苏科版九年级数学下册第6章《相似三角形》专题练习
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《相似三角形》专题练习
【小题热身】
1.如图,已知∠1=∠2,添加下列条件后,仍无法判定△ABC∽△ADE的是()A.=B.∠B=∠D C.∠C=∠AED D.=
2.在正方形网格纸上,每个小格的顶点叫格点,以格点为顶点的三角形叫格点三角形.如图,点A、B、C是4×4网格中的格点(每个小正方形的边长为1),在网格中画出一个与△ABC相似且面积最大的格点△DEF,△DEF的面积为.
3.如图所示,已知AB∥CD∥EF,那么下列结论正确的是()
A.=B.=C.=D.=
4.如图,在△ABC中,点E、D分别为AB与AC边上两个点,请添加一个条件:,使得△ADE∽△ABC.
5.如图,在平面直角坐标系中有两点A(6,0)、B(0,8),点C为AB的中点,点D在x轴上,当点D 的坐标为时,由点A、C、D组成的三角形与△AOB相似.
6.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,点D是AB边上一点(不与A、B重合),若过点D 的直线截得的三角形与△ABC相似,并且平分△ABC的周长,则AD的长为.
7.如图,在矩形ABCD中,AB=12,AD=10,E为AD中点,CF⊥BE,垂足为G,交BC边于点F,则CF的长为.
8.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=2,D、E、F分别为BC、AB、AC上的点,若四边形DEFC为正方形,则它的边长为.
9.如图,在矩形ABCD中,M、N分别是边AD、BC的中点,点P、Q在DC边上,且PQ=DC.若AB=16,BC=20,则图中阴影部分的面积是.
10.如图,在△ABC中,AH⊥BC于H,正方形DEFG内接于△ABC,点D、E分别在边AB、AC上,点
G、F在边BC上.如果BC=20,正方形DEFG的面积为25,那么AH的长是.
11.如图:已知矩形ABCD中,AB=2,BC=3,F是CD的中点,一束光线从A点出发,通过BC边反射,恰好落在F点,那么反射点E与C点的距离为.
12.如图,△ABC中,AB=6,AC=12,点D、E分别在AB、AC上,其中BD=x,AE=2x.当△ADE 与△ABC相似时,x的值可能是.
【典型例题】
1.(相似与二次函数)如图,矩形CDEF两边EF、FC的长分别为8和6,现沿EF、FC的中点A、B截去一角成五边形ABCDE,P是线段AB上一动点,试确定AP的长为多少时,矩形PMDN的面积取得最大值.
2.(相似与圆)如图,在正方形ABCD中,E是AB上一点,连接DE.过点A作AF⊥DE,垂足为F,⊙O 经过点C、D、F,与AD相交于点G.
(1)求证:△AFG∽△DFC;
(2)若正方形ABCD的边长为4,AE=1,求⊙O的半径.
3.(一线三直角必有相似)(1)如图1,已知AB⊥l,DE⊥l,垂足分别为B、E,且C是l上一点,∠ACD =90°,求证:△ABC∽△CED;
(2)如图2,在四边形ABCD中,已知∠ABC=90°,AB=3,BC=4,CD=10,DA=5,求BD 的长.
4.(动态问题与相似)如图所示,在矩形ABCD中,AB=12厘米,BC=6厘米,点P沿AB边从点A开始向点B以2厘米/秒的速度移动;点Q沿DA边从点D向点A以1厘米/秒的速度移动.如果P、Q同时出发,用t(秒)表示移动时间(0≤t≤6).那么:
(1)当t为何值时,△QAP为等腰直角三角形?
(2)当t为何值时,以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似?
5.(相似性质)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,CA=4,矩形DEFC的顶点D、E、F都在△ABC的边上.
(1)设DE=x,则AD=(用含x的代数式表示);
(2)求矩形DEFC的最大面积.
6.(一线三直角)如图,G是边长为8的正方形ABCD的边BC上的一点,矩形DEFG的边EF过点A,GD=10.
(1)求FG的长;
(2)直接写出图中与△BHG相似的所有三角形.
7.(圆中相似计算)如图,以△ABC的边AB为直径的⊙O分别交BC、AC于F、G,且G是的中点,过点G作DE⊥BC,垂足为E,交BA的延长线于点D
(1)求证:DE是⊙O的切线;
(2)若AB=6,BG=4,求BE的长;
(3)若AB=6,CE=1.2,请直接写出AD的长.
8.(圆中动态问题与相似计算)如图,在边长为8的正方形ABCD中,点O为AD上一动点(4<OA<8),以O为圆心,OA的长为半径的圆交边CD于点M,连接OM,过点M作⊙O的切线交边BC于N.(1)求证:△ODM∽△MCN;
(2)设DM=x,OA=R,求R关于x的函数关系式;
(3)在动点O逐渐向点D运动(OA逐渐增大)的过程中,△CMN的周长如何变化?说明理由.
9.(相似与作图)如图,矩形ABCD中,AB=4,BC=m(m>1),点E是AD边上一定点,且AE=1.(1)当m=3时,AB上存在点F,使△AEF与△BCF相似,求AF的长度.
(2)如图②,当m=3.5时.用直尺和圆规在AB上作出所有使△AEF与△BCF相似的点F.(不写作法,保留作图痕迹)
(3)对于每一个确定的m的值,AB上存在几个点F,使得△AEF与△BCF相似?
10.(遇到比例式问题处理)如图,在△ABC中,AD和BG是△ABC的高,连接GD.(1)求证:△ADC∽△BGC;
(2)求证:CG•AB=CB•DG.
11.(一线三等角与相似)如图,在等边△ABC中,P为BC上一点,D为AC上一点,且∠APD=60°,BP=1,CD=.
(1)求证:△ABP∽△PCD;
(2)求△ABC的边长.
12.(动态问题中的相似计算)如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=12mm,BC=24mm,动点P以2mm/s 的速度从A向B移动,(不与B重合),动点Q以4mm/s的速度从B向C移动,(不与C重合),若P、Q同时出发,试问:
(1)经过几秒后,△PBQ与△ABC相似.
(2)经过几秒后,四边形APQC的面积最小?并求出最小值.
13.△ABC,∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c,一条直线DE与边AC相交于点D,与边AB相交于点E.
(1)如图①,若DE将△ABC分成周长相等的两部分,则AD+AE等于多少;(用a、b、c表示)(2)如图②,若AC=3,AB=5,BC=4.DE将△ABC分成周长、面积相等的两部分,求AD;
(3)如图③,若DE将△ABC分成周长、面积相等的两部分,且DE∥BC,则a、b、c满足什么关系?
【作业】
1.如图,△ABB1,△A1B1B2,△A2B2B3是全等的等边三角形,点B,B1,B2,B3在同一条直线上,连接A2B交AB1于点P,交A1B1于点Q,则PB1:QB1的值为.
2.如图,l1∥l2∥l3,直线a、b与l1、l2、l3分别交于点A、B、C和点D、E、F,若BC=2AB,AD=2,CF=6,则BE的长为.
3.如图,在△ABC中,AB=3,AC=4,BC=6,D是BC上一点,CD=2,过点D的直线l将△ABC分成两部分,使其所分成的三角形与△ABC相似,若直线l与△ABC另一边的交点为点P,则DP=.4.如图,在△ABC中,BC的垂直平分线MN交AB于点D,CD平分∠ACB.若AD=2,BD=3,则AC 的长.
5.如图,正方形ABCD的边长为12,其内部有一个小正方形EFGH,其中E、F、H分别在BC,CD,AE 上.若BE=9,则小正方形EFGH的边长.
6.如图,在矩形ABCD中,E是AD的中点,连接AC、BE,AC与BE交于点F,则△ABF的面积和四边形CDEF的面积的比值是.
7.如图,在△ABC和△APQ中,∠P AB=∠QAC,若再增加一个条件就能使△APQ∽△ABC,则这个条件可以是.
8.如图,在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别为(0,1)和,若在第四象限存在点C,使△OBC和△OAB相似,则点C的坐标是.
9.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC=1,P为△ABC内一个动点,∠P AB=∠PBC,则CP的最小值为.
10.如图,在△ABC中,BC的垂直平分线MN交AB于点D,CD平分∠ACB.若AD=1,BD=2,则AC 的长.
11.如图,A、B、C、D依次为一直线上4个点,BC=2,△BCE为等边三角形,⊙O过A、D、E三点,
且∠AOD=120°.设AB=x,CD=y,则y与x的函数关系式为.
12.如图,在△ABC中,AB=8cm,BC=16cm,点P从点A开始沿AB向B以2cm/s的速度移动,点Q 从点B开始沿BC向C点以4cm/s的速度移动.如果P,Q分别从A,B同时出发,经过几秒钟△PBQ 与△ABC相似?
13.如图,已知等腰△ABC中,AB=AC=2,点D在边BC的反向延长线上,且DB=3,点E在边BC的延长线上,且∠EAC=∠D,设AD=x,BC=y.
(1)求线段CE的长;
(2)求y关于x的函数解析式,并写出定义域;
(3)当AC平分∠BAE时,求线段AD的长.
14.如图,已知△ABC中,AB=AC=2,∠A=90°,O为BC的中点,动点E在AB边上移动,动点F 在AC边上移动.
(1)点E,F的移动过程中,△OEF是否能成为∠EOF=45°的等腰三角形?若能,求BE的长;若不能,请说明理由;
(2)当∠EOF=45°时,设BE=x,CF=y,求y与x之间的函数解析式,并写出x的取值范围.
15.如图,AB⊥BC,DC⊥BC,垂足分别为B、C,且AB=8,DC=6,BC=14,BC上是否存在点P使△ABP与△DCP相似?若有,有几个?并求出此时BP的长,若没有,请说明理由.
16.如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点H,点F是上一点,连接AF交CD的延长线于点E.
(1)求证:△AFC∽△ACE;
(2)若AC=5,DC=6,当点F为的中点时,求AF的值.
17.学习《图形的相似》后,我们可以借助探索两个直角三角形全等的条件所获得经验,继续探索两个直角三角形相似的条件.
(1)“对与两个直角三角形,满足一边一锐角对应相等,或两直角边对应相等,两个直角三角形全等”.类似地你可以得到:“满足,或,两个直角三角形相似”.
(2)“满足斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等”,类似地你可以得到“满足的两个直角三角形相似”.
请结合下列所给图形,写出已知,并完成说理过程.
已知:如图,.
试说明Rt△ABC∽Rt△A′B′C′.。