高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 第六节 对数与对数函数学案 理(含解析)新人教A版-新

第六节 对数与对数函数
2019考纲考题考情
1．对数的概念 (1)对数的定义
如果a x
＝N (a ＞0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数。

(2)几种常见对数
(1)对数的性质 ①a
log a
N
＝N (a >0且a ≠1，N >0)。

②log a a N
＝N (a ＞0，且a ≠1)。

(2)对数的重要公式
①换底公式：log b N ＝log a N
log a b (a ，b 均大于零，且不等于1)。

②log a b ＝1
log b a ，推广log a b ·log b c ·log c d ＝log a d 。

(3)对数的运算法则
如果a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N 。

②log a M N
＝log a M －log a N 。

③log a M n
＝n log a M (n ∈R )。

④log am M n ＝n m
log a M (m ，n ∈R )。

3．对数函数的图象与性质
4.y ＝a x
与y ＝log a x (a ＞0，a ≠1)的关系
指数函数y ＝a x
与对数函数y ＝log a x 互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称。

1．指数与对数的等价关系：a x
＝N ⇔x ＝log a N 。

2．换底公式的三个重要结论
(1)log a b ＝
1
log b a
； (2)log am b n
＝n m
log a b ；
(3)log a b ·log b c ·log c d ＝log a d 。

3．对数函数的图象与底数大小的比较
如图，作直线y ＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数。

故0<c <d <1<a <b 。

由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大。

一、走进教材
1．(必修1P 75A 组T 11改编)(log 29)·(log 34)＝( ) A ．14 B ．1
2
C ．2
D ．4 解析 (log 29)·(log 34)＝lg9lg2×lg4lg3＝2lg3lg2×2lg2lg3＝4。

故选D 。

答案 D
2．(必修1P 73练习T 3改编)已知a ＝2－13 ，b ＝log 213，c ＝log 12 1
3
，则( )
A ．a >b >c
B ．a >c >b
C ．c >b >a
D ．c >a >b
解析 因为0<a <1，b <0，c ＝log 12 1
3＝log 23>1。

所以c >a >b 。

故选D 。

答案 D 二、走近高考
3．(2017·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )，则( ) A ．f (x )在(0,2)上单调递增 B ．f (x )在(0,2)上单调递减
C ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称
D ．y ＝f (x )的图象关于点(1,0)对称
解析 因为f (x )＝ln x ＋ln(2－x )的定义域为(0,2)，f (x )＝ln[x (2－x )]＝ln[－(x －1)2
＋1]，由复合函数的单调性，知函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减，所以排除A ，B ；f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝ln 12＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12＝ln 34，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝ln 32＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－32＝ln 34，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫32＝ln 34，所以排除D ，故选C 。

答案 C
4．(2018·全国卷Ⅲ)设a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，则( ) A ．a ＋b <ab <0 B ．ab <a ＋b <0 C ．a ＋b <0<ab
D ．ab <0<a ＋b
解析 因为a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，所以1a ＝log 0.30.2，1b ＝log 0.32，所以1a ＋1
b
＝log 0.30.4，
所以0<1a ＋1b <1，即0<a ＋b ab
<1，又因为a >0，b <0，所以ab <0，即ab <a ＋b <0。

故选B 。

答案 B 三、走出误区
微提醒：①对数的运算性质不熟致误；②对数函数的图象特征不熟致误；③忽视对底数的讨论致误。

5．有下列结论：①lg(lg10)＝0；②lg(lne)＝0；③若lg x ＝1，则x ＝10；④若log 22＝x ，则x ＝1；⑤若log m n ·log 3m ＝2，则n ＝9。

其中正确结论的序号是________。

解析 ①lg10＝1，则lg(lg10)＝lg1＝0；②lg(lne)＝lg1＝0；③底的对数等于1，则
x ＝10；④底的对数等于1；⑤log m n ＝
lg n lg m ，log 3m ＝lg m lg3，则lg n
lg3
＝2，即log 3n ＝2，故n ＝9。

答案 ①②③④⑤
6．已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a >0，且a ≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( )
A ．a >1，c >1
B ．a >1,0<c <1
C ．0<a <1，c >1
D ．0<a <1,0<c <1
解析 由题图可知，函数在定义域内为减函数，所以0<a <1。

又当x ＝0时，y >0，即log a c >0，所以0<c <1。

故选D 。

答案 D
7．函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1，则a ＝________。

解析 分两种情况讨论：①当a >1时，有log a 4－log a 2＝1，解得a ＝2；②当0<a <1时，有log a 2－log a 4＝1，解得a ＝12。

所以a ＝2或12。

答案 2或1
2
考点一对数式的化简与求值
【例1】 (1)已知2log a (M －2N )＝log a M ＋log a N ，则M N
的值为________。

(2)已知2a ＝5b
＝10，则⎝ ⎛⎭
⎪⎫2a ＋2b 32 ＝________。

解析 (1)由题知⎩⎪⎨⎪
⎧
M －2N >0，M >0，
N >0，
所以M >2N >0。

由2log a (M －2N )＝log a M ＋log a N ，得
log a (M －2N )2
＝log a MN ，所以(M －2N )2
＝MN ，所以M 2－5MN ＋4N 2
＝0，即(M －4N )(M －N )＝0，所以M ＝4N 或M ＝N (舍去)，所以M N
＝4。

(2)由2a ＝5b
＝10可得a ＝1lg2，b ＝1lg5，所以2a ＋2b ＝2(lg2＋lg5)＝2，所以⎝ ⎛⎭
⎪⎫2a ＋2b 3
2
＝
22。

答案 (1)4 (2)2 2
1．对数运算法则是在化为同底的情况下进行的，因此经常会用到换底公式及其推论，在对含有字母的对数式进行化简时，必须保证恒等变形。

2．利用对数运算法则，在真数的积、商、幂与对数的和、差、倍之间进行转化，需注意真数大于0。

【变式训练】 (1)求值：lg 27＋lg8－3lg 10
lg1.2＝________。

(2)设函数f (x )＝3x
＋9x
，则f (log 32)＝________。

答案 (1)3
2
(2)6
考点二对数函数的图象及应用
【例2】 (1)若函数y ＝a |x |
(a >0，且a ≠1)的值域为{y |y ≥1}，则函数y ＝log a |x |的图象大致是( )
A B C D
(2)设实数a ，b ，c 分别满足2a 3
＋a ＝2，b log 2b ＝1，c log 5c ＝1，则a ，b ，c 的大小关系为( )
A ．a >b >c
B ．b >a >c
C ．c >b >a
D ．a >c >b
解析 (1)由于y ＝a |x |
的值域为{y |y ≥1}，所以a >1，则y ＝log a x 在(0，＋∞)上是增函数，又函数y ＝log a |x |的图象关于y 轴对称。

因此y ＝log a |x |的图象应大致为选项B 。

(2)令f (x )＝2x 3
＋x －2，则f (x )在R 上单调递增，且f (0)·f (1)＝－2×1＝－2<0，即
a ∈(0,1)。

在同一坐标系中作出y ＝1
x
，y ＝log 2x ，y ＝log 5x 的图象，由图象得1<b <c ，故c >b >a 。

故选C 。

答案 (1)B (2)C
1．在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项。

2．一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解。

【变式训练】 (1)函数f (x )＝log a |x |＋1(0<a <1)的图象大致为( )
(2)已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
log 2x ，x >0，
3x
，x ≤0，关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，
则实数a 的取值范围是________。

解析 (1)由函数f (x )的解析式可确定该函数为偶函数，图象关于y 轴对称。

设g (x )＝log a |x |，先画出x >0时，g (x )的图象，然后根据g (x )的图象关于y 轴对称画出x <0时g (x )的图象，最后由函数g (x )的图象向上整体平移一个单位即得f (x )的图象，结合图象知选A 。

(2)问题等价于函数y ＝f (x )与y ＝－x ＋a 的图象有且只有一个交点，结合函数图象可知a >1。

答案 (1)A (2)(1，＋∞)
考点三对数函数的性质及应用微点小专题 方向1：比较对数值的大小
【例3】 (2018·天津高考)已知a ＝log 2e ，b ＝ln2，c ＝log 12 1
3，则a ，b ，c 的大小
关系为( )
A ．a >b >c
B ．b >a >c
C ．c >b >a
D ．c >a >b
解析 因为a ＝log 2e>1，b ＝ln2∈(0,1)，c ＝log 12 1
3＝log 23>log 2e>1，所以c >a >b 。

故
选D 。

解析：log 12 1
3＝log 23，如图，在同一坐标系中作出函数y ＝log 2x ，y ＝ln x 的图象，由
图知c >a >b 。

故选D 。

答案 D
对数值的大小比较方法：①化为同底的对数后利用函数的单调性比较；②利用作差或作商法比较；③利用中间值(0或1)比较；④化为同真数的对数后利用图象比较。

方向2：解不等式
【例4】 (2018·福建漳州调研)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≤0时，
f (x )为减函数，则不等式f (lo
g 13
(2x －5))>f (log 38)的解集为( )
A ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 52<x <
4116 B ．⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪
x >13
2
C ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 52
<x <4116或x >
132 D ．⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪
x <52或4116<x <
13
2 解析 因为函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在(－∞，0]上单调递减，所以可将
f (lo
g 13
(2x －5))>f (log 38)化为|log 13
(2x －5)|>|log 38|，即log 3(2x －5)>log 38或
log 3(2x －5)<－log 38＝log 318，即2x －5>8或0<2x －5<18，解得x >132或52<x <41
16。

故选C 。

答案 C
解此类不等式的关键是利用函数的单调性脱去函数符号“f ”，变原函数不等式为对数不等式，再把对数不等式化为同底的对数不等式，再利用对数函数的单调性进行求解。

方向3：对数性质的综合应用
【例5】 已知函数f (x )＝log 4(ax 2
＋2x ＋3)。

(1)若f (1)＝1，求f (x )的单调区间。

(2)是否存在实数a ，使f (x )的最小值为0？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由。

解 (1)因为f (1)＝1，所以log 4(a ＋5)＝1，因此a ＋5＝4，即a ＝－1， 这时f (x )＝log 4(－x 2
＋2x ＋3)。

由－x 2
＋2x ＋3>0，得－1<x <3， 即函数f (x )的定义域为(－1,3)。

令g (x )＝－x 2
＋2x ＋3，则g (x )在(－1,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减。

又y ＝log 4x 在(0，＋∞)上单调递增，
所以f (x )的单调递增区间是(－1,1)，单调递减区间是(1,3)。

(2)假设存在实数a ，使f (x )的最小值为0， 则h (x )＝ax 2＋2x ＋3应有最小值1，
因此应有⎩⎪⎨⎪
⎧
a >0，3a －1
a
＝1，解得a ＝1
2。

故存在实数a ＝1
2
，使f (x )的最小值为0。

利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的。

【题点对应练】
1．(方向1)设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则( ) A ．c >b >a B ．b >c >a C ．a >c >b D ．a >b >c
解析 因为a ＝log 36＝log 33＋log 32＝1＋log 32，b ＝log 510＝log 55＋log 52＝1＋log 52，
c ＝log 714＝log 77＋log 72＝1＋log 72，因为log 32>log 52>log 72，所以a >b >c 。

故选D 。

答案 D
2．(方向2)若log a 2
3
<1，则实数a 的取值范围是______。

解析 当a >1时，函数y ＝log a x 在定义域内为增函数，所以log a 2
3<log a a ＝1总成立。

当0<a <1时，函数y ＝log a x 在定义域内是减函数，由log a 23<log a a 得a <23，所以0<a <2
3。

综
上，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，23∪(1，＋∞)。

答案 ⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，23∪(1，＋∞) 3．(方向3)已知函数f (x )＝log a (2x －a )在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，23上恒有f (x )>0，则实数a 的取值范围是________。

解析 当0<a <1时，函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，23上是减函数，所以log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫43－a >0，即0<43－a <1，又2×12
－a >0，解得13
<a <43
，且a <1，故13
<a <1；当a >1时，函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，23上
是增函数，所以log a (1－a )>0，即1－a >1，且2×1
2
－a >0，解得a <0，且a <1，此时无解。

综上所述，实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭
⎪⎫13，1。

答案 ⎝ ⎛⎭
⎪⎫13，1
错误!
1．(配合例2使用)函数y ＝lncos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2
<x <π2的大致图象是( )
解析 在⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2上，t ＝cos x 是减函数，则y ＝lncos x 是减函数，且函数值y <0，故排
除B ，C ；又因为y ＝lncos x 是偶函数，排除D 。

故选A 。

答案 A
2．(配合例2使用)已知函数f (x )＝x 2
－log m x 在⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，12上恒有f (x )<0成立，则实数m
的取值范围为________。

解析 要使函数f (x )＝x 2－log m x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上恒有f (x )<0成立，则有x 2
<log m x 在⎝ ⎛⎭
⎪
⎫0，12上恒成立，则有0<m <1。

在同一坐标系中作出y ＝x 2
和y ＝log m x 的图象(如图所示)。

因为当x ＝12时，y ＝x 2
＝14，所以只需y ＝log m 12≥14＝log m m 14 ，所以12≤m 1
4 ，即116≤m ，又因为0<m <1，所以116≤m <1，所以实数m 的取值范围是1
16
≤m <1。

答案
1
16
≤m
<1
3．(配合例3使用)设a ＝2 01712 018 ，b ＝log 2 017 2 018，c ＝log 2 0181
2 017，则( )
A ．c >b >a
B ．b >c >a
C ．a >c >b
D ．a >b >c
解析 因为a ＝2 01712 018 >2 0170
＝1,0<b ＝log 2 017 2 018<log 2 0172 017＝1，c ＝log 2
018
1
2 017<log 2 0181＝0，所以a >b >c 。

故选D 。

答案 D
4．(配合例4使用)若log a (a 2
＋1)<log a 2a <0，则a 的取值范围是( ) A ．(0,1)
B ．⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，12 C ．⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，1 D ．(0,1)∪(1，＋∞)
解析 由题意得a >0且a ≠1，故必有a 2
＋1>2a ，又log a (a 2
＋1)<log a 2a <0，所以0<a <1，同时2a >1，所以a >12。

综上，a ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，1。

故选C 。

答案 C
5．(配合例4使用)已知函数f (x )＝ln(a x
＋b )(a >0且a ≠1)是R 上的奇函数，则不等式
f (x )>a ln a 的解集是( )
A ．(a ，＋∞)
B ．(－∞，a )
C ．当a >1时，解集是(a ，＋∞)，当0<a <1时，解集是(－∞，a )
D ．当a >1时，解集是(－∞，a )，当0<a <1时，解集是(a ，＋∞)
解析 依题意，f (0)＝ln(1＋b )＝0，解得b ＝0，于是f (x )＝ln a x
＝x ln a 。

所以f (x )>a ln a ⇔x ln a >a ln a 。

当a >1时，x >a ；当0<a <1时，x <a 。

故选C 。

答案 C
6．(配合例5使用)已知π为圆周率，e ＝2.718 28…为自然对数的底数，则( ) A ．πe
<3e
B ．πlog 3e>3log πe
C ．3
e －2π<3πe －2
D ．log πe>log 3e
解析 对于A ，因为函数y ＝x e
是(0，＋∞)上的增函数，且π>3，所以πe
>3e
，A 项错
误；对于B ，πlog 3e>3log πe ⇔πln3>3lnπ
⇔πlnπ>3ln3⇔ππ>33，B 项正确；对于C,3e －2π<3π
e
－2
⇔3
e －3
<π
e －3
，而函数y ＝x
e －3
是(0，＋∞)上的减函数，C 项错误；对于D ，log πe>log 3e ⇔
1lnπ>1
ln3
⇔lnπ<ln3，而函数y ＝ln x 是(0，＋∞)上的增函数，D 项错误。

故选B 。

答案 B
特例法和设元法巧解三元变量比较大小问题
比较大小时，若题设涉及三个指数式连等，或三个对数式连等，则可利用特例法求解，也可在设元变形的基础上，灵活运用相关函数的性质求解。

【典例】 设x ，y ，z 为正实数，且log 2x ＝log 3y ＝log 5z >0，则x 2，y 3，z
5的大小关系不
可能是( )
A ．x 2<y 3<z
5 B ．y 3<x 2<z 5 C ．x 2＝y 3＝z
5
D ．z 5<y 3<x
2
【解析】 解法一：取x ＝2，则由log 2x ＝log 3y ＝log 5z 得y ＝3，z ＝5，此时易知x 2＝
y
3＝z 5，此时选项C 正确。

取x ＝4，则由log 2x ＝log 3y ＝log 5z 得y ＝9，z ＝25，此时易知x 2<y 3<z 5，此时选项A 正确。

取x ＝2，则由log 2x ＝log 3y ＝log 5z 得y ＝3，z ＝5，此时易知z 5<y 3<x
2，
此时选项D 正确。

综上，利用排除法可知本题应选B 。

解法二：设log 2x ＝log 3y ＝log 5z ＝k ，则x ＝2k
，y ＝3k
，z ＝5k
，所以x
2
＝2
k －1
，y
3
＝3k －1
，
z
5
＝5
k －1。

又易知k >0，接下来对k 与1的大小关系加以讨论。

若k ＝1，则x 2＝1，y 3＝1，z
5
＝1，
所以x 2＝y 3＝z
5，所以选项C 有可能正确。

若0<k <1，则根据函数f (t )＝t
k －1
在(0，＋∞)上单
调递减可得2k －1
>3
k －1
>5
k －1
，所以z 5<y 3<x
2
，所以选项D 有可能正确。

若k >1，则根据函数f (t )
＝t
k －1
在(0，＋∞)上单调递增可得2k －1
<3
k －1
<5
k －1
，所以x 2<y 3<z
5
，所以选项A 有可能正确。

综
上，利用排除法可知选B 。

【答案】 B
解法一是在特例的基础上，结合排除法解答；解法二借助设元变形，先将目标问题等价转化为考查2k－1,3k－1,5k－1的大小，再对幂函数f(t)＝t k－1的单调性加以讨论分析。

特别提醒——幂函数y＝xα在(0，＋∞)上的单调性可分为三种情况：①若α>0，则单调递增；②若α＝0，则为常函数；③若α<0，则单调递减。

【变式训练】设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则( )
A．3y<2x<5z B．2x<3y<5z
C．3y<5z<2x D．5z<2x<3y
解析取z＝1，则由2x＝3y＝5得x＝log25，y＝log35，所以2x＝log225<log232＝5z,3y ＝log3125<log3243＝5z，所以5z最大。

取y＝1，则由2x＝3得x＝log23，所以2x＝log29>3y。

综上可得，3y<2x<5z。

故选A。

解析：
答案 A。