2022-2023学年八年级(上)期末数学模拟试卷(三)

2022-2023学年八年级（上）期末数学模拟试卷（三）一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。

在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）下列体育运动图标中，是轴对称图形的是（）
A．B．
C．D．
2．（3分）如图，工人师傅砌门时，常用木条EF固定长方形门框ABCD，使其不变形，这种做法的根据是（）
A．三角形的稳定性
B．长方形的对称性
C．长方形的四个角都是直角
D．两点之间线段最短
3．（3分）光刻机采用类似照片冲印的技术，把掩膜版上的精细图形通过光线的曝光印制到硅片上，是制造芯片的核心装备．ArF准分子激光是光刻机常用光源之一，其波长为0.000000193米，该光源波长用科学记数法表示为（）A．193×106米B．193×10﹣9米
C．1.93×10﹣7米D．1.93×10﹣9米
4．（3分）如图，用直尺和圆规作一个三角形O1A1B1，使得△O1A1B1≌△OAB 的示意图，依据（）定理可以判定两个三角形全等．
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
5．（3分）下列由左边到右边的变形中，是因式分解的为（）A．10x2y3＝5xy2•2xy B．m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）
C．3m（R+r）＝3mR+3mr D．x2﹣x﹣5＝（x+2）（x﹣3）+1 6．（3分）已知一个正多边形的每个外角的度数都是60°，则该多边形的对角线条数为（）
A．6B．9C．12D．18
7．（3分）如图，AE，BE，CE分别平分∠BAC，∠ABC，∠ACB，ED⊥BC于点D，ED＝3，△ABC的周长为24，则△ABC的面积为（）
A．18B．24C．36D．72
8．（3分）随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3000件提高到4200件，平均每人每周比原来多投递80件，若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件x件，根据题意可列方程为（）A．＝B．+80＝
C．＝﹣80D．＝
9．（3分）如图，点D为△ABC的边BC上一点，且满足AD＝DC，作BE⊥AD 于点E，若∠BAC＝70°，∠C＝40°，AB＝6，则BE的长为（）
A．2B．3C．4D．5
10．（3分）下列说法：①三角形中至少有一个内角不小于60°；②三角形的重心是三角形三条中线的交点；③周长相等的两个圆是全等图形；④到三角形的三条边距离相等的点是三角形三条高的交点．其中正确说法的个数是（）
A．1B．2C．3D．4
11．（3分）如图，由4个全等的小长方形与1个小正方形密铺成正方形图案，该图案的面积为49，小正方形的面积为4，若分别用x，y（x＞y）表示小长方形的长和宽，则下列关系式中不正确的是（）
A．x2+2xy+y2＝49B．x2﹣2xy+y2＝4
C．x2+y2＝25D．x2﹣y2＝14
12．（3分）如图，已知∠ABC＝120°，BD平分∠ABC，∠DAC＝60°，若AB ＝2，BC＝3，则BD的长是（）
A．5B．7C．8D．9
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13．（4分）当x＝时，分式的值为0．
14．（4分）已知点P（4，2a﹣3）关于x轴对称的点在第一象限，则a的取值范围是．
15．（4分）已知a＝+2021，b＝+2022，c＝+2023，则代数式2（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac）的值为．
16．（4分）如图，△ABC中，BF是高，延长CB至点D，使BD＝BA，连接AD，过点D作DE⊥AB交AB的延长线于点E，当AF＝BE，∠CAD＝96°时，∠C＝．
三、解答题（本大题共9小题，共98分。

解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（12分）（1）解方程：．
（2）先化简，再求值：[（3x+2y）2﹣（2y﹣x）（2y+x）]÷2x，已知x+6＝0，|y﹣5|＝0．
18．（10分）（1）计算：（﹣3a2）3+（a2）2•a2+a0（a≠0）；
（2）分解因式：（m2﹣5）2+8（m2﹣5）+16．
19．（10分）四边形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A，B，C，D均在格点上．
（1）作出四边形ABCD关于y轴对称的四边形A1B1C1D1；
（2）在y轴上找一点P，使P A+PB的值最小（保留作图痕迹）；
（3）四边形A1B1C1D1的面积为．
20．（10分）如图，沿AC方向开山修路，为了加快施工进度，要在山的另一面同时施工，工人师傅在AC上取一点B，在小山外取一点D，连接BD并延长，使DF＝BD，过F点作AB的平行线MF，连接MD并延长，在延长线上取一点E，使DE＝DM，在E点开工就能使A，C，E成一条直线，你知道其中的道理吗？
21．（10分）如图，某市有一块长（3a+b）m、宽（2a+b）m的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，在中间正方形空白处修建一座雕像．
（1）求绿化的面积；
（2）当a＝2，b＝1时，绿化的面积是多少平方米？
22．（10分）小李从家出发去相距4.5km的B地上班，他每天出发的时间都相同．第一天步行去上班，结果迟到了5分钟；第二天骑自行车去上班，结果早到了
10分钟．已知他骑自行车的速度是步行速度的1.5倍．
（1）求小李上班步行的速度和骑自行车的速度；
（2）有一天小李骑自行车出发，出发1.5km后自行车发生故障．小李立即跑步去上班（耽误时间忽略不计），为了上班不迟到，他跑步的速度至少为多少？23．（12分）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，∠A＝60°，点E 为AD上一点，连接BD，CE交于点F，CE∥AB．
（1）判断△DEF的形状，并说明理由；
（2）若AD＝12，CE＝8，求CF的长．
24．（12分）阅读下列材料：
若一个正整数x能表示成a2﹣b2（a，b是正整数，且a＞b）的形式，则称这个数为“明礼崇德数”，a与b是x的一个平方差分解．例如：因为5＝32﹣22，所以5是“明礼崇德数”，3与2是5的平方差分解；再如：M＝x2+2xy＝x2+2xy+y2﹣y2＝（x+y）2﹣y2（x，y是正整数），所以M也是“明礼崇德数”，（x+y）与y是M的一个平方差分解．
（1）判断：9 “明礼崇德数”（填“是”或“不是”）；
（2）已知（x2+y）与x2是P的一个平方差分解，求P；
（3）已知N＝x2﹣y2+4x﹣6y+k（x，y是正整数，k是常数，且x＞y+1），要使N是“明礼崇德数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由．
25．（12分）【问题原型】如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，BC＝8．将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD，过点D作△BCD的BC边上的高DE，易证△ABC≌△BDE，从而得到△BCD的面积为．
【初步探究】如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，将边AB绕点
B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD．用含a的代数式表示△BCD的面积并说明理由．
【简单应用】如图3，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC＝a，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD，求△BCD的面积（用含a的代数式表示）．
2022-2023学年八年级（上）期末数学模拟试卷（三）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。

在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）下列体育运动图标中，是轴对称图形的是（）
A．B．
C．D．
【解答】解：A．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
2．（3分）如图，工人师傅砌门时，常用木条EF固定长方形门框ABCD，使其不变形，这种做法的根据是（）
A．三角形的稳定性
B．长方形的对称性
C．长方形的四个角都是直角
D．两点之间线段最短
【解答】解：常用木条EF固定长方形门框ABCD，使其不变形，
这种做法的根据是三角形具有稳定性．
故选：A．
3．（3分）光刻机采用类似照片冲印的技术，把掩膜版上的精细图形通过光线的曝光印制到硅片上，是制造芯片的核心装备．ArF准分子激光是光刻机常用光源之一，其波长为0.000000193米，该光源波长用科学记数法表示为（）A．193×106米B．193×10﹣9米
C．1.93×10﹣7米D．1.93×10﹣9米
【解答】解：0.000000193＝1.93×10﹣7．
故选：C．
4．（3分）如图，用直尺和圆规作一个三角形O1A1B1，使得△O1A1B1≌△OAB 的示意图，依据（）定理可以判定两个三角形全等．
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
【解答】解：由作图可知，OA＝O1A1，OB＝O1B1，AB＝A1B1，
根据SSS可以判定两个三角形全等，
故选：A．
5．（3分）下列由左边到右边的变形中，是因式分解的为（）A．10x2y3＝5xy2•2xy B．m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）
C．3m（R+r）＝3mR+3mr D．x2﹣x﹣5＝（x+2）（x﹣3）+1【解答】解：A．等式的左边不是多项式，所以不是因式分解，故本选项不合题意；
B．是因式分解，故本选项符合题意；
C．是整式乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；
D．等式的右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意；
故选：B．
6．（3分）已知一个正多边形的每个外角的度数都是60°，则该多边形的对角线
条数为（）
A．6B．9C．12D．18
【解答】解：∵正多边形的每个外角都等于60°，
∴360÷6＝6，
∴这个正多边形是正6边形，
∴（条），
∴这个正多边形的对角线是9条．
故选：B．
7．（3分）如图，AE，BE，CE分别平分∠BAC，∠ABC，∠ACB，ED⊥BC于点D，ED＝3，△ABC的周长为24，则△ABC的面积为（）
A．18B．24C．36D．72
【解答】解：过点E作EF⊥AB，垂足为F，过点E作EG⊥AC，垂足为G，
∵BE平分∠ABC，ED⊥BC，EF⊥AB，
∴EF＝ED＝3，
∵CE平分∠ACB，ED⊥BC，EG⊥AC，
∴ED＝EG＝3，
∵△ABC的周长为24，
∴△ABC的面积
＝△ABE的面积+△BEC的面积+△AEC的面积
＝AB•EF+BC•ED+AC•EG
＝EF（AB+BC+AC）
＝×3×24
＝36，
故选：C．
8．（3分）随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3000件提高到4200件，平均每人每周比原来多投递80件，若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件x件，根据题意可列方程为（）A．＝B．+80＝
C．＝﹣80D．＝
【解答】解：设原来平均每人每周投递快件x件，则现在平均每人每周投递快件（x+80）件，
依题意，得：＝．
故选：D．
9．（3分）如图，点D为△ABC的边BC上一点，且满足AD＝DC，作BE⊥AD 于点E，若∠BAC＝70°，∠C＝40°，AB＝6，则BE的长为（）
A．2B．3C．4D．5
【解答】解：∵AD＝CD，
∴∠DAC＝∠C＝40°，
∵∠BAC＝70°，
∴∠BAE＝70°﹣40°＝30°，
∵BE⊥AD，
∴∠AEB＝90°，
∴BE＝AB＝×6＝3．
故选：B．
10．（3分）下列说法：①三角形中至少有一个内角不小于60°；②三角形的重心是三角形三条中线的交点；③周长相等的两个圆是全等图形；④到三角形的三条边距离相等的点是三角形三条高的交点．其中正确说法的个数是（）
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：①三角形中至少有一个内角不小于60°，符合题意；
②三角形的重心是三角形三条中线的交点，符合题意；
③周长相等的两个圆是全等图形，符合题意；
④到三角形的三条边距离相等的点是三角形三个内角平分线的交点，不符合
题意．
故选：C．
11．（3分）如图，由4个全等的小长方形与1个小正方形密铺成正方形图案，该图案的面积为49，小正方形的面积为4，若分别用x，y（x＞y）表示小长方形的长和宽，则下列关系式中不正确的是（）
A．x2+2xy+y2＝49B．x2﹣2xy+y2＝4
C．x2+y2＝25D．x2﹣y2＝14
【解答】解：A、因为正方形图案的边长7，同时还可用（x+y）来表示，故（x+y）2＝x2+2xy+y2＝72＝49，正确；
B、由图象可知（x﹣y）2＝4，即x2﹣2xy+y2＝4，正确；
C、由（x+y）2＝x2+2xy+y2＝72＝49和（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2＝4，可得2xy＝，
x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝49﹣＝26.5≠25，错误；
D、由x+y＝7，x﹣y＝2，可得x＝4.5，y＝2.5，所以x2﹣y2＝4.52﹣2.52＝20.25
﹣6.25＝14，正确．
故选：C．
12．（3分）如图，已知∠ABC＝120°，BD平分∠ABC，∠DAC＝60°，若AB ＝2，BC＝3，则BD的长是（）
A．5B．7C．8D．9
【解答】解：在CB的延长线上取点E，使BE＝AB，连接AE，
∵∠ABC＝120°，
∴∠ABE＝180°﹣∠ABC＝60°，
∵BE＝AB，
∴△ABE为等边三角形，
∴AE＝AB，∠BAE＝∠E＝60°，
∵∠DAC＝60°，
∴∠DAC＝∠BAE，
∵∠BAD＝∠BAC+∠DAC，∠EAC＝∠BAC+∠BAE，
∴∠BAD＝∠EAC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠ABC＝60°，
∴∠ABD＝∠E，
在△ABD和△AEC中，
，
∴△ABD≌△AEC（ASA），
∴BD＝CE，
∵CE＝BE+BC＝AB+BC＝3+2＝5，
∴BD＝5，
故选：A．
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13．（4分）当x＝1时，分式的值为0．
【解答】解：由题意得：x2﹣1＝0，且x+1≠0，
解得：x＝1，
故答案为：1．
14．（4分）已知点P（4，2a﹣3）关于x轴对称的点在第一象限，则a的取值范围是a＜．
【解答】解：依题意得p点在第四象限，
∴2a﹣3＜0，
解得：a＜．
故答案为：a＜．
15．（4分）已知a＝+2021，b＝+2022，c＝+2023，则代数式2（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac）的值为6．
【解答】解：∵a＝+2021，b＝+2022，c＝+2023，
∴b﹣a＝1，c﹣b＝1，c﹣a＝2，
∴2（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac）＝（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2＝1+1+4＝6，故答案为：6．
16．（4分）如图，△ABC中，BF是高，延长CB至点D，使BD＝BA，连接AD，过点D作DE⊥AB交AB的延长线于点E，当AF＝BE，∠CAD＝96°时，∠C＝52°．
【解答】解：∵BF是高，DE⊥AB，
∴∠E＝∠AFB＝90°，
在Rt△BED与△Rt△AFB中，
，
∴Rt△BED≌Rt△AFB（HL），
∴∠DBE＝∠BAF，
∵∠DBE＝∠ABC，
∴∠CBA＝∠CAB，
∵AB＝BD，
∴∠BDA＝∠BAD，
∵∠CBA＝∠BDA+∠BAD，
∴∠CBA＝2∠BAD，
∴∠CAB＝2∠BAD，
∴∠CAB＝∠CAD，
∵∠CAD＝96°，
∴∠CAB＝64°，
∴∠C＝180°﹣2∠CAB＝52°．
故答案为：52°．
三、解答题（本大题共9小题，共98分。

解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（12分）（1）解方程：．
（2）先化简，再求值：[（3x+2y）2﹣（2y﹣x）（2y+x）]÷2x，已知x+6＝0，|y﹣5|＝0．
【解答】解：（1），
x（x+2）﹣（x2﹣4）＝8，
解得：x＝2，
检验：当x＝2时，x2﹣4＝0，
∴x＝2是原方程的增根，
∴原方程无解；
（2）[（3x+2y）2﹣（2y﹣x）（2y+x）]÷2x
＝（9x2+12xy+4y2﹣4y2+x2）÷2x
＝（10x2+12xy）÷2x
＝5x+6y，
∵x+6＝0，|y﹣5|＝0，
∴x＝﹣6，y＝5，
∴当x＝﹣6，y＝5时，原式＝5×（﹣6）+6×5
＝﹣30+30
＝0．
18．（10分）（1）计算：（﹣3a2）3+（a2）2•a2+a0（a≠0）；
（2）分解因式：（m2﹣5）2+8（m2﹣5）+16．
【解答】解：（1）原式＝﹣27a6+a6+1
＝﹣26a6+1；
（2）原式＝（m2﹣5+4）2
＝（m2﹣1）2
＝（m+1）2（m﹣1）2．
19．（10分）四边形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A，B，C，D均在格点上．
（1）作出四边形ABCD关于y轴对称的四边形A1B1C1D1；
（2）在y轴上找一点P，使P A+PB的值最小（保留作图痕迹）；
（3）四边形A1B1C1D1的面积为7.5．
【解答】解：（1）如图，A1B1C1D1为所作；
（2）如图，点P为所作；
（3）四边形A1B1C1D1的面积＝3×4﹣×2×1﹣×3×1﹣×4×1＝7.5．故答案为：7.5．
20．（10分）如图，沿AC方向开山修路，为了加快施工进度，要在山的另一面同时施工，工人师傅在AC上取一点B，在小山外取一点D，连接BD并延长，使DF＝BD，过F点作AB的平行线MF，连接MD并延长，在延长线上取一点E，使DE＝DM，在E点开工就能使A，C，E成一条直线，你知道其中的道理吗？
【解答】解：∵在△BDE和△FDM中，
∴△BDE≌△FDM（SAS），
∴∠BEM＝∠FME，
∴BE∥MF，
∵AB∥MF，
∴A、C、E三点在一条直线上．
21．（10分）如图，某市有一块长（3a+b）m、宽（2a+b）m的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，在中间正方形空白处修建一座雕像．
（1）求绿化的面积；
（2）当a＝2，b＝1时，绿化的面积是多少平方米？
【解答】解：（1）由题得：S
＝（3a+b）（2a+b）﹣（a+b）（a+b）
绿化
＝6a2+3ab+2ab+b2﹣a2﹣b2﹣2ab
＝（5a2+3ab）平方米．
答：绿化的面积是（5a2+3ab）平方米．
＝5×22+3×2×1＝20+6＝26（平方米）．（2）当a＝2，b＝1时，S
绿化
∴当a＝2，b＝1时，绿化面积为26平方米．
22．（10分）小李从家出发去相距4.5km的B地上班，他每天出发的时间都相同．第一天步行去上班，结果迟到了5分钟；第二天骑自行车去上班，结果早到了10分钟．已知他骑自行车的速度是步行速度的1.5倍．
（1）求小李上班步行的速度和骑自行车的速度；
（2）有一天小李骑自行车出发，出发1.5km后自行车发生故障．小李立即跑步去上班（耽误时间忽略不计），为了上班不迟到，他跑步的速度至少为多少？
【解答】解：（1）设小李步行的速度为x千米/小时，则骑自行车的速度为1.5x 千米/小时，
由题意得：﹣＝+，
解得：x＝6，
经检验，x＝6是原方程的解，
则1.5x＝9，
答：小李步行的速度为6千米/小时，则骑自行车的速度为9千米/小时；
（2）设小李跑步的速度为m千米/小时，
由题意得：+≤，
解得：m≥6，
答：跑步的速度至少为6千米每小时．
23．（12分）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，∠A＝60°，点E 为AD上一点，连接BD，CE交于点F，CE∥AB．
（1）判断△DEF的形状，并说明理由；
（2）若AD＝12，CE＝8，求CF的长．
【解答】解：（1）△DEF是等边三角形，
理由如下：∵AB＝AD，∠A＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ABD＝∠ADB＝60°，
∵CE∥AB，
∴∠CED＝∠A＝60°，∠DFE＝∠ABD＝60°，∴∠CED＝∠ADB＝∠DFE，
∴△DEF是等边三角形；
（2）连接AC交BD于点O，
∵AB＝AD，CB＝CD，
∴AC是BD的垂直平分线，
即AC⊥BD，
∵AB＝AD，∠BAD＝60°，
∴∠BAC＝∠DAC＝30°，
∵CE∥AB，
∴∠BAC＝∠ACE＝∠CAD＝30°，
∴AE＝CE＝8，
∴DE＝AD﹣AE＝12﹣8＝4，
∵△DEF是等边三角形，
∴EF＝DE＝4，
∴CF＝CE﹣EF＝8﹣4＝4．
24．（12分）阅读下列材料：
若一个正整数x能表示成a2﹣b2（a，b是正整数，且a＞b）的形式，则称这个数为“明礼崇德数”，a与b是x的一个平方差分解．例如：因为5＝32﹣22，所以5是“明礼崇德数”，3与2是5的平方差分解；再如：M＝x2+2xy＝x2+2xy+y2﹣y2＝（x+y）2﹣y2（x，y是正整数），所以M也是“明礼崇德数”，（x+y）与y是M的一个平方差分解．
（1）判断：9 是“明礼崇德数”（填“是”或“不是”）；
（2）已知（x2+y）与x2是P的一个平方差分解，求P；
（3）已知N＝x2﹣y2+4x﹣6y+k（x，y是正整数，k是常数，且x＞y+1），要使N是“明礼崇德数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由．
【解答】解：（1）∵9＝52﹣42，
∴9是“明礼崇德数”，
故答案为：是；
（2）∵（x2+y）与x2是P的一个平方差分解，
∴P＝（x2+y）2﹣（x2）2
＝x4+2x2y+y2﹣x4
＝2x2y+y2；
（3）当k+5＝0时，N为“明礼崇德数”，理由如下：
∵N＝x2﹣y2+4x﹣6y+k＝（x2+4x+4）﹣（y2+6y+9）+k+5＝（x+2）2﹣（y+3）2+k+5，
∴当k+5＝0时，N＝（x+2）2﹣（y+3）2为“明礼崇德数”，
此时k＝﹣5，
故当k＝﹣5时，N为“明礼崇德数”．
25．（12分）【问题原型】如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，BC＝8．将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD，过点D作
△BCD的BC边上的高DE，易证△ABC≌△BDE，从而得到△BCD的面积为32．
【初步探究】如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD．用含a的代数式表示△BCD的面积并说明理由．
【简单应用】如图3，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC＝a，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD，求△BCD的面积（用含a的代数式表示）．
【解答】解：问题原型：如图1中，
如图1中，过点D作BC的垂线，与BC的延长线交于点E．
∴∠BED＝∠ACB＝90°，
∵线段AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，
∴AB＝BD，∠ABD＝90°．
∴∠ABC+∠DBE＝90°．
∵∠A+∠ABC＝90°．
∴∠A＝∠DBE．
在△ABC和△BDE中，
，
∴△ABC≌△BDE（AAS）
∴BC＝DE＝8．
∵S
＝BC•DE
△BCD
＝32，
∴S
△BCD
故答案为32．
初步探究：△BCD的面积为a2．
理由：如图2中，过点D作BC的垂线，与BC的延长线交于点E．
∴∠BED＝∠ACB＝90°
∵线段AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BE，
∴AB＝BD，∠ABD＝90°．
∴∠ABC+∠DBE＝90°．
∵∠A+∠ABC＝90°．
∴∠A＝∠DBE．
在△ABC和△BDE中，
，
∴△ABC≌△BDE（AAS）
∴BC＝DE＝a．
＝BC•DE
∵S
△BCD
∴S
＝a2；
△BCD
简单应用：如图3中，过点A作AF⊥BC与F，过点D作DE⊥BC的延长线于点E，
∴∠AFB＝∠E＝90°，BF＝BC＝a．∴∠F AB+∠ABF＝90°．
∵∠ABD＝90°，
∴∠ABF+∠DBE＝90°，
∴∠F AB＝∠EBD．
∵线段BD是由线段AB旋转得到的，
∴AB＝BD．
在△AFB和△BED中，
，
∴△AFB≌△BED（AAS），
∴BF＝DE＝a．
＝BC•DE，
∵S
△BCD
＝•a•a＝a2．
∴S
△BCD
∴△BCD的面积为a2．。