清华大学任勇老师信号与系统课件

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清华大学
信号与系统答疑 QQ 群:85092397
第四章:信号的谱表示
§4.1 L1 [t0 ,tα ] 上的傅里叶变换(《信号与系统》第二版(郑君里)3.1,3.2)
{ } ∫ L1 [t0,tα ] =
f (t ) | tα t0
f (t ) dt < ∞ ,是[t0,tα ] 上绝对可积函数的全体。

∑ = FnGn*T
n=−∞
{ } { } = T
F G , ∞ n n=−∞
∞ n n=−∞
能量定理:对 ∀f (t ) ∈ L2 [t0,t0 + T ],有
(4-19)
∫ ( ) ∑ f t0+T t0
t
2

dt = T
Fn 2
n=−∞
(4-20)
均方收敛性(依范数收敛,强收敛):
定理(均方收敛):对 ∀f (t ) ∈ L2 [t0,t0 + T ],则
f
(t)
=
f
⎛ ⎜⎝
t
±
T 2
⎞ ⎟⎠
(4-18)
f (t ) 的傅里叶级数只含有偶次正余弦分量(偶次谐波)。
Parseval 定理(内积不变性):
定理(Parseval):对 ∀f (t ) , g (t ) ∈ L2 [t0,t0 + T ] ,则
∫ f (t ) , g (t ) = t0+T f (t ) g* (t )dt t0
∫ ( ) 证明:
Fn
=
1 T
f t0 +T
t0
t
e-jnωtdt ,
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∫ ( ) Fn
1 ≤
T
t0 +T t0
f
t
e-jnωt dt
∫1
=
t0 +T f (t )dt = 1
f (t)
<∞,
T t0
T
1
1
max ∀n
Fn
≤ T
f (t) 。 1
推论:若 f (t ) ∈ L2 [t0, t0 + T ] ,则 Fn < ∞ 。
(4-1) (4-2)
1
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注: p < q为有限数时,Lp [t0, t0 + T ] ⊃ Lq [t0, t0 + T ]。即高次方可积函
数是低次方可积函数的子空间。 ♦ 变形


∑( ) ( ) f

t = a0 +
an2 + bn2
1 2


an 1 cos nωt +
t
e− jnωtdt = 1 20
15 e−0.1te− jnωtdt
−5
=
1
( ) e e e e − 1/ 2 jnπ / 2 −3/ 2 − j3nπ / 2
2 + j2nπ
F0 = 0.713, F1 = 0.216e j0.308 , F2 = 0.112e j1.729 ,
F3 = 0.075e− j3.036 , F4 = 0.057e− , j1.491 LL , F−n = Fn*
图 4-3
§4.2 典型周期信号的谱(《信号与系统》第二版(郑君里)3.3) 周期矩形脉冲信号:
=
( ) ( ) φ t0+T *
t0
i
t
φj
t
dt = Tδij
(4-5)
♦ 对 f (t ) ∈ L1 [t0,t0 + T ] ,有,
其中:

∑ f (t ) = Fne jnωt
n=−∞
t
∈ [t0 ,
t0
+
T
]
,ω
=
2π T
( ) ∫ ( ) Fn =
f t , e jnωt e jnωt , e jnωt
+ T ]上完备正交集,ω
=
2π T
,T
为基波的周期,
∫ φi (t ), φj (t )
t0 t0
+T
φi
(t

j
(t
)
dt
=
T 2
δ ij
♦ 三角函数形式的傅里叶级数:
对 f (t ) ∈ L1 [t0,t0 + T ] ⊃ [L2 t0,t0 + T ] , f (t ) 的傅里叶级数为:
其中:
⎞ ⎟⎠

u
⎛ ⎜⎝
t

T 2
⎞⎤ ⎟⎠⎥⎦
(4-13)
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函数的对称性与 F.S.的定性性质:
∫ ( ) a0
=
1 T
f t0 +T
t0
t dt
∫ an
=
2 T
t0 +T f (t ) cos nωtdt
t0
∫ bn
=
2 T
t0 +T f (t )sin nωtdt
Dirichlet 条件:对 ∀f (t ),t ∈[t0,t0 + T ]
∫ A.
t0 +T t0
f (t ) dt < ∞ ,即 f (t ) ∈ [L1 t0,t0 + T ] ;
B. f (t ) 在[t0,t0 + T ] 上有有限个极大值、极小值;
C. f (t ) 在[t0,t0 + T ] 上有有限个第一类间断点。
n=−∞
(4-10)
由上式可知,t∈(t0, t0+T)区间与 t∈(t0+T, t0+2T)的 F.S.展开式对应相等。
即,若将 f (t ) 以T 为周期进行延拓,所得周期信号的 F.S.与上式相同:
F (t ) f (t − mT ) , m ∈(−∞, ∞)
∞∞
∑ ∑ =
Fne jnω(t−mT ) ⎡⎣u (t − mT − t0 ) − u (t − mT − t0 − T )⎤⎦

Fn 一般为 nω 的复变函数,是离散的,间隔为 ω
=
2π T

Fn = Fn ejφn , Fn 和φn 均为 nω 的函数。
Fn nω : f (t ) 的幅度谱(线谱),
φn nω : f (t ) 的相位谱(线谱)。

♦ f (t ) = a0 + ∑(an cos nωt + bn sin nωt )
n=−N
注:1) 在个别点,甚至零测度集上不收敛不影响均方收敛性。 2) 2N+1 项 F.S.近似,欧式范数最小 ⇔ 方差最小 ⇔ 均方最小。
可 F.S.展开的充分条件:
♦ 可 F.S.展开是指: Fn < ∞ , ∀n 。
♦ 定理(可 F.S.展开的充分条件):若 f (t ) ∈ L1 [t0, t0 + T ] ,则 Fn < ∞ 。
(4-9)
傅里叶级数(Fourier Series——F.S.)使用范围:
♦ ∀f (t ) ∈ L1 [t0,t0 + T ] 可展成傅里叶级数:

∑ f (t ) = Fnejnωt ⎡⎣u (t − t0 ) − u (t − t0 − T )⎤⎦
n=−∞

∑ 即: f (t ) = Fnejnωt,t ∈ (t0 ,t0 + T )
t0
♦ f (t ) 为偶函数:
f (t) = f (−t)
f (t ) 的傅里叶级数只含有直流和余弦分量。
♦ f (t ) 为奇函数:
f (t ) = − f (−t ) f (t ) 的傅里叶级数只含有正弦分量。
♦ f (t ) 为奇谐函数:
(4-14) (4-15) (4-16)
f
(t)
=

f

f (t ) = a0 + ∑(an cos nωt + bn sin nωt )
n=1
t
∈ [t0 ,
t0
+
T
]
,ω
=
2π T
∫ ( ) 1
a0 = T
f t0 +T
t0
t dt
f (t ), cos nωt
an = cos nωt, cos nωt
为傅里叶系数。
f (t ),sin nωt
bn = sin nωt,sin nωt
∫ ⎧ 4
= ⎪⎨T
0 −T
f1 (t ) cos nωtdt
2
, n = 2m +1
⎪⎩
0 , n = 2m
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∫ ⎧ 4
bn = ⎪⎨T
0 −T
f1 (t )sin nωtdt
2
, n = 2m +1
⎪⎩
0 , n = 2m
♦ f (t ) 为偶谐函数:
= 1 f t0 +T t e-jnωtdt T t0
(4-6) (4-7)
注:负频率的引入完全由完备性决定。 ♦ 易知:
F−n = Fn*
(4-8)
( ) F−ne− jnωt + Fne jnωt = 2 Re ⎡⎣Fne jnωt ⎤⎦ = 2 Fn cos nωt + φn , Fn = Fn e jφn 。
⎛ ⎜
t

±
T 2
⎞ ⎟ ⎠
(4-17)
f (t ) 的傅里叶级数只含有奇次正余弦分量(奇次谐波)。
证明:
f
(t)
=
⎧ ⎪⎪ ⎨ ⎪− ⎪⎩
f1 (t )
f1
⎛ ⎜
t


,− T⎞ 2 ⎟⎠
T 2
,
≤t 0≤
<0 t<T
2
∫ ∫ 2
an = T
0 T − 2
f1 (t ) cos nωtdt
2 −
T
∫ ( ) ∑ 1
lim N→∞ T
t0 +T t0
f
t
N
2
− Fne jnωt dt = 0
n=−N
(4-21)
N
其中:ε (t ) = f (t ) − ∑ Fnejnωt = f (t ) − fN (t ) ,为逼近误差,
n=− N
∫ ( ) ∑ 1
T
t0 +T t0
f
t
N
2
− Fne jnωt dt ,为均方误差。
m=−∞ n=−∞
(4-11)

∑ = Fnejnωt , t ∈ (−∞, ∞)
n=−∞
可见,对于有限开区间 t∈(t0, t0+T)上的函数作 F.S.展开的(4-10) 和(4-11)式表明,这种 F.S.展开,不但在该有限开区间上成立,而且 在区间以外的 t∈(−∞,∞)上成立,且收敛于信号在展开区间部分的周期 延拓。
上述这段文字描述,是理解一个信号 F.S.展开的关键! 如果信号本身就是周期的,且在一个周期内绝对可积,则必然可 以作傅里叶级数展开。形式如(4-11)所示。 周期信号:
F (t ) = F (t − nT ) , n ∈(−∞,∞)
(4-12)
主周期为:
f
(t
)
=
F
(t
)
⎡⎢⎣u
⎛ ⎜⎝
t
+
T 2
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图 4-2
指数形式的傅里叶级数:
{ } { } ♦
( ) [ ] ejnωt ∞ n=−∞
φn t
∞ 是 L2
n=−∞
t0,t0 + T
上完备正交集, ω = 2π T

({ } ) { } ejnωt ∞

= 0,
n=−∞
∫ φi (t ), φj (t )
T 2 0
f1
⎛ ⎜
t

T −
2
⎞ ⎟⎠
cos
nωtdt
∫ ∫ 2 t−T =τ 2 = T
ห้องสมุดไป่ตู้0 −T
2
f1
(
t
)
cos
nωtdt

2 T
0 −T
2
f1

)
cos
⎡⎢nω ⎣
⎛⎜τ ⎝
T +
2
⎞⎤ ⎟⎠⎥⎦

∫ ∫ 2
= T
0 −T
2
f1 (t ) cos nωtdt
2 −
T
0
−T f1 (τ ) cos (nωτ + nπ ) dτ 2
(4-4)
图 4-1
注:1) an , bn 或 cn 或 dn 是 nω
的函数, ω
=
2π T

物理意义:第 n 次谐波的幅度。
2) −φn ,θn 为第 n 次谐波的相位。
3) a0 = c0 = d0 为直流分量。
4)周期信号的频谱只会在 0,ω, 2ω,L等离散频率点上,这种频谱 称为离散谱。
原因是, L2 [t0, t0 + T ] ⊂ L1 [t0, t0 + T ]。
例子:求信号f (t ) = e−0.1t在区间-5 < t < 15上的F.S.展开,
并研究有限项截断对原信号的逼近。
解:T = 20,ω = 2π / T = π/10
∫ ( ) ∫ Fn
=
1 T
f t0 +T
t0
( ) ∑ ∑ ∑ f t =
F e ∞
jnωt
−∞ n
=
F e ≈ ∞
jnπ t /10
−∞ n
N −N
Fne
jnπt /10,取2N
+ 1项
重要结论:
(1)N 越大,逼近得越好:纹波减小,纹波数增加;
(2)如果端点处周期延拓时存在跳变,则过冲不会消失。
Gibbs 现象:若用 F.S.逼近 f(t),在间断点处不收敛,且在间断点的邻 域内出现减幅震荡的奇异现象,震荡的第一峰最大,峰起值约为间断 点处跳变的 9%。这种现象称为吉布斯(Gibbs)现象。
注:Dirichlet 条件是充分条件;A 保证傅里叶系数有限,B、C 保证
Riemann 可积。
三角函数形式的傅里叶级数: ♦ 三角函数集:
⎧ ⎨
1
, cosωt,sin ωt,L, cos nωt,sin nωt,L⎫⎬
⎩2

{φ0 (t ),φ1 (t ),L,φn (t ),L}
是 L2 [t0, t0
n=1
利用 ejnωt = cos nωt + jsin nωt ,
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可导出:
F0 = a0 = c0 = d0 ,
Fn
=
1 2
(
an

jbn ) =
Fn
e-jφn ,
F− n
=
1 2
(
an
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