07解析几何(强基计划)系列专题

强基计划

招生试题分类汇编——解析几何

题5（2012年北约）已知点()()2,0,0,2A B -，若点C 是圆2220x x y -+=上的动点，求ABC

∆面积的最小值。

解： AB 所在的直线方程为20x y -+=，圆心()1,0C ，半径为1r =

C 到直线AB

，∴圆C 上的点到直线AB 1，

∴

min

1132ABC

S ∆⎫

=

⋅-=-⎪⎭

评析：此题涉及到直线，圆与三角形的面积等概念，应充分挖掘圆的几何性质，使问题得到

简化，以考查学生思维的灵活性。 2.求过抛物线2221y x x =--和2523y x x =-++的交点的直线方程. 【解】联立两方程,消去2,x 得6710x y +-=.此方程即为所求.

6. （2011年北约）1C 和2C 是平面上两个不重合的固定圆,C 是平面上的一个动圆,C 与

12,C C 都相切,则C 的圆心的轨迹是何种曲线?说明理由.

【解】设圆心12,C C 的半径分别为12,r r ; (1)若12r r =.

①若两圆相离,则C 的圆心轨迹为线段12C C 的垂直平分线;

②若两圆相切,则C 的圆心轨迹为线段12C C 的垂直平分线(即两圆的内分切线)和直线12C C ,去掉切点;

③若两圆相交,则C 的圆心轨迹为线段12C C 的垂直平分线和以12,C C 为焦点,长轴长为

12r r +的椭圆,去掉交点.

(2)若12r r ≠

①若两圆外离,则C 的圆心轨迹为以12,C C 为焦点,长轴长为12||r r -的双曲线的一支(小圆圆心在开口内);

②若两圆外切,则C 的圆心轨迹为以12,C C 为焦点,长轴长为12||r r -的双曲线的一支(小圆

圆心在开口内)和直线12C C ,去掉切点;

③若两圆相交,则C 的圆心轨迹为以12,C C 为焦点,长轴长为12||r r -的双曲线的一支(小圆圆心在开口内)和以12,C C 为焦点,长轴长为12r r +的椭圆,去掉交点.

④若两圆内切,则C 的圆心轨迹为以12,C C 为焦点,长轴长为12r r +的椭圆和直线12C C ,去掉切点;

⑤若两圆内含,则C 的圆心轨迹为以12,C C 为焦点,长轴长为12r r +的椭圆. 依据椭圆、双曲线的定义即可证明,这儿不再赘述.

3．（2010年北约）AB 为21y x =-上在y 轴两侧的点，求过AB 的切线与x 轴围成面积的最小值．（25分）

【解析】 不妨设过A 点的切线交x 轴于点C ，过B 点的切线交x 轴于点D ，直线AC 与直线

BD 相交于点E ．如图．设1122(,),(,)B x y A x y ， 且有222211121,1,0y x y x x x =-=->>． 由于2y x '=-，

于是AC 的方程为2222x x y y =--；①

BD 的方程为1122x x y y =--． ②

联立,AC BD 的方程，解得12

1221(,1)2()y y E x x x x ---．

对于①，令0y =，得2

2

2(,0)2y C x -；

对于②，令0y =，得1

1

2(,0)2y D x -．

于是22

12121212

22112222y y x x CD x x x x --++=-=-． 121

(1)2

ECD S CD x x ∆=-．不妨设10x a =>，20x b -=>，则

2222111111

()(1)(22)44ECD a b S ab a b a b ab a b a b ∆++=++=+++++

1111

()(2)(2)44a b ab ab ab ab =+++⋅++≥ ③

0s >，则有

331111111

(2)(.....)223399ECD S s s s s s s s s ∆=++=++++++142431

4243

6个 9个

124

3

691616111116)]8()2393s s s ⋅⋅[⋅(⋅()=⋅

≥3218)3=⋅( ④

又由当12x a x b s ==-=时，③，④处的等号均可取到．

∴min ()ECD S ∆=

注记：不妨设311

()(2)2g s s s s

=++，事实上，其最小值也可用导函数的方法求解．

由2211()(32)2g s s s '=+-知当2103s <<时()0g s '<；当21

3

s <时()0g s '>．

则()g s 在(0,上单调减，在)+∞上单调增．于是当s =

时()g s 取得最小值． 5. （2014年华约）已知椭圆22221x y

a b +=与圆222x y b +=,过椭圆上一点M 作圆的两切线,切

点分别为,P Q ,直线PQ 与,x y 轴分别交于点,E F ,求EOF S ∆的最小值.

【解】设(cos ,sin )([0,2))M a b θθθπ∈,直线PQ 为点M 关于圆222x y b +=的切点弦,其方程

为2

(cos )(sin )a x b y b θθ+=,从而2,cos sin E F b b

x y a θθ

==

, 于是33

1||||2|sin 2|EOF

E F b b S x x a a

θ∆=⋅=≥,

当且仅当(,)M 时,上述等号成立. 3. （2013年华约）点A 在y kx =上,点B 在y kx =-上,其中0k >,2||||1OA OB k ⋅=+u u u r u u u r

,且

A B 、在y 轴同侧.

(1)求AB 中点M 的轨迹C ;

(2)曲线C 与22(0)x py p =>相切,求证:切点分别在两条定直线上,并求切线方程. 【解】(1)设1122(,),(,)A x y B x y ,(,)M x y ,

则1212121122()

,,,222

x x y y k x x y kx y kx x y ++-==-=

==

, 由2

||||1OA OB k ⋅=+得,121x x =,显然22121212()()44x x x x x x +--==,

于是得2

2

21(0)y x k k

-=>,于是AB 中点M 的轨迹C 是焦点为(,

实轴长为2的双曲线.

(2)将2

2(0)x py p =>与22

21(0)y x k k

-=>联立得222

20y pk y k -+=,

由曲线C 与抛物线相切,故242

440p k k ∆=-=,即1pk =,