜边长为2．则下列关于的说法中，错误的是（ ）Rt ABC △ABC
A ．周长的最大值为
B ．周长的最小值为
C ．面积的最大值为2
D ．面积的最小值为1
BCD
【分析】由勾股定理，得出三边关系，根据基本不等式求周长和面积最值.
【详解】解：由题知，设斜边为，则，．
c =2c 22
4a b +=先研究面积：，
22111
222a b S ab +=≤⋅=
当且仅当，即22
=+=4a b
a b ⎧⎨⎩a b ==所以面积的最大值是1．C 、D 选项都是错误的；再研究周长：，，
22
4a b
+=()
2
24
a b ab +-=
，，()2
2
242a b a b +⎛⎫
+-≤ ⎪⎝⎭()28
a b +≤a b +≤
当且仅当，即22
=+=4a b a b ⎧⎨⎩a b ==
所以的最大值为，周长的最大值为，故B 选项错误.
+a b
综上，选BCD ．故选：BCD
三、填空题13．已知集合
，，则______．
{
}2=<4
A x x {}2
B=4+3>0x x x -A B ⋂={}
2<<1x x -【分析】根据一元二次不等式解出集合A 和集合B ，利用集合的交集定义求出结果.【详解】
，，
2={<4}={2<<2}
A x x x x -2={4+3>0}={<1>3}
B x x x x x x -或．
={2<<1}A B x x ⋂-故
{}
2<<1x x -14．已知，则函数
的最大值为___________.5
4x <
1445y x x =+
-3
【分析】由于 ，需要构造函数，才能运用基本不等式.
5
,450
4x x <-<【详解】因为
，所以，,
5
4x <
450x -<540x ->()11
44554545
y x x x x =+
=-++--(
)15455354x x ⎡
⎤
=--+
+≤-+=⎢⎥-⎣
⎦
当且仅当
，即时，等号成立.故当时，
1
5454x x -=
-1x =1x =取最大值，即.
y max 3y =故3.
15．当时，不等式
恒成立，则实数的取值范围___________．
1x >1
1x a x +
≥-a (,3]
-∞【详解】试题分析：当时，不等式
恒成立，则
1x >10x ->1
1x a x +
≥-，又，则，故填
min 11a x x ⎡⎤≤+⎢⎥-⎣
⎦11111311
x x x x +=-++≥=--3a ≤.
(,3]-∞1、基本不等式；2、恒成立问题.
【方法点睛】本题主要考查基本不等式以及不等式恒成立问题，属于中档题．不等式
恒成立问题常见方法：①分离参数恒成立(即可)或恒成立
()a f x ≤min ()a f x ≤()a f x ≥（
即可）；②数形结合(
图象在
上方即可)；③讨论最值
max
()a f x ≥()
y f x =()
y g x =或恒成立；④讨论参数.本题是利用方法利用基本不等式求得
min ()0f x ≥max ()0f x ≤的最小值，从而求得的取值范围.
()
f x a 16．命题“，”为假命题，则实数的最大值为___________.
x ∃∈R 2
290x mx ++<m
【分析】根据特称命题为假命题可得出关于实数的不等式，由此可求得实数的最m m 大值.
【详解】因为命题“，”为假命题，则，解得
x ∃∈R 2290x mx ++<2
720m ∆=-≤
m -≤≤
因此，实数的最大值为m
故答案为.四、解答题
17．已知全集U 为R ，集合A={x|0<x ≤2}，B={x|-2<x+1<2}，求：（1）A ∩B ;
（2）(∁UA )∩(∁UB )．
（1）{x|0<x<1}；（2）{x|x ≤-3或x>2}．
【分析】（1）本小题先求B 集合，再通过集合的运算解题即可；（2）本小题先求B 集合，再求补集，最后求交集即可解题.【详解】B={x|-3<x<1}，
（1）因为A={x|0<x ≤2}，所以A ∩B={x|0<x<1}．
（2）∁UA={x|x ≤0或x>2}，∁UB={x|x ≤-3或x ≥1}，所以(∁UA )∩(∁UB )={x|x ≤-3或x>2}．
本小题考查集合的运算，是基础题.
18．设实数x 满足，实数x 满足．
:p ()2
2
2300x ax a a --<>:q 24x ≤<(1)若，且p ，q 都为真命题，求x 的取值范围；1a =(2)若q 是p 的充分而不必要条件，求实数a 的取值范围．
(1)
{}
23x x ≤<(2)43a a ⎧⎫≥⎨⎬
⎩
⎭【分析】（1）将代入，化简，根据都为真命题即可求得的取值范围.1a =p ,p q x （2）若q 是p 的充分而不必要条件，转化为集合间关系，然后列出不等式即可求得结果.
【详解】(1)若，则可化为，得．
1a =22230x ax a --<2
230x x --<13x -<<若q 为真命题，则．∴p ，q 都为真命题时，x 的取值范围是．
24x ≤<{}23x x ≤<(2)由
，得．
()
222300x ax a a --<>3a x a -<<∵q 是p 的充分而不必要条件，∴
是的真子集，
{}24x x ≤<{}3x a x a -<<则，得
．2034
a a a -<⎧⎪
>⎨⎪≥⎩4
3a ≥∴实数a 的取值范围是．
43a a ⎧
⎫≥
⎨⎬⎩⎭19．若不等式的解集是．2(1)460a x x --+>{31}
x x -<<(1)解不等式
；2
2(2)0x a x a +-->(2)b 为何值时，的解集为R ．
2
30ax bx ++≥(1)或
{1
x x <-}
32
x >
(2)
[]
6,6-【分析】（1）由题意可得和1是方程的两个根，则有
3-2
(1)460a x x --+=，求出的值，然后解不等式即可，43116
311a a ⎧-+=⎪⎪-⎨
⎪-⨯=⎪-⎩
a 2
2(2)0x a x a +-->（2）由（1）可知的解集为R ，从而可得，进而可求出的取值范
2
330x bx ++≥0∆≤b 围
【详解】(1)由题意得和1是方程的两个根，则有，3-2
(1)460a x x --+=43116
311a a ⎧
-+=⎪⎪-⎨
⎪-⨯=⎪-⎩解得，
3a =所以不等式化为，，
22(2)0x a x a +-->2
230x x -->(1)(23)0x x +->解得或
，
1x <-32x >
所以不等式的解集为
或
{1x x <-}
32
x >
(2)由（1）可知的解集为R ，
2
330x bx ++≥所以，解得，
2
4330b ∆=-⨯⨯≤66b -≤≤所以的取值范围为
b []
6,6-20．某自来水厂拟建一座平面图为矩形且面积为200m 2的二级净水处理池（如图）.池的深度一定，池的外围周壁建造单价为400元/m ，中间的一条隔壁建造单价为100元/m ，池底建造单价为60元/m 2，池壁厚度忽略不计.问净水池的长为多少时，可使总造
价最低？
15m
【分析】净水池的底面积一定，设长为x 米，则宽可表示出来，从而得出总造价y =f （x ），利用基本不等式求出最小值.
【详解】设水池的长为x 米，则宽为米.
200x 总造价：y =400（2x +）+100+200×60
400
x 200x ⋅
=800（x +）+12000≥800
+12000=36000，225
x ⨯当且仅当x =，即x =15时，取得最小值36000.
225
x 所以当净水池的长为15m 时，可使总造价最低.
本题考查将实际问题中的最值问题转化为数学中的函数最值，运用基本不等式求得最值是解题的关键，属于基础题.21．解关于x 的不等式(ax －1)(x ＋1)>0.答案不唯一，具体见解析.
【分析】对分成等情况进行分类讨论，由此求得不a 0,0,10,1,1a a a a a =>-<<<-=-等式的解集.
【详解】若a ＝0，则原不等式为一元一次不等式
，解得，故解集为
()10x -+>1x <-(－∞，－1).
当a ≠0时，方程(ax －1)(x ＋1)＝0的两根为x 1＝，x 2＝－1.1
a 当a >0时，，所以解集为(－∞，－1)∪；1
2x x >1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭当－1<a <0，即<－1时，所以解集为；1a 1,1a
⎛⎫- ⎪⎝⎭当a <－1，即0>>－1时，所以解集为；1a 11,a ⎛⎫- ⎪⎝
⎭当a ＝－1时，不等式化为，所以解集为.
()2
10x -+>∅本小题主要考查一元二次方程的解法，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.。