第三章Poisson_过程

定义3.4 一计数过程{N(t)，t 0}称作强度函数为
{(t) 0，t 0}的非齐次Poisson过程，如果
(1) N(0)=0； (2)过程是独立增量过程；
(3)P(N(t+h)-N(t)=1) (t)h o(h)，
P(N(t+h)-N(t) 2) o(h).
注意, 非齐次Poisson过程不具备平稳增量性. 非齐次Poisson过程可以描述机器的故障次数，昆虫的 产卵数.
再由数学归纳法得
例 3.3
Pn(t)=(nt!)n e-t.
事件A的发生形成了强度为的Poisson过程
{N(t), t 0}.如果每次事件发生时被记录下
来的概率为p，并用M(t)是一个强度为p的
Piosson过程.
解答：
因为每次事件发生时，对它记录还是没记录与其 他事件的记录与否独立，而且事件发生形成了 Poisson过程，所以M(t)也具有平稳独立增量
定义 3.2
计数过程{N(t)，t 0}称为参数为( 0)的Poisson过程，
如果
(1) N(0)=0；
(2)该过程是独立增量过程；
(3)对任意的s,t 0,
P（N(t+s)-N(s)=n）
e
（t t）n
n！
,
n
0,1,
2,....
注释
(1).由定义3.2（3）知 Poisson过程具有平稳增量性.
2. Poisson过程在保险理论的应用
Poisson过程{N(t),t 0}可表示某公路交叉口、煤 矿、工厂等在(0,t]时间内发生事故的次数.同时 保险公司会接到索赔请求，假设一次事故只导致 一次索赔，那么保险公司所接受的索赔数目可用 Poisson过程表示.
Poisson过程的等价定义：
第 3 章 Poisson 过程
主要内容:
1. 背景及定义 2. 与Poisson过程相关的分布 3. Poisson过程的推广
学习要求:
1．了解Poisson过程的基本概念极其背景。 2．掌握与Poisson过程相联系的、分布。 3．了解几种推广的Poisson过程。
§3.1 Poisson 过程
m！n!
et
( pt)m
m！
n =0
((1 p)t)n
n!
et
( pt)m
m！
e (1 p)t
( pt)m
m！
e pt .
Poisson过程分解定理
作业
3.2 与Poisson过程相关的分布
Poisson过程的一条样本路径是跳跃度为1的阶梯函数：
N(t) 第三个事件到达 … … … …
第二个事件到达
{N(t)，t 0}： 在“排队模型”中刻画[0,t]内来到的顾客数； 在“风险模型”中表示[0,t]内发生的理赔次 数.
计数过程、Poisson过程
定义 3.1
随机过程{N(t)，t 0}称为计数过程，若N(t)表示 时间段[0,t]内某一事件A发生的次数，且满足 (1) N(t)取值为非负的整数; (2) 当s<t 时，N(s) N(t)且N(t) N(s)表示 (s,t]时间内事件A发生的次数.
第一个事件到达
X1
X2
X3
X4
X5
X6
t
T0
T1 T2
T3
T4
T5
T6
Tn，n=1，2，...表示第n次事件发生的时刻，规定 生TX0n的0时T.n间间Tn-隔1，.n 1, 2,...表示第n次与第n-1次事件发
3.2.1 Xn和Tn的分布
定理 3.2 如果{N(t),t 0}是Poisson过程，那么事件发生的时间 间隔 {Xn，n 1，2，...}是一列相互独立的且服从参数
0 s<t,
P(T1
s
|
N (t)
1)
s t
.
证明： 对于s t,
P(T 1
s|N(t)=1)=
P(T 1
s,N(t)=1)
P(N(t)=1)
P(A发生在s时刻之前,(s,t]内A不发生) P(N(t)=1)
P(N(s)=1) P(N(t) N(s) P(N(t)=1)
0)
sese (ts) tet
Ｐ(N(t+s)-N(s)=n)
Ｐ(N(t+s)-N(s)| )dＧ() 0
0
( t)n
n！
e
t
dＧ(
)．
3．条件Poisson过程常被用作描述意外事件(extremal events)发生的模型.意外事件的出现是Poisson过程， 但是这些意外事件发生频率是不确定的，是一个随机 变量，此即条件Poisson过程.
n 1，2，...服从参数为n和的分布.
证明关键之所在：
或(Tn之前t)相 (当N于(t)到时n)，刻即t已第经n发次生事的件事发件生数在至时少刻t 是n.
3.2.2 事件发生时刻的条件分布
考虑在N (t) n的条件下，T1，T2，...Tn的联合分布. 先看下面的定理：
定理 设{N(t)，t 0}是Poisson过程，则对
寄语：一些不可预测的意外事件的出现往往会改变世界.
定理 3.7 设{N(t),t 0}是条件Poisson过程，且
E(2 ) ,则
(1)E[N(t)] tE; (2) var[N(t)] t2 var tE.
Its proof is on blackboard !
Works：3.2，3.5，3.9，3.12.
注：复合Poisson过程未必是计数过程；但当Yi = c(常数)，i= 1,2，...，可化为Poisson过程.
例：考虑一保险公司：它接到索赔次数服从Poisson 过程{N(t)}，每次的索赔额Yi是独立同分布的，且与 其发生时刻无关，那么该公司在[0,t]内的总索赔额
N(t)
X(t)= Yi i1
t 0}的非齐次Poisson过程，如果 (1) N(0)=0； (2)过程是独立增量过程； (3)对s,t 0, N(t+s)-N(t)服从参数为m(t+s)-m(t)
ts (u)du的Poisson分布，即 t
Ｐ(N(t+s)-N(t)=ｎ)＝［m(t+sｎ)-！m(t)]ｎ exp{[m(t+s)-m(t)]}
性.下证M(t)服从pt的Poisson分布.
即
P(M(t)=m)
( pt)m
m！
e pt .
P(M(t)=m)= P(M(t)=m|N(t)=m+n) P（N(t)=m+n）
n=0
=
n =0
Cn m+n
pm (1
p)n
(t)mn et
(m n)!
et
n =0
(
pt )m
((1 p)t)n
设{N(t)，t 0}是Poisson过程，则时间相继发 生时刻T1，T2，...,Tn在已知N(t)=n下的条件 概率密度为
f(n
)=
n! tn
,
0
t 1
t 2
...
t n
.
3.3 Poisson过程的推广
3.3.1 非齐次Poisson过程
Poisson过程的强度 是一个不变的常数, 若它不再 是常数,而是与时间t有关的, 从而可将Poisson过程 推广到非齐次Poisson过程，即
例 3.7
见黑板
3.3.2 复合Poisson过程
设{Yi，i 1,2，...}是一列独立且同分布的随机变量， {N(t),t 0}是Poisson过程，且N(t),t 0}与{Yi， i 1,2，...}独立.记
N(t)
X(t)= Yi , i1
我们就称{X(t)，t 0}为复合Poisson过程.
与t有关的变量，即关于t的函数；我们现在想：如果一 个随机过程的强度是一个随机变量的话，那么该过程是 什么样的呢？这就是我们接着学习的条件Poisson过程， 有的书上也叫做混合Poisson过程.
定义：设是一正的随机变量，如果在 的条件下， 计数过程{N(t)，t 0}是参数为的Poisson过程. 我们
盈亏决定投资意向的重要指标.{X(t),t 0}就是一个
复合Poisson过程。
再例: 顾客成批到达的排队系统
定理 3.6
N(t)
设{X(t)= Yi，t 0}是复合Poisson过程，其 i1
中{N(t), t 0}的强度为，则
(1) X(t)有独立增量; (2) 若EY12 <, 有
EX(t) t EY1, var X(t) tEY12.
s. t
这定理说明，由于Poisson过程具有平稳独立增量 性，从而在已知[0,t]内事件A发生一次的条件下， 事件发生时刻T1在[0,t]上是“等可能性的”，即T1 的条件分布是[0,t]上的均匀分布.
问题：自然地，我们会问
这个性质是否可推广到 N(t)=n, n 1的情形？
定理 3.4
定理 3.4
类似Poisson过程，非齐次Poisson过程也有一个等价 定义，首先介绍一个名词：
设m(t) t (ｕ)dｕ，并称之为非齐次Poisson过程{N(t), 0
t 0}的累计强度函数(或均值函数).
非齐次Poisson过程的等价定义：
计数过程{N(t)，t 0}称作强度函数为{(t) 0，
是复合Poisson过程.
例2. 假设在股票交易市场，股票交易次数N(t)为
强度为的Poisson过程，设第k次交易与第k-1次
交易前后股票价格的变化为Yk .不妨设Y1，Y2，... 独立同分布并且与N(t)互相独立.那么
X(t)
Y N(t)
k 1 k
代表到时刻t时股票总价格变化，这是投资者计算
设{N(t)，t 0}是一个计数过程，且满足： (1) N(0)=0； (2)该过程是平稳独立增量过程；
(3) 0,当h 0时， P（N(t+h)-N(t)=1） h o(h)；
P（N(t+h)-N(t) 2） o(h).
将事件进行分解，再运用 （3）’.
化为解微分方程
两边同乘eλt
(2).E[N(t)]=t, 即Poisson过程的均值函数为t. 这 里的直观意义是单位时间内发生事件的平均次数,
被称为Poisson过程的强度或速率.
Poisson过程的应用
1. Poisson过程在排队论的应用 在随机服务系统中的排队模型中，可以用Poisson 过程模拟在一定时间段内顾客到达(或电话呼叫) 的数目.
证明见黑板 !
例 3.10 填空题
在保险模型中，设保险公司接到的索赔次数是强度为 每月2 次的Poisson过程. 每次索赔饿服从均值为10000的正态分 布，那么一年中保险公司平均的索赔额是（ ）.
See Blackboard !
3.3.3 条件Poisson过程
对 入 引 ：Poisson过程而言，其强度是一个不变的常数；而非 齐次Poisson过程的强度 (t )不再是不变的了，而是一个
称{N(t)，t 0}为条件Poisson过程.
由上述定义立得：对s，t 0，n N，
P(N(t+s)-N(s)=n|=
)=
( t)n
n！
e
t
.
注：1.条件Poisson过程是一般的Poisson过程将强
度推广到一个正的随机变量的情形.
2．设的分布是Ｇ，则有全概率公式得，在长度
为ｔ的时间区间内发生ｎ次事件的概率为
为的指数分布.
本定理证明的关键：
(X1 t) (N (t) 0); (X2 t | X1 s) (N (s t) N (s) 0 | X1 s).
注意 定理3.2的逆命题亦为真，且该逆命题也给出了 Poisson过程的另一个定价定义（即定义3.3），希 望同学们务必记住.
定理 3.3 如果{N(t),t 0}是Poisson过程，那么事件发生时刻 Tn，