高考数学总复习 (教材扣夯实双基+考点突破+典型透析)
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
解集
思考探究 不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集为R的充 要条件是什么？
提示：a>0 Δ<0.
2. 求解一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0) 的算法过程
• 课前热身
• 1. (2011·高考广东卷)不等式2x2－x－1>0 的解集是( )
解析：选 D.∵2x2－x－1＝(2x＋1)(x－1), ∴由 2x2－x－1＞0 得(2x＋1)(x－1)＞0, 解得 x＞1 或 x＜－12,
①a>0 时,
－a4<a3,
解集为{x|x<－a4或
a x>3};
②a＝0 时, x2>0, 解集为{x|x∈R 且 x≠0};
③a<0 时, －a4>a3, 解集为{x|x<a3或 x>－a4}.
【题后感悟】 解一元二次不等式的一般步骤 (1)对不等式变形, 使一端为0且二次项系数大 于0; (2)计算相应的判别式; (3)当Δ≥0时, 求出相应的一元二次方程的根; (4)根据对应二次函数的图象, 写出不等式的 解集.
• 备选例题 (教师用书独具)
•
例 不等式xx－＋152≥2 的解集是(
)
A. [－3,
1 2]
B. [－12, 3]
C. [12, 1)∪(1,3]
D. [－12, 1)∪(1,3]
【解析】 xx－＋152≥2⇔xx＋ －51≥ ≠20x－12
－12≤x≤3 ⇔ x≠1
• 备选例题(教师用书独具)
•例
当x∈(1,2)时, 不等式2x2＋mx＋
8<0 【• 恒解成】立当, 则x∈m(的1,2取)时值,范不围等.式 2x2＋mx＋8<0
等价于 m<－2x2x＋8.
当 1<x<2 时, 8<2x＋8x<10, 即－10<－2x2x＋8<－8, 因此 m≤－10. 实数 m 的取值范围是(－∞, －10].
2. 不等式组xx22－ －13<x<00 的解集是(
)
A. {x|－1<x<1}
B. {x|0<x<3}
C. {x|0<x<1}
D. {x|－1<x<3}
解析：选 C.由xx22－ －13<x<00
得－1<x<1 0<x<3
.
∴0<x<1.
• 3. 已知函数f(x)＝－3x2＋5x－2, 则使函数 值大于0的x的取值范围是________.
• 【题后感悟】 • (1)解决恒成立问题, 一定要分清谁是自变
量, 谁是参数. 一般地, 知道谁的范围, 谁就 是自变量, 求谁的范围, 谁就是参数; • (2)对于二次不等式恒成立问题, 恒大于0就 是相应的二次函数的图象在给定的区间上 全部在x轴上方, 恒小于0就是相应的二次函 数的图象在给定的区间上全部在x轴下方.
(2)原不等式可化为 3x2＋2x－8≤0, ∵Δ＝100>0, ∴方程 3x2＋2x－8＝0 的两根为－2, 43, 结合二次函数 y＝3x2＋2x－8 的图象可知原 不等式的解集为{x|－2≤x≤43}.
(3)由 12x2－ax－a2>0⇔(4x＋a)(3x－a)>0
⇔(x＋a4)(x－a3)>0,
【解】 (1)由题意可得 m＝0 或mΔ＝<0m2＋4m<0 ⇔m＝0 或－4<m<0⇔－4<m≤0. 故 m 的取值范围为(－4,0]. (2)∵f(x)<－m＋5⇔m(x2－x＋1)<6, ∵x2－x ＋1>0,
∴m<x2－6x＋1对于 x∈[1,3]恒成立, 记 g(x)＝x2－6x＋1, x∈[1,3], 则 g(x)在[1,3]上为减函数, ∴[g(x)]min＝g(3)＝67, ∴m<67. 所以 m 的取值范围为(－∞, 67).
实根
＋c＝0(a>0)
的根
没有实数 根
判别式Δ＝ b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
ax2＋bx＋c Baidu Nhomakorabea0(a>0)的
__{_x_|x_<_x_1___ __或__x_>_x_2_} __
{ } | _x_∈_R_x_≠_－_2ba_ ___R____
解集
ax2＋bx＋c <0(a>0)的 _{_x_|x_1_<_x_<_x_2}_ ____∅____ ___∅___
⇔x≥0 x－1x＋3>0
或xx<2－0 2x＋3<0
⇔x≥0 x<－3或x>1
或xx<∈0∅
⇔x>1,
所以原不等式的解集为{x|x>1}.
考点2 一元二次不等式恒成立问题
例2 已知函数f(x)＝mx2－mx－1. (1)若对于x∈R, f(x)<0恒成立, 求实数m的取 值范围; (2)若对于x∈[1,3], f(x)<5－m恒成立, 求实数 m的取值范围.
∴x∈[－12, 1)∪(1,3].
【答案】 D
• 变式训练
1. 已知函数 f(x)＝x－2＋x22＋x2xx≥x0<0 , 解不等 式 f(x)>3. 解：因为 f(x)＝x－2＋x22＋x2xx≥x0<0 , 所以 f(x)>3⇔xx2≥＋02x>3 或x－<x02＋2x>3
∴a＋b＝－14.
答案：－14
考点探究讲练互动
考点突破 考点1 一元二次不等式的解法
例1 解下列不等式： (1)2x2＋4x＋3>0; (2)－3x2－2x＋8≥0; (3)12x2－ax>a2(a∈R).
【解】 (1)∵Δ＝42－4×2×3<0, ∴方程2x2＋4x＋3＝0没有实根, 二次函数y＝2x2＋4x＋3的图象开口向上, 与 x轴没有交点, 即2x2＋4x＋3>0恒成立, 所以不等式2x2＋4x＋3>0的解集为R.
• 第2课时 一元二次不等式 及其解法
教材回扣夯实双基
基础梳理
1. 一元二次不等式与相应的二次函数及一 元二次方程的关系
判别式Δ＝
b2－4ac
Δ>0
二次函数y
＝ax2＋bx
＋c(a>0)的
图象
Δ＝0
Δ<0
判别式Δ＝ b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
一元二次方 有两相异实 有两相等
程ax2＋bx 根
答案：{x|23<x<1}
4. 一元二次不等式 ax2＋bx＋2>0 的解集是
(－12,
1 3),
则 a＋b 的值是________.
解析：由题意知方程 ax2＋bx＋2＝0 的两个根
为－12和13, 由根与系数的关系可得
－21＋13＝－ab
－1 2
·13＝2a
, ∴a＝－12, b＝－2,
思考探究 不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集为R的充 要条件是什么？
提示：a>0 Δ<0.
2. 求解一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0) 的算法过程
• 课前热身
• 1. (2011·高考广东卷)不等式2x2－x－1>0 的解集是( )
解析：选 D.∵2x2－x－1＝(2x＋1)(x－1), ∴由 2x2－x－1＞0 得(2x＋1)(x－1)＞0, 解得 x＞1 或 x＜－12,
①a>0 时,
－a4<a3,
解集为{x|x<－a4或
a x>3};
②a＝0 时, x2>0, 解集为{x|x∈R 且 x≠0};
③a<0 时, －a4>a3, 解集为{x|x<a3或 x>－a4}.
【题后感悟】 解一元二次不等式的一般步骤 (1)对不等式变形, 使一端为0且二次项系数大 于0; (2)计算相应的判别式; (3)当Δ≥0时, 求出相应的一元二次方程的根; (4)根据对应二次函数的图象, 写出不等式的 解集.
• 备选例题 (教师用书独具)
•
例 不等式xx－＋152≥2 的解集是(
)
A. [－3,
1 2]
B. [－12, 3]
C. [12, 1)∪(1,3]
D. [－12, 1)∪(1,3]
【解析】 xx－＋152≥2⇔xx＋ －51≥ ≠20x－12
－12≤x≤3 ⇔ x≠1
• 备选例题(教师用书独具)
•例
当x∈(1,2)时, 不等式2x2＋mx＋
8<0 【• 恒解成】立当, 则x∈m(的1,2取)时值,范不围等.式 2x2＋mx＋8<0
等价于 m<－2x2x＋8.
当 1<x<2 时, 8<2x＋8x<10, 即－10<－2x2x＋8<－8, 因此 m≤－10. 实数 m 的取值范围是(－∞, －10].
2. 不等式组xx22－ －13<x<00 的解集是(
)
A. {x|－1<x<1}
B. {x|0<x<3}
C. {x|0<x<1}
D. {x|－1<x<3}
解析：选 C.由xx22－ －13<x<00
得－1<x<1 0<x<3
.
∴0<x<1.
• 3. 已知函数f(x)＝－3x2＋5x－2, 则使函数 值大于0的x的取值范围是________.
• 【题后感悟】 • (1)解决恒成立问题, 一定要分清谁是自变
量, 谁是参数. 一般地, 知道谁的范围, 谁就 是自变量, 求谁的范围, 谁就是参数; • (2)对于二次不等式恒成立问题, 恒大于0就 是相应的二次函数的图象在给定的区间上 全部在x轴上方, 恒小于0就是相应的二次函 数的图象在给定的区间上全部在x轴下方.
(2)原不等式可化为 3x2＋2x－8≤0, ∵Δ＝100>0, ∴方程 3x2＋2x－8＝0 的两根为－2, 43, 结合二次函数 y＝3x2＋2x－8 的图象可知原 不等式的解集为{x|－2≤x≤43}.
(3)由 12x2－ax－a2>0⇔(4x＋a)(3x－a)>0
⇔(x＋a4)(x－a3)>0,
【解】 (1)由题意可得 m＝0 或mΔ＝<0m2＋4m<0 ⇔m＝0 或－4<m<0⇔－4<m≤0. 故 m 的取值范围为(－4,0]. (2)∵f(x)<－m＋5⇔m(x2－x＋1)<6, ∵x2－x ＋1>0,
∴m<x2－6x＋1对于 x∈[1,3]恒成立, 记 g(x)＝x2－6x＋1, x∈[1,3], 则 g(x)在[1,3]上为减函数, ∴[g(x)]min＝g(3)＝67, ∴m<67. 所以 m 的取值范围为(－∞, 67).
实根
＋c＝0(a>0)
的根
没有实数 根
判别式Δ＝ b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
ax2＋bx＋c Baidu Nhomakorabea0(a>0)的
__{_x_|x_<_x_1___ __或__x_>_x_2_} __
{ } | _x_∈_R_x_≠_－_2ba_ ___R____
解集
ax2＋bx＋c <0(a>0)的 _{_x_|x_1_<_x_<_x_2}_ ____∅____ ___∅___
⇔x≥0 x－1x＋3>0
或xx<2－0 2x＋3<0
⇔x≥0 x<－3或x>1
或xx<∈0∅
⇔x>1,
所以原不等式的解集为{x|x>1}.
考点2 一元二次不等式恒成立问题
例2 已知函数f(x)＝mx2－mx－1. (1)若对于x∈R, f(x)<0恒成立, 求实数m的取 值范围; (2)若对于x∈[1,3], f(x)<5－m恒成立, 求实数 m的取值范围.
∴x∈[－12, 1)∪(1,3].
【答案】 D
• 变式训练
1. 已知函数 f(x)＝x－2＋x22＋x2xx≥x0<0 , 解不等 式 f(x)>3. 解：因为 f(x)＝x－2＋x22＋x2xx≥x0<0 , 所以 f(x)>3⇔xx2≥＋02x>3 或x－<x02＋2x>3
∴a＋b＝－14.
答案：－14
考点探究讲练互动
考点突破 考点1 一元二次不等式的解法
例1 解下列不等式： (1)2x2＋4x＋3>0; (2)－3x2－2x＋8≥0; (3)12x2－ax>a2(a∈R).
【解】 (1)∵Δ＝42－4×2×3<0, ∴方程2x2＋4x＋3＝0没有实根, 二次函数y＝2x2＋4x＋3的图象开口向上, 与 x轴没有交点, 即2x2＋4x＋3>0恒成立, 所以不等式2x2＋4x＋3>0的解集为R.
• 第2课时 一元二次不等式 及其解法
教材回扣夯实双基
基础梳理
1. 一元二次不等式与相应的二次函数及一 元二次方程的关系
判别式Δ＝
b2－4ac
Δ>0
二次函数y
＝ax2＋bx
＋c(a>0)的
图象
Δ＝0
Δ<0
判别式Δ＝ b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
一元二次方 有两相异实 有两相等
程ax2＋bx 根
答案：{x|23<x<1}
4. 一元二次不等式 ax2＋bx＋2>0 的解集是
(－12,
1 3),
则 a＋b 的值是________.
解析：由题意知方程 ax2＋bx＋2＝0 的两个根
为－12和13, 由根与系数的关系可得
－21＋13＝－ab
－1 2
·13＝2a
, ∴a＝－12, b＝－2,