02-正(负)定二次型的概念与判别

n
,(x)=f {.C^y)=kiy：・
充分性
i=1
设 ki> 0 (/ = 1,•••/).任给 x 丰 0,则 y =
主 0, 故
/(x)=立佑y2> 0・
i=1
必要性
p
0吒
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假设有ks < 0,则当y =es（单位坐标向量）时,
f （Ces） =ks < 0. 显然Ces 0,这与f.为正定相矛盾.
k >0（i =1,… ,n .
推论 对称矩阵A为正定的充分必要条件是：A的 特征
值全为正.
定理3对称矩阵/为正定的充分必要条件是：力的働 各阶主子式为正，即
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>0,
> 0，…,
an1
对称矩阵/为负定的充分必要条件是:
而偶数阶主子式为正，即
>0;
§7正定二次型
一、 惯性定理 二、 正（负）定二次型的概 念 三、 正（负）定二次型的判 别
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、惯性定理
一个实二次型，既可以通过正交变换化为标准形, 也可以通过拉格朗日配方法化为标准形，显然，其标 准形一般来说是不唯一的，但标准形中所含有的项数 是确定的，项数等于二次型的秩.
例如 f = x2 + 4 y 2 +16 z2 正定二次型
f = — X2 — 3 x2
负定二次型
三、正(负)定二次型的判别
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LANZHOU
UIAOTONG
定理2 UNIVERSITY "元二次型/(%)二XTAX为正定的充分必要条件是：
它的标准形的〃个系数全为正.
证明设可逆变换x = Cy使
则fc19 k2,...,kr中正数的个数和為总，…，心中正数的个
数相等.
这个定理称为惯性定理.
二、正（负）定二次型的概念
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定义1设二次型f（X）= XTAX.如果对任何x W 0,都有 / （%） > 0,则称f为正定二次型，并称对称矩阵力是正 定 的；如果对任何* A 0,都有/co < 0,则称f为负定 二次型，并称对称矩阵/是负定的.
an(r =1,2,…,n ).
ar 1
arr
这个定理称为赫尔维茨定理.
正定矩阵具有以下一些简单性质
UNIVERSITY
T
前 用 戏 乂 亭
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小结
1. 正定二次型的概念，正定二次型与正定矩阵的 区别与联系.
2. 正定二次型（正定矩阵）的判别方法：定义法、 主子式法和特征值法.
下面我们限定所用的变换为实变换，来研究二次 型的标准形所具有的性质.
定理1设二次型f 的秩为r ,且有两个可逆变换
x — Cy 及 x = Pz
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使 f = 3什k2yl +…+ k屛腿。0） 及 f =為Z什 A2Z2 T-----卜 ArZy（Xi 牛 0）,