2021年河南省高考数学仿真模拟试卷(文科)(三)

2021年河南省高考数学仿真模拟试卷（文科）（三）
一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）若z＝1﹣i，则|z2﹣i|＝（）
A．4B．3C．2D．1
2．（5分）已知集合A＝{x|x2+x﹣6≤0}，B＝{x|1﹣x≤2}，则A∩B＝（）A．[﹣3，﹣1]B．[﹣3，1]C．[1，2]D．[﹣1，2]
3．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3＝12，a4＝10，则{a n}的公差为（）A．4B．3C．2D．1
4．（5分）电力工业是一个国家的经济命脉，它在国民经济和人民生活中占有极其重要的地位．目前开发的电力主要是火电，水电、风电、核电、太阳能发电，其中，水电、风电、太阳能发电属于可再生能源发电．如图所示的是2020年各电力子行业发电量及增幅的统计图，下列说法错误的是（）
A．其中火电发电量大约占全行业发电量的71%
B．在火电，水电、风电、核电、太阳能发电量中，比上一年增幅最大的是风电
C．火电，水电、风电、核电、太阳能发电的发电量的极差是7.28
D．以上可再生能源发电量的增幅均跑赢全行业整体增幅
5．（5分）函数f（x）＝xlnx﹣x在[，2]上的最小值为（）
A．﹣B．﹣1C．0D．2ln2﹣2
6．（5分）已知sinα+cosα＝，则cos2α＝（）
A．﹣B．C．﹣D．
7．（5分）已知函数f（x）＝cos（sin x），则（）
A．f（x）不是周期函数
B．f（x）的值域为[﹣1，1]
C．f（x）没有零点
D．f（x）在（0，π）上为减函数
8．（5分）已知实数x，y满足则目标函数z＝2x﹣y的最大值为（）A．﹣1B．﹣3C．﹣7D．﹣10
9．（5分）设双曲线D：﹣＝1（a＞0，b＞0），若右焦点F（5，0）到它的一条渐近线的距离为3，则该双曲线的离心率e的值为（）
A．B．C．D．
10．（5分）某个由四棱柱和三棱柱组成的组合体的三视图如图所示，则该组合体的表面积为（）
A．20+2B．22+2C．18+2D．
11．（5分）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号．设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，例如：[﹣5.1]＝﹣6，[π]＝3，已知函数f（x）＝，则函数y＝[f（x）]的值域为（）
A．{﹣1}B．{﹣1，0}C．{1}D．{0，1}
12．（5分）已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，过点P（1，0）的直线l交抛物线C于A，B两点，交抛物线C的准线于点Q，若|QF|2＝2|AF||BF|，则直线l斜率的绝对值为（）A．2B．C．D．
二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置. 13．（5分）在等比数列{a n}中，若a1＝，a4＝4，则a6＝．
14．（5分）由一组样本点（1，1），（2，1.2），（3，2.1），（4，2.7），（5，3），根据最小二乘法求得的回归方程为＝0.55x+，则＝．
15．（5分）在三棱锥P﹣ABC中，已知P A＝PB＝PC＝AC，AB⊥BC，则直线PB与平面ABC 所成角的余弦值为．
16．（5分）已知圆O是△ABC的外接圆，半径为1，且++＝，则•＝．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22.23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分. 17．（12分）已知△ABC三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，sin C＝2sin B cos（B+C），A＝．
（1）证明：c2＝3b2．
（2）若△ABC的面积是，求a的值．
18．（12分）2021年7月1日是中国共产党百年华诞，某社区将组织主题为“红歌献给党”
的百人大合唱，将这100人的年龄分成[10，20），[20，30），[30，40），[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]7段后得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求这100人年龄的平均数（同一组中的数据用该组的区间中点值代表），并求中位数的估计值；
（2）若从样本中年龄在[40，60）的人员中按分层抽样法选取5人，然后从这5人中选出2人做领队，求这2名领队分别来自[40，50）与[50，60）两组的概率．
19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的菱形，∠DAB＝60°，P A＝PD＝，E为AB的中点，O为AD的中点，PE⊥AC．
（1）证明：AC⊥PO；
（2）求点O到平面PBD的距离．
20．（12分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，右焦点为F，O为坐标原点，点Q在椭圆C上，FQ⊥OF，且|FQ|＝．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）点P（m，0）为椭圆C长轴上的一个动点，过点P且斜率为的直线l交椭圆C 于A，B两点，证明：|P A|2+|PB|2为定值．
21．（12分）已知函数f（x）＝（x+a）e x﹣a（其中a为实数）．
（1）若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为ex﹣y﹣e+b＝0，求a，b的值；
（2）当a＝﹣2时，若f（x）≥k sin x恒成立，求实数k的值．
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4—4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρsinθ＝6．M为曲线C1上的动点，点N在线段OM上，且满足|ON|＝，点N的轨迹为C2．
（1）求C2的直角坐标方程；
（2）设点A的极坐标为（1，），点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．
[选修4一5；不等式选讲]（10分）
23．已知函数f（x）＝|3x﹣a|+2a．
（1）当a＝﹣1时，求不等式f（x）≤5的解集；
（2）设函数g（x）＝|x﹣1|，当x∈R时，f（x）+3g（x）≥9，求a的取值范围．
2021年河南省高考数学仿真模拟试卷（文科）（三）
参考答案与试题解析
一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）若z＝1﹣i，则|z2﹣i|＝（）
A．4B．3C．2D．1
【解答】解：∵z＝1﹣i，∴z2﹣i＝(1﹣i)2﹣i＝﹣3i，
则|z2﹣i|＝|﹣3i|＝3．
故选：B．
2．（5分）已知集合A＝{x|x2+x﹣6≤0}，B＝{x|1﹣x≤2}，则A∩B＝（）A．[﹣3，﹣1]B．[﹣3，1]C．[1，2]D．[﹣1，2]
【解答】解：∵A＝{x|﹣3≤x≤2}，B＝{x|x≥﹣1}，
∴A∩B＝[﹣1，2]．
故选：D．
3．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3＝12，a4＝10，则{a n}的公差为（）A．4B．3C．2D．1
【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，S3＝12，a4＝10，
∴S3＝3a2＝12，解得a2＝4．
∴{a n}的公差为：
d＝＝＝3．
故选：B．
4．（5分）电力工业是一个国家的经济命脉，它在国民经济和人民生活中占有极其重要的地位．目前开发的电力主要是火电，水电、风电、核电、太阳能发电，其中，水电、风电、太阳能发电属于可再生能源发电．如图所示的是2020年各电力子行业发电量及增幅的统计图，下列说法错误的是（）
A．其中火电发电量大约占全行业发电量的71%
B．在火电，水电、风电、核电、太阳能发电量中，比上一年增幅最大的是风电
C．火电，水电、风电、核电、太阳能发电的发电量的极差是7.28
D．以上可再生能源发电量的增幅均跑赢全行业整体增幅
【解答】解：对于A，火电发电量大约占全行业发电量为，故选项A正确；
对于B，由折线图可知，风电增幅为10.50%，是增幅最大的，故选项B正确；
对于C，火电，水电、风电、核电、太阳能发电的发电量的极差是5.28﹣0.14＝5.14，故选项C错误；
对于D，由折线图可得，可再生能源发电量的增幅均跑赢全行业整体增幅，故选项D正确．
故选：C．
5．（5分）函数f（x）＝xlnx﹣x在[，2]上的最小值为（）
A．﹣B．﹣1C．0D．2ln2﹣2
【解答】解：f（x）＝xlnx﹣x，x∈[，2]，
f′（x）＝lnx，
令f′（x）＞0，解得：x＞1，
令f′（x）＜0，解得：x＜1，
故f（x）在[，1）递减，在（1，2]递增，
故f（x）min＝f（1）＝﹣1，
故选：B．
6．（5分）已知sinα+cosα＝，则cos2α＝（）
A．﹣B．C．﹣D．
【解答】解：因为sinα+cosα＝，可得cosα＝sinα，
由于sin2α+cos2α＝sin2α+（sinα）2＝1，整理可得（sinα﹣）2＝0，
所以sinα＝，
所以cos2α＝1﹣2sin2α＝1﹣＝．
故选：A．
7．（5分）已知函数f（x）＝cos（sin x），则（）
A．f（x）不是周期函数
B．f（x）的值域为[﹣1，1]
C．f（x）没有零点
D．f（x）在（0，π）上为减函数
【解答】解：对于函数f（x）＝cos（sin x），由于f（x+π）＝cos[sin（x+π）]＝cos（﹣sin x）＝cos（sin x）＝f（x），故π是f（x）的一个周期，故A错误；
∵sin x∈[﹣1，1]，故f（x）的值域为[cos1，1]，故B错误；
令f（x）＝cos（sin x）＝0，则sin x＝kπ+，k∈Z，故x不存在，故f（x）没有零点，故C正确；
f（x）在（0，）上递减，再（，π）上单调递增，故D错误，
故选：C．
8．（5分）已知实数x，y满足则目标函数z＝2x﹣y的最大值为（）
A．﹣1B．﹣3C．﹣7D．﹣10
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，
联立，解得A（﹣1，1），
化z＝2x﹣y为y＝2x﹣z，由图可知，当直线y＝2x﹣z过A时，
直线在y轴上的截距最小，z有最大值为﹣3．
故选：B．
9．（5分）设双曲线D：﹣＝1（a＞0，b＞0），若右焦点F（5，0）到它的一条渐近线的距离为3，则该双曲线的离心率e的值为（）
A．B．C．D．
【解答】解：双曲线D：﹣＝1（a＞0，b＞0），若右焦点F（5，0）到它的一条渐近线bx±ay＝0的距离为3，
所以3＝＝＝b，所以a＝＝4,
所以双曲线的离心率e＝＝．
故选：D．
10．（5分）某个由四棱柱和三棱柱组成的组合体的三视图如图所示，则该组合体的表面积为（）
A．20+2B．22+2C．18+2D．
【解答】解：由三视图还原原几何体如图，
该组合体下半部分是长方体，长方体的底面是边长为2的正方形，高为1，
上半部分是直三棱柱，高为1．
则该组合体的表面积S＝2（1×2+1×2+2×2）+2×1×2+1×．
故选：A．
11．（5分）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号．设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，例如：[﹣5.1]＝﹣6，[π]＝3，已知函数f（x）＝，则函数y＝[f（x）]的值域为（）
A．{﹣1}B．{﹣1，0}C．{1}D．{0，1}
【解答】解：因为f（﹣x）＝＝﹣f（x），
所以f（x）是R上的奇函数，
当x＞0时，f（x）＝≤＝，此时f（x）∈（0，]，
根据奇函数对称性可知f（x）∈[﹣]，
所以函数y＝[f（x）]的值域为{﹣1，0}．
故选：B．
12．（5分）已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，过点P（1，0）的直线l交抛物线C于A，B两点，交抛物线C的准线于点Q，若|QF|2＝2|AF||BF|，则直线l斜率的绝对值为（）A．2B．C．D．
【解答】解：由题意可得F（2，0），直线l的斜率存在，且不为0，
设l的方程为y＝k（x﹣1），
联立方程，可得k2x2﹣（2k2+8）x+k2＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
∴由韦达定理可得，
由抛物线定义得|AF|•|BF|＝（x1+2）（x2+2）＝x1x2+2（x1+x2）+4＝9+，
∵点Q过直线l，且过抛物线C的准线，
∴Q（﹣2，﹣3k），
由两点之间距离公式可得，|QF|2＝42+（﹣3k）2＝16+9k2，
∵|QF|2＝2|AF||BF|，
∴，解得|k|＝，
故选：C．
二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置. 13．（5分）在等比数列{a n}中，若a1＝，a4＝4，则a6＝16．
【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a1＝，a4＝4，∴q3＝＝8，∴q＝2，∴
a6＝a4q2＝4×22＝16．
故答案为：16．
14．（5分）由一组样本点（1，1），（2，1.2），（3，2.1），（4，2.7），（5，3），根据最小二乘法求得的回归方程为＝0.55x+，则＝0.35．
【解答】解：由题意可得，，，因为回归方程＝0.55x+过样本中心为（3，2），
则有2＝0.55×3+，所以＝0.35．
故答案为：0.35．
15．（5分）在三棱锥P﹣ABC中，已知P A＝PB＝PC＝AC，AB⊥BC，则直线PB与平面ABC 所成角的余弦值为．
【解答】解：如图，取AC的中点O，连接PO，BO，
∵AB⊥BC，∴OB＝OA＝OC，
又P A＝PC＝PB，∴PO⊥AC，
∴△P AO≌△PCO≌△PBO，
∴PO⊥OB，从而PO⊥平面ABC，
∴PB与平面ABC所成角为∠PBO，
cos∠PBO＝＝＝．
故答案为：．
16．（5分）已知圆O是△ABC的外接圆，半径为1，且++＝，则•＝．
【解答】解：∵△ABC的外接圆半径为1，∴||＝||＝||＝1，
又++＝，∴+＝﹣，
两边平方得：＝0，
所以＝﹣
＝﹣（+﹣）
＝﹣（）＝．
故答案为：．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22.23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分. 17．（12分）已知△ABC三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，sin C＝2sin B cos（B+C），A＝．
（1）证明：c2＝3b2．
（2）若△ABC的面积是，求a的值．
【解答】解：（1）证明：因为sin C＝2sin B cos（B+C），A＝，
所以由正弦定理可得c＝2b cos（B+C）＝2b cos（π﹣A）＝﹣2b cos A＝﹣2b•（）＝b，所以两边平方，可得c2＝3b2，得证．
（2）因为由（1）可得c＝b，
所以△ABC的面积是＝bc sin A＝b××，解得b＝1，
所以c＝，
所以a＝＝＝．
18．（12分）2021年7月1日是中国共产党百年华诞，某社区将组织主题为“红歌献给党”
的百人大合唱，将这100人的年龄分成[10，20），[20，30），[30，40），[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]7段后得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求这100人年龄的平均数（同一组中的数据用该组的区间中点值代表），并求中位数的估计值；
（2）若从样本中年龄在[40，60）的人员中按分层抽样法选取5人，然后从这5人中选出2人做领队，求这2名领队分别来自[40，50）与[50，60）两组的概率．
【解答】解：（1）这100个人年龄的平均数为15×0.15+25×0.2+35×0.3+45×0.15+55×0.1+（65+75）×0.05＝37，
前两组数据所占频率之和为（0.015+0.02）×10＝0.35，
前三组数据所占频率之和为（0.015+0.02+0.03）×10＝0.65，
设中位数为x，则0.35+0.03×（x﹣30）＝0.5，解得x＝35，
所以中位数为35；
（2）由题意可知，年龄在[40，50）内的人数为15，[50，60）内的人数为10，
按分层抽样方法抽取5人，则在[40，50）内抽取3人，在[50，60）内抽取2人，
这2名领队分别来自[40，50）与[50，60）两组的概率为＝．
19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的菱形，∠DAB＝60°，P A＝PD＝，E为AB的中点，O为AD的中点，PE⊥AC．
（1）证明：AC⊥PO；
（2）求点O到平面PBD的距离．
【解答】（1）证明：连结OE，因为底面ABCD是菱形，所以AC⊥BD，
又OE为△ABD的中位线，所以OE∥BD，故AC⊥OE，
因为PE⊥AC，PE∩OE＝E，PE，OE⊂平面POE，
所以AC⊥平面POE，又PO⊂平面POE，
故AC⊥PO；
（2）解：因为PO是等腰三角形P AD的中线，所以PO⊥AD，
由（1）可知，AC⊥PO，又AD∩AC＝A，AC，AD⊂平面ABCD，
所以PO⊥平面ABCD，，
由题意可知，点O到平面PBD的距离等于点A到平面PBD距离的一半，
设点A到平面PBD的距离为h，
在△ABD中，BD＝4，PD＝，PB＝，
故cos∠PDB＝，sin∠PDB＝，
所以，
，
由等体积法，V A﹣PBD＝V P﹣ABD，
则，解得h＝3，
故点O到平面PBD的距离为．
20．（12分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，右焦点为F，O为坐标原点，点Q在椭圆C上，FQ⊥OF，且|FQ|＝．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）点P（m，0）为椭圆C长轴上的一个动点，过点P且斜率为的直线l交椭圆C 于A，B两点，证明：|P A|2+|PB|2为定值．
【解答】解：（1）由题意，可得，解得a＝5，b＝3，
所以椭圆C的标准方程为；
（2）证明：设直线l的方程为（﹣5≤m≤5），A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程组，可得50y2+30my+9m2﹣225＝0，
所以，
所以，
同理可得，
故＝，
所以|P A|2+|PB|2为定值．
21．（12分）已知函数f（x）＝（x+a）e x﹣a（其中a为实数）．
（1）若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为ex﹣y﹣e+b＝0，求a，b的值；
（2）当a＝﹣2时，若f（x）≥k sin x恒成立，求实数k的值．
【解答】解：（1）f（x）＝（x+a）e x﹣a，f′（x）＝e x（x+a+1），
故f′（1）＝e（a+2）＝e，解得：a＝﹣1，
由f（x）＝（x﹣1）e x+1，得f（1）＝1，即切点坐标为（1，1），
故由e﹣1﹣e+b＝0，解得：b＝1；
（2）设g（x）＝f（x）﹣k sin x＝（x﹣2）e x﹣k sin x+2，则g（0）＝0，
∵f（x）≥k sin x，∴g（x）≥0＝g（0），∴x＝0是g（x）的极小值点，
即x＝0是g（x）的极小值点，
∵g′（x）＝（x﹣1）e x﹣k cos x，∴g′（0）＝﹣1﹣k＝0，解得：k＝﹣1，
下面证明：当k＝﹣1时，（x﹣2）e x+sin x+2≥0恒成立，
即证x﹣2+≥0，
设h（x）＝x﹣2+，则h（0）＝0，h′（x）＝1+，
令t（x）＝h′（x），可知t（0）＝h′（0）＝0，
∵t′（x）＝≥0，∴t（x）在R递增，
令h′（x）＜0，解得：x＜0，令h′（x）＞0，解得：x＞0，
故h（x）在（﹣∞，0）递减，在（0，+∞）递增，
故h（x）≥h（0）＝0，
综上可知不等式f（x）≥k sin x恒成立，则k＝﹣1．
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4—4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρsinθ＝6．M为曲线C1上的动点，点N在线段OM上，且满足|ON|＝，点N的轨迹为C2．
（1）求C2的直角坐标方程；
（2）设点A的极坐标为（1，），点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．
【解答】解：（1）设N（ρ，θ）（ρ＞0），点M（ρ1，θ）（ρ1＞0），
由题设知，|ON|＝ρ，|OM|＝，
由|ON|＝，得ρ＝2sinθ（ρ＞0）．
∴ρ2＝2ρsinθ，即x2+y2＝2y，
故C2的直角坐标方程为x2+（y﹣1）2＝1（y≠0）；
（2）设点B的极坐标为（ρB，α）（ρB＞0），
由题设知，|OA|＝1，ρB＝2sinα，
于是三角形OAB的面积S＝•|OA|•ρB•sin∠AOB＝sinα•|sin（）|
＝＝
＝．
∴当α＝时，S取得最大值为．
[选修4一5；不等式选讲]（10分）
23．已知函数f（x）＝|3x﹣a|+2a．
（1）当a＝﹣1时，求不等式f（x）≤5的解集；
（2）设函数g（x）＝|x﹣1|，当x∈R时，f（x）+3g（x）≥9，求a的取值范围．
【解答】解：（1）当a＝﹣1时，f（x）＝|3x+1|﹣2，
f（x）≤5⇔|3x+1|≤7，
解得﹣≤x≤2；
故f（x）≤5的解集为[﹣，2]；
（2）g（x）＝|x﹣1|，f（x）+3g（x）≥9，即|3x﹣a|+|3x﹣3|+2a≥9⇔9﹣2a≤|3x﹣a|+|3x ﹣3|，
因为|3x﹣a|+|3x﹣3|≥|3﹣a|（当且仅当（3x﹣a）（3x﹣3）≤0时取等号），
所以9﹣2a≤|3﹣a|，即a﹣3≥9﹣2a或a﹣3≤2a﹣9，
解得a≥4；
即实数a的取值范围为[4，+∞）．。