《中位数与众数》教案 (公开课)2022年2

§6.2 中位数与众数
一、教学目标：
1.掌握中位数、众数等数据代表的概念，能根据所给信息求出相应的数据代表。

2.合具体情境体会平均数、中位数和众数三者的差异，能初步选择恰当的数据代表对数据做出自己的判断。

3.培养学生对统计数据从多角度进行全面的分析，从而防止机械的、片面的解释。

二、教学重点和难点：
重点：掌握中位数、众数等数据代表的概念。

难点：选择恰当的数据代表对数据做出判断。

三、教学过程：
〔一〕创设情景，引出课题
师：在当今信息时代，信息的重要性不言而喻，而人们又经常要求一些信息“用数据说话〞，所以对数据做出恰当的分析是很重要的。

今天我们一起来学习数据的代表以及如何选择恰当的数据代表对数据做出判断。

我们一起来看以下一组数据：
课件显示：
问题1：数据误导：
某次数学考试，婷婷得到78分。

全班共30人, 其他同学的成绩为1个100分，4个90分, 22个80分,以及一个2分和一个10分。

婷婷计算出全班的平均分为77分，所以婷婷告诉妈妈说，自己这次成绩在班上处于“中上水平〞。

师：婷婷有欺骗妈妈吗？
【板书：平均数：对于n 个数x 1,x 2,…,x n ,我们把n
1(x 1+x 2+…+x n )叫做这n 个数的算术平均数(mean)，简称平均数。

】
生：没有。

师：平均数是我们常用的一个数据代表，但是在这里，利用平均数把倒数第三的分数说成处于班级的“中上水平〞显然有投机取巧之嫌，大家思考：那么问
题出在哪里呢？
生：平均分受两个极端数据2分和10分的影响。

师：你对此有何评价？
生：…
〔复习了平均数的概念，同时说明有些数据利用平均数是反响不出问题的，为引入其他数据代表奠定根底。

另外新课伊始，力求创设一种引人入胜的教学情景，挖掘出趣味因素，最大限度地吸引学生的课堂投入，符合学生的心理特征和认识规律。

〕
师：类似的受平均数误导例子还是很多的。

婷婷的爸爸的公司在一次招聘时就出现了如下的情景。

问题2 阿冲应聘
先请一位同学给画面编一段话。

然后提问：
经理所说的公司的平均月薪2700元是否欺骗了阿冲？
平均月薪2700元能客观反映公司员工的平均收入吗？
假设不能，你认为用哪个数据表示该公司员工收入的平均水平更适宜？
〔二〕交流对话，探究新知
提出一个真实的问题，揭示学生认识上的矛盾，产生新的疑点，引起学生对“平均水平〞的认知冲突，从而引入中位数和众数的概念.
板书：中位数——把n个数据按大小、顺序排列，处于最中间位置的一个数据(或)叫做这组数据的中位数〔median〕.
众数——组数据中出现次数最多的那个数据，叫做这批数据的众数〔mode〕.
教师提问：大家对这两个概念还有什么疑问吗？
生：如果数据有偶数个时，如何求中位数？
师：取最中间两个数据的平均数。

〔用彩色粉笔板书补充〕
生：如果数据中两个数据出现次数相等，众数是哪一个？
师：两个都是. 〔用彩色粉笔板书：众数可以有多个〕
生：如果数据中每个数据都只有出现一次呢？
师：这组数据没有众数。

〔用彩色粉笔板书:众数也可能没有〕
生：一组数据总是重复一个数呢？
师：这个数就是这组数据的众数。

〔用彩色粉笔板书补充〕
师：还有什么疑问吗？
那么我们一起来做几个练习。

练习
1、数据1 2 8 5 3 9 5 4 5 4的众数、中位数分别为〔〕
A．4.5、5 B．5、4.5 C．5、4 D．5、 5 答：B
2、对于数据组3，3，2，3，6，3，10，3，6，3，2
①这组数据的众数是3；
②这组数据的众数与中位数的数值不等；
③这组数据的中位数与平均数的数值相等；
④这组数据的平均数与众数的数值相等。

其中正确的结论有〔〕
A．1个B．2个C．3个D．4个答：A
3、婷婷的妈妈是一位校鞋经销部的经理，为了解鞋子的销售情况，随机调查了9位学生的鞋子的尺码，由小到大是：
20，21，21，22，22，22，22，23，23。

对这组数据的分析中，婷婷的妈妈最感兴趣的数据代表是〔〕
A．平均数B．中位数C．众数
答：C
〔三〕梳理概括，形成结构
师：通过刚刚的练习，我们根本掌握了数据三个代表的概念。

〔结合课件画面〕在实际生活中针对同一份材料，同一组数据，当人们怀着不同的目的，选择不同的数据代表，从不同的角度进行分析时，看到的结果可能是截然不同的。

婷婷同学利用自己的分数正好高出平均分的优势，采用了平均数作为数据代表来向她妈妈汇报，从而得出自己的分数还是处于班级中上水平的结论。

婷婷爸爸也是利用自己公司的平均工资较高的优势，拿平均工资来吸引应聘者。

作为信息的接受者，分析数据应该从多角度对统计数据作出较全面的分析，从而防止机械的，片面的解释.
〔四〕应用新知，体验成功
下面我们自己也试着把学过的知识应用到实际中。

〔课件显例如1〕
例1 某班的教室里，三位同学正在为谁的数学成绩最好而争论，他们的五次数学成绩分别是：
小玲：62，94，95，98，98.
小明：62，62，98，99，100.
小丽：40，62，85，99，99.
他们都认为自己的成绩比另两位同学的好，请你结合各组数据的三个数据代表，谈谈你的观点。

〔教师把班级学生分为4大组，分别代表小玲、小明、小丽和裁判组。

让学
生充分利用本组数据中的优势数据代表进行讨论。

教师适当点评〕〔五〕变式练习，扩展新知
师：刚刚大家知识的应用得很好。

〔结合课件〕议一议：平均数、中位数与众数都有哪些自己的特点？
教师引导学生围绕以下内容展开：
平均数:充分利用数据所提供信息,应用最为广泛，但…
中位数:计算简单,受极端值影响较小,但…
众数:当一组数据中有些数据屡次重复出现时,众数往往是人们尤为关心的一个量.
下面由我们自己去收集一组生活中的数据，然后再选择恰当的数据代表来说明本组数据的特征。

全班每个学习小组分别测出一组和本组同学相关的生活数据〔例如每分钟心跳的次数，每分钟呼吸的次数，同学眼镜近视的度数、中指的长度、身高等等〕，然后由各组选择一位代表上来发布本组同学的所得数据的平均数、中位数和众数，并选择其中一个数据代表来说明本组数据的特征。

〔教师发给每个小组一张?活动报告单?，深入到学生活动中，适当答疑〕〔教师视课堂具体的时间的情况选择是否讲解：假设你是一名厂长……〕〔六〕反响评价，提示作业
平均数、中位数和众数各有所长，也各有其短。

请你分别结合具体实例，说明平均数、中位数和众数各自的现实意义。

1. 用平均数作为一组数据的代表，比较可靠和稳定，它与这组数据中的每一个数都有关系，对这组数据所包含的信息的反映最为充分，因而其应用最为广泛，特别是在进行统计推断时有重要的作用；但计算时比较烦琐，并且容易受到极端数据的影响。

2. 用众数作为一组数据的代表，着眼于对各数据出现的频数的考察，其大小只与这组数据中的局部数据有关，可靠性比较差，但众数不受极端数据的影响．当一组数据中有不少数据屡次重复出现时，其众数往往是我们关心的一种统计量。

3. 用中位数作为一组数据的代表，可靠性也比较差，但中位数也不受极端数据的影响，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用它来描述其集中趋势。

总结：
今天我们都学到哪些知识？
1.根据不同的实际需要，确定用平均数、中位数还是众数反映数据的特征。

2.平均数是最常用的指标。

但在实际问题中，不能一味的使用平均数来确定数据的特征。

补充练习：
想一想：
高一级学校录取新生主要是依据考生的总分，这与平均数、中位数和众数中的哪一个关系较大？
答：和平均数的关系较大。

计算平均数时用到了每一个数据，所以它对数据的变化比较敏感。

平均数是最常用的指标。

与中位数和众数相比，它有时能够获得更多的信息。

思考题：
随着汽车的日益普及，越来越多的城市发生了令人头疼的交通堵塞问题。

你认为衡量某条交通主干道的路况用过往车辆一天车速的平均数适宜吗？
分析：
人们上下班的时候是一天中最繁忙的两个时段，其他时段车流量明显减少，因此，如果用一天车速的平均数来衡量道路的路况，那么上下班交通堵塞的问题就给掩盖了。

所以，较为合理的是按道路繁忙的不同程度，将一天分为几个时段分别计算平均车速。

课后练习
简答题，请说明理由：
〔1〕河水的平均深度为2.5米，一个身高1.5米但不会游泳的人下水后肯定会淹死吗？
〔2〕某学校录取新生的平均成绩是535分，如果某人的考分是531分，他肯定没有被这个学校录取吗？
〔3〕5位学生在一次考试中的得分分别是：18，73，78，90，100考分为73的同学是在平均分之上还是之下？你认为他在5人中考分属“ 中上〞水平吗？
作业布置；〔P144页习题6.3〕1.8 完全平方公式(一)
●教学目标
(一)教学知识点
1.完全平方公式的推导及其应用.
2.完全平方公式的几何背景.
(二)能力训练要求
1.经历探索完全平方公式的过程，进一步开展符号感和推理能力.
2.重视学生对算理的理解，有意识地培养他们有条理的思考和表达能力.
(三)情感与价值观要求
1.了解数学的历史，激发学习数学兴趣.
2.鼓励学生自己探索算法的多样化，有意识地培养学生的创新能力.
●教学重点
1.完全平方公式的推导过程、结构特点、语言表述、几何解释.
2.完全平方公式的应用.
●教学难点
1.完全平方公式的推导及其几何解释.
2.完全平方公式结构特点及其应用.
●教学方法
自主探索法
学生在教师的引导下自主探索完全平方公式的几何解释、代数运算角度的推理，揭示其结构特点，然后到达合理、熟练地应用.
●教具准备
投影片四张
第一张：试验田的改造，记作(§1.8.1 A)
第二张：想一想，记作(§1.8.1 B)
第三张：例题，记作(§1.8.1 C)
第四张：补充练习，记作(§1.8.1 D)
●教学过程
Ⅰ.创设问题情景，引入新课
［师］去年，一位老农在一次“科技下乡〞活动中得到启示，将一块边长为a米的正方形农田改成试验田，种上了优质的杂交水稻，一年来，收益很大.今年，又一次“科技下乡〞活动，使老农铁了心，要走科技兴农的路子，于是他想把原
来的试验田，边长增加b米，形成四块试验田，种植不同的新品种.
同学们，谁来帮老农实现这个愿望呢？
(同学们开始动手在练习本上画图，寻求解决的途径)
［生］我能帮这位爷爷.
［师］你能把你的结果展示给大家吗？
［生］可以.如图1－25所示，这就是我改造后的试验田，可以种植四种不同的新品种.
图1－25
［师］你能用不同的方式表示试验田的面积吗？
［生］改造后的试验田变成了边长为(a+b)的大正方形，因此，试验田的总面积应为(a+b)2.
［生］也可以把试验田的总面积看成四局部的面积和即边长为a的正方形面积，边长为b的正方形的面积和两块长和宽分别为a和b的面积的和.所以试验田的总面积也可表示为a2+2ab+b2.
［师］很好！同学们用不同的形式表示了这块试验田的总面积，进行比较，你发现了什么？
［生］可以发现它们虽形式不同，但都表示同一块试验田的面积，因此它们应该相等.即(a+b)2=a2+2ab+b2
［师］我们这节课就来研究上面这个公式——完全平方公式.
Ⅱ.讲授新课
1.推导完全平方公式
［师］我们通过比照试验田的总面积得出了完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2.其实，据有关资料说明，古埃及、古巴比伦、古印度和古代中国人也是通过类似的图形认识了这个公式.我们姑且把这种方法看作对完全平方公式的一个几何解
释.能不能从代表运算的角度也能推导出这样的公式呢？
(出示投影片§1.8.1 A)
想一想：
(1)(a+b)2等于什么？你能用多项式乘法法那么说明理由吗？
(2)(a－b)2等于什么？你是怎样想的.
(同学们可先在自己的练习本上推导，教师巡视推导的情况，对较困难的学生以启示)
［生］用多项式乘法法那么可得
(a+b)2=(a+b)(a+b)=a(a+b)+b(a+b)
=a2+ab+ab+b2
=a2+2ab+b2
所以(a+b)2=a2+2ab+b2 (1)
［师］上面的几何解释和代数推导各有什么利弊？
［生］几何解释完全平方公式给我们以非常直观的认识，但几何解释(a+b)2=a2+2ab+b2,受到了条件限制:a>0且b>0;
代数推导完全平方公式虽然不直观，但在推导的过程中，a,b可以是正数，可以是负数，零，也可以是单项式,多项式.
［师］同学们分析得很有道理.接下来，我们来完成第(2)问.
［生］也可利用多项式乘法法那么，那么(a－b)2=(a－b)(a－b)=a2－ab－ba+b2=a2－2ab+b2.
［生］我是这样想的，因(a+b)2=a2+2ab+b2中的a、b可以是任意数或单项式、多项式.我们用“－b〞代替公式中的“b〞,利用上面的公式就可以得到(a－b)2=［a+(－b)］2.
［师］这位同学的想法很好.因为他很留心我们表述的每一句话的含义，你能继续沿着这个思路做下去吗？我们一块试一下.
［师生共析］
(a－b)2=［a+(－b)］2=a2+2·a·(－b)+(－b)2
↓↓↓↓ ↓ ↓
(a +b)2=a2+2·a ·b + b2
=a2－2ab+b2.
于是，我们得到又一个公式：
(a－b)2=a2－2ab+b2(2)
［师］你能用语言描述上述公式(1)、(2)吗？
［生］公式(1)用语言描述为：两个数的和的平方等于这两个数的平方和与它们积的2倍的和；公式(2)用语言描述为：两个数的差的平方等于这两个数的平方和与它们积的2倍的差.这两个公式为完全平方公式.它们和平方差公式一样可以使整式的运算简便.
2.应用、升华
出示投影片(§1.8.1 B)
［例1］利用完全平方公式计算：
(1)(2x－3)2;(2)(4x+5y)2;
(3)(mn－a)2.
分析：利用完全平方公式计算，第一步先选择公式；第二步，准确代入公式；第三步化简.
解：(1)方法一：
［例2］利用完全平方公式计算
(1)(－x+2y)2;(2)(－x－y)2;
(3)(x+y－z)2;(4)(x+y)2－(x－y)2;
(5)(2x－3y)2(2x+3y)2.
分析：此题需灵活运用完全平方公式，(1)题可转化为(2y －x)2或(x －2y)2,再运用平方差公式；(2)题需转化为(x+y)2,利用和的完全平方公式；(3)题利用加法结合律变形为［(x+y)－z ］2(或［x+(y －z)］2、［(x －z)+y ］2),再用完全平方公式计算；(4)题可利用完全平方公式，再合并同类项，也可逆用平方差公式进行计算.(5)题可先逆用幂的运算性质变形，再用平方差公式和完全平方公式.
解：(1)方法一：(－x+2y)2=(2y －x)2
=4y 2－4xy+x 2；
方法二：(－x+2y)2=［－(x －2y)］2=(x －2y)2=x 2－4xy+4y 2.
(2)(－x －y)2=［－(x+y)］2=(x+y)2=x 2+2xy+y 2.
(3)(x+y －z)2=［(x+y)－z ］2=(x+y)2－2(x+y)·z+z 2
=x 2+y 2+z 2+2xy －2zx －2yz.
(4)方法一：(x+y)2－(x －y)2
=(x 2+2xy+y 2)－(x 2－2xy+y 2)
=4xy.
方法二：(x+y)2－(x －y)2
=［(x+y)+(x －y)］［(x+y)－(x －y)］=4xy.
(5)(2x －3y)2(2x+3y)2
=［(2x －3y)(2x+3y)］2
=［4x 2－9y 2］2
=16x 4－72x 2y 2+81y 4.
Ⅲ.随堂练习
课本1.计算： (1)(21x －2y)2;(2)(2xy+5
1x)2; (3)(n+1)2－n 2.
解：(1)(21x －2y)2=(21x)2－2·21x·2y+(2y)2=4
1x 2－2xy+4y 2 (2)(2xy+51x)2=(2xy)2+2·2xy·51x+(51x)2=4x 2y 2+54x 2y+251x 2
(3)方法一：(n+1)2－n 2=n 2+2n+1－n 2=2n+1.
方法二：(n+1)2－n 2=［(n+1)+n ］［(n+1)－n ］=2n+1.
Ⅳ.课后作业
1.课本习题1.13的第1、2、3题.
2.阅读“读一读〞，并答复文章中提出的问题.
Ⅴ.活动与探究
甲、乙两人合养了n头牛，而每头牛的卖价恰为n元.全部卖完后两人分钱方法如下：先由甲拿10元，再由乙拿10元，如此轮流，拿到最后剩下缺乏十元，轮到乙拿去，为了平均分配，甲应该补给乙多少元钱？
［过程］因牛n头，每头卖n元，故共卖得n2元.
令a表示n的十位以前的数字，b表示n的个位数字.即n=10a+b,于是n2=(10a+b)2=100a2+
20ab+b2=10×2a(5a+b)+b2.
因甲先取10元，而乙最后一次取钱时缺乏10元，所以n2中含有奇数个10元，以及最后剩下缺乏10元.
但10×2a(5a+b)中含有偶数个10元，因此b2中必含有奇数个10元，且b<10，所以b2只可能是1、4、9、16、25、36、49、64、81，而这九个数中，只有16和36含有奇数个10，因此b2只可能是16或36，但这两个数的个位数都是6，这就是说，乙最后所拿的是6元(即剩下缺乏10元).
［结果］甲比乙多拿了4元，为了平均分配甲必须补给乙2元.
●板书设计
1.8. 完全平方公式(一)
一、几何背景
试验田的总面积有两种表示形式：
①a2+2ab+b2
②(a+b)2
比照得：(a+b)2=a2+2ab+b2
二、代数推导
(a+b)2=(a+b)(a+b)
=a2+2ab+b2
(a－b)2=［a+(－b)］2
=a2－2ab+b2
三、例题讲例
例1.利用完全平方公式计算：
(1)(2x－3)2
(2)(4x+5y)2
(3)(mn－a)2
四、随堂练习(略)
●备课资料
一、杨辉
杨辉，中国南宋时期杰出的数学家和数学教育家.在13世纪中叶活动于苏杭一带，其著作甚多.
他著名的数学书共五种二十一卷.著有?详解九章算法?十二卷(1261年)、?日用算法?二卷(1262年)、?乘除通变本末?三卷(1274年)、?田亩比类乘除算法?二卷(1275年)、?续古摘奇算法?二卷(1275年).
杨辉的数学研究与教育工作的重点是在计算技术方面，他对筹算乘除捷算法进行总结和开展，有的还编成了歌诀，如九归口诀。

他在?续古摘奇算法?中介绍了各种形式的“纵横图〞及有关的构造方法，同时“垛积术〞是杨辉继沈括“隙积术〞后，关于高阶等差级数的研究.杨辉在“纂类〞中，将?九章算术?246个题目按解题方法由浅入深的顺序，重新分为乘除、分率、合率、互换、二衰分、叠积、盈缺乏、方程、勾股等九类.
他非常重视数学教育的普及和开展，在?算法通变本末?中，杨辉为初学者制订的“习算纲目〞是中国数学教育史上的重要文献.
二、参考练习
1.填空题
(1)(－3x+4y)2= .
(2)(－2a－b)2= .
(3)x2－4xy+ =(x－2y)2.
(4)a 2+b 2=(a+b)2+ . (5)41
a 2+ +9
b 2=(21
a+3b)2.
(6)(a －2b)2+(a+2b)2= .
2.选择题
(1)以下计算正确的选项是( )
A.(m －1)2=m 2－1
B.(x+1)(x+1)=x 2+x+1
C.(21x －y)2=41x 2
－xy －y 2
D.(x+y)(x －y)(x 2－y 2)=x 4－y 4
(2)如果x 2+mx+4是一个完全平方式，那么m 的值是( )
A.4
B.－4
C.±4
D.±8
(3)将正方形的边长由a cm 增加6 cm,那么正方形的面积增加了(
) A.36 cm 2 B.12a cm 2
C.(36+12a)cm 2
D.以上都不对
3.用乘法公式计算 (1)(21
x －31
y)2
(2)(x 2－2y 2)2－(x 2+2y 2)2
(3)29×31×(302+1)
(4)9992
答案：1.(1)9x 2－24xy+16y 2
(2)4a 2+4ab+b 2 (3)4y 2 (4)－2ab
(5)3ab (6)2a 2+8b 2
2.(1)D (2)C (3)C
3.(1)41x 2－31xy+91y 2 (2)－8x 2y 2
(3)809999 (4)998001。