许学成论文一类分数阶微分方程解的存在性

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一类分数阶微分方程初值问题解的存在性

一类分数阶微分方程初值问题解的存在性
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《分数阶微分方程边值问题解的存在性》范文

《分数阶微分方程边值问题解的存在性》范文

《分数阶微分方程边值问题解的存在性》篇一一、引言分数阶微分方程在众多领域中有着广泛的应用,如物理学、工程学、金融学等。

近年来,分数阶微分方程的边值问题解的存在性成为了研究的热点问题。

本文将就分数阶微分方程边值问题解的存在性进行深入探讨,分析其解的存在条件以及相关性质。

二、问题描述与预备知识分数阶微分方程的边值问题通常描述为在一定的区间上,满足一定的边界条件的分数阶微分方程的解的存在性问题。

为了研究这个问题,我们需要了解分数阶微分方程的基本性质,如分数阶导数的定义、分数阶微分方程的解法等。

此外,还需要掌握边值问题的基本理论,如边值条件的设定、边值问题的分类等。

三、解的存在性分析对于分数阶微分方程的边值问题,解的存在性分析主要依赖于以下几个因素:方程的阶数、边界条件的设定、解的空间性质等。

首先,方程的阶数会影响解的存在性。

一般来说,阶数越高,解的存在性越难以保证。

其次,边界条件的设定也会对解的存在性产生影响。

不同的边界条件会导致不同的解的存在性。

最后,解的空间性质也是解的存在性的重要因素。

我们需要分析解的空间是否满足一定的性质,如连续性、可微性等。

在分析解的存在性时,我们通常采用不动点定理、Schauder 不动点定理等数学工具。

这些工具可以帮助我们判断解的存在性,并给出解的存在的一些条件。

此外,我们还需要分析解的唯一性。

如果存在多个解,我们需要进一步研究这些解的性质和关系。

四、具体例子与数值分析为了更好地说明分数阶微分方程边值问题解的存在性,我们可以给出一些具体的例子并进行数值分析。

例如,我们可以考虑一个二阶分数阶微分方程的边值问题,并设定一定的边界条件。

然后,我们可以利用数值方法求解这个边值问题,并分析解的存在性和性质。

通过具体的例子和数值分析,我们可以更深入地理解分数阶微分方程边值问题解的存在性。

五、结论通过对分数阶微分方程边值问题解的存在性的分析,我们可以得出以下结论:1. 分数阶微分方程的边值问题解的存在性取决于多个因素,包括方程的阶数、边界条件的设定以及解的空间性质等。

一类分数阶微分方程边值问题解的存在性

一类分数阶微分方程边值问题解的存在性
摘要! 将一类分数阶微分方程边值问题转化 为 等 价 的 积 分 方 程$通 过 构 造 特 殊 的 Q:3:=1 空 间$应 用 V6K:;&CF_8非 紧性测度的性质及 d:Kc&不动点定理$得到了在无穷区间上分数阶微分方程解的存在性结果$并通过具体例子说明 了主要结果/ 关键词! 分数阶微分方程& 边值问题& Q:3:=1 空间& 非紧性测度 中图分类号!L+,M(G!!!!!文献标志码! N!!!!!文章编号! +-,+@-G"+!$*+,"*$@***,@*, ’()! +*(+A,*M OD/8FF3/+-,+@-G"+($*+-$+*
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《2024年分数阶微分方程边值问题解的存在性》范文

《2024年分数阶微分方程边值问题解的存在性》范文

《分数阶微分方程边值问题解的存在性》篇一摘要:本文致力于探讨分数阶微分方程边值问题解的存在性。

首先,我们回顾了分数阶微分方程的基本理论及发展背景。

接着,通过构建适当的函数空间和利用不动点定理,我们证明了在特定条件下,该类边值问题存在解。

本文的研究不仅丰富了分数阶微分方程的理论体系,也为实际问题的解决提供了理论支持。

一、引言分数阶微分方程作为微分方程的一个重要分支,近年来在物理、工程、生物等领域得到了广泛的应用。

然而,由于分数阶微分方程的复杂性和非局部性,其边值问题的解的存在性尚未得到完全解决。

因此,研究分数阶微分方程边值问题解的存在性具有重要的理论意义和实际价值。

二、预备知识1. 分数阶微分方程的基本理论:介绍分数阶微分方程的定义、性质及其与其他类型微分方程的关系。

2. 不动点定理:介绍本文将使用的不动点定理及其应用条件。

三、问题描述与假设条件考虑如下形式的分数阶微分方程边值问题:Dαu(x) + f(x, u(x)) = 0, x ∈ [a, b],其中Dα 表示分数阶导数。

假设条件包括:函数 f(x, u) 的连续性和有界性等。

四、解的存在性证明1. 构建函数空间:定义一个合适的函数空间,使得方程的解在此空间中有定义。

2. 构造算子:根据微分方程的形式,构造一个算子T,使得T 的不动点即为原微分方程的解。

3. 利用不动点定理:根据假设条件和不动点定理,证明算子T 在定义的函数空间中有不动点,从而证明原边值问题解的存在性。

五、结论与展望本文通过构建适当的函数空间和利用不动点定理,证明了分数阶微分方程边值问题解的存在性。

这一结果不仅丰富了分数阶微分方程的理论体系,也为实际问题的解决提供了理论支持。

然而,对于更复杂的分数阶微分方程边值问题,如具有多个解或解的唯一性问题,仍需进一步研究。

此外,如何将本文的理论成果应用于实际问题中,也是未来研究的一个重要方向。

六、六、展望与建议在未来的研究中,我们可以进一步拓展本文的成果,例如研究更复杂的分数阶微分方程边值问题,特别是当存在多个解或者解的唯一性成为问题的时候。

一类 Caputo 型分数阶微分方程正解的存在唯一性

一类 Caputo 型分数阶微分方程正解的存在唯一性

关键词 : 分 数 阶 微 分 方 程 ;正 解 ; 存在唯一性 ; 混合单调算子 ; 不 动 点 定 理 中 图分 类 号 :O1 7 5 . 1 2 文 献 标 志码 : A 文 章 编 号 :1 6 7 1 —9 4 7 6 ( 2 0 1 4 ) 0 5— 0 0 2 1 一O 4
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引理 1
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给定 g E CE o , 1 ]且 2< 口≤ 3 , 分 数 阶微 分方 程
作 者简介 : 古传 运 ( 1 9 8 2 一) , 男, 河 南 周 口人 , 助教 , 硕士 , 研 究方向 : 非 线性 泛 函 分析 及 其 应 用
2 2
周 口师范 学 院学报
2 0 1 4年 9月
引理 2 Gr e e n 函数 G( t , 5 ) 具 有 以下性 质 :
第 3 1卷 第 5期
Vo 1 . 3 1 No . 5
周 口师 范 学院 学报
J o u r n a l o f Z h o u k o u No r ma l Un i v e r s i t y
2 0 1 4年 9月
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类C a p u t o型 分 数 阶 微 分 方 程 正 解 的 存 在 唯 一 性
1 预 备 知 识
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《2024年分数阶微分方程边值问题解的存在性》范文

《2024年分数阶微分方程边值问题解的存在性》范文

《分数阶微分方程边值问题解的存在性》篇一摘要:本文致力于探讨分数阶微分方程边值问题解的存在性。

首先,通过概述已有文献及研究成果,引出本文的研究目的和意义。

接着,通过构建适当的数学模型和理论框架,运用现代数学分析方法,如不动点定理、拓扑度理论等,对分数阶微分方程的边值问题进行研究,得出相关结论。

一、引言分数阶微分方程是微分方程理论中的重要组成部分,广泛应用于物理学、工程学、金融学等多个领域。

近年来,随着分数阶微分方程理论的不断发展,其边值问题逐渐成为研究的热点。

然而,由于分数阶微分方程的复杂性和非线性特性,其边值问题的解的存在性尚未得到完全解决。

因此,本文旨在研究分数阶微分方程边值问题解的存在性。

二、数学模型与问题描述考虑以下分数阶微分方程的边值问题:D^αu(x) = f(x,u(x)), 其中x属于闭区间[a,b],α为分数阶次。

其中D^α表示Caputo型分数阶导数。

给定适当的初始条件或边值条件,我们希望找到满足上述方程的函数u(x)。

三、理论框架与数学工具(一)不动点定理不动点定理是解决非线性问题的重要工具。

通过将原问题转化为求算子不动点的问题,我们可以利用不动点定理来研究边值问题的解的存在性。

(二)拓扑度理论拓扑度理论为求解高阶或非线性微分方程提供了有力的工具。

我们可以通过构造适当的算子并计算其拓扑度来分析边值问题的解。

四、研究方法与过程(一)建立算子方程根据边值问题的描述和性质,我们建立相应的算子方程。

通过将原问题转化为算子方程的求解问题,我们可以利用数学分析方法进行研究。

(二)运用不动点定理和拓扑度理论利用不动点定理和拓扑度理论,我们分析算子方程的解的存在性。

通过构造适当的算子并证明其具有压缩映射性质或满足其他条件,我们可以得出解的存在性结论。

五、研究结果与结论(一)解的存在性结论经过深入研究和分析,我们得出分数阶微分方程边值问题解的存在性结论。

在适当的条件下,我们证明了该问题至少存在一个解。

《2024年度分数阶微分方程边值问题解的存在性》范文

《2024年度分数阶微分方程边值问题解的存在性》范文

《分数阶微分方程边值问题解的存在性》篇一一、引言分数阶微分方程在许多领域中有着广泛的应用,包括物理、工程、经济和社会科学等。

这些方程能更好地描述具有记忆效应和历史依赖性的过程。

因此,分数阶微分方程边值问题的解的存在性成为了近年来研究的热点。

本文将针对一类特定的分数阶微分方程边值问题,探讨其解的存在性。

二、问题描述考虑如下形式的分数阶微分方程边值问题:Dαu(x) = f(x, u(x), Du(x), ..., Dn-1u(x)), 0 < x < 1, 其中Dα表示分数阶导数,f是已知的函数,u(x)是未知的函数。

在区间[0, 1]的端点处,给定边值条件u(0) = α, u(1) = β。

我们的目标是证明在满足一定条件下,该方程存在解。

三、解的存在性证明(一)定义与符号的介绍首先需要了解分数阶微分方程的基本概念和性质,如Caputo 导数、分数阶Sobolev空间等。

同时,需要引入一些重要的符号和定义,如Banach空间、压缩映射原理等。

(二)构造算子为了证明解的存在性,我们需要将原问题转化为一个算子方程。

我们定义一个算子L,使得L(u) = u - Kf(x, u, Du, ..., Dn-1u),其中K是一个依赖于问题的常数。

这样,原问题就转化为寻找L 的不动点问题。

(三)不动点定理的应用我们可以使用Banach空间中的压缩映射原理或Schauder不动点定理来证明算子L在某个闭球上存在不动点。

首先需要证明L是一个压缩映射,然后根据不动点定理得出L存在不动点。

这等价于原问题存在解。

(四)证明解的唯一性除了证明解的存在性,我们还需要证明解的唯一性。

这通常需要利用更强的条件或额外的假设。

例如,我们可以假设f满足某种单调性或Lipschitz条件,从而保证解的唯一性。

四、结论通过上述证明过程,我们得出了该类分数阶微分方程边值问题解的存在性。

这为解决具有记忆效应和历史依赖性的实际问题提供了理论依据。

分数阶微分方程初值问题解的存在性

分数阶微分方程初值问题解的存在性
第 6卷
第 3期
贵 阳学 院学报 ( 自然科 学版 ) ( 季刊 )
J UR O NAL OF GUI YAN CO 】 E G LL EG
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2 1 年 9月 01
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关键词 :分数阶微分方程 ; e y Shue 度 ; rnce;存在性定理 Lr — adr a c Koekr
中图分类号 :0 7 .1 15 5 文献标识 码 :A 文章编号 :17 6 2 ( 0 1 3- 0 7- 3 6 3- 15 2 1 )0 0 0 0
Th itn e o ou i n o n t l eExse e fS l t sf r I ii o a
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下面我们介绍一些引理 , 中引理 2出 自文 其
献[ ] 引理 3和引理 4出自文献[ ] 3, 4。 引理 2 C pt分数阶微分方程初值问题 ( ) . au o 1 等价于如下第二类非线性 V hg l oer 积分方程 a
Iu t ()
为函数 ()的 0阶 Cpt 分数阶积分子 , t c au o 。 I

一类分数阶微分方程正解的存在性

一类分数阶微分方程正解的存在性

一类分数阶微分方程的正解存在性取决于其系数函数的特殊性质。

在一般情况下,一类分数阶微分方程的正解是不存在的。

然而,在特殊的情况下,如果系数函数满足特殊的连续性或可积性条件,那么这个方程就可能有正解。

在更具体的情况中,当分数阶微分方程的系数函数在第一类齐次线性微分方程的系数函数上满足可积性条件时,分数阶微分方程就有正解。

可积性的充要条件是系数函数的一阶导数存在且连续。

另一方面,如果分数阶微分方程的系数函数在第二类齐次线性微分方程的系数函数上满足连续性条件,那么这个方程就有正解.
需要注意的是,即使系数函数满足这些条件,该方程的正解也不一定唯一。

对于非齐次的分数阶微分方程,其正解的存在性和唯一性的证明要求更为严格。

通常需要对方程的系数函数和非齐次项进行更多的分析和证明。

最常见的证明方法是采用可积性和连续性理论,这些理论涉及到系数函数的导数和积分。

还有一些其他的方法,如欧拉方法和改进型欧拉方法,可用来证明分数阶微分方程的正解存在性和唯一性。

总之,分数阶微分方程的正解存在性和唯一性是个复杂的问题,需要对系数函数进行细致的分析和证明。

一类分数阶微分方程的解的存在性

一类分数阶微分方程的解的存在性

一类分数阶微分方程的解的存在性摘要:本文利用传统的将高阶微分方程化成方程组的方法,将复杂的分数阶微分方程化为分数阶方程组,通过讨论了分数阶方程组的解得存在唯一性,得到了复杂分数阶微分方程的解的存在唯一性。

关键词:分数阶解存在唯一性方程组中图分类号:o175.8文献标识码:a 文章编号1672-3791(2011)12(c)-0000-00传统的讨论实系数线性高阶微分方程的解得方法是通过变量替换转化成微分方程组,通过方程组的解得存在唯一性得到实系数线性高阶微分方程的解的存在唯一性。

同样的,将这种方法利用到分数阶微分方程上来。

发现,在转化过程中将遇到与ode不同的情况。

本文从;相同的方法出发解决了转化带来的困难。

正文:其中注意:当时有n=1讨论当为有理数时方程解得存在唯一性令其中都是整数,取分别为最小公倍数与最大公约数。

则对其中为整数。

记利用以下转化方程可以化为如下形式:其中初值条件为下面考察方程组引理1:方程组(3)的解的形式是证明:两边同时作用,由于则将代入则从而有定理1若在的某一区域上连续,且满足l条件即使得时有则至少在区间上存在唯一的满足初值条件的解其中证明:利用压缩影像原理banbach空间为全体连续函数空间对有,则令时有所以是一个闭凸子集.因此是压缩映射,从而方程(3)有唯一解。

方程组解的形式具体形式如下:其中则由讨论可知为解如此进行下去引理2:当时证明:根据定义有不妨限定c使之与相同,则当时且,从而在t有界时所以定理2 分数阶微分方程在初值条件满足,并对定理1中所有条件满足局部l条件其中下,方程在上有解存在。

证明:(1)做当时使之趋向于可适当选取并约定,充分小,以保证初值条件有意义。

在上面的转换下可将方程(1)化为如下方程组其中若不小于1可适当的调整系数使最小公倍数变为一个公倍数,保证另外,在定理1的条件下解是唯一存在的,由于在上是单调递增的而在且时是单调递减的,故整体是单调递增的,可取最小值0 可保证定理1中所有值成立。

《分数阶微分方程边值问题解的存在性》范文

《分数阶微分方程边值问题解的存在性》范文

《分数阶微分方程边值问题解的存在性》篇一一、引言分数阶微分方程作为数学领域中的一个重要分支,在物理、工程、生物、经济等多个领域有着广泛的应用。

近年来,随着对分数阶微分方程理论的深入研究,其边值问题的解的存在性成为了研究的热点。

本文旨在探讨分数阶微分方程边值问题解的存在性,为相关领域的研究提供理论支持。

二、问题描述考虑如下形式的分数阶微分方程边值问题:Dqau(t)=f(t,u(t)),t∈[a,b]u(a)=α,Du(b)=β其中,Dqau(t)表示u(t)的q阶导数,f(t,u(t))为非线性函数,a 和b分别为区间的下限和上限,α和β为给定的边界值。

我们的目标是找出该方程在给定边界条件下的解的存在性。

三、预备知识为了研究分数阶微分方程边值问题解的存在性,我们需要掌握一些预备知识。

包括分数阶导数的定义、性质,以及一些常用的固定点定理和不动点定理等。

此外,还需要了解一些与该问题相关的已有研究成果,以便在本文中进行比较和借鉴。

四、解的存在性证明为了证明分数阶微分方程边值问题解的存在性,我们可以采用不动点定理。

首先,我们将原问题转化为一个等价的积分方程。

然后,构造一个适当的算子,并证明该算子在一定的条件下是压缩的或全连续的。

这样,我们就可以利用不动点定理得出原问题至少存在一个解的结论。

具体来说,我们可以按照以下步骤进行:1. 将原问题转化为等价的积分方程;2. 构造一个算子,该算子将原问题的解映射为一个新的函数;3. 分析该算子的性质,如压缩性或全连续性;4. 利用不动点定理,得出该算子至少存在一个不动点,即原问题至少存在一个解。

五、结论通过上述分析,我们得出了分数阶微分方程边值问题解的存在性结论。

这一结论为相关领域的研究提供了理论支持。

然而,需要注意的是,我们的证明是在一定的条件下得出的,对于更一般的情况,还需要进一步的研究和探讨。

此外,我们还可以进一步研究该问题的多解性、解的唯一性等问题,以丰富分数阶微分方程的理论体系。

《2024年分数阶微分方程边值问题解的存在性》范文

《2024年分数阶微分方程边值问题解的存在性》范文

《分数阶微分方程边值问题解的存在性》篇一摘要:本文旨在研究分数阶微分方程边值问题的解的存在性。

通过运用不动点定理和分数阶微分方程的理论,我们证明了在一定的条件下,该类问题存在解。

本文首先介绍了问题的背景和意义,然后给出了相关定义和引理,接着通过构造适当的函数空间和算子,证明了主要定理。

最后,我们给出了一个具体的例子来验证我们的结果。

一、引言分数阶微分方程在许多领域有着广泛的应用,如物理学、工程学、生物学等。

近年来,随着分数阶微分方程理论的不断发展,其边值问题也成为了研究的热点。

然而,由于分数阶微分方程的复杂性,其边值问题的解的存在性尚未完全解决。

因此,本文将研究分数阶微分方程边值问题解的存在性。

二、问题描述与预备知识我们考虑如下的分数阶微分方程边值问题:Dαu(x) = f(x, u(x)), x ∈ [a, b],其中Dα表示Caputo型分数阶导数,u为未知函数,f为给定的函数,a < b为定义域的边界点。

我们的目标是找到该问题的解,并证明其存在性。

在开始证明之前,我们需要介绍一些相关的定义和引理。

包括分数阶导数的定义、不动点定理、以及一些有用的不等式和估计等。

三、解的存在性证明为了证明解的存在性,我们首先需要构造一个适当的函数空间。

我们定义一个Banach空间X,使得u(x)在该空间中满足一定的性质。

然后,我们定义一个算子T,使得Tu(x)为原问题的解。

我们的目标是证明T是一个压缩映射,从而存在一个不动点u0使得Tu0 = u0。

为了证明T是一个压缩映射,我们需要利用不动点定理和一些重要的不等式和估计。

我们首先证明T是一个有界算子,然后证明T是一个压缩映射。

这需要我们找到一个合适的Lipschitz常数K < 1,使得对于任意的u1, u2 ∈ X,都有‖Tu1 - Tu2‖ ≤ K‖u1 - u2‖。

一旦我们证明了这一点,根据不动点定理,我们就知道存在一个解u0使得Tu0 = u0。

一类分数阶微分方程多点边值问题解的存在性和唯一性

一类分数阶微分方程多点边值问题解的存在性和唯一性

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《2024年分数阶微分方程边值问题解的存在性》范文

《2024年分数阶微分方程边值问题解的存在性》范文

《分数阶微分方程边值问题解的存在性》篇一一、引言近年来,分数阶微分方程作为一类具有重要物理、化学、工程及金融应用背景的数学问题,吸引了越来越多的研究者的关注。

在解决实际问题的过程中,人们发现许多复杂的物理现象和自然规律都可以通过分数阶微分方程进行描述。

而边值问题作为微分方程的重要部分,其解的存在性研究更是成为了数学研究的热点。

本文将主要探讨分数阶微分方程边值问题解的存在性,为后续的研究和应用提供理论基础。

二、问题描述我们考虑如下形式的分数阶微分方程边值问题:Dαu(x) = f(x,u(x)),其中 x ∈ [a,b],满足特定的边值条件。

其中,Dα表示分数阶导数,f(x,u(x))是已知的函数,u(x)是未知的函数。

而边值条件可能包括多种形式,如端点处的值、导数值或混合边界条件等。

本文的目标是研究上述边值问题解的存在性。

三、研究现状自分数阶微分方程提出以来,其解的存在性及唯一性问题就成为了研究的热点。

早期的学者们主要通过传统的解析方法进行研究,如傅里叶级数展开、拉普拉斯变换等。

随着计算机技术的发展,数值方法也逐渐被引入到该领域的研究中。

近年来,一些新的研究方法如不动点定理、压缩映射原理等被广泛应用于分数阶微分方程边值问题的研究中,为解的存在性提供了有力的证明。

四、解的存在性证明本文将采用压缩映射原理来证明上述分数阶微分方程边值问题解的存在性。

首先,我们将问题转化为一个等价的积分方程形式,然后定义一个压缩映射并证明其存在唯一的不动点。

具体步骤如下:1. 将原问题转化为等价的积分方程形式;2. 定义一个压缩映射;3. 证明压缩映射存在唯一的不动点;4. 利用不动点的存在性证明原问题解的存在性。

在证明过程中,我们需要对函数空间进行适当的定义和性质分析,如完备性、连续性等。

同时,还需要对特定的边值条件进行分析和转化,使其适应于压缩映射原理的应用。

五、结论通过上述研究,我们证明了分数阶微分方程边值问题解的存在性。

《2024年分数阶微分方程边值问题解的存在性》范文

《2024年分数阶微分方程边值问题解的存在性》范文

《分数阶微分方程边值问题解的存在性》篇一摘要:本文探讨了分数阶微分方程边值问题的解的存在性。

利用不动点定理和分形算子理论,对特定类型的分数阶微分方程进行了解析研究,证明了在满足一定条件下,该类边值问题存在解。

本文的研究不仅为分数阶微分方程的求解提供了新的思路,也为相关领域的研究提供了理论依据。

一、引言分数阶微分方程作为数学领域的一个重要分支,在物理、工程、生物等多个领域有着广泛的应用。

近年来,随着分形理论和现代数学理论的不断发展,分数阶微分方程的研究越来越受到关注。

特别是对于一些复杂的物理和工程问题,其数学模型往往可以归结为分数阶微分方程的边值问题。

因此,研究这类问题的解的存在性具有重要的理论意义和实际应用价值。

二、问题描述与预备知识本文考虑的分数阶微分方程边值问题可以描述为:在给定的区间上,满足一定的初始条件和边界条件的分数阶微分方程的解的存在性问题。

为了解决这一问题,我们首先需要引入分数阶微分方程的基本概念和性质,包括分数阶导数的定义、分形算子的基本理论等。

此外,还需要介绍一些相关的数学工具,如不动点定理等。

三、解的存在性证明本部分是本文的核心内容,主要利用不动点定理和分形算子理论来证明分数阶微分方程边值问题解的存在性。

具体步骤如下:1. 定义分数阶微分方程的算子形式,并分析其性质。

2. 利用不动点定理的基本原理,构建一个合适的函数空间,使算子成为这个空间上的自映射。

3. 通过证明算子在该函数空间中具有压缩性质,进一步利用不动点定理的结论得出解的存在性。

4. 为了解决特殊类型的边值问题(如非线性边值问题),需要引入分形算子理论,通过构造适当的分形算子来处理问题的非线性部分。

5. 结合分数阶微分方程的特性和分形算子的性质,证明在满足一定条件下,该类边值问题存在解。

四、结论本文通过利用不动点定理和分形算子理论,证明了特定类型的分数阶微分方程边值问题解的存在性。

这为分数阶微分方程的求解提供了新的思路,也为其在物理、工程、生物等领域的实际应用提供了理论依据。

一类分数阶微分方程的解的存在性

一类分数阶微分方程的解的存在性
注意 : 0< <1时有 n 。 当 =l

ff-()三一1 l, f,I f 厂 t【 【 () ≤
则 少 间l r h 存 唯 的 足 值 件 (= 至 在区 1 I 上 在 一 满 初 条 f f 1 —≤ )
的解 ,
( ) 而

( ) ’) (出
其 m 寺a1 】 =a () 中 =i ( ) } m { ,。 n + , x } “ M f f
证 明 : 用 压 缩 影 像 原 理 利 B n a h 间 为全 体 连续 函数 空 间 abc空
讨 论 当 , … 为 有 理 数 时 方程 解 得 存 在 唯 一 性 。
续 , 满 足 L条 件 即 j < < 且 L0
其 中 l a >… >口 , 是 的 整 数 部 分 。 > 2 【】 定 义 1 分 数阶 微 分 的c p o 义 : : a t定

( 杀 £ ~ ) ) ( )
其 中 =[ +l 】
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2 3
故 是 自映 射 。
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利 用以下转化 :
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・ —S>0故 (— ) >0从而 : f t
D l= 2

J fs ( 1 -I l ("s t-, - ̄ ) I V sd )s " - M

一类含有参数的分数阶微分方程

一类含有参数的分数阶微分方程
δ ⎧ D0 + u (t ) = λ f (t , u (t )), ⎨ ⎩ u (0) = u (1) = 0,
δ
0 ≤ t ≤1
δ
(1)
解的存在性,其中 1 < δ ≤ 2 , 0 < λ ≤ 1 , D0 + 是标准的 Riemann-liouville 分数阶导数。
f : [0,1] × [0, ∞) → [0, ∞) 是连续函数。
对于 ∀
ε
2
> 0 ,由函数 f 在 [0,1] × [0, c] 上一致连续,( c > 0 ) ∃ 常数 δ > 0 ,使得当
u1 , u 2 ∈ [0, c] , u1 − u 2 < δ 时,恒有
f (t , u1 ) − f (t , u 2 ) <
ε
2
成立
由于 {u n } 在 X 中收敛于 u 0 ,故存在自然数 N ,使得当 n > N 时,恒有
un − u0
于是
X

成立
Tλ (u n ) − Tλ (u 0 ) 1 t t δ −1 1 δ −1 =λ (t − s ) ( f ( s, u n ) − f ( s, u 0 ))ds + (1 − s ) δ −1 ( f ( s, u n ) − f ( s, u 0 ))ds ∫ ∫ 0 0 Γ(δ ) Γ(δ )
1. 引言
近年来, 分数阶微分方程在许多研究领域发挥出越来越重要的作用, 例如: 物理, 化学, 机械,经济等等。有许多著作是关于分世界微分和积分方程解的研究,例如文[5-7]。他们大 部分是对特殊函数的非线性分数次微分和积分方程解的存在性的研究。 近来也有一些关于非 线性分数次微分在边值条件下解的存在性的研究,例如文[1,3,4],其中文[1]运用格林函数和 锥上不动点定理讨论了方程:

分数阶积分微分方程解的存在性

分数阶积分微分方程解的存在性

第38卷第1期2024年1月兰州文理学院学报(自然科学版)J o u r n a l o fL a n z h o uU n i v e r s i t y ofA r t s a n dS c i e n c e (N a t u r a l S c i e n c e s )V o l .38N o .1J a n .2024收稿日期:2023G08G10基金项目:安徽中医药大学教学研究重点项目(2021z l g c 041,2021x j j y Gz d 020);安徽省省级教学研究项目(2021j yx m 0813)作者简介:丁敏敏(1987G),女,安徽无为人,讲师,硕士,研究方向为泛函微分方程.E Gm a i l :d i n gmm@a h t c m.e d u .c n .㊀㊀文章编号:2095G6991(2024)01G0035G04分数阶积分微分方程解的存在性丁敏敏(安徽中医药大学医药信息工程学院,安徽合肥230012)摘要:针对一类分数阶积分微分方程,利用不动点定理和分数阶G r o n w a l l 不等式,研究了这类方程解的存在性.文中证明了若所给假设(H )成立,则该类分数阶积分微分方程在J 上至少有一个解.关键词:分数阶积分微分方程;分数阶G r o n w a l l 不等式;不动点定理;解的存在性中图分类号:O 175.6㊀㊀㊀文献标志码:AE x i s t e n c e o f S o l u t i o n s f o rF r a c t i o n a l I n t e g r o Gd i f f e r e n t i a l E qu a t i o n s D I N G M i n Gm i n(S c h o o l o fM e d i c a l I n f o r m a t i o nE n g i n e e r i n g ,A n h u iU n i v e r s i t y ofC h i n e s eM e d i c i n e ,H e f e i 230012,C h i n a )A b s t r a c t :I n t h i s p a p e r ,t h e e x i s t e n c e o f s o l u t i o n s f o r a c l a s s o f f r a c t i o n a l i n t e gr o Gd i f f e r e n t i a l e Gq u a t i o n s i ss t u d i e db y u s i n g t h ef i x e d Gp o i n t t h e o r e m a n df r a c t i o n a lG r o n w a l l i n e q u a l i t y.I n t h i s p a p e r ,i t i s p r o v e d t h a t i f t h e h y p o t h e s i s (H )i s v a l i d ,t h e f r a c t i o n a l Go r d e r i n t e g r a l d i f f e r Ge n t i a l e q u a t i o nh a s a t l e a s t o n e s o l u t i o no n i t .K e y wo r d s :f r a c t i o n a l i n t e g r o Gd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ;f r a c t i o n a l i n e q u a l i t y o f G r o n w a l lt y p e ;f i x e d Gp o i n t t h e o r e m ;e x i s t e n c e o f s o l u t i o n0㊀引言近年来,分数阶微分积分方程在物理学等众多领域的应用中取得了重大进展.在力学控制理论和工程方面,分数阶积分微分方程获得了广泛的关注[1G7].利用上下解方法及单调迭代技巧,J a n k o w s Gk i [8]研究了以下中立型R i e m a n n GL i o u v i l l e 分数阶微分方程D αx (t )=f (t ,D αx (t ),D αx (θt ()),㊀㊀㊀㊀x (t )),0ɤαɤ1,㊀㊀㊀㊀t ɪJ :=[0,T ](0<T <¥);t 1-αx (t )t =0=0,ìîíïïïïï其中f ɪC (J ˑR 5,R ),θɪC (J ,J ),θ(t )ɤt ,D α是标准的R i e m a n n GL i o u v i l l e 分数阶导数,αɪ(0,1).通过应用迭代技术,W a n g 等[9]得到非线性中立型R i e m a n n GL i o u v i l l e 分数阶积分微分方程唯一解的存在性结论.D αx (t )=f (t ,D αx (t ),D αx (θt ()),㊀㊀㊀D βx (t ),I γx (t ),x (t )),㊀㊀㊀0<βɤαɤ1,γȡ0,t ɪJ ;t 1-αx (t )t =0=0,ìîíïïïïï其中f ɪC (J ˑR 5,R ),θɪC (J ,J ),θ(t )ɤt ,D α,D β是R i e m a n n GL i o u v i l l e 分数阶导数,Iγ是R i e m a n n GL i o u v i l l e 分数积分.更多分数阶中立型积分微分方程的相关结果,详见文献[10].本文利用分数阶型G r o n w a l l 不等式和不动点定理,研究了下列分数阶积分微分方程D αx (t )=f (t ,D αx (t ),D βx (t )),㊀㊀㊀㊀0<βɤαɤ1,t ɪJ ;t 1-αx (t )t =0=0ìîíïïïï(1)解的存在性.1㊀预备知识记号C (I ,R +),I =[a ,b ],表示从I 到R +=[0,+¥)上所有连续函数组成的B a n a c h 空间,其范数为 u :=s u p{u (t ):t ɪI }.另外用C γ(I )表示定义在(a ,b ]上的并且满足条件(t -a )γf (t )ɪC (I )的函数f 组成的B a n a c h 空间,对应范数为 u γ:=s u p{(t -a )γu (t ):t ɪI }.定义1[1G2]㊀f :[0,¥)ңR 是连续函数,f 的δ阶R i e m a n n GL i o u v i l l e 分数阶导数定义为D δf (t )=1Γ(n -δ)d nd tnʏt 0(t -s )n -δ-1f (s )d s =d nd tn (I n -δ0+)f (t ),n =[δ]+1,这里假设等式右侧在(0,+¥)上是逐点连续的.定义2[1G2]㊀f :[0,¥)ңR 是连续函数,f 的δ阶R i e m a n n GL i o u v i l l e 分数阶积分定义为I δf (t )=1Γ(δ)ʏt0(t -s )δ-1f (s )d s ,δ>0,这里假设等式右侧积分存在.引理1[2]㊀设R (α)>0,0ɤR (γ)ɤ1.如果R (γ)ɤR (α),则从C γ(a ,b )到C [a ,b ]的分数积分算子I αα+是有界的,即 I αα+f ɤl f γ,这里l =(b -a )R (α-γ)Γ(R (α))Γ(1-R (γ))Γ(α)Γ(1+R (α-γ)).引理2㊀对于给定函数u ɪC (J ,R ),方程D αx (t )=u (t ),㊀㊀t ɪJ :=[0,T ](0<T <¥);t 1-αx (t )t =0=0ìîíïïïï(2)有唯一解:x (t )=I αy (t )=1Γ(δ)ʏt 0(t -s )δ-1u (s )d s ,0<αɤ1.引理3㊀假设0<βɤαɤ1,则方程(2)的唯一解有如下性质:D βx (t )=I α-βu (t ).(3)令D αx (t )=u (t ),t ɪJ .根据引理1和引理2,问题(1)可以转换成如下形式:u (t )=f (t ,u (t ),I α-βu (t ),I αu (t )),(4)这里,I α-β和I α是标准的R i e m a n n GL i o u v i l l e 分数积分.定义3㊀假设对于任意t ɪJ ,有u (t )=f (t ,u (t ),I α-βu (t ),I αu (t )),(5)则称函数x :J ңR 为方程(1)的温和解.引理4[11]㊀设u 是定义在I =[a ,b ]上的非负连续函数,且设p (t ):I ң(0,¥)是一个非递减连续函数.假设q (t ):I ң[0,¥)是一个非递减连续函数.如果u 满足不等式u (t )ɤp (t )+q (t )ðni =1(I αia +)(t ),t ɪI ,(6)则对于k ɪN ,(k +1)m i n α1,α2, ,αn {}>1,有u (t )ɤP k (t )e x pʏt 0H k +1(t ,s )d s (),t ɪI ,(7)这里P k (t ):=p (t )1+ðkj =1q j (t )()ði 1+i 2+ +i n =j ,0ɤi 1, ,i n ɤj (j i 1, ,i n )(t -α)i 1α1+i 2α2+ +i n αn Γ(1+i 1α1+i 2α2+ +i n αn ),H k +1(t ,s ):=q k +1(t ) ðj 1+j 2+ +j n=k +10ɤj 1, ,j n ɤk +1(k +1j 1, ,j n )(t -s )j 1α1+j 2α2+ +j n αn Γ(1+j 1α1+j 2α2+ +j n αn ).定理1[12]㊀设X 是正规线性空间,K 是X 的凸子集,O 是K 的开子集,θɪO (θ是X 的零元素).假设T :O ңK 是全连续算子,其中O 是O 的闭包,那么(1)T 在O 中有一个不动点.(2)存在u ɪ∂O 使得对于u =λT u ,λɪ(0,1),其中∂O 是K 中O 的边界.2㊀存在性结果首先,做如下假设:(H )f ɪ(J ˑR 3,R ),存在常数c 1>0,c 2>0及函数c (t )ɪC (J ,R+),则f (t ,x ,y ,z )ɤc (t )+c 0(x +y +z ),t ɪJ ,x ,y ,z ɪR ,f (t ,x 1,y 1,z 1)-f (t ,x 2,y 2,z 2)ɤc 1(x 1-x 2+y 1-y 2+z 1-z 2),t ɪJ ,x i ,yi ,z i ɪR ,i =1,2.下面用不动点定理来证明(1)的解的存在性结果.定理2㊀若假设(H )成立.则(1)在J 上至少有一个解.63㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀兰州文理学院学报(自然科学版)㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀第38卷证明㊀定义算子F :C (J ,R )ңC (J ,R )为以下形式:(F u )(t )=f (t ,u (t ),I α-βu (t ),I αu (t )),t ɪJ .(8)接着证明F 是连续且全连续的.步骤1㊀F 是连续的.取数列u n ,令u n ңu ɪC (J ,R ).根据假设条件(H ),有 (F u n )(t )-(F u )(t ) = f (t ,u n (t ),I α-βu n (t ),I αu n (t ))-f (t ,u (t ),I α-βu (t ),I αu (t )) ɤc 1(u n (t )-u (t ) + I α-βu n (t )-I α-βu (t ) + I αu n (t )-I αu (t ) )ң0,(9)即F 在J 上是连续的.步骤2㊀F 将C (J ,R )中的有界集映射成有界集.即对于任意l >0,存在一个常数L >0,使得对任何u ɪB l =u ɪC (J ,R ):m a x u , u γ{}ɤl {},有 (F u ) ɤL .根据假设条件(H )和引理1知,存在常数L >0,使得(F u )(t )ɤc (t )+c 0(u (t )+I α-βu (t )+I αu (t ))ɤc M +c 0(u + I α-βu + I αu )ɤc M +c 0( u +T α-β-γΓ(R (α-β))Γ(1-R (γ))Γ(α-β)Γ(1+R (α-β-γ)) u γ+T α-γΓ(R (α))Γ(1-R (γ))Γ(α)Γ(1+R (α-γ)) u γ)ɤc M +c 0(1+T α-β-γΓ(R (α-β))Γ(1-R (γ))Γ(α-β)Γ(1+R (α-β-γ))+T α-γΓ(R (α))Γ(1-R (γ))Γ(α)Γ(1+R (α-γ)))l :=L ,t ɪJ ,(10)这里,c M=s u p t ɪJc (t ){},即 (F u ) ɤL ,t ɪJ ,(11)这意味着算子F 是一致有界的.步骤3㊀F 将C (J ,R )中的有界集映射成等连续集.对于任意u ɪB l ,可证:如果t 1,t 2ɪ[0,T ],且0<t ɡ2-t ɡ1<δ,则有 (F u )(t ɡ2)-(F u )(t ɡ1) <ε.若t ɡ1,t ɡ2ɪ[0,T ],且t ɡ1ңt ɡ2,有u (t ɡ2)-u (t ɡ1) ң0, I α-βu (t ɡ2)-I α-βu (t ɡ1) =1Γ(α-β)ʏt ɡ20(t ɡ2-s )α-β-1u (s )d s -ʏt ɡ10(t ɡ1-s )α-β-1u (s )d s ɤ1Γ(α-β)ʏt ɡ10[(t ɡ2-s )α-β-1-(t ɡ1-s )α-β-1]u (s )d s +1Γ(α-β)ʏt ɡ2t ɡ1(t ɡ1-s )α-β-1u (s )d s ң0, I αu (t ɡ2)-I αu (t ɡ1) =1Γ(α)ʏt ɡ20(t ɡ2-s )α-1u (s )d s -(12)ʏt ɡ10(t ɡ1-s )α-1u (s )d s ɤ1Γ(α)ʏt ɡ10[(t ɡ2-s )α-1-(t ɡ1-s )α-1]u (s )d s +1Γ(α)ʏt ɡ2t ɡ1(t ɡ1-s )α-1u (s )d s ң0,(F u )(t ɡ2)-(F u )(t ɡ1) = f (t ɡ2,u (t ɡ2),I α-βu (t ɡ2),I αu n (t ))-f (t ɡ1,u (t ɡ1),I α-βu (t ɡ1),I αu (t ɡ1)) ң0.根据步骤1,2,3的结果,可以得出以下结论:F :C (J ,R )ңC (J ,R )是连续和全连续的.步骤4㊀方程u =λF u ,0<λ<1在∂B l 上无解,其中B l =u ɪC (J ,R ):m a x u , u γ{}ɤl {}是有界的.令u ɪ∂B l ,则存在0<λ<1,使得u =λF u ,因此有u (t )=λf (t ,u (t ),I α-βu (t ),I αu (t )),t ɪJ ,λɪ(0,1),(13)根据假设(H )和引理4,类似步骤2的证明过程,可证u (t )<f (t ,u (t ),I α-βu (t ),I αu (t ))ɤc (t )+c 0(u (t )+I α-βu (t )+I αu (t ))ɤ73第1期丁敏敏:分数阶积分微分方程解的存在性c M+c0l+c0(Iα-βu(t)+Iαu(t)),tɪJ,(14)且u <L=m a x{P k(t)e x p(ʏt0H k+1(t,s)d s)},tɪJ,(15)其中,P k(t),H k+1(t,s)如引理4定义.因此u∉∂B l,所以∂B l上的算子方程u=λF u无解,0<λ<1.根据定理1,可得出算子F有一个不动点,这就是问题(1)的解.3㊀结语综上所述,本文利用不动点定理和分数阶G r o n w a l l不等式,研究了一类分数阶积分微分方程解的存在性.文中证明了若所给假设(H)成立,则该类分数阶积分微分方程在J上至少有一个解.至此,分数阶积分微分方程(1)的解的存在性得以证明.参考文献:[1]P O D L U B N YI.F r a c t i o n a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s[M].S a nD i e g o:A c a d e m i cP r e s s,1999.[2]K I L B A SA A,S R I V A S 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g,1986.[责任编辑:赵慧霞]83㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀兰州文理学院学报(自然科学版)㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀第38卷。

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一类分数阶微分方程解的存在性(数学与统计学院 09级数学与应用数学1班) 指导教师:陈攀峰引言就历史背景而言,分数阶的微分方程与整数阶的微分方程在发展时间上大致相同.分数阶微分方程追溯到16世纪末,那时整数阶微积分还处于发展阶段,数学家们在书信来往时,彼此探讨过分数阶微分方程的相关问题.但由于当时理论基础的限制问题,有关的问题并未有人给出真正的解答.在之后的两个世纪中,经过许多数学家们的努力,终于做出了几种主要的分数阶微分方程的定义.但是在理论形成的初期,由于还没有得到物理、力学等方面理论的支持,所以发展得非常缓慢.这种窘况一直持续到20世纪80年代初,有些数学家发现大自然中和诸多的科学技术中存在着许许多多的分数维的事实.由于分形几何和分形动力的研究要以此为基础,因此分数阶微分方程理论和应用等方面的研究才得以有迅速发展的情况.近几十年来,分数阶微分方程更多的被用来描述光学和热学方面,控制技术和机器人及其他应用领域中的问题,特别是从实际问题中抽象出来的一类分数阶微分方程解的存在性更是成为很多国内外数学工作者的研究的热点方面.本文对一类分数阶微分方程的初、边值问题讨论解的存在性的方法进行分类、整理、比较,分析归纳使用不同方法证明方程解的存在性,并给出在对应的方法下一类分数阶微分方程边值问题至少存在一个解的几个充分条件.利用分数阶导数所得到的微分方程不但十分简洁,而且利用它所得到的结果更接近实际情况,对解决一些实际模型中出现的问题提供了很大的帮助,在研究实际问题中起到的作用是非常巨大的.1预备知识定义1.1(Schauder 不动点定理)[1]设U 是Banach 空间X 的有界的闭子集,若U U T →:为连续映射,则T 中存在不动点,也就是说满足x Tx =的点是存在的.定义1.2(Lipschitz 条件)设,X d <>为距离空间,T 是从X 到X 的映射,若存在一个常数0>q ,使得对任意的,x y X ∈,(,)(,)d Tx Ty qd x y ≤那么就称T 是满足Lipschitz 条件,q 是T 的Lipschitz 常数.特别的,若1q <,那么T 叫做压缩映射.定义1.3(Banach 压缩映像原理)设><d X ,为距离空间,:T X X →为压缩映射,那么T 在X 中恰有一个不动点.设这个不动点为x ,那么对于任何的初始点X x ∈0,进行逐次迭代后,1,1,2n n x Tx n +==⋅⋅⋅⋅⋅⋅收敛于x ,且关于收敛速度有下面的估计式:100(,)(1)(,)n n d x x q q d Tx x -≤-其中q 是T 的Lipschitz 常数. 定义1.4(Ascoli Arzela -引理)[2]集合],[b a C A ⊂列紧的充分必要条件是A 为一致有界的等度连续集. 定义1.5[6] 函数R f →+∞),0(:的0>a 阶的Riemann-Liouville 积分是指100()()()()tt s I f t f s ds ααα+--=Γ⎰,其中)(⋅Γ是gamna 函数.定义1.6 函数∞→+∞),0(:f 的0>a 阶的Riemann-Liouville 微分是指01011()()()()()t n n d D f t f s ds n dt t s ααα+-+=Γ--⎰,其中)(⋅Γ是gamna 函数,1][+=a n ,(其中][a 表示小于a 的最大的整数).定义1.7 如果0>a , )1,0()1,0(L C u ⋂∈ 则分数阶微分方程()0a D u t =,存在唯一解为1212()N N u t c t c t c t ααα---=++⋅⋅⋅+(其中N 为大于或等于a 的最小整数).那么可知如果)1,0()1,0(L C u ⋂∈,0>a , ()(0,1)(0,1)a D u t C L ∈⋂,则()()120+0+12I ,,1,2,N N i D u t u t c tc t c t c R i N ααααα---=+++⋅⋅⋅+∈=⋅⋅⋅⋅⋅⋅, 其中N 为大于或等于a 的最小整数.应用定义1.6得出下面的引理 若)1,0(C g ∈,且21≤<a ,分数阶微分方程'()(),(0)(1)0,aD u t g t u u ⎧=⎪⎨==⎪⎩(01t <<) 的解可表示成1()(,)()u t G t s u s ds =⎰,其中),(s t G 表示上述分数阶边值问题的Green 函数11212()(1)01,()(1)(,)(1)0 1.(1)t s t s s t G t s t s t s αααααααα-----⎧---≤≤≤⎪ΓΓ-⎪=⎨-⎪-≤≤≤⎪Γ-⎩,, 证明 由定义1.7及定义1.4可知121120()()()()tNN u t c tc tc tt s u s ds ααααα----=++⋅⋅⋅++Γ-⎰因为N 是大于或等于a 的最小整数,所以2=N . 那么10()()a u t c t I u t +=+, '111010()()()a a u t c D I u t c I u t ++-=+=+. 由'(0)0,(1)0u u ==,所以1221010,(1)()d (1)a c c s u s s a -==--Γ-⎰, 故11121001()(1)()d (1)()d (1)()a a a t u t s u s s s u s s a a ---=--+-Γ-Γ⎰⎰ 111221001(1)()d (1)()d ()()d (1)(1)()a a t t a a a t t t s u s s s u s s t s u s s a a a -----=----+-Γ-Γ-Γ⎰⎰⎰1121120()(1)[]()d (1)()d ()(1)(1)a a a a ta tt s t s t u s s s u s s a a a -------=---ΓΓ-Γ-⎰⎰ 1(,)()d G t s u s s =⎰.推广[10] 若对边值问题(2)21()()0,01,(1,),(0)'(0)''(0)0,(1)().a n m i ii D x t u s t a n n x x x x x x ξη--=⎧+=≤≤⎪∈-⎪⎪⎨=====⎪⎪=⎪⎩∑L L1220...1,m i R ηηηξ-<<<<<∈.存在唯一解10()(,)()d x t G t s u s s =⎰,其中12(,)(,)(,),G t s G t s G t s =+1111[((1))()],01,()(,)1[((1))],01,()a a t s s t a G t s t s t s a --⎧--≤≤≤⎪Γ⎪=⎨⎪-≤≤≤⎪Γ⎩ 1121(,)[((1))][(())](1)()(1)()ia a i i s A G t s t s t s A a A a ηξη--≤=----Γ-Γ∑,(其中211m a i ii A ξη--==∑且1≠A ). 注:为了使符号简化,本文把非整数阶a 阶导数0()a t D y t 简写成()a D y t .2 一类分数阶微分方程解的存在性在证明常微分方程解的存在唯一性定理中,我们将常微分方程转化为等价积分形式,再构造皮卡迭代序列证明方程解的存在唯一性定理.由此联想到应用类似方法证明一类分数阶微分方程解的存在性.2.1 化微分方程为等价积分方程证明一般形式的分数阶微分方程解的存在唯一性定理考虑如下形式的微分方程:()(,)a D y t f t y = (1)0[()],1,2,3k t k D y t b k n σ===⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (2)其中,(,)f t y 的定义域为平面(,)t y 上的一个子区域G ,且存在G 上的子区域(,)R h K 满足:11110,()()i ni i i t t h ty t b K σσσσ--=<<-≤Γ∑ (3)又知(,)f t y 为G 上的连续实值函数,且在G 上关于y 满足Lipschitz 条件,即1212(,)(,)f t y f t y A y y -≤- (4)从而(,)f t y M ≤<∞,对任意G y t ∈),(且11(1)n n Mh K σσσ-+≥Γ+,那么,方程)2()1(-在区域(,)R h K 有唯一的连续解.证明 第一步 化微分方程为等价的积分方程对方程(1)按11,nn DD D σσσ-⋅⋅⋅⋅⋅⋅进行逐次分部积分可得:11011()()(,(,()))()()i n nt i i i n b y t t t f f y d σστττττσσ--==+-ΓΓ∑⎰ . (5) 第二步 证明上述等价积分方程解的存在性; 构造函数序列012(),(),()y t y t y t ⋅⋅⋅⋅⋅⋅,()(,)m y t R h K ∈, (6)111011()()(,())d ()()n i nt i m m i i i b y t t t f y σσττττσσ---==+-ΓΓ∑⎰. (7) 首先,我们可以证明对任意的0t h ≤≤及任意的m 有()(,)m y t R h K ∈.11111101()()(,())d ()()i n ntm i m i i n t t ty t b t f y σσσσσττττσσ----=-=-ΓΓ∑⎰ 1111(1)(1)n n n n Mt Mh K σσσσσσ-+-+≤≤≤Γ+Γ+, (8)进一步,根据数学归纳法,对任意的m 有下式成立:11|()()|(1)nm m m m n MA t y t y t m σω---≤Γ+. (9) 在(9)式中令1m =可得:10|()()|(1)nn Mt y t y t σσ-≤Γ+. (10)假设当m k =时,(9)式成立,也即下式成立:11|()()|(1)nk k k k n MA t y t y t k σσ-+-≤Γ+. (11) 那么,当1m k =+时有:110|()()|()|()()|d ()nt k k k k n A y t y t t y y σττττσ+--≤--Γ⎰101()d (1)()n nk t k n n MA t k σστττσσ-≤-Γ+Γ⎰ (1)n n kk n MA D t k σσσ-≤Γ+ (1)(1)(1)n n k kn n n n k t MA k k σσσσσσ+Γ+≤Γ+Γ++ (1)(1(1))nk k n MA t k σσ+≤Γ++, (12) 从而由数学归纳法可知,对任意的m ,(9)式成立.进而,由⎭⎬⎫⎩⎨⎧+Γ-)1(1n m m m t MA n σσ的收敛性可知,函数序列{()}m y t 收敛.可令()lim ()m m y t y t →∞=,易证明()y t 是等价积分方程(5)的解,也就是原微分方程(1)的解.第三步 证明上述等价积分方程解的唯一性:假设)(t Y 也是等价积分方程(5)的解,那么令()()()z t y t Y t =-,则有:101()()(,())()n t n z t t f z d σττττσ-=-Γ⎰, (13) 因为()z t 是连续的,则存在一常数B ,使得对任意的0,t h ≤≤有()B t z ≤. 利用(13)式有:(),(0)(1)nn ABt z t t h σσ≤≤≤Γ+ (14)把该过程重复j 次得:(),1,2,(1)nj j n A Bt z t j n σσ≤=⋅⋅⋅⋅⋅⋅Γ+ (15)又0)1(lim →+Γ∞→nj j j nBt A σσ 所以()0,(0)z t t h ≡≤≤,也即()(),(0)y t Y t t h ≡≤≤.上面过程将微分转化积分法证明分数阶微分方程解的存在性和唯一性,下面将应用广义的Lipschitz 条件和Banach 压缩映射原理及不动点定理研究解的存在性. 2.2 应用不动点定理与压缩映像原理如下考虑非线性分数阶微分方程边值问题0()(,())(0)'(1)0D u t f t u t u u α+⎧=⎪⎨==⎪⎩ (1) 解的存在性,满足条件21,10≤<<<a t ,R R f →⨯]1,0[:,α+0D 是标准的Riemann-Liou ville 导数.如果假设f 是R R I →⨯上的连续函数,且存在非负函数)(t a 与)(t h ,满足01 )()(|),(|t h t a x t f +≤,]1,0[)(L t a ∈,)(t h 为R 上的连续函数; 02 ||()lim||x h x A x →∞<.那么边值问题(1)至少存在一个解.分析 存在一正实数p ,使得10(,)G t s ds p ≤⎰,可取1max (,)()t Ik G t s a s ds ∈=⎰,其中)1,0()(L s a ∈是非负函数.可令]}1,0[|)({C u t u U ∈=,||()||max |()|X t Iu t u t ∈=.定义算子X X T →:,令1()(,)(,())()Tu t G t s f s u s ds u s ==⎰则分数阶微分方程边值问题(1)有解等价于方程u Tu =有不动点.证明 可取)||)(lim (21||x x h A x ∞→-=ε,对02中10d ∃>时,便有()()||h x A x ε≤-,取 max{(),||}M h x x d =≤,21d d >,因此ε-≤A d M2,所以有||)()(x A x h ε-≤,2||d x ≤,所以对2d C >∀,得 ()()h x A C ε≤-,||x C ≤.下面证明T 为连续算子对,n u u U ∈,并且||||0,()n u u n -→→∞时,有11|()()|(,)(,())d (,)(,())d n n Tu t Tu t G t s f s u s s G t s f s u s s -=-⎰⎰10(,)((,())(,()))d n G t s f s u s f s u s s =-⎰1max |(,())(,())||(,)|d n t If t u t f t u t G t s s ∈≤-⎰max |(,())(,())|n t If t u t f t u t ∈≤-.⎰⎰-Γ-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-Γ-+Γ------1210211)1()1()1()1()()(t a a ta a a ds a s t ds a s t a s t max |(,())(,())|n t If t u t f t u t ∈≤-⎪⎪⎭⎫⎝⎛Γ++Γ⋅)()1(a t a t a a 2max |(,())(,())|(1)n t Iaf t u t f t u t a ∈≤-Γ+,所以T 为连续算子.下面再证明:T U U →,对于∀U u ∈,由条件01, 得11|()|(,)(,())d ||(,)(()(()))|d Tu t G t s f s u s s G t s a t h u s s =≤+⎰⎰11120|(,)()|d |(,)(())|d ()|(,)|d G t s a s s G t s h u s s k A d G t s sε≤+≤+-⎰⎰⎰2()k A d p ε≤+-⋅因此,U U T →:.最后再证明T 为全连续的. 令max |(,())|t IM f t u t ∈=121210|()()||((,)(,))(,())|d Tu t Tu t G t s G t s f s u s s -=-⎰1210|((,)(,))|d M G t s G t s s ≤-⎰12121210[((,)(,))|d ((,)(,))|d t t t M G t s G t s s G t s G t s s ≤-+-⎰⎰2121((,)(,))|d ]t G t s G t s s +-⎰11121221210()()(1)(1)[()d ()(1)a a a a a t t s t s t s t s M s a a -----------≤+ΓΓ-⎰212111211211121221(1)(1)()(1)(1)[()d d ](1)()(1)a a a a a a a a a t t t t s t s t s t s t s M s s a a a ----------------+++Γ-ΓΓ-⎰⎰1211121211221000()()(1)(1)[d (d d ]()()(1)a a a a a a t t t s t s t s t s M s s s a a a ------------=++ΓΓΓ-⎰⎰⎰2111111221210001[(()d ()d )(1)d ]()(1)a a t a a a t t M t s s t s s s s a a ------=---+-ΓΓ-⎰⎰⎰ 112121[]()(1)(1)a a a a t t t t M a a a a ----≤+Γ-Γ-,因为1,a a t t -均是]1,0[上一致连续的函数,因此TU 为等度连续,又因为U TU ⊂,所以T 是一致有界的.所以有T 为全连续. 因此,应用Schaulder 不动点定理有,边值问题(1)至少存在一个解.2.3 解存在的几个充分条件在实际的应用中,对于解决多点边值问题的求解问题.常常用不动点的理论和压缩映像原理来处理一类分数阶微分方程m 点边值问题解的存在性的问题,将方程的求解问题转化为映射的不动点进行处理,从而可以得到该分数阶微分方程边值问题至少存在一个解的几个充分条件.下面利用不动点定理讨论非线性分数阶微分方程的边值问题(2)21()(,())0,01,(1,),(0)'(0)"(0)...(0)0,(1)(),a n m i i i D x t f t x t t a n n x x x x x x ξη--=⎧+=≤≤⎪∈-⎪⎪⎨=====⎪⎪=∑⎪⎩(1) 解的存在性,其中1222,2,0......1,m i n m R ηηηξ-≥≥<<<<∈,:[0,1]f R R ⨯→为连续的函数.定理2.3.1 设X 是Banach 空间,映射:T X X →是一个全连续映射,集合{|,01}V u X u Tu μμ=∈=<<是有界集,则映射T 中存在不动点.定理2.3.2 设X 是Banach 空间,X Ω⊂为非空闭集,:T X Ω→为全连续映射,如果||||||||,Tu u u ≤∀∈∂Ω,则映射T 在Ω中存在不动点.充分条件1 设X 是Banach 空间,X Ω⊂为非空闭集,:T Ω→Ω且Ω内满足 Lipschitz 条件,即对任意的x y D ∈、,有||||||||,01Tx Ty L x y L -≤-≤<,则映射T 在Ω中存在唯一的不动点.令 10()(,)(,())d ,[0,1]Tx t G t s f s x s s t =∈⎰,则当映射T 存在不动点,则边值问题(1)就有解.充分条件2 若存在一个正数10L >满足1|(,())|,[0,1]f t x t L t ≤∀∈,那么分数阶边值问题(1)至少存在一个解.证明 先证明映射T 为全连续映射.易知映射T 的连续性是和函数f 的连续性有关的.设]1,0[C ⊂Ω是有界的,对x ∀∈Ω得1|(,())|f t x t L ≤,又由预备知识1.6的推广,则:11110((1))()((1))|()||(,())|d |(,())|d ()()a a a tt t s t s t s Tx t f s x s s f s x s s a a -------≤+ΓΓ⎰⎰11112001()|(,())(1)|(,())|d ds (1)()(1)()i a a a a m ti i i t s f s x s t s f s x s A s A a A a ηηξ-----=--++-Γ-Γ∑⎰⎰1111111100((1))()((1))(1)[]d d ()()(1)()a a a a a tt t s t s t s t s L s s A ds a a A a ----------≤+++ΓΓ-Γ⎰⎰⎰22111121111201(1)()](1)()(1)(1)(1)(1)i m m a a a a a a a i i i i m i i i i i t A t t A t s ds L L L A a A a A a ηξηξηηξ-------===⎡⎤--++⎢⎥-⎢⎥=≤=-Γ-Γ+-Γ+⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑∑∑⎰, 故2||()||Tx t L ≤.22211'0(1)(1)(1)()(1)(1)|()()||(,())d (,())d ()()a a a a tt t s a a t s a t s Tx t f s x s s f s x s s a a -----------=++ΓΓ⎰⎰212121001(1)()(1)(1)(,())d (,())d |(1)()(1)()i a a a a m i i i a t s t s a A f s x s s f s x s s A a A a ηηξ-----=----+-Γ-Γ∑⎰⎰ 21221110(1)(1)(1)()(1)(1)[d d ()()a a a a a tt t s a a t s a t s L s s a a ------------≤++ΓΓ⎰⎰ 212121001(1)()(1)(1)d d ](1)()(1)(1)(1)i a a a a m i i i a t s t s a A s s A a A a a ηηξ-----=----+-Γ-Γ+Γ-∑⎰⎰ 221211()(1)(1)()(1)(1)(1)m a a a a i i i a t a A a t a t L A a a ξη----=⎡⎤Γ--Γ-+Γ⎢⎥⎢⎥=-Γ+Γ-⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑ 2113()(1)(1)()(1)(1)(1)m a i i i a a A a a L L A a a ξη-=⎡⎤Γ--Γ-+Γ⎢⎥⎢⎥≤=-Γ+Γ-⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑. 则对12[0,1]t t ∀∈、得21'21321|()()||()()|d ()t t Tx t Tx t Tx s s L t t -≤≤-⎰, 故T 在[0,1]上是等度连续的,由Ascoli Arzela -引理知,映射T 是全连续的.对于集合{[0,1]|,01}V x C x Tx μμ=∈=<<.下面将证明V 是有界集合.对,x V ∀∈有,01x Tx μμ=<<.[0,1],t ∀∈有10()(,)(,())d ,x t G t s f s x s s =⎰ 所以111110((1))()((1))|()||()|[d d ()()a a a tt t s t s t s x t Tx t L s s a a μ-------=≤++ΓΓ⎰⎰ 211111121100[0,1]1(1)()(1)d d ]max .(1)()(1)()(1)(1)i m a a a a a a a a i i m i i i t i t A t t t s t s A s s A a A a A a ηξηηξ--------=∈=⎡⎤--+⎢⎥--⎢⎥+≤-Γ-Γ-Γ+⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑∑⎰⎰ 11L M =.即1||()||,[0,1]x t M t ≤∀∈.所以V 为有界的集合.再由定理2.3.1可知,映射T 在[0,1]上至少存在一个不动点.所以分数阶边值问题(1)至少有一个解.充分条件3 若0(,)lim 0x f t x x→=,那么分数阶边值问题(1)至少存在一个解. 证明:由0(,)lim 0x f t x x→=得,对0>∀r ,得|(,)|||f t x x δ≤,其中0||,0x r δ<<>,并且 2111[0,1](1)max 1(1)(1)m a a a i i i t t A t t A a ξηδ---=∈⎡⎤--+∑⎢⎥⋅≤⎢⎥-Γ+⎢⎥⎣⎦. 设{}1[0,1],||||,[0,1]x C x r x C Ω=∈<∀∈,如果||||x r =,那么x ∈∂Ω.由充分条件2的证明知T 为全连续映射.2111[0,1](1)||()||max ||(,)||(1)(1)m a a a a i i i t t A t t Tx t f t x A a ξη---=∈⎡⎤--+⎢⎥⎢⎥≤⋅-Γ+⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑ 2111[0,1](1)max ||||1||||||||(1)(1)m a a a a i i i t t A t t x x x A a ξηδ---=∈⎡⎤--+⎢⎥⎢⎥≤⋅≤⋅=-Γ+⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑. 所以由定理2.3.2知,映射T 至少存在一个不动点.所以分数阶边值问题(1)至少有一个解.3 分数阶微分方程的应用在近三百年中,数学工作者们对分数阶微积分一些理论的研究主要是在数学的纯理论的范围内进行的研究,似乎只有数学家们才运用到它们.而在最近三十年中,分数阶微分方程更多的被用来描述控制和机器人、热学系统和光学、信号处理和系统识别、力学系统和流变学及一些其他应用领域中的问题,下面给出一些具体例子说明分数阶微分方程在实际中的应用:3.1 粘弹性材料的模型在力学中,弹性形变与理想弹性材料的弹力满足胡克定律,用公式表示也即()()t E t σε=,然而应变与理想状态下牛顿流体的应力则服从下面的方程()()d t t dtεσξ=. 粘弹性材料力学中既不是理想流体,同时也不是理想固体,它是处在理想流体与理想固体之间的材料,所以,粘弹性材料符合的数学模型有如下表示:()(),(01)a t D t a σξε=<<.3.2 u PI D λ控制模型在经典的PID 控制器输出方程中,无论是微分还是积分均为整数阶的,随着这些年来分数阶微积分的发展,对微分的阶数和积分的次数的要求可以是分数,更广泛的说可以为任意的实数.它的传输函数是:()(),,0.()u p I D U a G a K K a K a u E a λλ-==++> 输出函数为:()()()()u P I D u t K e t K D e t K D e t λ-=++.如果1u λ==,则为经典的PID 控制器;如果0,1==u λ为一般控制器,如果1,0==u λ为PD 控制器.分数阶条件下的控制相比整数阶条件的控制具有许多的良好性能,而且使得控制变得更加的精确,它能更加容易的消除静态误差,抵抗高频的噪音等等.分数阶微分方程的控制在应用领域包括:机器人的控制、液态动作器柔性的机械臂活动等许多运动方面的控制问题.3.3 变分原理在保守力学系统的研究中,所用到的一个非常重要的方法便是变分原理,然而应用变分原理推导出来的微分方程是整数阶的.对于非保守系统,如考虑摩擦力或者具有其他能量消耗的运动过程中,它就不成立了.如果我们把Lagrange 函数应用到分数阶导数中,变分原理便可以很直接的被应用于非保守系统.分数阶微积分的广泛应用,使得Hamilton 力学,Lagrange 力学等在同一框架下可以得到完整地描述.3.4 扩散波动方程Nigmatullin 一维扩散波动方程是:22(,)(,),au x t D u x t a R x +∂=∈∂由此可知,若1=a ,它是经典扩散方程也是抛物型方程;若2=a ,它是经典的波动方程也是双曲型方程,所以Mainardi 把上面方程称作扩散波动方程.从以上的诸多例子能够总结出,有诸多的问题若单纯的应用整数阶导数,可能使得出的微分方程不一定是合适的,也许还可能使得到的微分方程是非常复杂的方程,不利于计算且所得到的计算结果与实际情形不一定吻合.然而分数阶导数的应用,使得所得到的微分方程不但非常简洁,便于计算而且所得到的结果更加符合实际情况.因此,当人们在考虑一个难题时,会把它想象的非常的复杂,其实这并不是因为难题本身有多么的复杂,而是因为我们没有找到解决问题的合适方法.上述介绍的分数阶微分方程就是这样一种解决难题,将复杂问题简单化的重要工具.当然,在分数阶微积分的研究过程中,还存在这许多的问题值得我们去探究.其中存在的一个问题便是,整数阶导数的研究有很清晰的物理和几何意义,但分数阶微积分的研究,科学家们至今也未能发现合适的物理和几何的解释.然而毋庸置疑的是分数阶微积分在研究实际应用问题中的作用是不可或缺的.结束语分数阶微分方程在数学的实际应用研究中越来越广泛,且占有很大的比重.在物理力学及控制等科学技术领域通常应用分数阶微分方程来描述其中的问题.实际上,在处理分数阶微分方程解的存在的同时,我们自然的想到证明常微分方程解的存在唯一性定理的方法,把这种方法拓展到一般的分数阶微分方程上同样适用.另外对于非线性分数阶微分方程,可应用Banach 压缩映射原理及Schauder 不动点定理证明其解的存在性并给出在对应的方法下一类分数阶微分方程边值问题至少存在一个解的几个充分条件.对分数阶微分方程研究过程中针对方程数值解方面,现有分数阶数值算法还不成熟.对解的理论研究方面,几乎所有结果全都假定了满足李氏条件,而且证明方法也可以说只是经典微分方程理论的一个延拓.然而它在解决实际应用问题中,分数阶微分方程是对复杂系统进行数学建模的有力工具,它对复杂系统的描述具有建模简单、描述准确等诸多的优点,因而成为研究复杂力学和物理过程进行数学建模的重要工具之一.参考文献[1] 程其襄,张奠宙,魏国强等. 实变函数与泛函分析基础[M ]. 北京:高等教育出版社, 2010.[2] 张恭庆,林源渠. 泛函分析讲义[M]. 北京:北京大学出版社, 1987.[3] 王高雄,周之铭,朱思铭. 常微分方程[M]. 北京:高等教育出版社,2006.[4] 周文学. 分数阶微分方程边值问题解的存在性[J]. 应用泛函分析学报, 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Dissipativity of methods for nonliner volterra deay-integro-differential equations[J]. J Comput ApplMath,2007,206(2):898—907.[7] 杨军,马俊驰,赵硕. 分数阶微分方程多点分数阶边值问题[J]. 数学的实践与认识, 2011,41(4):1789-3522.[8] 苏新卫,刘兰冬. 分数阶微分方程解的存在性[J]. 山西大学学报,2007,32( 4):144-148.[9] 王福兴,周激流,蒲亦非. 分数微积分方程的应用研究[M]. 北京:科学出版社,2010.[10]张慧慧.一类分数阶微分方程m点边值问题解的存在性[J]. 黑龙江科技学院学报,2011,21(5):1671-0118.致谢论文工作在老师和同学的帮助下,现在已经完成了.写作过程中也遇到很多困难,但是在老师和同学的帮助下也都全部克服了.这里我要特别感谢我的论文指导老师——陈攀峰老师.她对我进行了无私的指导,不厌其烦的对论文进行修改,尤其在论文的细节修改上给了我很大的帮助和启发.另外在查询参考资料,室友和同学也都给了我很大的帮助.也要感谢参考书目、论文的作者,没有他们的文献,我根本不可能完成这项工作.同样要感谢图书馆的管理员,在我借阅参考书目和下载电子参考文献时,他们也给我提供了诸多的帮助.。

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