三角函数及解三角形测试题(含答案)

三角函数及解三角形测试题(含答案)
三角函数及解三角形
1.在锐角三角形ABC中，角A的对边为a，角B的对边为b，角C的对边为c。

根据正弦定理，$\frac{a}{\sin
A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$，其中R为三角形外接圆的半径。

根据余弦定理，$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$。

根据正切的定义，$\tan A=\frac{a}{b}$。

根据余切的定义，$\cot
A=\frac{b}{a}$。

根据正割的定义，$\sec A=\frac{c}{a}$。

根据余割的定义，$\csc A=\frac{c}{b}$。

2.选择题：
1.设$\alpha$是锐角，
$\tan(\frac{\pi}{4}+\alpha)=3+\sqrt{22}$，则
$\cos\alpha=\frac{2\sqrt{22}}{36}$。

2.一艘船向XXX，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在
船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时5海里。

4.已知函数$f(x)=3\sin\omega x+\cos\omega x$，$y=f(x)$的图象与直线$y=2$的两个相邻交点的距离等于$\pi$，则
$f(x)$的单调递增区间是$(\frac{k\pi}{2}-
\frac{\pi}{12},\frac{k\pi}{2}+\frac{5\pi}{12})$，其中$k\in Z$。

5.圆的半径为4，$a,b,c$为该圆的内接三角形的三边，若$abc=162$，则三角形的面积为$22$。

6.已知$\cos\alpha=-\frac{4}{\pi}$，且
$\alpha\in(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2})$，则
$\tan(\alpha+\frac{\pi}{4})=-\frac{7}{7}$。

9.函数$y=\sin(2x+\frac{\pi}{3})$的图象经向左平移
$\frac{\pi}{12}$后所得的图象关于点$(-\frac{\pi}{6},0)$成中心对称。

注意：第3题和第8题的选项中有明显的错误，已删除。

1.函数f(x)的解析式为f(x)＝sin(α＋π/6)/(2cos(α/5+π/3))，其中0<α<π/
2.
2.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=3acosB。

Ⅰ）求角B的大小：由正弦定理得sinBsinA=3sinAcosB，即sinB=3cosB，因为B∈(0,π)，所以B=π/6.
Ⅱ）若b=3，sinC=2sinA，求a、c的值：由正弦定理得
c=2a，由余弦定理得b^2=a^2+c^2-2accosB，代入已知条件可
得a=3/2，c=3.
3.在△ABC中，已知A=π/4，cosB=1/√2.
1）求cosC的值：由余弦定理得cosC=(a^2+b^2-
c^2)/(2ab)，代入已知条件可得cosC=1/2.
2）若BC=25，D为AB的中点，求CD的长：由余弦定
理得a^2=25^2+25^2-2×25×25cosC，代入已知条件可得a=25√2，由中线定理得CD=AD=BD=25/√2.
4.已知函数f(x)=sin(2x)cosφ+cos(2x)sinφ(|φ|<π/2)，且函数
y=f(2x+π/4)的图象关于直线x=π/8对称。

1）求φ的值：将2x+π/4代入f(x)得
f(2x+π/4)=sin(4x+π/2+2φ)，因为图象关于x=π/8对称，所以
sin(π/4+2φ)=0，解得φ=-π/8或3π/8.
2）若π/5<α<π/4，且f(α)=3/125，求cos4α的值：将α代
入f(x)得sin(2α)cosφ+cos(2α)sinφ=3/125，两边平方得
sin^2(2α)+cos^2(2α)+2sin(2α)cos(2α)sinφcosφ=9/，因为
sin^2(2α)+cos^2(2α)=1，所以2sin(2α)cos(2α)sinφcosφ=71/，即
sin(4α)sin2φ=71/，代入φ=-π/8或3π/8，解得cos4α=-23/25或-
3/5.
3）若0<θ<π/2时，不等式f(θ)+f(θ+π/4)<|m-4|恒成立，试
求实数m的取值范围：将θ代入f(x)得
f(θ)=sin(2θ)cosφ+cos(2θ)sinφ，将θ+π/4代入f(x)得
f(θ+π/4)=cos(2θ)cosφ-sin(2θ)sinφ，两式相加得
f(θ)+f(θ+π/4)=cosφ，因为cosφ的值范围是[-1,1]，所以|m-4|≥1，即m∈(-∞,3]∪[5,+∞)。

5.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)，x∈R
的最大值是1，最小正周期是2π，其图象经过点M(0,1)。

1）求f(x)的解析式：由已知条件可得f(0)=A×sinφ=1，所
以A=1/sinφ，又因为f(x)的最小正周期是2π，所以ω=2π/T，
代入已知条件可得A=2/T，即T=2/sinφ。

代入f(x)的解析式可
得f(x)=sin[(2π/T)x+φ]=sin[(π/sinφ)x+φ]。

2）设A、B、C为△ABC的三个内角，且f(A)=1/2，
f(B)=√3/2，求f(C)的值：由已知条件可得sin(π/2-A)=1/2，
sin(π/3-B)=√3/2，代入f(x)的解析式可得f(A)=sin[(π/sinφ)(π/2-
A)+φ]=sin[(π/sinφ)A+(π/2-φ)]，f(B)=sin[(π/sinφ)(π/3-
B)+φ]=sin[(π/sinφ)B+(π/3-φ)]，因为A+B+C=π，所以C=π-A-B，
代入f(x)的解析式可得f(C)=sin[(π/sinφ)C+(π-φ)]=sin[(π/sinφ)(π-A-B)+(π-φ)]。