ch1-9闭区间上连续函数的性质

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则 ∃x1 > 0 , 使 f ( x1 ) > 0 则 ∃x 2 < 0, 使 f ( x 2 ) < 0
由零点定理, 由零点定理,得
∃ξ ∈ ( x2 , x1 ), 使 f (ξ ) = 0 即方程有实根. 即方程有实根
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定理3(介值定理) 在闭区间[a,b]上连续 , 定理3(介值定理) 设 f(x) 在闭区间 3(介值定理 上连续
第二类间断点
处的左、 如果 f ( x )在点 x0处的左、
右极限至少有一个不存 在, 则称点 x0为函数 f ( x )的第二类间断点 .
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3
对于连续函数,极限符号与函数符号可以交换, 因为 lim f ( x) = f ( x0 ) = f (lim x) .
x → x0 x → x0
连续的定义
复习
定义1 内有定义, 定义1 设 f ( x ) 在 U ( x 0 , δ ) 内有定义, 若 lim [ f ( x 0 + ∆x ) − f ( x 0 )] = 0 ,那末就称 f ( x ) ∆x → 0 连续, 为的连续点。 在点 x0 连续, 称 x0 为的连续点。 定义2 内有定义, 定义 设函数 f ( x ) 在 U ( x0 , δ ) 内有定义 若 lim f ( x ) = f ( x0 ) x→ x→ x 连续. 则称函数 f ( x ) 在点 x 0 连续
至少有一根 .
另例 证明 方程 x 3 − 6 x + 2 = 0 在 (-3,-2) , ( 0,1) ,
( 2,3) 内各有一个实根 .
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例2 证 明 方 程 x + e x = 0 在 区 间 ( − 1, 1)内 )内
有 唯 一 的 根.

令 f ( x) = x + e x ,
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练习
[ 设f ( x)在闭区间 0,1]上连续, 且f (0) = f (1), 1 证明必有一点ξ ∈[0,1]使得f (ξ + ) = f (ξ ). 2 1 证明 构造函数 F(x) = f(x + ) − f(x),
2
1 则 F ( x )在[0, ]上连续 . 2 1 1 1 ∵ F (0) = f ( ) − f (0), F ( ) = f (1) − f ( ), 2 2 2 1 讨论: 讨论 若F (0) = 0, 则 ξ = 0, f (0 + ) = f (0); 2 1 1 1 1 1 若F ( ) = 0, 则 ξ = , f ( + ) = f ( ); 2 2 2 2 2
则f ( x )在[−1,1]上连续 ,
f (1) = 1 + e > 0,
又 f ( −1) = −1 + e −1 < 0,
由零点定理, 由零点定理 ∃ ξ ∈ (−1,1), 使 f (ξ ) = 0, 即 ξ + eξ = 0, −
∴ 方程x + e x = 0在( −1,1)内至少有一根 ξ .
证明中引入的函数 F (x ) = f (x ) − x 称为辅助函数.
设辅助函数是微积分证明中常用到的技巧之一. 设辅助函数是微积分证明中常用到的技巧之一
另例设函数 f ( x )在区间[0,1]上连续 , 且0 < f ( x ) < 1,
证明 至少存在一点 ξ ∈ (0,1), 使得 f (ξ ) = ξ .
是单调增加的函数, 又∵ f ( x) = x + e x是单调增加的函数,
∴ 方程x + e x = 0在( −1,1)内有唯一根 ξ .
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例3 设函数 f ( x )在区间 [a , b] 上连续 , 且f (a ) < a ,
f (b ) > b. 证明 ∃ξ ∈ (a , b ), 使得 f (ξ ) = ξ .
如果 x0使 f ( x0 ) = 0, 则 x0称为函数
f ( x ) 的零点.
定理2(零点定理) 在闭区间[a,b]上连续 , 定理2(零点定理) 设 f(x) 在闭区间 2(零点定理 上连续
异号(即 且 f(a) 与 f(b) 异号 即 f(a) ⋅ f(b)<0 ) , 则至少存在一 点 ξ∈ (a,b) 使 f(ξ)=0. . 几何解释: 几何解释 连续曲线弧 y = f ( x )的两个
0
定义3 " ε − δ"定义 : 设函数 f ( x ) 在 U ( x0 , δ ) 内有定义 定义
∀ ε > 0, ∃ δ > 0, 使当 x − x0 < δ 时, 恒有 f ( x) − f ( x0 ) < ε . 处连续. 称函数 f ( x )在点 x 0 处连续
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1
函数的间断点 定义 设 f(x)在点 x0 的某个领域或去心领域内有
注意: 若区间是开区间 定理不一定成立; 若区间是开区间, 注意:1.若区间是开区间 定理不一定成立 2.若区间内有间断点 定理不一定成立 若区间内有间断点, 定理不一定成立. 若区间内有间断点
y y
y = f (x)
1
y = f (x)
o
π 2
x
o
1
2
x
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二、零点定理与介值定理
定义
x → x0
(3) f ( x ) 在 点 x0 有 定 义 且 lim f ( x ) 存 在 , 但 lim f ( x ) ≠ f ( x0 )
x → x0
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x → x0
2
第一类间断点:跳跃间断点与可去间断点. 第一类间断点:跳跃间断点与可去间断点.
特点 函数在点 x0处的左、右极限都存在 . 处的左、
例如, 例如 y = 1 + sin x , 在[0,2π]上, ymax = 2, ymin = 0;
x∈I ∈ x∈I ∈
y = sgn x , 在( −∞ ,+∞ )上, ymax = 1, ymin = −1;
在(0,+∞ )上, ymax = ymin = 1.
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定理1 最大值和最小值定理) 定理 1( 最大值和最小值定理 ) 在闭区间 上连续的函数在该区间上有界并一定有 最大值和最小值. 最大值和最小值.
几何解释:如图,将连续曲线弧 如图, 连续曲线弧 y=f(x) (a≤x≤b) 向 y 轴作投影,其 轴作投影, 投影必然是线段, 投影必然是线段,而不会是支离 破碎的点集
M
y=f(x)
m 0 a b x
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三、小结
三个定理
最值定理;介值定理 零点 根的存在性)定理 最值定理 介值定理;零点 根的存在性 定理 介值定理 零点(根的存在性 定理. 注意 1.闭区间; 2.连续函数. .闭区间; .连续函数. 这两点不满足上述定理不一定成立. 这两点不满足上述定理不一定成立.
例5 设 f ( x ) 在 [ a , b ] 上 连 续 , a < c < d < b ,
试证明: 试证明:对任意正数 p和q ,至少有一点 ξ ∈ [ c , d ] , 和 使 pf (c ) + qf (d ) = (p + q )f (ξ) .
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推论1 推论1 在闭区间上连续的函数必取得介于最 大值 M 与最小值 m之间的任何值. 之间的任何值. 推论2 推论2 在闭区间上不为常数的连续函数把该 区间映为闭区间. 映为闭区间 区间映为闭区间. y
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例4 证明 : 任何实系数的奇数次多项式方程必有实根.
i = 1, 2,⋯ , n 设实系数奇次多项式为: 证: 设实系数奇次多项式为: an xn + an−1xn−1 +⋯+ a0 (ai ∈ R ; an ≠ 0 ; n 为奇数 )
令f ( x) = an x + an−1x
5
一、最大值和最小值定理
最值定义: 最值定义:对于在区间I 上有定义的函数 f (x ),
如果有ξ, η∈I , 使得对于任一x ∈I 都有 f (x ) ≤ f (ξ), f (x ) ≥ f (η) )是 )在 则称 f (ξ)是函数 f (x )在区间I 上的最大值, f (η)是函数 f (x )在区间I 上的最小值. )是 并记为 f (ξ ) = max{ f ( x)} , f (η ) = min{ f ( x)}
定义,若 x0不是 f(x)的连续点,则 x0为 f ( x) 的间断点.
如果函数 y = f ( x) 在点 x0 处有下列三种 情况之一, 则点 x0 为函数 f ( x) 的一个间断点.
但在点x (1) f ( x ) 在点 x0 无定义 (但在点 0的去心领域内有定义 )
(2) f ( x ) 在点 x0 有定义,但 lim f ( x ) 不存在;
解题思路
1.直接法 先利用最值定理 再利用介值定理; 1.直接法:先利用最值定理 再利用介值定理 直接法 先利用最值定理,再利用介值定理 2.辅助函数法:先作辅助函数 验证F(x)满足零点 2.辅助函数法:先作辅助函数F(x),验证 辅助函数法 验证 满足零点 定理条件,再利用零点定理得出命题的证明 再利用零点定理得出命题的证明. 定理条件 再利用零点定理得出命题的证明
证 令 F ( x ) = f ( x ) − x , 则F ( x)在[a, b]上连续, 而 F ( a ) = f (a ) − a < 0, F ( b ) = f ( b ) − b > 0, 由零点定理, 由零点定理 ∃ ξ ∈ (a , b), 使 F (ξ ) = f (ξ ) − ξ = 0 , 即 f (ξ ) = ξ .
若 f ( x ) ∈ C [a , b], 则 ∃ξ 1 , ξ 2 ∈ [a , b], 使得 ∀x ∈ [a , b], 有 f (ξ 1 ) ≥ f ( x ), f (ξ 2 ) ≤ f ( x ).
o a
y
y = f (x)
ξ2
ξ1 b
x
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定理1 最大值和最小值定理) 定理 1( 最大值和最小值定理 ) 在闭区间 上连续的函数在该区间上有界并一定有 最大值和最小值. 最大值和最小值.
端点位于 x轴的不同侧, 则曲 线弧与 x轴至少有一个交点 .
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y
y = f (x)
a o
ξ1 ξ 2
ξ3
b x
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在开区间连续, 若 在开区间连续 定理不一定成立; 注意 1.若f(x)在开区间连续 定理不一定成立 2.若区间内有间断点 定理不一定成立 若区间内有间断点, 若区间内有间断点 定理不一定成立. 一个主要应用:证明方程根的存在性或者 一个主要应用:证明方程根的存在性或者 证明函数零点的存在性. 证明函数零点的存在性 例1 证明方程 x 3 − 4 x 2 + 1 = 0在区间 (0,1)内
o
ξ1
ξ2 ξ3 x2 b
x
m
m≤µ≤ M
推论1 推论1 在闭区间上连续的函数必取得介于最 之间的任何值. 大值 M 与最小值 m 之间的任何值. 即 f ( x ) ∈ C [a , b] ⇒∀µ ∈ [m , M ], ∃ξ ∈ [a , b], 使 f (ξ ) = µ
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推论1 推论1 在闭区间上连续的函数必取得介于最 大值 M 与最小值 m之间的任何值. 之间的任何值. 即 f ( x ) ∈ C [a , b] ⇒∀µ ∈ [m , M ], ∃ξ ∈ [a , b], 使 f (ξ ) = µnnFra bibliotekn−1
+ an−2 x
n−2
+⋯+ a0
不妨设 an > 0
an−1 1 an−2 1 a0 1 = an x( + 1 ⋅ + ⋅ 2 +⋯+ ⋅ n ) an x an x an x
f 当 x→+∞ 时, ( x) →+∞, f 当 x→−∞ 时, ( x) →−∞,
又 f ( x ) ∈ C [ x2 , x1 ],
初等函数求极限的方法代入法 初等函数求极限的方法代入法. 代入法 lim f ( x) = f ( x0 ) ( x0 ∈ 定义区间 )
x→ x0
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新课
第一章
第九节 闭区间上连续函数的 性质
一、最大值和最小值定理 二、零点定理与介值定理
要掌握证明的技巧! 要掌握证明的技巧!
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且 f(a) ≠ f(b) 则对介于 f(a) 与 f(b) 之间的任意一个 实数 µ , 至少存在一点 ξ ∈ (a,b) 使 f(ξ) = µ . 几何解释: 几何解释
y
M f(b)
连续曲线弧 y = f ( x )与 水平直线 y = µ 至少有 一个交点 .
µ
f(a)
y = f (x)
a
x1
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