高考数学 第1部分 重点强化专题 专题4 立体几何 突破点8 空间几何体表面积或体积的求解教学案

专题四 立体几何

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[高考点拨] 立体几何专题是浙江新高考中当仁不让的热点之一，常以“两小一大”呈现，小题主要考查三视图与空间几何体的体积(特别是与球有关的体积)和空间位置关系及空间角，一大题常考空间位置关系的证明与空间角、距离的探求．本专题主要从“空间几何体表面积或体积的求解”“空间中的平行与垂直关系”“立体几何中的向量方法”三大角度进行典例剖析，引领考生明确考情并提升解题技能．

突破点8 空间几何体表面积或体积的求解

(对应学生用书第29页)

[核心知识提炼]

提炼1 求解几何体的表面积或体积

(1)对于规则几何体，可直接利用公式计算．

(2)对于不规则几何体，可采用割补法求解；对于某些三棱锥，有时可采用等体积转换法求解．

(3)求解旋转体的表面积和体积时，注意圆柱的轴截面是矩形，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形的应用.

提炼2 球与几何体的外接与内切

(1)正四面体与球：设正四面体的棱长为a ，由正四面体本身的对称性，可知其内切球和外接球的球心相同，则内切球的半径r ＝612a ，外接球的半径R ＝64

a . (2)正方体与球：设正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，O 为其对称中心，E ，F ，H ，G 分别为AD ，BC ，B 1C 1，A 1D 1的中点，J 为HF 的中点，如图8­1所示．

图8­1

①正方体的内切球：截面图为正方形EFHG 的内切圆，故其内切球的半径为OJ ＝a 2； ②正方体的棱切球：截面图为正方形EFHG 的外接圆，故其棱切球的半径为OG ＝2a 2

； ③正方体的外接球：截面图为矩形ACC 1A 1的外接圆，故其外接球的半径为OA 1＝3a 2. [高考真题回访]

回访1 空间几何体的结构及三视图

1．(2015·浙江高考)如图8­2，斜线段AB 与平面α所成的角为60°，B 为斜足，平面α上的动点P 满足∠PAB ＝30°，则点P 的轨迹是( )

图8­2

A ．直线

B ．抛物线

C ．椭圆

D ．双曲线的一支

C [因为∠PAB ＝30°，所以点P 的轨迹为以AB 为轴线，PA 为母线的圆锥面与平面α的交线，且平面α与圆锥的轴线斜交，故点P 的轨迹为椭圆．]

2．(2014·浙江高考)某几何体的三视图(单位：cm)如图8­3所示，则该几何体的体积是

( )

图8­3

A ．72 cm 3

B ．90 cm 3

C ．108 cm 3

D ．138 cm 3 B [该几何体为一个组合体，左侧为三棱柱，右侧为长方体，如图所示．V ＝V 三棱柱＋V 长方体＝12

×4×3×3＋4×3×6＝18＋72＝90(cm 3)．] 3．(2013·浙江高考)已知某几何体的三视图(单位：cm)如图8­4所示，则该几何体的体积是( )

图8­4

A ．108 cm 3

B ．100 cm 3

C ．92 cm 3

D ．84 cm 3 B [此几何体为一个长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1被截去了一个三棱锥A ­DEF ，如图所示，其中这个长方体的长、宽、高分别为6、3、6，故其体积为6×3×6＝108(cm 3

)．三棱锥的三

条棱AE 、AF 、AD 的长分别为4、4、3，故其体积为13×⎝ ⎛⎭

⎪⎫12×4×3×4＝8(cm 3)，所以所求几何体的体积为108－8＝100(cm 3)．]

回访2 几何体的表面积或体积

4．(2017·浙江高考)某几何体的三视图如图8­5所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm 3)是( )

图8­5

A.π2

＋1 B.π2＋3 C.3π2＋1 D.

3π2＋3 A [由几何体的三视图可知，该几何体是一个底面半径为1，高为3的圆锥的一半与一个底面为直角边长是2的等腰直角三角形，高为3的三棱锥的组合体，

∴该几何体的体积

V ＝13×12π×12×3＋13×12×2×2×3＝π2＋1.故选A.]

5．(2015·浙江高考)某几何体的三视图如图8­6所示(单位：cm)，则该几何体的体积是

( )

图8­6

A ．8 cm 3

B ．12 cm 3

C.323 cm 3

D.403 cm 3 C [由三视图可知，该几何体是由一个正方体和一个正四棱锥构成的组合体．下面是棱长为2 cm 的正方体，体积V 1＝2×2×2＝8(cm 3)；上面是底面边长为2 cm ，高为2 cm

的正四棱锥，体积V 2＝13×2×2×2＝83(cm 3)，所以该几何体的体积V ＝V 1＋V 2＝323

(cm 3)．] 6．(2014·浙江高考)某几何体的三视图(单位：cm)如图8­7所示，则此几何体的表面积是

( )

图8­7

A ．90 cm 2

B ．129 cm 2

C ．132 cm 2

D ．138 cm 2 D [该几何体如图所示，长方体的长、宽、高分别为6 cm ，4 cm ，3 cm ，直三棱柱的底面是直角三角形，边长分别为3 cm,4 cm,5 cm ，所以表面积S ＝[2×(4×6＋4×3)＋3×6

＋3×3]＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫5×3＋4×3＋2×12×4×3＝99＋39＝138(cm 2)．] 7．(2016·浙江高考)某几何体的三视图如图8­8所示(单位：cm)，则该几何体的表面积是________cm 2，体积是________cm 3

.

图8­8

80 40 [由三视图还原几何体如图所示，下面长方体的长、宽都是4，高为2；上面正方体的棱长为2.所以该几何体的表面积为(4×4＋2×4＋2×4)×2＋2×2×4＝80(cm 2)；