2022-2023学年广东省深圳市福田区数学九上期末调研模拟试题含解析

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题(每小题3分,共30分)
1．某同学在解关于x 的方程ax 2+bx +c ＝0时，只抄对了a ＝1，b ＝﹣8，解出其中一个根是x ＝﹣1．他核对时发现所抄的c 是原方程的c 的相反数，则原方程的根的情况是（ ）
A ．有两个不相等的实数根
B ．有两个相等的实数根
C ．有一个根是x ＝1
D ．不存在实数根
2．某车间20名工人日加工零件数如表所示： 日加工零件数
4
5 6 7 8
人数 2 6 5 4 3 这些工人日加工零件数的众数、中位数、平均数分别是（ ）
A ．5、6、5
B ．5、5、6
C ．6、5、6
D ．5、6、6
3．如图,在ABCD 中，点,E F 分别在边AD BC 、上,且//, EF CD G 为边AD 延长线上一点,连接BG ,则图中与ABG 相似的三角形有( )个
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
4．如图，点C 在弧ACB 上，若∠OAB = 20°，则∠ACB 的度数为( )
A ．50︒
B ．60︒
C ．70︒
D ．80︒
5．用配方法解方程2890x x ++=，变形后的结果正确的是( )
A ．()249x +=-
B ．()247x +=-
C ．()2425x +=
D ．()2
47x += 6．已知△ABC ，D ，E 分别在AB ，AC 边上，且DE ∥BC ，AD =2，DB =3，△ADE 面积是4则四边形DBCE 的面积是（ ）
A ．6
B ．9
C ．21
D ．25
7．已知圆内接正六边形的边长是1，则该圆的内接正三角形的面积为（ ）
A ．433
B ．23
C ．33
4 D ．32
2
8．平面直角坐标系内点()1,1P 关于点()1,0Q -的对称点坐标是（ ）
A ．(-2, -1)
B ．(-3, -1)
C ．(-1, -2)
D ．(-1, -3)
9．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 的三个顶点均在格点上，则tan ∠ABC 的值为（ ）
A ．3
5 B ．3
4 C ．10
5 D ．1
10．如图，在矩形ABCD 中，3AB =，对角线,AC BD 相交于点O ，AE 垂直平分OB 于点E ，则AD 的长为（
）
A ．4
B ．33
C ．5
D ．52二、填空题(每小题3分,共24分)
11．若点()11,P m ，()22,P n 在反比例函数()0k
y k x =<的图象上，则m ______n .（填“>”“<”或“=”）
12．关于x 的一元二次方程2960x x k -+=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是_________．
13．一辆汽车在行驶过程中，路程y （千米）与时间x （小时）之间的函数关系如图所示．当01x 时，y 关于x 的函数解析式为60y x =，那么当12x <时，y 关于x 的函数解析式为________．
14．如图，D 、E 分别是△ABC 的边AB 、BC 上的点，DE ∥AC ，若S △BDE ：S △CDE =1：3，则BE ：
BC 的值为_________．
15．如图，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，BD 为AC 边上的中线，过点C 作CE BD ⊥于点E ，过点A 作BD 的平行线，交CE 的延长线于点F ，在AF 的延长线上截取FG BD =，连接BG 、DF ．若26AG =，10BG =，则CF 的长为____________．
16．若3a ＝4b （b ≠0），则
a b b -＝_____． 17．若函数()
21m m y m +=-是二次函数，则m 的值为__________． 18．若m+1m =3，则m 2+21m
=_____． 三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，某市郊外景区内一条笔直的公路l 经过A 、B 两个景点，景区管委会又开发了风景优美的景点C .经测量，C 位于A 的北偏东60︒的方向上，B 的北偏东30的方向上，且10AB km =.
(1)求景点B与C的距离.
(2)求景点A与C的距离.(结果保留根号)
20．（6分）端午节放假期间，小明和小华准备到巴马的水晶宫（记为A）、百魔洞（记为B）、百鸟岩（记为C）、长寿村（记为D）的一个景点去游玩，他们各自在这四个景点中任选一个，每个景点都被选中的可能性相同．
（1）求小明选择去百魔洞旅游的概率．
（2）用树状图或列表的方法求小明和小华都选择去长寿村旅游的概率．
21．（6分）某图书馆2015年年底有图书10万册，预计2017年年底有图书14.4万册.求这两年图书册数的年平均增长率．
22．（8分）（1）如图1，在△ABC中，点D，E，Q分别在AB，AC，BC上，且DE∥BC，AQ交DE于点P，求证：DP EP
＝；
BQ CQ
（2）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，连接AG，AF分别交DE于M，N两点．
①如图2，若AB=AC=1，直接写出MN的长；
②如图3，求证MN2=DM·EN．
23．（8分）已知抛物线y＝x2+（1﹣2a）x﹣2a（a是常数）．
（1）证明：该抛物线与x轴总有交点；
（2）设该抛物线与x轴的一个交点为A（m，0），若2＜m≤5，求a的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若a为整数，将抛物线在x轴下方的部分沿x轴向上翻折，其余部分保持不变，得到一个新图象G，请你结合新图象，探究直线y＝kx+1（k为常数）与新图象G公共点个数的情况．
24．（8分）已知：AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使AB=AC，连结AC，过点D作DE⊥AC，
垂足为E ．
(1)求证：DC=BD
(2)求证：DE 为⊙O 的切线
25．（10分）某学校在倡导学生大课间活动中，随机抽取了部分学生对“我最喜爱课间活动”进行了一次抽样调查，分别从打篮球、踢足球、自由活动、跳绳、其它等5个方面进行问卷调（每人只能选一项），根据调查结果绘制了如图的不完整统计图，请你根据图中信息，解答下列问题.
（1）本次调查共抽取了学生 人；
（2）求本次调查中喜欢踢足球人数；
（3）若甲、乙两位同学通过抽签的方式确定自己填报的课间活动，则两位同学抽到同一运动的概率是多少？
26．（10分）如图，一块直角三角板的直角顶点P 放在正方形ABCD 的边BC 上，并且使一条直角边经过点D ．另一条直角边与AB 交于点Q ．求证：BPQ CDP ∆∆∽．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、A
【分析】直接把已知数据代入进而得出c 的值，再解方程根据根的判别式分析即可．
【详解】∵x ＝﹣1为方程x 2﹣8x ﹣c ＝0的根，
1+8﹣c ＝0，解得c ＝9，
∴原方程为x 2－8x ＋9＝0，
∵24b ac ∆=-＝（﹣8）2－4×
9＞0， ∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A ．
【点睛】
本题考查一元二次方程的解、一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程()2
00++=≠ax bx c a ，根的情况由24b ac ∆=-来判别，当24b ac -＞0时，方程有两个不相等的实数根，当24b ac -＝0时，方程有两个相等的实数根，当24b ac -＜0时，方程没有实数根．
2、D
【详解】5出现了6次，出现的次数最多，则众数是5；
把这些数从小到大排列，中位数是第10，11个数的平均数，则中位数是（6＋6）÷
2＝6； 平均数是：（4×
2＋5×6＋6×5＋7×4＋8×3）÷20＝6； 故答案选D ．
3、D
【分析】根据平行四边形和平行线的性质，得出对应的角相等，再结合相似三角形的性质即可得出答案. 【详解】
∵EF ∥CD ，ABCD 是平行四边形
∴EF ∥CD ∥AB
∴∠GDP=∠GAB ，∠GPD=∠GBA
∴△GDP ∽△GAB
又EF ∥AB
∴∠GEQ=∠GAB ，∠GQE=∠GBA
∴△GEQ ∽△GAB
又∵ABCD 为平行四边形
∴AD ∥BC
∴∠GDP=∠BCP ，∠CBP=∠G
∴∠BCP=∠GAB
又∠GPD=∠BPC
∴∠GBA=∠BPC
∴△GAB ∽△BCP
又∠BQF=∠GQE
∴∠BQF=∠GBA
∴△GAB ∽△BFQ
综上共有4个三角形与△GAB 相似
故答案选择D.
【点睛】
本题考查的是相似三角形的判定，需要熟练掌握相似三角形的判定方法，此外，还需要掌握平行四边形和平行线的相关知识.
4、C
【分析】根据圆周角定理可得∠ACB=
12∠AOB ，先求出∠AOB 即可求出∠ACB 的度数． 【详解】解：∵∠ACB=12
∠AOB ， 而∠AOB=180°-2×20°=140°，
∴∠ACB=12
×140°=70°． 故选：C ．
【点睛】
本题考查了圆周角定理．在同圆或等圆中，同弧和等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．
5、D
【分析】先将常数项移到右侧，然后两边同时加上一次项系数一半的平方，配方后进行判断即可.
【详解】2890x x ++=，
289
x x
+=-，
222
8494
x x
++=-+，
所以()247
x+=，
故选D.
【点睛】
本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的一般步骤以及注意事项是解题的关键.
6、C
【解析】∵DE//BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴
2
ADE
ABC
S AD
S AB
∆
∆
⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
，
∵AD=2，BD=3，AB=AD+BD，
∴
4
25
ADE
ABC
S
S
∆
∆
=，
∵S△ADE=4，
∴S△ABC=25，
∴S四边形DBCE=S△ABC-S△ADE=25-4=21，
故选C.
7、C
【分析】根据圆内接正六边形的边长是1可得出圆的半径为1，利用勾股定理可求出该内接正三角形的边长为3，高
为3
2
，从而可得出面积．
【详解】解：由题意可得出圆的半径为1，
∵△ABC为正三角形，AO=1，AD BC
⊥，BD=CD，AO=BO，
∴
1
DO
2
=，
3
2
AD=，
∴223BD 2OB OD =-=
， ∴BC 3=， ∴13333224
ABC S =⨯⨯=． 故选：C ．
【点睛】
本题考查的知识点是正多边形的性质以及解直角三角形，根据圆内接正多边形的边长求出圆的半径是解此题的关键． 8、B
【解析】通过画图和中心对称的性质求解．
【详解】解:如图，
点P (1,1)关于点Q (−1,0)的对称点坐标为(−3,−1).
故选B.
【点睛】
本题考查了坐标与图形变化-旋转:图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标. 9、B
【分析】根据网格结构找出∠ABC 所在的直角三角形，然后根据锐角的正切等于对边比邻边列式即可．
【详解】解：∠ABC 所在的直角三角形的对边是3，邻边是4，
所以，tan ∠ABC ＝
34
． 故选B ．
【点睛】
本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握网格结构找出直角三角形是解题的关键．
10、B
【分析】由矩形的性质和线段垂直平分线的性质证出OA=AB=OB=3，得出BD=2OB=6，由勾股定理求出AD 即可．
【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，
∴OB=OD ，OA=OC ，AC=BD ，
∴OA=OB ，
∵AE 垂直平分OB ，
∴AB=AO ，
∴OA=AB=OB=3，
∴BD=2OB=6，
∴==；
故选：B ．
【点睛】
此题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、<
【分析】根据反比例的性质，比较大小
【详解】∵()0k y k x
=< ∴在每一象限内y 随x 的增大而增大
点()11,P m ，()22,P n 在第二象限内y 随x 的增大而增大
∴m<n
故本题答案为：<
【点睛】
本题考查了通过反比例图像的增减性判断大小
12、1k <
【分析】方程有两个不相等的实数根，则∆＞2，由此建立关于k 的不等式，然后可以求出k 的取值范围．
【详解】解：由题意知，∆=36-36k ＞2,
解得k ＜1．
故答案为：k ＜1.
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的情况与判别式∆的关系：（1）∆＞2⇔方程有两个不相等的实数根；（2）∆=2⇔方程有
两个相等的实数根；（3）∆＜2⇔方程没有实数根．同时注意一元二次方程的二次项系数不为2．
13、10040y x =-
【分析】将x=1代入60y x =得出此时y 的值，然后设当1≤x ≤2时，y 关于x 的函数解析式为y=kx+b ，再利用待定系数法求一次函数解析式即可．
【详解】解：∵当时0≤x ≤1，y 关于x 的函数解析式为y=1x ，
∴当x=1时，y=1．
又∵当x=2时，y=11，
设当1＜x ≤2时，y 关于x 的函数解析式为y=kx+b ，将（1，1），（2，11）分别代入解析式得，
602160k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得10040k b =⎧⎨=-⎩
， 所以，当12x <时，y 关于x 的函数解析式为y=100x-2．
故答案为：y=100x-2．
【点睛】
本题考查了一次函数的应用，主要利用了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数解析式，比较简单． 14、1：4
【解析】由S △BDE ：S △CDE =1：3，得到
BE 1CE 3=，于是得到 41BE BC =． 【详解】解：:1:3BDE CDE S S ，= 两个三角形同高，底边之比等于面积比.
13
BE CE ∴=， :1:4.BE BC ∴=
故答案为1:4.
【点睛】
本题考查了三角形的面积，比例的性质等知识，知道等高不同底的三角形的面积的比等于底的比是解题的关键． 15、12.
【分析】首先可判断四边形BGFD 是平行四边形，再由直角三角形斜边中线等于斜边一半，可得BD=FD ，则可判断四边形BGFD 是菱形，则GF=10，则AF=16，AC=20，在Rt △ACF 中利用勾股定理可求出CF 的值．
【详解】解：∵AG ∥BD ，BD=FG ，
∴四边形BGFD 是平行四边形，
∵CF ⊥BD ， ∴CF ⊥AG ，
又∵点D 是AC 中点，
∴BD=DF=12
AC ， ∴四边形BGFD 是菱形，
∴GF=BG=10，则AF=26-10=16， AC=2×10=20，
∵在Rt △ACF 中，∠CFA=90°，
∴222,AF CF AC +=即22201612,CF =-=
故答案是：1．
【点睛】
本题考查了菱形的判定与性质、勾股定理及直角三角形的斜边中线的性质，解答本题的关键是判断出四边形BGFD 是菱形．
16、13
【分析】依据3a ＝4b ，即可得到a ＝
43b ，代入代数式进行计算即可． 【详解】解：∵3a ＝4b ，
∴a ＝
43
b ， ∴a b b -＝43b b b -＝13b b
＝13． 故答案为：13． 【点睛】
本题主要考查了比例的性质，求出a ＝
43b 是解题的关键． 17、-1
【分析】直接利用二次函数的定义分析得出答案．
【详解】解：∵函数()
21m m y m +=-是二次函数，
∴m 1+m=1，且m-1≠0，
∴m=−1．
故答案为-1．
【点睛】
此题主要考查了二次函数的定义，正确把握二次函数的次数与系数的值是解题关键．
18、7
【解析】分析：把已知等式两边平方，利用完全平方公式化简，即可求出答案．
详解：把m+1m =3两边平方得：（m+1m ）2=m 2+21m +2=9， 则m 2+21m
=7， 故答案为：7
点睛：此题考查了分式的混合运算，以及完全平方公式，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．
三、解答题(共66分)
19、 (1)BC=10km ；(2)AC=103km.
【分析】（1）由题意可求得∠C =30°，进一步根据等角对等边即可求得结果；
（2）分别在Rt BCD ∆和Rt ACD ∆中利用锐角三角函数的知识解直角三角形即可求得结果.
【详解】解：(1)过点C 作CD ⊥直线l ，垂足为D ，如图所示.
根据题意，得：30CAD ∠=︒，60CBD ∠=︒，
∴∠C =∠CBD －∠CAD =30°，
∴∠CAD =∠C ，
∴BC =AB =10km .
(2) 在Rt BCD ∆中，sin CD CBD BC
∠=
，∴sin 6053CD BC km ==， 在Rt ACD ∆中，1sin 2CD CAD AC ∠==，∴2103AC CD km ==.
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，属于基本题型，熟练掌握锐角三角函数的知识是解题的关键.
20、（1）14
；（2）116 【分析】（1）利用概率公式计算即可；
（2）列树状图求事件的概率即可.
【详解】解：（1）∵小明准备到巴马的水晶宫（记为A）、百魔洞（记为B）、百鸟岩（记为C）、长寿村（记为D）的一个景点去游玩，
∴小明选择去百魔洞旅游的概率=1
4
；
（2）画树状图分析如下：
两人选择的方案共有16种等可能的结果，其中选择同种方案有1种，
所以小明和小华都选择去长寿村旅游的概率=
1 16
.
【点睛】
此题考查概率的计算公式，列树状图求事件的概率，正确列树状图表示所有的等可能的结果是解题的关键.
21、20%
【解析】试题分析：经过两次增长，求年平均增长率的问题，应该明确原来的基数，增长后的结果．设这两年的年平均增长率为x，则经过两次增长以后图书馆有书10（1+x）2万册，即可列方程求解．
试题解析：
设这两年图书册数的年平均增长率为x．
根据题意，得10（1+x）2=14.4
解得x1=0.2=20%，x2=-2.2 （不符合题意，舍去）．
答：这两年图书册数的年平均增长率为20%．
22、（1）证明见解析；（2）①
2
9
；②证明见解析．
【分析】（1）易证明△ADP∽△ABQ，△ACQ∽△ADP，从而得出DP EP BQ CQ
＝；
（2）①根据等腰直角三角形的性质和勾股定理，求出BC边上的高
2
2
，根据△ADE∽△ABC，求出正方形DEFG
的边长
2
3
．从而，由△AMN∽△AGF和△AMN的MN边上高
2
6
，△AGF的GF
2
，GF=
2
3
，根据MN：
GF等于高之比即可求出MN；
②可得出△BGD ∽△EFC ，则DG•EF=CF•BG ；又DG=GF=EF ，得GF 2=CF•BG ，再根据（1）
DM MN EN BG GF CF
＝＝，从而得出结论．
【详解】解：（1）在△ABQ 和△ADP 中，
∵DP ∥BQ ，
∴△ADP ∽△ABQ ， ∴DP AP BQ AQ
=， 同理在△ACQ 和△APE 中，EP AP CQ AQ
=， ∴DP PE BQ QC
=； （2）①作AQ ⊥BC 于点Q ．
∵BC 边上的高AQ=2
， ∵DE=DG=GF=EF=BG=CF
∴DE ：BC=1：3
又∵DE ∥BC
∴AD ：AB=1：3，
∴AD=13，DE=3
，
∵DE 边上的高为
6，MN ：GF=6：2，
∴MN ：3=6：2，
∴
故答案为：
9．
②证明：∵∠B+∠C=90°∠CEF+∠C=90°，
∴∠B=∠CEF ，
又∵∠BGD=∠EFC ，
∴△BGD ∽△EFC ， ∴DG BG CF EF
=， ∴DG•EF=CF•BG ，
又∵DG=GF=EF ，
∴GF 2=CF•BG ，
由（1）得
DM MN EN BG GF FC
==， ∴MN MN DM EN GF GF BG CF =， ∴2()MN DM EN GF BG CF =， ∵GF 2=CF•BG ，
∴MN 2=DM•EN ．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质以及正方形的性质，是一道综合题目，难度较大．
23、（1）见解析；（2）1＜a ≤52
；（3）新图象G 公共点有2个． 【分析】（1）令抛物线的y 值等于0，证所得方程的△＞0即可；
（2）将点A 坐标代入可求m 的值，即可求a 的取值范围；
（3）分k ＞0和k ＜0两种情况讨论，结合图象可求解．
【详解】解：（1）设y ＝0，则0＝x 2+（1﹣2a ）x ﹣2a ，
∵△＝（1﹣2a ）2﹣4×1×（﹣2a ）＝（1+2a ）2≥0，
∴x 2+（1﹣2a ）x ﹣2a ＝0有实数根，
∴该抛物线与x 轴总有交点；
（2）∵抛物线与x 轴的一个交点为A （m ，0），
∴0＝m2+（1﹣2a）m﹣2a，∴m＝﹣1，m＝2a，
∵2＜m≤5，
∴2＜2a≤5，
∴1＜a≤5
2
；
（3）∵1＜a≤5
2
，且a为整数，
∴a＝2，
∴抛物线解析式为：y＝x2﹣3x﹣4，
如图，当k＞0时，
若y＝kx+1过点（﹣1，0）时，直线y＝kx+1（k为常数）与新图象G公共点有3个，即k＝1，
当0＜k＜1时，直线y＝kx+1（k为常数）与新图象G公共点有4个，
当k＞1时，直线y＝kx+1（k为常数）与新图象G公共点有2个，
如图，当k＜0时，
若y＝kx+1过点（4，0）时，直线y＝kx+1（k为常数）与新图象G公共点有3个，
即k＝﹣1
4
，
当﹣1
4
＜k＜0时，直线y＝kx+1（k为常数）与新图象G公共点有4个，
当k＜﹣1
4
时，直线y＝kx+1（k为常数）与新图象G公共点有2个，
【点睛】
本题考查了二次函数与一次函数相结合的综合题：熟练掌握二次函数的性质；会利用根的判别式确定抛物线与x轴的交点个数；理解坐标与图形性质，会利用分类讨论的方法解题；要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用数形结合的方法是解题的关键．
24、（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）连接AD，根据中垂线定理不难求得AB=AC；
（2）要证DE为⊙O的切线，只要证明∠ODE=90°即可．
【详解】（1）连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，又∵AB=AC，∴DC=BD；
（2）连接半径OD，∵OA=OB，CD=BD，∴OD∥AC，∴∠ODE=∠CED，又∵DE⊥AC，∴∠CED=90°，∴∠ODE=90°，即OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线．
考点：切线的判定．
25、（1）50；（2）12；（3）1 5 .
【分析】（1）根据条形图和扇形图中打篮球的数据计算得出总人数；
（2）用总人数减去其他组的人数即可得到踢足球的人数；
（3）列表解答即可.
【详解】（1）本次调查抽取的学生人数为：510%50
÷=（人），故答案为：50；
（2）本次调查中喜欢踢足球人数为：50-5-20-8-5=12（人）；（3）列表如下：
共有25种等可能的情况，其中两位同学抽到同一运动的有5种，
∴P(两位同学抽到同一运动的)= 51 255
=.
【点睛】
此题考查数据的计算，正确掌握根据部分计算得出总体的方法，能计算某部分的人数，会列树状图或表格求概率.
26、详见解析
【分析】根据正方形性质得到角的关系，从而根据判定两三角形相似的方法证明△BPQ∽△CDP．
【详解】证明：四边形ABCD是正方形，
90
B C
∴∠=∠=︒．
90
QPD
∠=︒，
90
QPB BQP
∴∠+∠=︒，90
QPB DPC
∠+∠=︒，
DPC PQB
∴∠=∠，
BPQ CDP
∴∽．
【点睛】
此题重点考查学生对两三角形相似的判定的理解，熟练掌握两三角形相似的判定方法是解题的关键．。