2.6 距离的计算

2.6 距离的计算

学习目标

1. 进一步熟练求平面法向量的方法；

2. 掌握用向量如何求点到平面的距离和两异面直线间距离的计算方法；

3. 熟练掌握向量方法在实际问题中的作用.

学习过程 [基础·初探]

教材整理1 点到直线的距离

阅读教材P

48“例1”以上的部分，完成下列问题．

(1)定义：因为直线和直线外一点确定一个平面，所以空间点A 到直线l 的距离

问题就是空间中某一个平面内的点到直线的距离问题，即过点A 在该平面内做

垂直于l 的直线，垂足为A ′，则_______即为点A 到直线l 的距离．

(2)求法

设l 是过点P 平行于向量s 的直线，A 是直线l 外一定点，则点A 到直线l 的距离d ＝

________________，其中s 0＝s |s |

. 注：(1)公式中s 为直线l 的一个方向向量，s 0为s 的单位向量，|PA →·s 0|为向量PA →

在直线l 方向向量s 上的投影的大小．

(2)空间一点A 到直线l 的距离的算法框图

教材整理2 点到平面的距离

阅读教材P 49“例2”以上的部分，完成下列问题．

(1)定义：

A 是平面π外一定点，作AA ′⊥π，垂足为A ′，则点A 到平面π的

距离d 等于____________________．

(2)求法

设π是过点P 垂直于向量n 的平面，A 是平面π外一定点，则点A 到

平面π的距离d ＝|PA →

·n 0|.

(1)公式中n 为平面π的一个法向量，n 0为n 的单位向量，|PA →·n 0|为向量PA →

在平面π的法向量n 上投影的大小．

(2)空间一点A 到平面π的距离的算法框图

自学检测

1．已知平面α的一个法向量n ＝(－2，－2,1)，点A (－1,3,0)在α内，则P (－2,1,4)

到α的距离为( )

A ．10

B ．3 C.83 D.103

2. 如图，在60°的二面角α—AB —β内，AC β，BD α，AC ⊥AB

于A ，BD ⊥AB 于B ，且AC ＝AB ＝BD ＝1，则CD 的长为 （）

A ．3 B. 3 C ．2 D. 2

3．已知向量n ＝(6,3,4)和直线l 垂直，点A (2,0,2)在直线l 上，则点

P (－4,0,2)到直线l 的距离为_____

4．在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB ＝1.若二面角C —AB —C 1的大小为60°，则点C 到平面ABC 1的距离为________

合作探究

探究一求点到直线的距离

【例题1】如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知AB＝3，

BC＝4，AA1＝5，求点A1到下列直线的距离．

(1)直线AC；(2)直线BD.

变式训练1：1．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，点F，G分别是AB，CC1的中点，求点D1到直线GF的距离．

探究二求点到平面的距离

【例题2】图，直三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱AA1＝3，底面△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝1，求点B

1到平面

A1BC的距离．

变式训练2：在四面体ABCD中，AB，BC，BD两两垂直，且AB＝BC＝2，E为AC的

中点，若异面直线AD与BE所成角的余弦值为

10

10

，求点B到平面ACD的距离．

探究三求线面距与面面距

【例题3】如图，在已知直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面为直角梯形，AB∥CD，且∠ADC＝90°，AD＝1，CD＝3，BC＝2，AA1＝2，E是CC1的中点．求A1B1与平面ABE的距离．

变式训练3：正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，求平面A1BD与平面B1CD1间的距离．

当堂检测

1．直线l上有两点A、B到平面α的距离相等且不等于零，则l与α( ) A．平行B．相交

C．重合D．平行或相交

2．已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2,1)，点A(－1,3,0)在α内，则P(－2,1,4)到α的距离为( )

A．10 B．3

C.8

3

D.

10

3

3．在直三棱柱ABC－A′B′C′中，底面ABC是等腰直角三角形，且AB＝AC＝1，AA′＝2，求A′到直线BC′的距离为________．

4．在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是AA1的中点，求点A1到平面MBD的距离．

知识小结：