高考数学一轮复习第2章函数的概念与基本初等函数第7讲幂函数课件文

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(必修 1 P77 图文改编)如图是①y＝xa；②y＝xb；③y＝xc 在 第一象限的图象，则 a，b，c 的大小关系为( )
A．a＞b＞c
B．a＜b＜c
C．b＜c＜a
D．a＜c＜b
解析：选 D.根据幂函数的性质，可知选 D.
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(必修 1 P79 习题 2.3T1 改编)幂函数 y＝f(x)经过点(2， 2)， 则 f(9)为( )
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(3)a>0，b>0 时，与 y＝x＋kx(k>0)相似． (4)a<0，b<0 时，与 y＝－x＋kx(k>0)相似．
[易错防范] 注意函数 f(x)＝k·xα 为幂函数时，k＝1.
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内容(nèiróng)总结
第二章 函数的概念与基本(jīběn)初等函数
奇
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(必修 1 P78 探究改编)函数 y＝x－1 的下列哪个性质是错误的 () A．在(－∞，0)上是减函数 B．图象关于原点对称 C．图象与坐标轴不相交 D．定义域与值域不相等 解析：选 D.根据 y＝x－1＝1x的图象和性质，选 D.
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(1)幂函数的形式是 y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数 α，因此 只需一个条件即可确定其解析式． (2)当 α 是分数时，一般将其先化为根式，再判断幂函数 y＝ xα(α∈R)的奇偶性． (3)若幂函数 y＝xα 在(0，＋∞)上单调递增，则 α＞0，若在(0， ＋∞)上单调递减，则 α＜0.
(1)求证：f(x)在(0，1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数； (2)若 f(x)＝m 有两个根，求 m 的取值范围． 【解】 (1)证明：由题意得，f(1)＝2，即 1＋k＝2， 所以 k＝1，所以 f(x)＝x＋1x. 设 x1，x2 是任意两个正数，且 0＜x1＜x2，
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所以－2m2＋m＋3>0，解得－1<m<32. 又 m∈Z，所以 m＝0 或 1. 当 m＝0 时，－2m2＋m＋3＝3 为奇数(舍去)； 当 m＝1 时，－2m2＋m＋3＝2 为偶数．故 m 的值为 1. 答案：1
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考点二 函数 y＝x＋kx(k≠0)的图象与性质 已知函数 f(x)＝x＋kx(k≠0)的图象过点(1，2)．
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又 t＝12时，y1＝21＋2＝52，t＝3 时，y2＝3＋13＝130>52，
所以当 t＝3 时，ymax＝130；当 t＝1 时，ymin＝1＋1＝2.
所以当 t∈12，3时，y＝t＋1t ∈2，130.
所以函数
F(x)
＝
f(x)
＋
1 f（x）
在
f(x) ∈ 12，3 时 的 值 域 为
Δ＝(－m)2－4×1×1＝m2－4>0，所以 m<－2 或 m>2.
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函数 y＝x＋xk(k≠0)的图象与性质 本类问题一般都是 k>0. (1)它是奇函数，图象关于原点对称． (2)在(－∞，－ k)，( k，＋∞)上是增函数，在(－ k，0)，(0，
k)上是减函数．
于 y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则 n 的值为( )
A．－3
B．1
C．2
D．1 或 2
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1
1
2
2
(2)若(2m＋1) ＞(m2＋m－1) ，则实数 m 的取值范围是( )
A．－∞，－
5－1 2
B. 52－1，＋∞
C．(－1，2)
D. 52－1，2
【解析】 (1)由于 f(x)为幂函数，所以 n2＋2n－2＝1，
(4)y＝xα，α＝14，61，…可与 y＝x2类似．
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y＝x＋kx(k>0)拓展为 y＝ax＋bx时 (1)a>0，b<0 时，此函数在(－∞，0)和(0，＋∞)上为增函数， 如 y＝x－x1，其图象为：
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(2)a<0，b>0 时，此函数在(－∞，0)和(0，＋∞)上为减函数， 如 y＝－x＋x1＝－x－1x其图象为：
2，130.
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x2，x≤1， 2 ． 已 知 函 数 f(x) ＝ x＋6x－6，x>1， 则 f(x) 的 最 小 值 是 ________． 解析：当 x≤1 时，f(x)min＝0；当 x＞1 时，f(x)min＝2 6－6， 又 2 6－6<0，所以 f(x)min＝2 6－6. 答案：2 6－6
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所以函数 f(x)在(1，＋∞)上是增函数． 综上可知，函数 f(x)＝x＋x1在(0，1)上是减函数，在(1，＋∞) 上是增函数． (2)法一：由(1)知，f(x)在(0，1)上是减函数，在(1，＋∞)上是 增函数，故当 x>0 时，f(x)min＝f(1)＝2，因为 f(x)的定义域为 (－∞，0)∪(0，＋∞)，
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(3)当 x>0 且 x＝ k时，ymin＝2 k；当 x<0 且 x＝－ k时，ymax ＝－2 k. (4)大致图象为
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【对点通关】
1．若函数 y＝f(x)的值域是12，3，则函数 F(x)＝f(x)＋f（1x）的 值域是( )
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2．已知函数 f(x)＝x －2m2＋m＋3(m∈Z)为偶函数，且 f(3)<f(5)， 则 m＝________． 解析：因为 f(x)是偶函数，m∈Z，所以－2m2＋m＋3 应为偶 数． 又 f(3)<f(5)，即 3－2m2＋m＋3 <5 －2m2＋m＋3 ， 整理得35 －2m2＋m＋3 <1，
A．81
B．13
C．811
D．3
解析：选 D.设 f(x)＝xα，由题意得 2＝2α，所以 α＝12.所以 f(x)
1
1
＝x2，所以 f(9)＝92＝3，故选 D.
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考点一 幂函数的图象与性质
(1)已知幂函数 f(x)＝(n2＋2n－2)·xn2－3n(n∈Z)的图象关
解得 n＝1 或 n＝－3，
经检验只有 n＝1 符合题意，故选 B.
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1 2
(2)因为函数 y＝x 的定义域为[0，＋∞)，且在定义域内为增函
2m＋1≥0， m2＋m－1≥0， 数，所以不等式等价于2m＋1＞m2＋m－1.
解得 52－1≤m＜2，故选 D.
【答案】 (1)B (2)D
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(3)常见的 5 种幂函数的性质
函数 y＝x y＝x2 y＝x3
性质
1
2
y＝x
y＝x－1
定义域 R
R
R __[_0_，__＋__∞__)_
{x|x∈R
且 x≠0}
[0，
值域 R
R
＋∞)
[0， ＋∞)
(_－__∞__，__0_)__ _∪__(_0_，__＋__∞__)_
奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶
第二章 函数的概念与基本(jīběn)初等函数
第7讲 幂函数
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幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，形如_y_＝__x_α_(α∈R)的函数称为幂函数，其中 x 是自变 量，α 是常数．
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(2)常见的 5 种幂函数的图象
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A．12，3 C．52，130
B.2，130 D.3，130
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解析：选 B.令 t＝f(x)，则 y＝F(x)＝t＋1t 1）t2（t＋1）. 由 y′>0，得 1<t≤3；由 y′<0，得12≤t＜1， 所以 y＝t＋1t 在12，1上是减函数，在(1，3]上是增函数．
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且 f(－x)＝－x＋－1x＝－f(x)．所以 f(x)是奇函数． 所以 f(x)在(－∞，－1)上是增函数，在(－1，0)上是减函数， 故其图象为
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所以 f(x)＝m 有两根时，m>2 或 m<－2. 法二：f(x)＝m 即为 x＋1x＝m.即 x2－mx＋1＝0.
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则 f(x1)－f(x2)＝x1＋x11－x2＋x12 ＝xx1－1xx2 2(x1x2－1)． 当 0＜x1＜x2<1 时，0＜x1x2＜1，又 x1－x2＜0， 所以 f(x1)－f(x2)＞0，即 f(x1)＞f(x2)， 所以函数 f(x)在(0，1)上是减函数； 当 1<x1＜x2 时，x1x2＞1，又 x1－x2＜0， 所以 f(x1)－f(x2)＜0，即 f(x1)＜f(x2)，
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【对点通关】
1．已知幂函数 f(x)＝k·xα 的图象过点12， 22，则 k＋α＝(
)
A．12
B．1
C．32
D．2
解析：选 C.因为函数 f(x)＝k·xα 是幂函数，所以 k＝1，又函数
f(x)的图象过点12， 22，所以12α＝ 22，解得 α＝12，则 k＋α ＝32.
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[思想方法] 由 5 个幂函数的图象和性质，可类比下列幂函数的图象和 性质
(1)y＝xα，α＝5，7，9，…可与 y＝x3 类似． (2)y＝xα，α＝－3，－5，－7，…可与 y＝x－1 类似． (3)y＝xα，α＝2，4，6，…可与 y＝x2 类似．
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