匀速圆周运动及万有引力定律专题-免费
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例2．宇航员站在一行星表面上的某高处，沿水平方向抛出一个小球，经过时间t，小球落到行星表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L。若抛出时的初速度增大到2倍，则抛出点与落地点之间的距离为 L。已知两落地点在同一水平面内，该行星的半径为R，万有引力常数为G，求该行星的质量。
（2）行星表面重力加速度、轨道重力加速度问题（重力近似等于万有引力）
（5）有关航天问题的分析
例6．无人飞船“神州二号”曾在离地高度为H＝3.4 105m的圆轨道上运行了47小时。求在这段时间内它绕行地球多少圈？（地球半径R=6.37 106m，重力加速度g＝9.8m/s2）
三.针对训练
1．—个物体以角速度ω做匀速圆周运动时．下列说法中正确的是()
A．轨道半径越大线速度越大B．轨道半径越大线速度越小
经过计算得出：卫星表面的重力加速度为行星表面的重力加速度的1/3600。上述结果是否正确？若正确，列式证明；若有错误，求出正确结果。
（3）人造卫星、宇宙速度
宇宙速度：（弄清第一宇宙速度与卫星发射速度的区别）
例4．将卫星发射至近地圆轨道1（如图所示），然后再次点火，将卫星送入同步轨道3。轨道1、2相切于Q点，2、3相切于P点，则当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法正确的是：
ωa:ωb:ωc:ωd=线速度之比,即 =;向心加速度之比,即:aa:ab:ac:ad=。
例2。如图所示，A、B两质点绕同一圆心沿顺时针方向做匀速圆周运动，A、B的周期分别为T1、T2，且T1<T2，在某一时刻两质点相距最近时开始计时，问何时两质点再次相距最近？
例3。如图所示，线段OA＝2AB，A、B两球质量相等．当它们绕()点在光滑的水平桌面上以相同的角速度转动时，两线段的拉力TAB与TOA之比为多少?
（1）。火车转弯
如果车轮与铁轨间无挤压力，则向心力完全由重力和支持力提供 ,v增加，外轨挤压，如果v减小，内轨挤压。
问题：飞机转弯的向心力的来源
（2）。汽车过拱桥
如果汽车在最高点，那么
此时汽车不平衡，mg≠N
如果汽车在最低点，那么
说明：F＝mv2/ r同样适用于变速圆周运动，F和v具
有瞬时意义，F随v的变化而变化。
（1）基本方法：
①把天体的运动看成匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供：
②在忽略天体自转影响时，天体表面的重力加速度： ，R为天体半径。
（2）天体质量、密度的估算
测出环绕天体作匀速圆周运动的半径r，周期为T，由 得被环绕天体的质量为 ，密度为 ，R为被环绕天体的半径。
当环绕天体在被环绕天体的表面运行时，r＝R，则 。
例4.如图所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放着用细线相连的质量相等的两个物体A和B，它们与盘间的摩擦因数相同，当圆盘转动到两个物体刚好还未发生滑动时，烧断细线，两个物体的运动情况是()
A．两物体沿切向方向滑动
B．两物体均沿半径方向滑动，离圆盘圆心越来越远
C．两物体仍随圆盘一起做圆周运动，不发生滑动
A．受重力、支持力B．受重力、支持力和指向圆心的摩擦力
C．受重力、支持力、向心力、摩擦力D．以上均不正确
4．一重球用细绳悬挂在匀速前进中的车厢天花板上，当车厢突然制动时，则()
A．绳的拉力突然变小B．绳的拉力突然变大
C．绳的拉力没有变化D．无法判断拉力有何变化
5、如图—3所示的皮带传动装置中，轮A和B同轴，A、B、C分别是三个轮边缘的质点，且RA=RC=2RB，则三质点的向心加速度之比aA：aB：aC等于()
表面重力加速度：
轨道重力加速度：
例3．一卫星绕某行星做匀速圆周运动，已知行星表面的重力加速度为g0，行星的质量M与卫星的质量m之比M：m=81，行星的半径R0与卫星的半径R之比R0：R＝3.6，行星与卫星之间的距离r与行星的半径R0之比r：R0＝60。设卫星表面的重力加速度为g，则在卫星表面有 ……
例10.如下图所示，LMPQ是光滑轨道，LM水平，长为5.0 m，MPQ是一半径为R＝1.6 m的半圆，QOM在同一竖直线上，在恒力F作用下，质量m＝1 kg的物体A由静止开始运动，当达到M时立即停止用力．欲使A刚好能通过Q点，则力F大小为多少？(g取10 m/s2)
例11.如图所示，滑块在恒定外力作用下从水平轨道上的A点由静止出发到B点时撤去外力，又沿竖直面内的光滑半圆形轨道运动，且恰好通过轨道最高点C，滑块脱离半圆形轨道后又刚好落到原出发点A，试求滑块在AB段运动过程中的加速度.
A．4：2：1B．2：1：2
C．1：2：4D．4：1：4
6．质量为m的小球用一条绳子系着在竖直平面内做圆周运动，小球到达最低点和最高点时，绳子所受的张力之差是（）
A．6mgB．5mgC．2mgD．条件不充分，不能确定。
7．A、B两小球都在水平面上做匀速圆周运动，A球的轨道半径是B球轨道半径的2倍，A的转速为30r/min，B的转速为15r/min。则两球的向心加速度之比为（）
A．小球受重力、绳的拉力和向心力作用
B．小球只受重力和绳的拉力作用
C．θ越大，小球运动的速度越大
D．θ越大，小球运动的周期越大
例9．一内壁光滑的环形细圆管，位于竖直平面内，环的半径为R（比细管的半径大得多）．在圆管中有两个直径与细管内径相同的小球（可视为质点）．A球的质量为m1，B球的质量为m2．它们沿环形圆管顺时针运动，经过最低点时的速度都为v0．设A球运动到最低点时，B球恰好运动到最高点，若要此时两球作用于圆管的合力为零，那么m1、m2、R与v0应满足的关系式是______．
D．物体B仍随圆盘一起做匀速圆周运动，物体A发生滑动，离
圆盘圆心越来越远
例5.如图所示，用细绳一端系着的质量为M=0.6kg的物体A静止在水平转盘上，细绳另一端通过转盘中心的光滑小孔O吊着质量为m=0.3kg的小球B，A的重心到O点的距离为0.2m．若A与转盘间的最大静摩擦力为f=2N，为使小球B保持静止，求转盘绕中心O旋转的角速度ω的取值范围．
向心加速度
向心力
3．向心力
事物体做匀速圆周运动的力叫向心力。向心力的方向始终指向圆心，故而得名“向心力”，因此向心力是效果力。向心力可以是一个力或一个力的分力，也可以是多个力的合力。
4．离心运动和近心运动的原因
提供的向心力F需要的向心力
＝ 圆周运动
＞ 近心运动
＜ 离心运动
＝0切线运动
5．向心力的来源举例（临界状态分析）
③第三宇宙速度：v3=16.7km/s，使物体挣脱太阳引力束缚，在地面附近的最小发射速度。
4．例题分析
（1）测天体的质量及密度（万有引力全部提供向心力）
由 得
又 得
例1．继神秘的火星之后，今年土星也成了全世界关注的焦点。经过近7年35.2亿公里在太空中风尘仆仆的穿行后，美航空航天局和欧航空航天局合作研究的“卡西尼”号土星探测器于美国东部时间6月30日（北京时间7月1日）抵达预定轨道，开始“拜访”土星及其卫星家族。这是人类首次针对土星及其31颗已知卫星最详尽的探测。若“卡西尼”号探测器进入绕土星飞行的轨道，在半径为R的土星上空离土星表面高 的圆形轨道上绕土星飞行，环绕 周飞行时间为 。试计算土星的质量和平均密度。
例7．如图，长为L的细绳一端固定，另一端连接一质量为m的小球，现将球拉至与水平方向成30°角的位置释放小球（绳刚好拉直），求小球摆至最低点时的速度大小和摆球受到的绳的拉力大小。
例8．如图所示，长为L的细绳一端固定，另一端系一质量为m的小球．给小球一个合适的初速度，小球便可在水平面内做匀速圆周运动，这样就构成了一个圆锥摆，设细绳与竖直方向的夹角为θ.下列说法中正确的是（）
A．1：1B．2：1C．4：1D．8：1
8．如图所示，为一皮带传动装置，右轮半径为r，a为它边缘上一点；左侧是一轮轴，大轮半径为4r，小轮半径为2r，b点在小轮上，到小轮中心的距离为r，c点和d点分别位于小轮和大轮的边缘上。若传动过程中皮带不打滑，则（）
（3）环绕天体的绕行速度，角速度、周期与半径的关系
①由 得
∴r越大，v越小
②由 得
∴r越大， 越小
③由 得
∴r越大，T越大
（4）三种宇宙速度
①第一宇宙速度（地面附近的环绕速度）：v1=7.9km/s，人造卫星在地面附近环绕地球作匀速圆周运动的速度。
②第二宇宙速度（地面附近的逃逸速度）：v2=11.2km/s，使物体挣脱地球束缚，在地面附近的最小发射速度。
例6.(2009年高考广东卷)如图所示，一个竖直放置的圆锥筒可绕其中心轴OO′转动，筒内壁粗糙，筒口半径和筒高分别为R和H，筒内壁A点的高度为筒高的一半．内壁上有一质量为m的小物块．求：
(1)当筒不转动时，物块静止在筒壁A点受到的摩擦力和支持力的大小；
(2)当物块在A点随筒匀速转动，且其受到的摩擦力为零时，筒转动的角速度．
6．解题步骤：
（1）明确研究对象，确定它在哪个平面内作圆周运动。
（2）对研究对象进行受力分析，确定是那些力提供了向心力。
（3）建立以向心力的方向为正方向的坐标，根据向心力公式列方程。
（4）解方程，对结果进行必要的讨论。
7．例题分析
例1。如图所示，传动轮A、B、C的半径之比为2：4：1，A、B两轮用皮带传动，皮带不打滑，B、C两轮同轴，a、b、c三点分别处于A、B、C三轮的边缘，d点在A轮半径的中点。试求：a、b、c、d四点的角速度之比，即
二．万有引力定律与航天
1．开普勒行星运动定律
第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。
第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等。
第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等。即：
比值k是一个与行星无关的常量，至于中心天体有关。
C．轨道半径越大周期越大D．轨道半径越大周期越小
2．下列说法正确的是()
A．匀速圆周运动是一种匀速运动B．匀速圆周运动是一种匀变速运动
C．匀速圆周运动是一种变加速运动
D．物体做圆周运动时，其合力垂直于速度方向，不改变线速度大小
3．如图5-16所示，小物体A与圆盘保持相对静止，跟着圆盘一起做匀速圆周运动，则A的受力情况是()
（3）。圆锥问题
质量为m的小球在顶角为 的光滑圆锥内做水平面内的匀速圆周
运动，则重力mg和支持力N的合理提供向心力
从而 ，所以小球线速度越大，小球越往上爬；小球线速度越小，
小球越往下掉。
（4）。绳模型和杆模型
这类问题的特点是：由于机械能守恒，物体做圆周运动的速率时刻在改变，物体在最高点处的速率最小，在最低点处的速率最大。物体在最低点处向心力向上，而重力向下，所以弹力必然向上且大于重力；而在最高点处，向心力向下，重力也向下，所以弹力的方向就不能确定了，要分三种情况进行讨论。
A．卫星在轨道3上的速率大于轨道1上的速率。
B．卫星在轨道3上的角速度大于在轨道1上的角速度。
C．卫星在轨道1上经过Q点时的加速度大于它在轨道2上经过Q
点时的加速度。
D．卫星在轨道2上经过P点的加速度等于它在轨道3上经过P点
时的加速度。
（4）双星问题
例5．两个星球组成双星，它பைடு நூலகம்在相互之间的万有引力作用下，绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动。现测得两星中心距离为R，其运动周期为T，求两星的总质量。
①弹力只可能向下，如绳拉球。这种情况下有
即 ，否则不能通过最高点。
②弹力只可能向上，如车过桥。在这种情况下有： ，否则车将离开桥面，做平抛运动。
③弹力既可能向上又可能向下，如管内转（或杆连球、环穿珠）。这种情况下，速度大小v可以取任意值。但可以进一步讨论：①当 时物体受到的弹力必然是向下的；当 时物体受到的弹力必然是向上的；当 时物体受到的弹力恰好为零。②当弹力大小F<mg时，向心力有两解：mg±F；当弹力大小F>mg时，向心力只有一解：F+mg；当弹力F=mg时，向心力等于零。
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匀速圆周运动及万有引力定律专题
一．匀速圆周运动
1．定义：运动轨迹为圆，且速度大小不变，速度方向时刻改变的运动叫匀速圆周运动。
注意：匀速圆周运动是一种变速运动，“匀速圆周运动”中的“匀速”是指速度的大小不变，但方向是时刻变化的。
2．匀速圆周运动的相关公式：
线速度
角速度
2．万有引力定律
（1）开普勒对行星运动规律的描述（开普勒定律）为万有引力定律的发现奠定了基础。
（2）万有引力定律公式：
，
（3）万有引力定律适用于一切物体，但用公式计算时，注意有一定的适用条件：天体的尺寸与天体间的距离相比可忽略不计，且其中的r是天体中心到天体中心的距离。
3．万有引力定律在天文学上的应用
（2）行星表面重力加速度、轨道重力加速度问题（重力近似等于万有引力）
（5）有关航天问题的分析
例6．无人飞船“神州二号”曾在离地高度为H＝3.4 105m的圆轨道上运行了47小时。求在这段时间内它绕行地球多少圈？（地球半径R=6.37 106m，重力加速度g＝9.8m/s2）
三.针对训练
1．—个物体以角速度ω做匀速圆周运动时．下列说法中正确的是()
A．轨道半径越大线速度越大B．轨道半径越大线速度越小
经过计算得出：卫星表面的重力加速度为行星表面的重力加速度的1/3600。上述结果是否正确？若正确，列式证明；若有错误，求出正确结果。
（3）人造卫星、宇宙速度
宇宙速度：（弄清第一宇宙速度与卫星发射速度的区别）
例4．将卫星发射至近地圆轨道1（如图所示），然后再次点火，将卫星送入同步轨道3。轨道1、2相切于Q点，2、3相切于P点，则当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法正确的是：
ωa:ωb:ωc:ωd=线速度之比,即 =;向心加速度之比,即:aa:ab:ac:ad=。
例2。如图所示，A、B两质点绕同一圆心沿顺时针方向做匀速圆周运动，A、B的周期分别为T1、T2，且T1<T2，在某一时刻两质点相距最近时开始计时，问何时两质点再次相距最近？
例3。如图所示，线段OA＝2AB，A、B两球质量相等．当它们绕()点在光滑的水平桌面上以相同的角速度转动时，两线段的拉力TAB与TOA之比为多少?
（1）。火车转弯
如果车轮与铁轨间无挤压力，则向心力完全由重力和支持力提供 ,v增加，外轨挤压，如果v减小，内轨挤压。
问题：飞机转弯的向心力的来源
（2）。汽车过拱桥
如果汽车在最高点，那么
此时汽车不平衡，mg≠N
如果汽车在最低点，那么
说明：F＝mv2/ r同样适用于变速圆周运动，F和v具
有瞬时意义，F随v的变化而变化。
（1）基本方法：
①把天体的运动看成匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供：
②在忽略天体自转影响时，天体表面的重力加速度： ，R为天体半径。
（2）天体质量、密度的估算
测出环绕天体作匀速圆周运动的半径r，周期为T，由 得被环绕天体的质量为 ，密度为 ，R为被环绕天体的半径。
当环绕天体在被环绕天体的表面运行时，r＝R，则 。
例4.如图所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放着用细线相连的质量相等的两个物体A和B，它们与盘间的摩擦因数相同，当圆盘转动到两个物体刚好还未发生滑动时，烧断细线，两个物体的运动情况是()
A．两物体沿切向方向滑动
B．两物体均沿半径方向滑动，离圆盘圆心越来越远
C．两物体仍随圆盘一起做圆周运动，不发生滑动
A．受重力、支持力B．受重力、支持力和指向圆心的摩擦力
C．受重力、支持力、向心力、摩擦力D．以上均不正确
4．一重球用细绳悬挂在匀速前进中的车厢天花板上，当车厢突然制动时，则()
A．绳的拉力突然变小B．绳的拉力突然变大
C．绳的拉力没有变化D．无法判断拉力有何变化
5、如图—3所示的皮带传动装置中，轮A和B同轴，A、B、C分别是三个轮边缘的质点，且RA=RC=2RB，则三质点的向心加速度之比aA：aB：aC等于()
表面重力加速度：
轨道重力加速度：
例3．一卫星绕某行星做匀速圆周运动，已知行星表面的重力加速度为g0，行星的质量M与卫星的质量m之比M：m=81，行星的半径R0与卫星的半径R之比R0：R＝3.6，行星与卫星之间的距离r与行星的半径R0之比r：R0＝60。设卫星表面的重力加速度为g，则在卫星表面有 ……
例10.如下图所示，LMPQ是光滑轨道，LM水平，长为5.0 m，MPQ是一半径为R＝1.6 m的半圆，QOM在同一竖直线上，在恒力F作用下，质量m＝1 kg的物体A由静止开始运动，当达到M时立即停止用力．欲使A刚好能通过Q点，则力F大小为多少？(g取10 m/s2)
例11.如图所示，滑块在恒定外力作用下从水平轨道上的A点由静止出发到B点时撤去外力，又沿竖直面内的光滑半圆形轨道运动，且恰好通过轨道最高点C，滑块脱离半圆形轨道后又刚好落到原出发点A，试求滑块在AB段运动过程中的加速度.
A．4：2：1B．2：1：2
C．1：2：4D．4：1：4
6．质量为m的小球用一条绳子系着在竖直平面内做圆周运动，小球到达最低点和最高点时，绳子所受的张力之差是（）
A．6mgB．5mgC．2mgD．条件不充分，不能确定。
7．A、B两小球都在水平面上做匀速圆周运动，A球的轨道半径是B球轨道半径的2倍，A的转速为30r/min，B的转速为15r/min。则两球的向心加速度之比为（）
A．小球受重力、绳的拉力和向心力作用
B．小球只受重力和绳的拉力作用
C．θ越大，小球运动的速度越大
D．θ越大，小球运动的周期越大
例9．一内壁光滑的环形细圆管，位于竖直平面内，环的半径为R（比细管的半径大得多）．在圆管中有两个直径与细管内径相同的小球（可视为质点）．A球的质量为m1，B球的质量为m2．它们沿环形圆管顺时针运动，经过最低点时的速度都为v0．设A球运动到最低点时，B球恰好运动到最高点，若要此时两球作用于圆管的合力为零，那么m1、m2、R与v0应满足的关系式是______．
D．物体B仍随圆盘一起做匀速圆周运动，物体A发生滑动，离
圆盘圆心越来越远
例5.如图所示，用细绳一端系着的质量为M=0.6kg的物体A静止在水平转盘上，细绳另一端通过转盘中心的光滑小孔O吊着质量为m=0.3kg的小球B，A的重心到O点的距离为0.2m．若A与转盘间的最大静摩擦力为f=2N，为使小球B保持静止，求转盘绕中心O旋转的角速度ω的取值范围．
向心加速度
向心力
3．向心力
事物体做匀速圆周运动的力叫向心力。向心力的方向始终指向圆心，故而得名“向心力”，因此向心力是效果力。向心力可以是一个力或一个力的分力，也可以是多个力的合力。
4．离心运动和近心运动的原因
提供的向心力F需要的向心力
＝ 圆周运动
＞ 近心运动
＜ 离心运动
＝0切线运动
5．向心力的来源举例（临界状态分析）
③第三宇宙速度：v3=16.7km/s，使物体挣脱太阳引力束缚，在地面附近的最小发射速度。
4．例题分析
（1）测天体的质量及密度（万有引力全部提供向心力）
由 得
又 得
例1．继神秘的火星之后，今年土星也成了全世界关注的焦点。经过近7年35.2亿公里在太空中风尘仆仆的穿行后，美航空航天局和欧航空航天局合作研究的“卡西尼”号土星探测器于美国东部时间6月30日（北京时间7月1日）抵达预定轨道，开始“拜访”土星及其卫星家族。这是人类首次针对土星及其31颗已知卫星最详尽的探测。若“卡西尼”号探测器进入绕土星飞行的轨道，在半径为R的土星上空离土星表面高 的圆形轨道上绕土星飞行，环绕 周飞行时间为 。试计算土星的质量和平均密度。
例7．如图，长为L的细绳一端固定，另一端连接一质量为m的小球，现将球拉至与水平方向成30°角的位置释放小球（绳刚好拉直），求小球摆至最低点时的速度大小和摆球受到的绳的拉力大小。
例8．如图所示，长为L的细绳一端固定，另一端系一质量为m的小球．给小球一个合适的初速度，小球便可在水平面内做匀速圆周运动，这样就构成了一个圆锥摆，设细绳与竖直方向的夹角为θ.下列说法中正确的是（）
A．1：1B．2：1C．4：1D．8：1
8．如图所示，为一皮带传动装置，右轮半径为r，a为它边缘上一点；左侧是一轮轴，大轮半径为4r，小轮半径为2r，b点在小轮上，到小轮中心的距离为r，c点和d点分别位于小轮和大轮的边缘上。若传动过程中皮带不打滑，则（）
（3）环绕天体的绕行速度，角速度、周期与半径的关系
①由 得
∴r越大，v越小
②由 得
∴r越大， 越小
③由 得
∴r越大，T越大
（4）三种宇宙速度
①第一宇宙速度（地面附近的环绕速度）：v1=7.9km/s，人造卫星在地面附近环绕地球作匀速圆周运动的速度。
②第二宇宙速度（地面附近的逃逸速度）：v2=11.2km/s，使物体挣脱地球束缚，在地面附近的最小发射速度。
例6.(2009年高考广东卷)如图所示，一个竖直放置的圆锥筒可绕其中心轴OO′转动，筒内壁粗糙，筒口半径和筒高分别为R和H，筒内壁A点的高度为筒高的一半．内壁上有一质量为m的小物块．求：
(1)当筒不转动时，物块静止在筒壁A点受到的摩擦力和支持力的大小；
(2)当物块在A点随筒匀速转动，且其受到的摩擦力为零时，筒转动的角速度．
6．解题步骤：
（1）明确研究对象，确定它在哪个平面内作圆周运动。
（2）对研究对象进行受力分析，确定是那些力提供了向心力。
（3）建立以向心力的方向为正方向的坐标，根据向心力公式列方程。
（4）解方程，对结果进行必要的讨论。
7．例题分析
例1。如图所示，传动轮A、B、C的半径之比为2：4：1，A、B两轮用皮带传动，皮带不打滑，B、C两轮同轴，a、b、c三点分别处于A、B、C三轮的边缘，d点在A轮半径的中点。试求：a、b、c、d四点的角速度之比，即
二．万有引力定律与航天
1．开普勒行星运动定律
第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。
第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等。
第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等。即：
比值k是一个与行星无关的常量，至于中心天体有关。
C．轨道半径越大周期越大D．轨道半径越大周期越小
2．下列说法正确的是()
A．匀速圆周运动是一种匀速运动B．匀速圆周运动是一种匀变速运动
C．匀速圆周运动是一种变加速运动
D．物体做圆周运动时，其合力垂直于速度方向，不改变线速度大小
3．如图5-16所示，小物体A与圆盘保持相对静止，跟着圆盘一起做匀速圆周运动，则A的受力情况是()
（3）。圆锥问题
质量为m的小球在顶角为 的光滑圆锥内做水平面内的匀速圆周
运动，则重力mg和支持力N的合理提供向心力
从而 ，所以小球线速度越大，小球越往上爬；小球线速度越小，
小球越往下掉。
（4）。绳模型和杆模型
这类问题的特点是：由于机械能守恒，物体做圆周运动的速率时刻在改变，物体在最高点处的速率最小，在最低点处的速率最大。物体在最低点处向心力向上，而重力向下，所以弹力必然向上且大于重力；而在最高点处，向心力向下，重力也向下，所以弹力的方向就不能确定了，要分三种情况进行讨论。
A．卫星在轨道3上的速率大于轨道1上的速率。
B．卫星在轨道3上的角速度大于在轨道1上的角速度。
C．卫星在轨道1上经过Q点时的加速度大于它在轨道2上经过Q
点时的加速度。
D．卫星在轨道2上经过P点的加速度等于它在轨道3上经过P点
时的加速度。
（4）双星问题
例5．两个星球组成双星，它பைடு நூலகம்在相互之间的万有引力作用下，绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动。现测得两星中心距离为R，其运动周期为T，求两星的总质量。
①弹力只可能向下，如绳拉球。这种情况下有
即 ，否则不能通过最高点。
②弹力只可能向上，如车过桥。在这种情况下有： ，否则车将离开桥面，做平抛运动。
③弹力既可能向上又可能向下，如管内转（或杆连球、环穿珠）。这种情况下，速度大小v可以取任意值。但可以进一步讨论：①当 时物体受到的弹力必然是向下的；当 时物体受到的弹力必然是向上的；当 时物体受到的弹力恰好为零。②当弹力大小F<mg时，向心力有两解：mg±F；当弹力大小F>mg时，向心力只有一解：F+mg；当弹力F=mg时，向心力等于零。
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匀速圆周运动及万有引力定律专题
一．匀速圆周运动
1．定义：运动轨迹为圆，且速度大小不变，速度方向时刻改变的运动叫匀速圆周运动。
注意：匀速圆周运动是一种变速运动，“匀速圆周运动”中的“匀速”是指速度的大小不变，但方向是时刻变化的。
2．匀速圆周运动的相关公式：
线速度
角速度
2．万有引力定律
（1）开普勒对行星运动规律的描述（开普勒定律）为万有引力定律的发现奠定了基础。
（2）万有引力定律公式：
，
（3）万有引力定律适用于一切物体，但用公式计算时，注意有一定的适用条件：天体的尺寸与天体间的距离相比可忽略不计，且其中的r是天体中心到天体中心的距离。
3．万有引力定律在天文学上的应用