高三数学精准培优专题练习2：函数零点

培优点二 函数零点

1．零点的判断与证明

例1：已知定义在()1,+∞上的函数()ln 2f x x x =--， 求证：()f x 存在唯一的零点，且零点属于()3,4． 【答案】见解析 【解析】()11

1x f x x x

-'=-

=

，()1,x ∈+∞，()0f x '∴>，()f x ∴在()1,+∞单调递增，

()31ln30f =-<，()42ln 20f =->，()()340f f ∴<，()03,4x ∴∃∈，使得()00f x =

因为()f x 单调，所以()f x 的零点唯一．

2．零点的个数问题

例2：已知函数()f x 满足()()3f x f x =，当[)1,3x ∈，()ln f x x =，若在区间[)1,9内， 函数()()g x f x ax =-有三个不同零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．ln 31,3e ⎛⎫

⎪⎝⎭

B ．ln 31,93e ⎛⎫ ⎪⎝⎭

C ．ln 31,92e ⎛⎫ ⎪⎝⎭

D ．ln 3ln 3,93⎛⎫ ⎪⎝⎭

【答案】B 【解析】

()()()33x f x f x f x f ⎛⎫=⇒= ⎪⎝⎭，当[)3,9x ∈时，()ln 33x x f x f ⎛⎫

== ⎪⎝⎭

，

所以()ln 13ln 39

3

x

x f x x

x ≤<⎧⎪

=⎨≤<⎪⎩，而(

)()g x f x a x =

-有三个不同零点⇔()y f x =与y ax =有三

个不同交点，如图所示，可得直线y ax =应在图中两条虚线之间，所以可解得：

ln31

93e

a <<

3．零点的性质

例3：已知定义在R 上的函数()f x 满足：()[)[)

22

2

0,121,0x x f x x

x ⎧+∈⎪=⎨-∈-⎪⎩，且()()2f x f x +=，

()25

2

x g x x +=

+，则方程()()f x g x =在区间[]5,1-上的所有实根之和为（ ） A ．5- B ．6- C ．7- D ．8-

【答案】C

【解析】先做图观察实根的特点，在[)1,1-中，通过作图可发现()f x 在()1,1-关于()0,2中心对称，

由()()2f x f x +=可得()f x 是周期为2的周期函数，则在下一个周期()3,1--中，()f x 关于()2,2-中心对称，以此类推。

从而做出()f x 的图像（此处要注意区间端点值在何处取到），再看()g x 图像，()251222x g x x x +=

=+

++，可视为将1

y x

=的图像向左平移2个单位后再向上平移2个单位， 所以对称中心移至()2,2-，刚好与()f x 对称中心重合，如图所示：可得共有3个交点

123x x x <<，

其中23x =-，1x 与3x 关于()2,2-中心对称，所以有134x x +=-。所以1237x x x ++=-．故选C ．

4．复合函数的零点

例4：已知函数()243f x x x =-+，若方程()()2

0f x bf x c ++=⎡⎤⎣⎦恰有七个不相同的实根，则实数b 的取值范围是（ ）

A ．()2,0-

B ．()2,1--

C ．()0,1

D ．()0,2

【答案】B

【解析】考虑通过图像变换作出()f x 的图像（如图），因为()()2

0f x bf x c ++=⎡⎤⎣⎦最多只能解出2个()f x ，若要出七个根，则()11f x =，()()20,1f x ∈，所以()()()121,2b f x f x -=+∈，解得：()2,1b ∈--．

一、选择题

1．设()ln 2f x x x +-=，则函数()f x 的零点所在的区间为（ ） A ．()0,1 B ．()1,2 C ．()2,3 D ．()3,4

【答案】B

【解析】∵()1ln11210f +-=-<=，()2ln 20f =>，∴()()120f f ⋅<， ∵函数()ln 2f x x x +-=的图象是连续的，且为增函数， ∴()f x 的零点所在的区间是()1,2．故选B ．

2．已知a 是函数()12

log 2x x f x =-的零点，若00x a <<，则()0f x 的值满足（ ）

A ．()00f x =

B ．()00f x >

C ．()00f x <

D ．()0f x 的符号不确定

【答案】C

【解析】()f x 在(0,)+∞上是增函数，若00x a <<，则()()00f x f a <=． 3．函数2

()2f x x a x

=-

-的一个零点在区间()1,2内，则实数a 的取值范围是（ ） 对点增分集训

A ．()1,3

B ．()1,2

C ．()0,3

D ．()0,2

【答案】C

【解析】因为()f x 在(0,)+∞上是增函数，则由题意得()()()()12030f f a a --=<⋅，解得

03a <<，

故选C ．

4．若a b c <<，则函数()()()()()()()f x x a x b x b x c x c x a -----+-=+的两个零点分别位于区间（ ） A ．(),a b 和(),b c 内

B ．(,)a -∞和(),a b 内

C ．(),b c 和(),c +∞内

D ．(,)a -∞和(),c +∞内

【答案】A

【解析】∵a b c <<，∴()()()0f a a b a c -=->，()()()0f b b c b a -=-<，()()()0f c c a c b -=->，

由函数零点存在性定理可知，在区间(),a b ，(),b c 内分别存在零点，又函数()f x 是二次函数，

最多有两个零点．因此函数()f x 的两个零点分别位于区间(),a b ，(),b c 内，故选A ． 5．设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()e 3x f x x =+-，则()f x 的零点个数为（ ） A ．1 B ．2

C ．3

D ．4

【答案】C

【解析】因为函数()f x 是定义域为R 的奇函数，所以()00f =，即0是函数()f x 的一个零点，当0x >时，令()3e 0x f x x =+-=，则e 3x x =-+，分别画出函数1e x y =和23y x =-+的图象，

如图所示，两函数图象有一个交点，所以函数()f x 有一个零点，

根据对称性知，当0x <时函数()f x 也有一个零点． 综上所述，()f x 的零点个数为3．故选C ．