传热学一维稳态和非稳态导热

11.1 通过平壁的一维稳态导热
一、第一类边界条件：表面温度
为常数
单层平壁
a. 几何条件：单层平板；s；
b. 物理条件：、cp、 已知；无内热源；
c. 时间条件：稳态导热， ∂T/∂t=0；
d. 边界条件：第一类。
微分方程式可简化：
2T x2
0
直接积分得： TC1xC2
带入边界 条件：
CC12
Tw1 (Tw2
流量，并记为qL
qL
Q Tw1 Tw2 L 1 d2 ln 传热学一维稳态和非稳态导热
2 d1
单位长度导热热阻
11.2 通过圆筒壁的一维稳态导热
多层圆筒壁
不同材料构成的多层圆筒壁，其导热 热流量可按总温差和总热阻计算
热流量
Q
Tw1 Twn+1 n 1 ln di1
i1 2i L di
单位长度的热流量
2
C1xC2
式中积分常数C1和C2可由边界条件确定，它们分别为：
C2Tw2qv s2; C10
所以，平壁内温度分布为： TTw2qv s2x2
• 可见，该条件下平壁内温度是按抛物线规律分布。令 温度分布关系式中的x=0，则得平壁中心温度为：
qv 2 T T s w
2 传热学一维稳态和非稳态导热
• 设在一管道外面包上一层绝热层(如图所示)。
• 此时单位管长的总热阻γΣ为：
d 1 11 2 1 传热1 学ln 一维d d 稳1 2 态 和非2 稳态1 导x 热lnd d 2 xd 1 x2
11.2 通过圆筒壁的一维稳态导热
• 式中：α1为管内流体与管内壁之间的给热系数，W/m2℃；α2为绝
qL
1
4
Tf1Tf2 1lndi1
1
2860.5W /m
d 2 d d 1 1 i1 传热i学一维稳态i和非稳态导n 热1 2
11.2 通过圆筒壁的一维稳态导热
三、临界绝热层直径
• 工程上为了减少管道的散热损 失，常用的方法是在管道外表 面敷设绝热层，但应该注意到， 这种方法并不是任何情况下都 能减少散热损失，这取决于在 管道外面敷设绝热层后总热阻 将如何变化。
度为
i 1 i
Q传热学T一wi1维n1稳AT态swi 和ni+1非稳界T态w导面i热1温T 度w1q(s11s22......sii)
11.1 通过平壁的一维稳态导热
• 例题1：图为具有内热源并均匀分布的平壁，
壁厚为2s。假定平壁的长宽远大于壁厚，平壁
两表面温度很为恒为Tw，内热源强度为qv，平 壁材料的导热系数为常数。试求稳态导热时，
1 2
qK(Tf1Tf2)
平壁面积A
Q
1
1A
Tf1 Tf2
传i热n1学一siiA维稳态和12非A稳态导热
11.2 通过圆筒壁的一维稳态导热
一、第一类边界条件：表面温度
为常数
单层圆筒壁
• 一维、稳态、无内热源、常物性，
可得下面的方程，考虑第一类边界
条件：
d dr
r
dT dr
0
第一类边 r r1，T Tw1 界条件： r r2，T Tw2
三层平壁的导热流密度分别为：
q
1
s1
(Tw1
Tw2
)
Tw1
Tw2
q
s1
1
q
2
s2
(Tw2
Tw3 )
Tw2
Tw3
q
s2
2
q
3
s3
(Tw3
Tw4 )
Tw3
Tw4
q
s3
3
n层
q Tw1Tw4
s1 s2 s3
Tw13sTiw4
1 2 3
i1 i
平 壁
导热 流密
q
Tw1 Twn+1 n si
• 解： 对于一维稳态导热，柱坐标系的导热微分方程 简化得到，即:
1×d（rdT） qv 0
r dr dr
• 两个边界条件中：一个为r=R时，T=Tw，由于内热源均 匀分布，圆柱体表面温度均为Tw，圆柱体内温度分布对 称于中心线，另一个边界条件可表示为r=0时，dT/dr=0。 将微分方程分离变量传热后学一两维稳次态和积非稳分态导，热 结果为：
qL
Q L
Tw1 Twn+1 n 1 ln di1
i1 2πi di
第i层和i+1层之间接触面的温度
T w i 1 T w 1 q L (2 1 传热1 学ln 一d 维d 1 2 稳 态和2 非 1 稳态2 导ln 热d d 2 3 ...... 2 1 iln d d i i1 )
• 计算将求出的Tw2与原假设的Tw2相比较，若两者相差不 大(工程上一般小于4%)，则计算结束，否则重复上述
计算，直至满足要求为止。现在两者相差甚大，需重
新计算。重设Tw2=1120 ℃，则：
λ1=0.7+0.64×10-3×(1400+1200)/2=1.53 W/m·℃ λ2=0.14+0.12×10-3×(12传0热0+学1一0维0稳)态/2和=非0稳.2态1导8热W/m·℃
平壁内的温度分布和中心温度。
• 解：因平壁的长、宽远大于厚度，
故此平壁的导热可认为是一维稳
态导热，这时导热微分方程式可
简化为:
d 2T d 2x
qv
0
相应的边界条件 为：x=s时，T=Tw x=-s传时热学，一维T稳=态T和w非稳态导热
11.1 通过平壁的一维稳态导热
求解上述微分方程，得：
Tqv x2
• 解：按试算法，假定交界面温度为t2=900℃，计算每层 砖的导热系数
1 0 .7 0 .6 1 4 3 0 14 2 9 0 0 0 1 .0 4W 3℃ 6/m
2 0 .1 4 0 .1 传热 学2 一 维9 稳态和0 2 非稳1 态0 导热0 0 0 .2W 0℃ /m
由 xs,TC 1sC 2
q C 1 2 ( T T f 2 ) 2 ( C 1 s C 2 T f 2 ) 2 ( C 1 s T f 1 C 1 T f 2 )
1
(2s1)C1Tf1Tf2
C1
(
Tf2 1
Tf1 s
1
, )
1 2
C2
Tf1
Tf2 Tf1
1(11
11.1 通过平壁的一维稳态导热
q
1400100 0.46 0.23
959
1.53 0.218
Tw214009391 0..5 41 61118℃
• Tw2与第二次假设的温度值相近，故第二次求得的q和
Tw2即为正确的结果。
二、第三类边界条件周围介质为常数
• 导热微分方程一维形式
d 2T 0 dx2
热层外表面与周围空气之间的给热系数，W/m2℃；dx为绝热层
s
1
2
)
在确定出C1和C2后，可传得热学到一维壁稳内态和的非稳温态度导热分布：
11.1 通过平壁的一维稳态导热
T( 1
1
x)(
Tf2 Tf1 1 s 1
)Tf1
1 2
qddTx C1
Tf1Tf2 1s 1
1 2
综合传热系数或传热系数
K
1
1 s
1
多层平壁
q
1
Tf1 Tf2 n si
1
1 i1 i 2
W/m2℃，试求每米热风管长的热损失。
• 解：已知 d1=1 m；d2=d1+2，s1=1+0.23=1.23 m；
d3= d2+2，s2=1.23+0.46=1.69 m；d4=d3+2，
s3=1.69+0.02=1.71 m；d5=d4+2，s4=1.71+0.02=1.73 m。 Tf1=1000℃；Tf2=20℃，可求出每米管长的热损失为：
11.1 通过平壁的一维稳态导热
• 计算通过炉墙的热流密度：
qTw1Tw31400100 884.2W /m 2
s1 1s2 2
0.460.23 1.436 0.20
• 计算界面温度：
T w 2T w 1-q s1 1 1 4 0 08 8 4 .21 0 .4 .4 3 6 61 1 1 6 .8 ℃
C2Tw1lnr2lnrT2w2lnr1 r1 将系数带入第二次积分结果
TT w l2 n rT 2w 1lnrT w 1lnrl2 n rT 2w 2lnr1T w 1T w l2 n rT 2w 1lnr r1
r1
r1
r1
➢ 得到圆筒壁内温度分传热布学一，维稳温态和度非稳分态导布热 按对数曲线变化
Tw1 Tw2 s
Tw2 A s
s r
R
s A
• 热阻分析法适用于一维、稳态、无内热源的情况
多层平壁的导热
• 多层平壁：由几层不同材料组成，房屋的墙壁－白 灰内层、水泥沙浆层、红砖(青砖)主体层等组成；
• 假设各层之间接触良好，可以近似地认为接合面上 各处的温度相等；传热学一维稳态和非稳态导热
11.1 通过平壁的一维稳态导热
边界条件
TC1xC2
x=0,
q1
dT dx
1(Tf1
T)
x s,
q2
dT dx
2(T传热T学f2一)维稳态和非稳态导热
11.1 通过平壁的一维稳态导热
对T求导，得：
dT dx
C1
由 x0, TC2
q C 1 1 ( T f 1 -T )1 ( T f 1 -C 2 ) C 2 T f 1 C 1 1
Tw1)
/
s
第一类 边条件
x 0，T x s，Tt
Tw1 Tw2
边界 将结果带入微分方程，可 条件 以得到下面的单层平壁的 传热学一维稳态和非稳态导导热热方程式。
11.1 通过平壁的一维稳态导热
T
dT
dx
Tw2 Tw1
Tw2 Tw1 s
x s
Tw1
qdT dxFra bibliotekQqA
Tw1
传热学一维稳态和非稳态导 热
第十一章 一维稳态和非稳态导热
• 11.1 通过平壁的一维稳态导热 • 11.2 通过圆筒壁的一维稳态导热 • 11.3 非稳定导热的基本概念 • 11.4 薄材的非稳态导热 • 11.5 半无限大物体的一维非稳态导热 • 11.6 有限厚物体的一维非稳态导热 • 11.7 导热问题的数值解法的简介 传热学一维稳态和非稳态导热
土砖，中间依次为硅藻土砖和石棉板，最外层
为钢板。厚度分别为(mm)：s1=115；s2=230； s3=10；s4=10，导热系数分别为(W/m℃)：
λ1=1.3；λ2=0.18；传热λ学3一=维0稳态.2和2非；稳态导λ热4=52。
11.2 通过圆筒壁的一维稳态导热
• 热风管道内径d1=1m，热风平均温度为1000 ℃， 与内壁的给热系数α1=31 W/m2℃，周围空气温 度为20℃，与风管外表面间的给热系数为10.5
得出：
r dT dr
C1
传热对学一该维稳方态和程非稳积态导分热 两次
11.2 通过圆筒壁的一维稳态导热
第一次积分
第二次积分
rd dT rC1 T＝ C1lnrC2
应用边界条件
T w 1 C 1 ln r 1 C 2 ； T w 2 C 1 ln r 2 C 2
获得两个系数
C1Twl2nrT 2w1; r1
11.2 通过圆筒壁的一维稳态导热
r
dT dr
qv r2
2
C1
T4qv r2C1lnrC2
• 根据边界条件，在r=0时， dT/dr=0。可得C1=0；利用 另一个边界条件，在r=R时，T=Tw，可得
C2
Tw
qv
4
R2
圆柱体内 温度分布
TTw4qv (R2r2)
• 例题4 高炉热风管道由四层组成：最内层为粘
qLQ L11d12T 1f1 lnTd fd21 221d2
由筒单壁层，圆见筒右壁公考式虑多层圆传热学一qL 维稳态和1非1π稳d1态 导热i n12T π1f1ilnTf2 ddii12π1dn1
11.2 通过圆筒壁的一维稳态导热
• 例题3：有一半经为R，具有均匀内热源、导热 系数为常数的长圆柱体。假定圆柱体表面温度 为Tw，内热源强度为qv，圆柱体足够长，可以 认为温度仅沿径向变化，试求稳态导热时圆柱 体内温度分布。
11.2 通过圆筒壁的一维稳态导热
•温度梯度表达式： dT C1 Tw2 Tw1 1
dr r
ln r2 r
r1
•通过圆筒壁的热流量： QdTAdT2rL
dr
dr
Q 2 L Tw1 Tw2
ln r2
或
Q2LTw1Tw2 Tw1Tw2
lnr2
1 lnr2
r1
r1 2L r1
在工程计算中，常按单位长度来计算热
11.1 通过平壁的一维稳态导热
• 例题2：炉墙内层为粘土砖，外层为硅藻土砖， 它们的厚度分别为s1=460 mm；s2=230 mm，导 热系数分别为：λ1=0.7+0.64×10-3T W/m℃； λ2=0.14+0.12×10-3T W/m℃。炉墙两侧表面温度 各为T1=1400℃；T3=100℃，求稳态时通过炉墙 的导热通量和两层砖交界处的温度。
11.2 通过圆筒壁的一维稳态导热
二、第三类边界条件：周围介质温度为常数
该问题可看作在第三类边界条件下，通过 圆筒壁的一维稳态导热问题
Q 1Q 3 1(T2 f1(T w T 2 w 1)T f2 d)1 Ld 2L Q22T 1w L1lT nwd 2 d1 2
通过单位长度圆筒壁传热过程的热阻