2 命题及其关系、充分条件与必要条件练习题

§1.2命题及其关系、充分条件与必要条件
一、选择题
1．设集合A ＝{x ∈R|x －2＞0}，B ＝{x ∈R|x ＜0}，C ＝{x ∈R|x (x －2)＞0}，则“x ∈A ∪B ”是“x ∈C ”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
解析：A ∪B ＝{x ∈R|x ＜0或x ＞2}，C ＝{x ∈R|x ＜0或x ＞2}， ∵A ∪B ＝C ，∴x ∈A ∪B 是x ∈C 的充分必要条件． 答案：C
2．已知命题p ：∃n ∈N,2n
＞1 000，则綈p 为( )． A ．∀n ∈N,2n
≤1 000 B ．∀n ∈N,2n
＞1 000 C ．∃n ∈N,2n ≤1 000
D ．∃n ∈N,2n
＜1 000
解析 特称命题的否定是全称命题．即p ：∃x ∈M ，p (x )，则綈p ：∀x ∈M ，綈p (x )．故选A. 答案 A
3．命题“若－1＜x ＜1，则x 2
＜1”的逆否命题是( ) A ．若x ≥1或x ≤－1，则x 2≥1 B ．若x 2
<1，则－1<x <1 C ．若x 2>1，则x >1或x <－1 D ．若x 2≥1，则x ≥1或x ≤－1
解析：若原命题是“若p ，则q ”，则逆否命题为“若綈q 则綈p ”，故此命题的逆否命题是“若x 2≥1，则x ≥1或x ≤－1”． 答案：D
4．已知α，β角的终边均在第一象限，则“α＞β”是“sin α＞sin β”的( )． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析 (特例法)当α＞β时，令α＝390°，β＝60°，则sin 390°＝sin 30°＝1
2＜sin
60°＝
3
2
，故sin α＞sin β不成立；当sin α＞sin β时，令α＝60°，β＝390°满足上式，此时α＜β，故“α＞β”是“sin α＞sin β”的既不充分也不必要条件．
答案 D
【点评】本题采用了特例法，所谓特例法，就是用特殊值特殊图形、特殊位置代替题
设普遍条件，得出特殊结论，对各个选项进行检验，从而作出正确的判断.特例法的理论依
据是：命题的一般性结论为真的先决条件是它的特殊情况为真，即普通性寓于特殊性之中.
常用的特例有取特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等.这种方
法实际是一种“小题小做”的解题策略，对解答某些选择题有时往往十分奏效.
5．命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是( )
A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数
B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数
C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数
D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数
解析：否命题是既否定题设又否定结论．
答案：B
6．设集合M＝{1,2}，N＝{a2}，则“a＝1”是“N⊆M”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件
解析：当a＝1时，N＝{1}，此时有N⊆M，则条件具有充分性；当N⊆M时，有a2＝1或a2
＝2得到a1＝1，a2＝－1，a3＝2，a4＝－2，故不具有必要性，所以“a＝1”是“N⊆M”
的充分不必要条件．
答案：A
7．若实数a，b满足a≥0，b≥0，且ab＝0，则称a与b互补．记φ(a，b)＝a2＋b2－a
－b，那么φ(a，b)＝0是a与b互补的( )．
A．必要而不充分的条件B．充分而不必要的条件
C．充要条件D．既不充分也不必要的条件
解析若φ(a，b)＝0，即a2＋b2＝a＋b，两边平方得ab＝0，故具备充分性．若a≥0，b≥0，
ab＝0，则不妨设a＝0.φ(a，b)＝a2＋b2－a－b＝b2－b＝0.故具备必要性．故选C.
答案 C
二、填空题
8.若不等式成立的充分不必要条件是，则实数的取值范围是______
答案：⎥
⎦⎤⎢⎣
⎡-34,21
9．有三个命题：(1)“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题； (2)“若a ＞b ，则a 2
＞b 2
”的逆否命题； (3)“若x ≤－3，则x 2＋x －6＞0”的否命题． 其中真命题的个数为________(填序号)．
解析 (1)真，(2)原命题假，所以逆否命题也假，(3)易判断原命题的逆命题假，则原命题的否命题假． 答案 1
10．定义：若对定义域D 上的任意实数x 都有f (x )＝0，则称函数f (x )为D 上的零函数． 根据以上定义，“f (x )是D 上的零函数或g (x )是D 上的零函数”为“f (x )与g (x )的积函数是D 上的零函数”的________条件．
解析 设D ＝(－1,1)，f (x )＝⎩⎪⎨
⎪⎧
0，x ∈
－1，0]，x ，x ∈，
，
g (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ，x ∈
－1，0]，0，x ∈，
，
显然F (x )＝f (x )·g (x )是定义域D 上的零函数，但f (x )与
g (x )都不是D 上的零函数．
答案 充分不必要
11．p ：“向量a 与向量b 的夹角θ为锐角”是q ：“a ·b >0”的________条件． 解析：若向量a 与向量b 的夹角θ为锐角，则cos θ＝a ·b
|a|·|b|
>0，即a ·b >0；由a ·b >0
可得cos θ＝
a ·b
|a|·|b|
>0，故θ为锐角或θ＝0°，故p 是q 的充分不必要条件．
答案：充分不必要
12．已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题
p 1：|a ＋b |＞1⇔θ∈⎣
⎢⎡⎭
⎪⎫0，2π3 p 2：|a ＋b |＞1⇔θ∈⎝
⎛⎦⎥
⎤2π3，π
p 3：|a －b |＞1⇔θ∈⎣
⎢⎡⎭
⎪⎫
0，π3
p 4：|a －b |＞1⇔θ∈⎝ ⎛⎦
⎥⎤π3
，π
其中真命题的个数是____________．
解析 由|a ＋b |＞1可得a 2＋2a·b ＋b 2
＞1，因为|a |＝1，|b |＝1，所以a·b ＞－12，故θ
∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，2π3.当θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，2π3时，a·b ＞－12，|a ＋b |2＝a 2＋2a·b ＋b 2
＞1，即|a ＋b |＞1，
故p 1正确．由|a －b |＞1可得a 2－2a·b ＋b 2
＞1，因为|a |＝1，|b |＝1，所以a·b ＜12
，故
θ∈⎝ ⎛⎦
⎥⎤π3，π，反之也成立，p 4正确． 答案 2 三、解答题
13.设p ：函数||
()2x a f x -=在区间（4，+∞）上单调递增；
:log 21a q <，如果“p ⌝”是真命题，“p 或q ”也是真命题，求实数a 的取值范围。

解析：||
:()2x a p f x -=在区间（4，+∞）上递增，
||u x a ∴=-在（4，+∞）上递增，故 4.a ≤ …………（3分）
:q 由log 21log 01 2.a a a a a <=⇒<<>或
…………（6分）
如果“p ⌝”为真命题，则p 为假命题，即 4.a > …………（8分） 又因为p q 或为真，则q 为真，即012a a <<>或
由0124a a a <<>⎧⎨
>⎩或可得实数a 的取值范围是 4.a > …………（12分）
14．已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a 、b ∈R ，对命题“若a ＋b ≥0，则f (a )＋
f (b )≥f (－a )＋f (－b )”．
(1)写出其逆命题，判断其真假，并证明你的结论； (2)写出其逆否命题，判断其真假，并证明你的结论． 解 (1)逆命题是：若f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )， 则a ＋b ≥0为真命题．
用反证法证明：假设a ＋b ＜0，则a ＜－b ，b ＜－a . ∵f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数， 则f (a )＜f (－b )，f (b )＜f (－a )，
∴f (a )＋f (b )＜f (－a )＋f (－b )，这与题设相矛盾，所以逆命题为真． (2)逆否命题：若f (a )＋f (b )＜f (－a )＋f (－b )，
则a ＋b ＜0为真命题．
因为原命题⇔它的逆否命题，所以证明原命题为真命题即可． ∵a ＋b ≥0, ∴a ≥－b ，b ≥－a . 又∵f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数， ∴f (a )≥f (－b )，f (b )≥f (－a )， ∴f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )． 所以逆否命题为真．
15．判断命题“若a ≥0，则x 2
＋x －a ＝0有实根”的逆否命题的真假． 解 法一 写出逆否命题，再判断其真假． 原命题：若a ≥0，则x 2
＋x －a ＝0有实根． 逆否命题：若x 2
＋x －a ＝0无实根，则a ＜0. 判断如下：
∵x 2
＋x －a ＝0无实根， ∴Δ＝1＋4a ＜0，∴a ＜－1
4
＜0，
∴“若x 2
＋x －a ＝0无实根，则a ＜0”为真命题． 法二 利用原命题与逆否命题同真同假(即等价关系)判断 ∵a ≥0，∴4a ≥0，∴4a ＋1＞0，
∴方程x 2＋x －a ＝0的判别式Δ＝4a ＋1＞0， ∴方程x 2＋x －a ＝0有实根，
故原命题“若a ≥0，则x 2
＋x －a ＝0有实根”为真． 又∵原命题与其逆否命题等价，
∴“若a ≥0，则x 2
＋x －a ＝0有实根”的逆否命题为真命题． 法三 利用充要条件与集合关系判断． 命题p ：a ≥0，q ：x 2＋x －a ＝0有实根， ∴p ：A ＝{a ∈R|a ≥0}，
q ：B ＝{a ∈R|方程x 2＋x －a ＝0有实根}＝⎩
⎨⎧
⎭
⎬⎫a ∈R|a ≥－14.
即A ⊆B ，∴“若p ，则q ”为真，
∴“若p ，则q ”的逆否命题“若綈q ，则綈p ”为真． ∴“若a ≥0，则x 2
＋x －a ＝0有实根”的逆否命题为真．
16．设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2
<0，其中a ≠0，q ：实数x 满足⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2
－x －6≤0，x 2
＋2x －8>0.
(1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围；
(2)若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围． 解：(1)由x 2
－4ax ＋3a 2
<0，得(x －3a )(x －a )<0，
当a ＝1时，解得1<x <3，即p 为真时实数x 的取值范围是1<x <3.
由⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2
－x －6≤0x 2
＋2x －8>0，得2<x ≤3，即q 为真时实数x 的取值范围是2<x ≤3.
若p ∧q 为真，则p 真且q 真，所以实数x 的取值范围是2<x <3. (2)p 是q 的必要不充分条件，即q ⇒p 且p q ，设A ＝{x |p (x )}，B ＝{x |q (x )}，则A B ，
又B ＝(2,3]，当a >0时，A ＝(a,3a )；
a <0时，A ＝(3a ，a )．
所以当a >0时，有⎩⎪⎨
⎪⎧
a ≤2，3<3a ，
解得1<a ≤2；
当a <0时，显然A ∩B ＝∅，不合题意． 综上所述，实数a 的取值范围是1<a ≤2.。