大一下学期高数期末试题及答案

大一下学期高数期末试题及答案
一、选择题（每题2分，共10分）
1. 极限的定义中，ε的值可以是（）。

A. 任意正整数
B. 任意正实数
C. 固定正整数
D. 只有1
2. 若函数f(x)在点x=a处连续，则以下哪项正确？（）
A. f(a)为f(x)在x=a处的极限值
B. f(a)等于f(x)在x=a处的左极限值
C. f(a)等于f(x)在x=a处的右极限值
D. 所有上述选项都正确
3. 以下级数中，收敛的是（）。

A. 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...
B. (1 + 1/2) + (1/3 + 1/4) + (1/5 + 1/6) + ...
C. 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - ...
D. 1 + 1/√2 + 1/√3 + 1/√4 + ...
4. 函数y = x^2的导数为（）。

A. 2x
B. x^2
C. 1/x
D. -2x
5. 微分方程dy/dx = x^2, y(0) = 0的解为（）。

A. y = x^3
B. y = -x^3
C. y = 1/x
D. y = -1/x
二、填空题（每题2分，共10分）
6. 极限lim(x→0) (sin(x)/x) = _______。

7. 函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6的单调递增区间为 _______。

8. 定积分∫(0→2) x^2 dx = _______。

9. 曲线y = x^3在点x=1处的切线斜率为 _______。

10. 微分方程d/dx(y^2) = 2xy，y(0) = 0的通解为 y = _______。

三、计算题（每题10分，共30分）
11. 求函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 5从x=-1到x=3的定积分值。

12. 求函数g(x) = e^(2x)的导数，并计算在区间[0,1]上的定积分值。

13. 求由曲线y = x^2, y = 2x - 1, x = 0所围成的面积。

四、综合题（每题15分，共30分）
14. 已知函数h(x) = x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1，求h(x)的所有
极值点。

15. 一个水箱的形状为底面半径为r，高为h的圆柱体，其容积为V。

如果水箱的侧面积为S，求水箱的底面半径r与高h之间的关系。

答案：
一、选择题
1. B
2. D
3. C
4. A
5. A
二、填空题
6. 1
7. [2, +∞)
8. 8/3
9. 2
10. y = (x^2 + c)
三、计算题
11. 49/2
12. e^2 - 1
13. 1/3π
四、综合题
14. x = 1, x = 2, x = 3
15. V = πr^2h, S = 2πr^2, 解得r = √(S/(2πV))。