02三角函数诱导公式(含经典例题+答案)

三角函数诱导公式
对于角“k π2±α”(k ∈Z)的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，意思是说k π
2
±α，k ∈Z 的
角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号．
例1．sin 585°的值为 ( )
A ．－2 B.2 C ．－3 D.3
例2：已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|<π
2
，则θ等于 ( )
A ．－π
B ．－π C.π D.π
例3：如果sin(π＋A )＝12，那么cos ⎪⎫
⎛-A 3 的值是________． 例5：若角α的终边落在第三象限，则cos α1－sin 2α＋2sin α
1－cos 2α
的值为 ( )
例6：已知α∈(－π，0)，tan(3π＋α)＝
31，则cos ⎪⎭
⎫
⎝⎛+απ23的值为 ( ) A.
1010 B ．－1010 C.31010 D ．－310
10
解：tan α＝13，cos ⎪⎭⎫
⎝⎛+απ23＝sin α.∵α∈(－π，0)，∴sin α＝－1010. A ．－32 B.32 C.3－12 D.3＋1
2
解：sin 600°＋tan 240°＝sin(720°－120°)＋tan(180°＋60°)＝－sin 120°＋tan 60°＝－
32＋3＝3
2
. ( ) A ．3 B ．5 C ．1 D ．不能确定
解：f(2 011)＝asin(2 011π＋α)＋bcos(2 011π＋β)＋4＝asin(π＋α)＋bcos(π＋β)＋4＝－asin α－bcos β＋4 ＝5.∴asin α＋bcos β＝－1.∴f(2 012)＝asin(2 012π＋α)＋bcos(2 012π＋β)＋4＝asin α＋bcos β＋4 ＝－1＋4＝3.
1.诱导公式在三角形中经常应用，常用的变形结论有：A ＋B ＝π－C ； 2A ＋2B ＋2C ＝2π；A 2＋B 2＋C 2＝π
2
.
2.求角时，一般先求出该角的某一三角函数值，再确定该角的范围，最后求角．
例9：△ABC 中，cos A ＝1
3
，则sin(B ＋C )＝________.
解：∵△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，∴sin(B ＋C )＝sin(π－A )＝sin A ＝1－cos 2A ＝22
3
.
例10：在△ABC 中，若sin(2π－A )＝－2sin(π－B )，3cos A ＝－2cos(π－B )，求△ABC 的三个内角． 解：由已知得⎩⎨⎧
sin A ＝2sin B ①3cos A ＝2cos B ②
①2＋②2得2cos 2A ＝1，即cos A ＝22或cos A ＝－2
2.
(1)当cos A ＝22时，cos B ＝32，又A 、B 是三角形的内角，∴A ＝π4，B ＝π6，∴C ＝π－(A ＋B )＝7
12
π. A ．
B ．
C ．
D ．
2.cos （﹣30°）的值是（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
3.下列能与sin20°的值相等的是（ ） A ．cos20° B ．sin （﹣20°） C ．sin70° D ．sin160°
4.已知，则下列各式中值为的是（ ）
A ．
B ．sin （π+α）
C ．
D ．sin （2π﹣α）
换元法与诱导公式
例11：已知4
1
)3
sin(=
+απ
，则=-)6cos(απ 。

解：令
3
x π
α+=，则3
x π
α=-
；1
cos(
)cos()cos()sin 66324
x x x π
πππα-=-+=-== 把已知式子中的角度设为一个整体，再根据诱导公式去分析和计算。

5.设tan（5π+α）=m，则的值为（）
A．B．﹣1 C．D．1
6.若sin（3π+α）=﹣，则cos等于（）
A．﹣B．C．D．﹣
7.已知sin（）=，则cos（）的值等于（）
A． B．C．D．
8.已知，且，则tanα=（）
A．B．C． D．
9.若sin（π+α）+cos（+α）=﹣m，则cos（﹣α）+2sin（2π﹣α）的值为（）
A．﹣B．C．﹣D．
10.sin315°﹣cos135°+2sin570°的值是（）
A．1 B．﹣1 C．D．﹣
11.若n∈Z，在①，②，③，
④中，与sin相等的是（）
A．①和②B．③和④C．①和④D．②和③
12.sin1290°的值为（）
A．B．C．﹣D．﹣
13.设f（x）=asin（πx+α）+bcos（πx+β）+4，其中a，b，α，β均为非零的常数，若f（1988）=3，则f （2015）的值为（）
A．1 B．3 C．5 D．不确定
14.若，则的值为（）
A．﹣m B． C．D．m
15.若sin2α+sinα=1，则cos4α+cos2α的值为（）
A．0 B．1 C．2 D．3
16.若函数f（sinx）=cos2x，则f（cos15°）的值为（）
A．B．﹣C．﹣D．
17.设f（x）=asin（πx+α）+bcos（πx+β）+4，其中a、b、α、β均为非零的常数，若f（﹣2015）=3，则f（2015）的值为（）
A．1 B．3 C．5 D．﹣3
18若函数，则等于（）
A．B． C．2 D．﹣2
19.A为△ABC的内角，若cosA=，则sin（B+C）等于．
20.在△ABC中，已知sin=，则cos=．
定理1：α为三角形内角（第一第二象限角），则一定有0cos sin >-a α
定理2：α为三角形内角（第一第二象限角），若1cos sin >-a α，则一定有0cos <a 定理3：α为三角形内角（第一第二象限角），若1cos sin <+a α，则一定有0cos <a
例12：已知θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝3－1
2
，则tan θ的值为 ( )
A ．－3或－33
B ．－33
C ．－ 3
D ．－3
2
解：由sin θ＋cos θ＝3－12，两边平方得sin θ·cos θ＝－34，∴(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θ·cos θ＝1＋3
2＝
4＋234＝2
213⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+，∵θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝12(3－1)<1，∴θ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ，2，∴sin θ－cos θ>0， ∴sin θ－cos θ＝
3＋1
2
，由⎩⎪⎨⎪⎧
sin θ＋cos θ＝3－1
2
sin θ－cos θ＝
3＋12
得sin θ＝
32，cos θ＝－1
2
.∴tan θ＝－ 3. 21.已知，sinα•cosα= ．
22.已知，则sinθ﹣cosθ的值为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
23.已知sinα+cosα=（0＜α＜π），则tanα=（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
或
ααcos sin ±与ααcos sin ⋅间的相互转化
（1） 若t =+ααcos sin ，则21
cos sin 2-=t αα；ααcos sin -=22t -±
（2）若sin cos t αα-=，则2
1sin cos 2
t αα-=；sin cos αα+=22t -±
（3）若t =ααcos sin ，则t 21cos sin +±=+αα；t 21cos sin -±=-αα 判断sin cos αα-与sin cos αα+的符号法则
根据 sin y r α=，cos x
r α=，sin cos ,sin cos 0;y x y x r αααα--=∴>->时，反之亦然
532,2sin cos 0;2,2sin cos 0;4444k k k k ππππαππαααππαα⎛⎫⎛
⎫∴∈++->∈-+-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，
3372,2sin cos 0;2,2sin cos 0;4444k k k k ππππαππαααππαα⎛⎫⎛
⎫∴∈-++>∈+++< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，
_y
_x
_ O
sin cos 0
αα+>sin cos 0
αα+<sin cos 0
αα-<sin cos 0
αα->_ O
24.已知sinα+cosα=﹣，α∈（0，π），则tanα=（）
A．B．C．D．
25.函数y=sinxcosx+sinx+cosx取最大值时x的值为（）
A．2kπ+B．2kπ﹣C．2kπ+D．2kπ﹣
26.θ是△ABC的一个内角，且，则cosθ﹣sinθ的值为（）
A．B．C．﹣D．
27.已知0＜x＜，求值：（1）sinx﹣cosx；（2）2sin2x+cos2x﹣3sinxcosx．
28.已知角x∈[﹣π，0]，且sinx+cosx=，（Ⅰ）求sin4x+cos4x的值；（Ⅱ）求sinx﹣cosx的值．
29.已知sinα+cosα∈[﹣，]，且满足4sinαcosα﹣5sinα﹣5cosα=1，（1）求sinα+cosα的值；（2）求sin3α+cos3α的值．
1-5DBDCC 6-10ABBCB 11-15BCCDB 16-20CBC
21._
22-26BBACC 27.（1）（2）
28.（1），（2）_
29.（1）（2）。