江苏省徐州市铜山区郑集高级中学2020-2021学年高一上学期第三次学情调查数学试题(解析版)

2020-2021学年度上学期高一第三次学情调查数学试题考试时间120分钟 试卷满分150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1. 函数()()ln 1f x x =-的定义域为（ ）A. 1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. 1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 1,13⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】B 【解析】 【分析】根据函数成立的条件即可求函数的定义域．【详解】要使函数()()ln 1f x x -有意义，则31010x x -≥⎧⎨->⎩113x ⇒≤<，故函数的定义域为1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 故选：B2. 已知幂函数()f x 过点(2,16)，则(3)f =（ ） A. 27 B. 81 C. 12 D. 4【答案】B 【解析】 【分析】设幂函数()f x x α=,将点(2,16)代入可得解析式，从而可得结果.【详解】设幂函数()f x x α=，∵()f x 过点(2,16)，∴216,4αα==，4()f x x =∴4(3)381f ==， 故选:B.【点睛】本题考查幂函数定义的应用，属于简单题. 3. 函数1()2x f x a +=+（0a >且1a ≠）的图象恒过定点（）A. （0，3）B. （1，3）C. （-1，2）D. （-1，3）【答案】D 【解析】 【分析】令x +1＝0，即x ＝﹣1时，y ＝a 0+2＝3，故可得函数y ＝a x +1+2（a ＞0，且a ≠1）的图象必经过定点． 【详解】令x +1＝0，即x ＝﹣1时，y ＝a 0+2＝3∴函数y ＝a x +1+2（a ＞0，且a ≠1）的图象必经过点（﹣1，3） 故选D ．【点睛】本题考查函数过特殊点，解题的关键是掌握指数函数的性质，属于基础题． 4. 设log 3a π=，0.3b π=，0.3log c π=，则（ ） A. a b c >> B. a c b >>C. b c a >>D. b a c >>【答案】D 【解析】 【分析】根据对数函数的单调性得到1log log 3log 10ππππ=>>=和0.30.30log 1log π=>，根据指数函数的单调性可得0.301ππ>=，从而比较出大小得到结果. 【详解】由对数函数底数1π>，故对数函数log y x π=在(0,)+∞上单调递增，故有1log log 3log 10ππππ=>>=；由指数函数底数1π>，故指数函数x y π=在上单调递增，故0.301ππ>=；由对数函数底数0.31<，故对数函数0.3log y x =在(0,)+∞上单调递减，故0.30.30log 1log π=>.综上所述，10b a c >>>>.故本题正确答案为D.【点睛】本题主要考查指数函数的单调性，对数函数的单调性，考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力，属基础题.5. 设0a >，0b >，不等式410k a b a b+-≥+恒成立，则实数k 的最大值等于（ ） A. 0 B. 8C. 9D. 10【答案】C 【解析】 【分析】不等式变形为410k a b a b +-≥+，再用基本不等式求得41()()a b a b++的最小值即可． 【详解】因为0a >，0b >，所以不等式410k a b a b +-≥+恒成立，即41()()k a b a b≤++恒成立，又414()()559b a a b a b a b ++=++≥+=，当且仅当4b a a b =，即2a b =时等号成立． 所以9k ≤，即k 的最大值为9． 故选：C ．【点睛】关键点点睛：本题考查不等式恒成立问题，解题时通过分离参数转化为求函数的最值，从而得出结论．而求最值有的可以应用基本不等式，有的可以利用函数的单调性，方法较多，易于求解． 6. 已知函数()2121xf x x a ⎛⎫=⋅+⎪+⎝⎭是R 上的奇函数，则实数a =（ ） A. 12-B.12C. 1-D. 1【答案】A 【解析】 【分析】根据()()0f x f x -+=，化简即可求解. 【详解】函数()2121x f x x a ⎛⎫=⋅+⎪+⎝⎭是R 上的奇函数， 则()()0f x f x -+=，即()221102121x xa x a x -⎛⎫⎛⎫⋅++⋅+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭-， 可得1102121x xa a -+++=++，整理210a +=， 解得12a =-， 故选：A7. 已知函数21()1f x x x=-+，则使得()21()f x f x -<成立的实数x 的取值范围是（ ） A. (),1-∞ B. 1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭D. ()1,1,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】根据函数奇偶性和单调性将不等式转化为|21|||x x -<，从而可得到结论． 【详解】由21()||1f x x x =-+可得2211()||||()1()1f x x x f x x x -=--=-=+-+， 所以()f x 为偶函数， 当0x 时，21()1f x x x =-+单调递增， 由(21)()f x f x -<可得|21|||x x -<， 两边平方化为23410x x -+<解得113x <<．故选：B ．【点睛】.将奇偶性与单调性综合考查一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间单调性相同)，然后再根据单调性列不等式求解. 8. 若函数()()01xxa f x a aa ->=-≠且在R 上为减函数，则函数2()log (23)a f x x x =+-的单调递增区间( ) A. (),1-∞- B. (1,)-+∞C. (),3-∞-D. (3,)-+∞【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得01a <<，令2230t x x =+->，求得()f x 的定义域为(,3)(1,)-∞-⋃+∞，函数()log a f x t =是减函数，本题即求函数t 在(,3)(1,)-∞-⋃+∞上的减区间，再利用二次函数的性质可得结果. 【详解】由函数()()01xxf x a aa a -=->≠且在R 上为减函数，可得01a <<，令2230t x x =+->，求得()f x 的定义域为(,3)(1,)-∞-⋃+∞， 且函数()log a f x t =是减函数，所以本题即求函数t 在(,3)(1,)-∞-⋃+∞上的减区间，利用二次函数的性质可得函数t 在(,3)(1,)-∞-⋃+∞上的减区间是(,3)-∞-， 故选C【点睛】该题考查的是有关对数型函数的单调区间，在解题的过程中，注意首先根据题意确定出参数的取值范围，之后根据复合函数的单调性法则以及结合函数的定义域求得结果.二、多选题（本题共4道小题，每题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有错选的得0分）9. 下列关于幂函数y x α=的性质，描述正确的有( )A. 当1α=-时函数在其定义域上是减函数B. 当0α=时函数图象是一条直线C. 当2α=时函数是偶函数D. 当3α=时函数有一个零点0【答案】CD 【解析】 【分析】根据幂函数的性质对选项逐一分析，由此确定正确选项. 【详解】对于A 选项，1y x=，在(),0-∞和()0,∞+上递减，不能说在定义域上递减，故A 选项错误. 对于B 选项，0y x =，0x ≠，图象是：直线1y =并且除掉点()0,1，故B 选项错误. 对于C 选项，2yx ，定义域为R ，是偶函数，所以C 选项正确.对于D 选项，3y x =，只有一个零点0，所以D 选项正确. 故选：CD【点睛】本小题主要考查幂函数的图象与性质，属于基础题. 10. 下列命题中，不正确的有( )A. 若函数2x y =的定义域是{|1}x x ≤，则它的值域是{|2}y y ≤B. 若函数2log y x =的值域是{|2}y y ≤，则它的定义域是{|04}x x <≤C. 若函数1y x x =+的定义域是{|02}x x <<，则它的值域是5{|}2y y ≥ D. 若函数2y x 的值域是{|09}y y ≤≤，则它的定义域一定是{|33}x x -≤≤【答案】ACD 【解析】 【分析】对选项逐一分析函数的定义域和值域，由此判断不正确选项.【详解】对于A 选项，2x y =在定义域{|1}x x ≤上为增函数，而20x >，所以值域为{|02}y y <≤，所以A 选项不正确.对于B 选项，函数2log y x =的值域是{|2}y y ≤，则由2log 2x ≤得04x <≤，所以函数的定义域是{|04}x x <≤，所以B 选项正确.对于C 选项，当1x =时2y =，所以函数的值域不是5{|}2y y ≥，所以C 选项不正确. 对于D 选项，函数2y x 的值域是{|09}y y ≤≤，它的定义域可能是{|03}x x ≤≤，所以D 选项不正确.故选：ACD【点睛】本小题主要考查函数的定义域和值域，属于基础题.11. 已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为(,2)(4,)-∞-⋃+∞，则（ ） A. 0a >B. 不等式bx ＋c ＞0的解集为{x │x ＜－4}C. a ＋b ＋c ＞0D. 不等式cx 2－bx ＋a ＜0的解集为{x │14x <-或12x >} 【答案】ABD 【解析】 【分析】由20ax bx c ++>的解集为(,2)(4,)-∞-⋃+∞，可知0a >；2-和4是关于x 的方程20ax bx c ++=的两根，利用韦达定理可得2,8b a c a =-=-，进而可判断选项B ，C ，D 的正确性.【详解】关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为(,2)(4,)-∞-⋃+∞，0a ∴>，A 选项正确； 且2-和4是关于x 的方程20ax bx c ++=的两根，由韦达定理得2424b ac a ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，则2,8b a c a =-=-，则90a b c a ++=-<，C 选项错误； 不等式0bx c +>即为280ax a -->，解得4x <-，B 选项正确；不等式20cx bx a -+<即为2820ax ax a -++<，即28210x x -->，解得14x <-或12x >，D 选项正确. 故选：ABD.【点睛】本题考查了一元二次不等式的解集，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于基础题目. 12. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如：[]3.54-=-，[]2.12=.已知函数21()122x xf x =-+，则关于函数[]()()g x f x =的叙述中正确的是（ ）A. ()g x 是偶函数B. ()f x 是奇函数C. ()f x 在R 上是增函数D. ()g x 的值域是{}1,0,1-【答案】BC 【解析】 【分析】由()()11g g ≠-判断A ；由奇函数的定义证明B ；把()f x 的解析式变形，由2xy =的单调性结合复合函数的单调性判断C 正确；求出()f x 的范围，进一步求得()g x 的值域判断D ．【详解】()()21110122g f ⎡⎤==-=⎡⎤⎣⎦⎢⎥+⎣⎦，()()1121111122g f --⎡⎤-=-=-=-⎡⎤⎢⎥⎣⎦+⎣⎦，()()11g g ∴-≠，则()g x 不是偶函数，故A 错误；()21122x x f x =-+的定义域为R ， ()()()2222212111012121212212x x x x x xx x x x x xf x f x ----⋅+-+=+-=+-=-=+++++， ()f x ∴为奇函数，故B 正确；()21121111122122212x x x x xf x +-=-=-=-+++， 又2xy =在R 上单调递增，()11212x f x ∴=-+在R 上是增函数，故C 正确； 20x >，121x ∴+>，则10112x<<+，可得111122122x -<-<+， 即()1122f x -<<．()(){}1,0g x f x ∴=∈-⎡⎤⎣⎦，故D 错误．故选：BC ．【点睛】关键点点睛：本题是一道以数学文化为背景，判断函数性质的习题，属于中档题型，本题的关键是理解函数()()g x f x =⎡⎤⎣⎦，然后才会对函数()f x 变形，并作出判断.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.2log 382+01lg 2lg503⎛⎫++= ⎪⎝⎭________. 【答案】8 【解析】 【分析】利用指数幂运算法则和对数运算法则进行求解，即可求得答案.【详解】原式233(2)|1|1lg10041)128=-+=-+=. 故答案为8.【点睛】本题考查指数幂运算法则和对数运算法则的运用，考查运算求解能力，属于容易题.14. 定义在R 上的连续函数对任意实数x ，y ，恒有()()()f x f y f x y +=+，且当0x >时，()0f x <，又2(1)3f =-，则函数()f x 在[3,6]-上的最大值为_______.【答案】2 【解析】 【分析】令0x y ==，求出()00f =，y x =-，得到()()()00f x f x f +-==，从而可得函数为奇函数；设12x x <，则()()()()()2121210f x f x f x f x f x x -=+-=-<，函数为减函数，再利用单调性即可求解. 【详解】由题意，在()()()f x f y f x y +=+中， 令0x y ==可得()()()000f f f +=，解得()00f =， 再令y x =- ，得到()()()00f x f x f +-==， 所以函数是奇函数， 令12x x <，则210x x ->所以()()()()()212121f x f x f x f x f x x -=+-=- ，又0x >时，()0f x < 所以()210f x x -<，所以()()21f x f x <，即()f x 为R 上的减函数，函数()f x 在[3,6]-上的最大值为()()()33312f f f -=-=-=.故答案为：2【点睛】关键点睛：本题考查抽象函数的奇偶性和单调性的证明，本题证明单调性的关键是利用奇偶性的结论，得出()()()()()212121f x f x f x f x f x x -=+-=-，再由条件得出符号，考查了单调性求最值.15. 已知函数2(43)3,0()(01)log (1)1,0a x a x a x f x a a x x ⎧+-+<=>≠⎨++≥⎩且在R 上单调递减，则a 的取值范围是_________. 【答案】13[,]34【解析】 【分析】根据分段函数在R 上单调递减可得01a << ，且二次函数在,2b a ⎛⎫-∞-⎪⎝⎭ 上单调递减，所以02ba-≥，且()()2max min4330log 110a x a x a x x x ⎡⎤⎡⎤+-+<≥++≥⎣⎦⎣⎦（）（），从而可得答案． 【详解】由题分段函数在R 上单调递减可得01a << 又因为二次函数图像开口向上，所以4302a --≥，解得34a ≤ 且()()2max min4330log 110a x a x a x x x ⎡⎤⎡⎤+-+<≥++≥⎣⎦⎣⎦（）（）， 将0x =代入可得31a ≥，解得13a ≥所以a 的取值范围是13,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查分段函数的单调性，解题的关键是明确01a <<且()()2max min4330log 110a x a x a x x x ⎡⎤⎡⎤+-+<≥++≥⎣⎦⎣⎦（）（）属于一般题． 16. 若函数()(0,1)xf x a a a =>≠在[]1,2-上的最大值为4，最小值为m ，且函数()(14g x m x =-[0,)+∞上是增函数，则a =____.【答案】14【解析】 【分析】按照1a >、01a <<分类，结合指数函数的单调性求得a 、m ，验证即可得解. 【详解】当1a >时，则214,a a m -==，所以12,2a m ==，此时()g x =[0,)+∞为减函数，不合题意； 若01a <<，则124,a a m -==，所以11,416a m ==，此时()g x =故答案为：14. 【点睛】本题考查了指数函数、幂函数单调性的应用，考查了运算求解能力与分类讨论思想，属于基础题.四、解答题：本小题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知集合{}{}2|3327,|1log 2xA xB x x =≤≤=<<.（1）分别求(),R AB B A ；（2）已知集合{}|22C x a x a =<<+，设命题:p x A ∈，命题:q x C ∈.已知p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值围. 【答案】（1）{}|23A B x x =<≤，(){|3R B A x x ⋃=≤或}4x ≥；（2）{|2a a ≥或112a ⎫≤≤⎬⎭.【解析】 【分析】（1）由指数函数与对数函数性质解不等式得{}|13A x x =≤≤，{}|24B x x =<<，再根据集合运算求解即可得答案； （2）由题知CA ，进而分C =∅和C ≠∅两种情况求解即可得答案.【详解】解：（1）因为{}{}|3327|13xA x x x =≤≤=≤≤，{}{}2|1log 2|24B x x x x =<<=<<，所以{}|23AB x x =<≤，(){|3R B A x x ⋃=≤或}4x ≥（2）因为p 是q 的必要不充分条件，所以CA ，当C =∅时，22a a ≥+，即2a ≥，当C ≠∅时，则222123a a a a <+⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，即112a ≤≤.综上，实数a 的取值范围是{|2a a ≥或112a ⎫≤≤⎬⎭【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断： （1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件， q 对的集合与p 对应集合互不包含． 18. 已知幂函数()231222()33()p p f x p p xp R --=-+∈满足()()24f f <.（1）求函数的解析式；（2）若函数[]2()()()g x f x mf x =+，[]1,9x ∈，且()g x 的最小值为0，求实数m 的值.【答案】（1）()f x =（2）1m =-. 【解析】 【分析】（1）根据幂函数建立等量关系2331p p -+=，根据单调性确定取值； （2）令t =.∵[]1,9x ∈，∴[]1,3t ∈，∴2y t mt =+，[]1,3t ∈，分类讨论求解.【详解】（1）∵()f x 为幂函数，∴2331p p -+=，∴1p =或2p =.当1p =时，1()f x x -=在0,上单调递减，故()()24f f >不符合题意.当2p =时，12()f x x ==在0,上单调递增，故()()24f f <，符合题意.∴()f x =（2）()g x x =+令t =∵[]1,9x ∈，∴[]1,3t ∈，考虑函数2y t mt =+，[]1,3t ∈.①当12m-≤时，即2m ≥-时，则当1t =时，()g x 有最小值，∴10m +=，1m =-.②当132m <-<时，即62m -<<-时，则当2mt =-时，()g x 有最小值. ∴204m -=，0m =（舍）.③当32m-≥时，即6m ≤-时，则当3t =时，()g x 有最小值， ∴930m +=，3m =-（舍）. 综上所述1m =-.19. 已知函数()2()21x x bf x b R -=∈+是奇函数.（1）求b 的值；（2）判断函数()f x 在定义域上的单调性并用定义证明； （3）若对任意t R ∈，不等式()()2210f ktf kt +-<恒成立，求实数k 的取值范围.【答案】（1）1b =；（2）函数()f x 在(),-∞+∞上单调递增；证明见解析；（3）(]1,0-. 【解析】 【分析】（1）根据函数奇偶性的定义和性质建立方程关系即可求a b ，的值； （2）2()121xf x =-+，可判断()f x 在(),-∞+∞上单调递增，再利用函数单调性的定义证明； （3）根据函数奇偶性和单调性的性质,将不等式进行转化进行求解即可.【详解】（1）因为()f x 是奇函数，所以()00f =，即002021b-=+，∴1b =，经检验1b =时，21()21x xf x 是R 上奇函数； （2）212122()1212121x x x x xf x +--===-+++，则()f x 在(),-∞+∞上单调递增. 证明如下：任取12,x x R ∈且12x x <，则()()121222112121x x f x f x -=--+++()()()1221122222221212121x x x x x x -=-=++++，因为12x x <，所以12022x x <<，所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，所以函数()f x 在(),-∞+∞上单调递增.（3）又因为()f x 是R 上奇函数，所以()()2210f kt f kt +-<，等价于()2(21)f ktf kt <--，即()2(12)f kt f kt <-，因为()f x 为R 上增函数，则212kt kt <-对一切t R ∈恒成立，即2210kt kt +-<恒成立， ①0k =显然成立，②20440k k k <⎧⎨∆=+<⎩，解得10k -<<. 综上所述，k 的取值范围是(]1,0-.【点睛】方法点晴：本题属于对函数单调性应用的考察，若函数()f x 在区间D 上单调递增，且()()12f x f x >时，则有12,x x D ∈且12x x >；若函数()f x 在区间D 上单调递减，且()()12f x f x >时，则有12,x x D ∈且12x x <；据此可以解不等式，由函数值的大小，根据单调性就可以得自变量的大小关系. 20. 某工厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本为C (x )，当年产量不足80千件时，C (x )＝13x 2＋10x (万元)．当年产量不小于80千件时，C (x )＝51x ＋10000x－1 450(万元)．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完． （1）写出年利润L (x )(万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；（2）当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？【答案】（1）L (x )＝2140250,0803100001200,80x x x x x x ⎧-+-<<⎪⎪⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩；（2）100千件.【解析】 【分析】（1）根据题意，分段求得函数解析式，即可求得()L x ； （2）根据（1）中所求，结合基本不等式，求得()L x 的最大值即可.【详解】（1）因为每件商品售价为0.05万元，则x 千件商品销售额为0.05×1 000x 万元， 依题意得：当0<x <80时，L (x )＝(0.05×1 000x )－21103x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭－250＝－213x ＋40x －250.当x ≥80时，L (x )＝(0.05×1 000x )－10000511450x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭－250＝1 200－10000x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.所以L (x )＝2140250,0803100001200,80x x x x x x ⎧-+-<<⎪⎪⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩（2）当0<x <80时，L (x )＝－()21603x -＋950. 此时，当x ＝60时，L (x )取得最大值L (60)＝950万元． 当x ≥80时，L (x )＝1 200－10000x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≤1 200－＝1 200－200＝1 000. 此时x ＝10000x，即x ＝100时，L (x )取得最大值1 000万元． 由于950<1 000，所以当年产量为100千件时，该厂在这一商品生产中所获利润最大， 最大利润为1 000万元．【点睛】本题考查分段函数模型的实际应用，涉及利用基本不等式求函数最值，属综合基础题. 21. 已知2()2(2)f x x a x a =-++，a R ∈. （1）解关于x 的不等式()0f x >；（2）若方程()1f x x =+有两个正实数根1x ，2x ，求2112x x x x +的最小值. 【答案】（1）答案见解析；（2）6. 【解析】 【分析】（1）根据函数2()2(2)f x x a x a =-++的解析式，可将()0f x >化为(2)(1)0x a x -->，分类讨论可得不等式的解集．（2）由方程()1f x x =+有两个正实数根1x ，21x a ⇒>，利用韦达定理可得2222211212121212123()()21422141a x x x x x x x x a x x x x x x a a +++--+===-=+--，再结合均值不等式即可． 【详解】（1）由()0f x >得(2)(1)0x a x -->， 当2a >时，原不等式的解集为(-∞，1)(2a⋃，)+∞，当2a =时，原不等式的解集为{|1}x x ≠，当2a <时，原不等式的解集为(-∞，)(12a⋃，)+∞；（2）方程()1f x x =+有两个正实数根1x ，2x ， 等价于22(3)10x a x a -++-=有两个正实数根1x ，2x ，∴()()2121238103012102a a a x x a a x x ⎧⎪=+--≥⎪+⎪+=>⇒>⎨⎪-⎪=>⎪⎩，则2222211212121212123()()211622[(1)]21212a x x x x x x x x a a x x x x x x a +++-+===-=-++--12?62≥+= 当且仅当5a =时取等号， 故2112x x x x +的最小值为6． 【点睛】本题考查了二次函数的性质、解含参数一元二次不等式、韦达定理、均值不等式，属于综合题．22. 已知函数()2lg ,2x f x m m R ⎛⎫=+∈⎪⎝⎭． （1）当1m =-时，求函数()f x 的定义域；（2）若函数()()2lg2g x f x x =+有且仅有一个零点，求实数m 的取值范围；（3）任取[]12,,2x x t t ∈+，若不等式()()121f x f x -≤对任意[]1,2t ∈恒成立，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）{}|1x x <；（2）[){}0,1+∞-；（3）112⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，. 【解析】 【分析】（1）将1m =-代入()f x 中,根据2102x -+＞,解出不等式即可；（2）由题,函数()2222xg x lg m xlg ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭有且仅有一个零点,则可得方程()222210x x m +⋅-=有且仅有一个根,然后求出m 的范围；（3）由条件可得()()max min 1f x f x -≤对任意[]1,2t ∈恒成立,求出()f x 的最大值和最小值代入该式即可得到m 的范围【详解】（1）当1m =-时,()212x f x lg ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， 要使函数()f x 有意义,则需2102x -+＞,即22x <,从而1x < 故函数()f x 的定义域为{}|1x x <（2）若函数()()2lg2g x f x x =+有且仅有一个零点, 则22202xlg m xlg ⎛⎫++= ⎪⎝⎭有且仅有一个根,即22(2)02x x lg m ⎡⎤⎛⎫+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,即22(2)12x x m ⎛⎫+= ⎪⎝⎭, 即()222210xx m +⋅-=有且仅有一个根令20x t =>,则2210mt t +-=有且仅有一个正根, 当0m =时,210t -=,则12t =,即1x =-,成立； 当0m ≠时,若()2241440m m ∆=-⋅-=+=即1m =-时,1t =,此时0x =成立； 若()2241440m m ∆=-⋅-=+>,需10m-＜,即0m >, 综上，m 的取值范围为[){}0,1+∞-（3）若任取[]12,,2x x t t ∈+,不等式()()121f x f x -≤对任意[]1,2t ∈恒成立, 即()()max min 1f x f x -≤对任意[]1,2t ∈恒成立, 因为()22xf x lg m ⎛⎫=+⎪⎝⎭在定义域上是单调减函数, 所以2()2max tf x lg m ⎛⎫=+⎪⎝⎭,22()2min t f x lg m +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭, 即222()()122max min tt f x f x lg m lg m +⎛⎫⎛⎫-=+-+≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即2221022tt m m +⎛⎫⎛⎫+≤+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则392t m ≥-, 所以339()24max t m ≥-=-,即112m ≥-, 又()22xf x lg m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭有意义,需202x m +＞,即22xm -＞, 所以222t m +-＞,[]1,2t ∈,18m -＞ 所以m 的取值范围为112⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭， 【点睛】本题考查了函数定义域的求法,考查函数零点问题,考查不等式恒成立问题,考查了分类讨论思想和转化思想。