余姚市梦麟中学2019学年第一学期期中考试高二数学试卷

梦麟中学2019学年第一学期期中考试高二数学试卷
命题老师：戚迪艳 审题老师：王晶
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1、已知M （﹣2，0），N （2，0），|PM |﹣|PN |＝4，则动点P 的轨迹是（ ）
A ．一条射线
B ．双曲线
C ．双曲线左支
D ．双曲线右支
2、已知直线l 在平面α内，则“l⊥β”是“α⊥β”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
3、已知21,F F 是椭圆17
92
2=+y x 的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠02145=F AF ，则 Δ12AF F 的面积为（ ）
A ．7
B ．47
C ．27
D ．257
4、从x 轴上动点P 向圆0248622=+-++y x y x 作切线，切点为T ，则切线长|PT|的最
小值是（ ）
A ．4
B ．15
C ．62
D ．5
5、下列四个命题：①“若xy=0，则x=0且y=0”的逆否命题；②“正方形是菱形”的否命题；③“若22,ac bc a b >>则”的逆命题；④若“m>2,220x x m R -+>则不等式的解集为”的逆否命题.其中真命题的个数为( )
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
6、已知点(1,0),(1,0)A B -，动点P 满足(1)AP BP k k λλ=->（AP k 表示直线AP 的斜率），则点P 的轨迹是（ ）
A. 焦点在x 轴上的椭圆
B.焦点在y 轴上的椭圆
C.双曲线
D.抛物线
7、给出平面区域（包括边界）如图所示，若使目标函数
取得最大值的最优解有无穷多个，
则 的值为 ( ) A. B. C. D. 8、己知平面α内有一个以AB 为直径的圆,,α⊥PA 点C 在圆周上(不同于B A ,两点),点
E D ,分别是点A 在PB PC ,上的射影,则下列正确的是 ( )
A. ⊥PC ADE 平面
B. ACB ∠是二面角B PC A --的平面角
C. BC // ADE 平面
D. E A PB D 平面⊥
9、设点F 1、F 2是双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点（O 为坐标原点），以O 为圆心，|F 1F 2|为直径的圆交双曲线于点M （第一象限）．若过点M 作x 轴的垂线，垂足恰为线段OF 2的中点，则双曲线的离心率是（ ）
A ．﹣1
B ．
C ．+1
D ．2
10、已知圆心C 在直线y ＝2x ﹣4上的圆的半径为1，点A （0，3），若圆C 上存在点M ，使得|MA |＝2|MO |（O 为坐标原点），则圆心C 的横坐标a 的最大值是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题（本大题共7小题，多空题每空3分，单空题每空4分，共36分）
11、在平面直角坐标系xOy 中，双曲线﹣=1的虚轴长是___ ，渐近线方程是 ． 12、在空间直角坐标系中，点A （2，1，2）到原点O 的距离为 ，点A 关于原点O 对
称的点的坐标为 ．
13、已知，则z ＝2x +y 的最小值为___________z ＝的取值范围为________.
14、已知空间四边形OABC ，点M ，N 分别为OA ，BC 的中点，且
=，=，=，用，，表示，则= ________ ．若||||||2a b c === 且a b c ，
，夹角均为60 则|MN |=
15、若直线4:1=+ny mx l 和圆4:221=+y x C 无公共点，则过点),(n m P 的直线2l 与
椭圆14
9:2
22=+y x C 的公共点的个数为 ________个. 16、已知棱长为1的正四面体O-ABC ，E ，F 分别是AB ，OC 的中点，则,所成角 的余弦值为_________.
17、设A (1，0)，B (0，1)，直线l ：y ＝ax ，圆C ：(x －a )2＋y 2＝1．若圆C 既与线段AB
又与直线l 有公共点，则实数a 的取值范围是________．
三、解答题（本大题共5小题，第18题14分，第19至22题每题15分，共74分）
18、如图，四棱锥的底面是正方形，， 点E 在棱PB 上.
（1）求证：平面；（2）当且E 为PB 的中点时，求AE 与平面PDB 所成的角的大小.
19、已知圆C 1：x 2+y 2+2x +2y ﹣8＝0与圆C 2：x 2+y 2
﹣2x +10y ﹣24＝0相交于A 、B 两点．
（1）求公共弦AB 所在直线方程及弦AB 的长；
（2）求圆心在直线y ＝﹣x 上，且过A 、B 两点的圆的方程；
（3）求经过A 、B 两点且面积最小的圆的方程．
20、已知抛物线C 顶点在原点，关于x 轴对称，且经过P （1，2）．
（1）求抛物线C 的标准方程及准线方程；
（2）已知不过点P 且斜率为1的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，若AB 为直径的圆经过点P ，试求直线l 的方程．
P ABCD -PD ABCD ⊥底面AEC PDB ⊥
平面PD =
21、如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD为菱形，且∠BAD=，对角线AC与BD相交于O，OF⊥平面ABCD，BC=CE=DE=2EF=2．
（1）求证：EF∥BC；
（2）求面AOF与平面BCEF所成锐二面角的正弦值．
22、已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点为（1，0），右焦点到上顶点的距离为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点P（2，2）的动直线交椭圆C于A，B两点，
（i）若|PA||PB|=，求直线AB的斜率；
（ii）点Q在线段AB上，且满足+=，求点Q的轨迹方程．
梦麟中学2019学年第一学期期中考试高二数学试卷答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
A.A.C.
B.B. B.B.D.
C.C.
二、填空题（本大题共7小题，多空题每空3分，单空题每空4分，共36分） 11、6,34y x =±; 12、3，（-2，-1，-2） 13、3，127,210⎡⎤⎢⎥⎣⎦
14、1(),||22MN a b c MN =-++= 15、2个 16
、23
- 17
、1⎡⎢⎢⎣ 三、解答题（本大题共5小题，第18题14分，第19至22题每题15分，共74分）
18、解:（Ⅰ）∵四边形ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD ，
∵，∴PD ⊥AC ，∴AC ⊥平面PDB ，
∴平面.
（Ⅱ）设AC ∩BD =O ，连接OE ，
由（Ⅰ）知AC ⊥平面PDB 于O ，
∴∠AEO 为AE 与平面PDB 所的角，
∴O ，E 分别为DB 、PB 的中点，∴OE //PD ，， 又∵ ∴OE ⊥底面ABCD ，OE ⊥AO ，
在Rt △AOE 中，， ∴，即
AE 与平面PDB 所成的角的大小为.
19、 (1)AB:x-2y+4=0,弦长
（2）22(3)(3)10x y ++-=
(3)22
(2)(1)5x y ++-=
20、解：（I ）由题意可设抛物线的标准方程为：y 2=2px （p ＞0），把点P （1，2）代入可得：22=2p ×1，解得p=2． PD ABCD ⊥底面AEC PDB ⊥平面12
OE PD =PD ABCD ⊥底面12OE PD AB AO =
==45AOE ︒∠=45︒
∴抛物线C的标准方程为：y2=4x，准线方程为x=﹣1．
（II）设直线l的方程为：y=x+b，代入抛物线方程可得：y2﹣4y+4b=0，△=16﹣16b＞0，解得b＜1．
设A（x1，y1），B（x2，y2），∴y1+y2=4，y1•y2=4b，∴x1+x2=y1+y2﹣2b，x1x2==b2．
由题意可得：=0，∴（x1﹣1）（x2﹣1）+（y1﹣2）（y2﹣2）=x1•x2﹣（x1+x2）+1+y1•y2﹣2（y1+y2+4=0，
∴b2﹣（4﹣2b）+1+4b﹣8+4=0，即b2+6b﹣7=0，解得b=﹣7，或b=1（舍去）．
∴直线l的方程为：x﹣y﹣7=0．
21、证明：1）∵四边形ABCD为菱形
∴AD∥BC，且BC⊄面ADEF，AD⊂面ADEF，
∴BC∥面ADEF，且面ADEF∩面BCEF=EF，∴EF∥BC．
（2）面AOF与面BCEF所成的锐二面角的正弦值为
22、解：（Ⅰ）由题意得：c=1，a=，
∴b2=a2﹣c2=1，∴+y2=1；
（Ⅱ）（i）设直线AB：y=k（x﹣2）+2，
点A（x1，y1），B（x2，y2），由，
得：（1+2k2）x2+4k（2﹣2k）x+2（2﹣2k）2﹣2=0（*），
∴x1+x2=﹣，x1x2=，
|PA||PB|=|2﹣x1|•|2﹣x2|
=（1+k2）[4﹣2（x1+x2）+x1x2]==，
解得：k2=1，即k=1或﹣1，
经检验，k=1；
（ii）设点Q（x0，y0），由点Q在直线AB上，
得y0=k（x0﹣2）+2，（**），
又+=，得+=，
∵+=，
∴2﹣x0=2×=2×（2+）=，
∴k=，
把它带入（**）式，得y0=k（x0﹣2）+2=（x0﹣2）+2=﹣x0+，即点Q的轨迹方程是：x+2y﹣1=0，（＜x＜）．。