【最新】北师大版数学七年级下册《期末检测试卷》附答案

北师大版七年级下学期期末考试数学试题
时间：120分钟 总分：120分
一、选择题：本大题共15个小题，每小题3分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.下列运算结果正确的是（ ）
A. 326a a a ⋅=
B. 2323a a a +=
C. ()236a a =
D. ()222x y x y -=- 2.计算()()22
22a b
ab ÷的结果是（ ） A. 34a B. 4ab C. 3a D. 24a 3.等腰三角形中有两条边的长度分别是8,4cm cm ，那么这个三角形的周长是（ ）
A. 20cm
B. 16cm
C. 20cm 或16cm
D. 无法确定
4.2018-2019学年度七星关区区级配套“教育精准扶贫”资金约1410000元，1410000用科学计数法表示为（ ）
A. 61.4110⨯
B. 71.4110⨯
C. 51.4110⨯
D. 41.4110⨯ 5.下列图形中不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D.
6.若750),(a m a n a ==≠，那么2a 用含m 和n 的代数式表示为（ ） A. m n ⋅ B. m n
C. n m
D. m n -
7.一个不透明的袋子中装有白球4个，黑球若干个，这些球除颜色外其余完全一样．如果随机从袋中摸出一个球是白球的概率为
13，那么袋中有多少个黑球（ ） A. 4个 B. 12个 C. 8个 D. 不确定 8.如图，已知两条直线//m n ，直线AB 与m 交于点A 与n 交于点B ，145,∠=︒那么2∠度数是（ ）
A . 125o
B. 135o
C. 120o
D. 145o
9.如图，在ABC V 中，50A B C ∠=︒∠=∠，，点D E F 、、分别在各边上，BE CF BD CE ==，， 则DEF ∠的度数是（ ）
A. 75︒
B. 70︒
C. 65︒
D. 50︒
10.若29x kx ++是完全平方式，则k 的值是（ ）
A. 6
B. 6-
C. 6或6-
D. 2 11.已知4,2,x y xy +==那么()2x y -的值是（ ）
A. 4
B. 8
C. 2 D 1．
12.已知关于,x y 的代数式2632m x y +与261n x y +-是同类项，那么m n 的值是（ ）
A. 9
B. 9-
C. 19
D. 19
- 13.如图，若直线//,AB CD 那么1,2∠∠与3∠之间的数量关系是（ ）
A. 123∠+∠=∠
B. 1223∠+∠=∠
C. 321∠+∠=∠
D. 11232
∠+∠=∠ 14.如图，四边形ABCD 中，//AD BC ，下列条件能使ADC CBA △≌△的有（ ）
AD BC =①；D B ∠=∠②；//AB CD ③
A. ①
B. ②
C. ③
D. 以上都可以
15.某人从家出发，步行去图书馆看书．下面的图像反映了他离家的距离
()s 与时间()t 的关系．下列说法中
正确的有（ ） ①出发时的速度是每分钟60米；
②在图书馆看了80分钟的书；
③家到图书馆1200米；
④回家时速度是每分钟80米；
A. ①③④
B. ①②③④
C. ②③④
D. ①②④
二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）
16.02-=________________．
17.某个三角形的边长均为整数，有两边长分别是14,cm cm 、
那么第三边是____________． 18.已知
:()2
120x y ++-=，那么y x =_________________． 19.如图，在ABC V 中，54A ∠=︒，若BO CO 、分别是ABC ∠与ACB ∠的角平分线，交于点O ，那么BOC ∠的度数是________________．
20.如图，在第一个1A BC V 中，30B ∠=︒，1A B CB =，在边1A B 上任取一D ，延长1CA 到2A ，使121A A A D =，
得到第2个12A A D V ，在边2A D 上任取一点E ，延长12A A 到3A ，使232A A A E =，得到第三个23A A E △，
…按此做法继续下去，第n 个等腰三角形的底角的度数是________________．
三、解答题 （共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
21.计算: 20182201911222828⎛⎫--⨯-+⨯ ⎪⎝⎭
22.化简求值:()()()22222,x y x y x y y ⎡⎤⎣+⎦
+--÷其中1,12x y ==- 23.如图，在ABC V 中，AB 的垂直平分线MN 交AB 于点D ，交AC 于点E ，且15AC =，BCE V 的周长等于25．求BC 的长.
24.如图，在ABC V 中，M 为AC 中点，连接BM ，点D 为BM 上的一点，过点C 作CE BM ∥ ，过点D 作DE AB ∥，CE DE 、交于点E ，连接BE ，求证：BE AD =．
25.在一个不透明的袋子中装有红、黑、白三种球共100个，他们除了颜色外其余完全一样． 已知黑球是白球的2倍少5个，将球充分搅匀后，随机摸出一球是红球的概率是
310
（1）这三种球各有多少个？
（2）随机摸出一球是白球的概率是多少？
（3）若从袋子中拿出10个球(没有红球)后，随机摸一次摸到红球的概率是多少？
26.如图，ABC V 中，90BAC ∠=︒ ，AB AC = ，AE 是过A 点一条直线l
（1）作BD l ⊥ 于点D ，CE l ⊥ E 点，若B 点和C 点在直线l 的同侧，求证：DE BD CE =+ ； （2）若直线l 绕点A 旋转到B 点和C 点在其两侧，其余条件不变，问：BD DE CE 、、的关系如何？请予以证明．
27.某学校校长暑假期间将带领该校市级“三好学生”到北京旅游，到旅行社打听价格时，甲旅行社说：“如果校长买一张全票，其余学生可享受半价优惠．”乙旅行社说：“包括校长在内全部按6折优惠．”票价为240元．
（1）设学生数为x ，用含x 的代数式表示两个旅行社的收费；
（2）当学生是多少时，两家旅行社的收费一样？
（3）当学生数不是（2）中的数，你将怎样选择旅行社？
答案与解析
一、选择题：本大题共15个小题，每小题3分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.下列运算结果正确的是（ ）
A. 326a a a ⋅=
B. 2323a a a +=
C. ()236a a =
D. ()222x y x y -=- 【答案】C
【解析】
【分析】
结合选项分别进行幂的乘方和积的乘方以及合并同类项等运算，然后选择正确选项．
【详解】解：A 、325a a a ⋅=，原式计算错误，故本选项错误；
B 、22a 与a 不能合并，故本选项错误；
C 、()236a a =，原式计算正确，故本选项正确；
D 、()2222x y x xy y -=-+，原式计算错误，故本选项错误．
故选：C ．
【点睛】此题考查幂的乘方和积的乘方，解题的关键是幂的乘方和积的乘方以及合并同类项的运算法则． 2.计算()()2222a b
ab ÷的结果是（ ） A. 34a
B. 4ab
C. 3a
D. 24a 【答案】D
【解析】
【分析】
根据单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式计算即可.
【详解】()()2222a b
ab ÷=()()42222=44a b a b a ÷，
故选D.
【点睛】此题考查整式除法，解题关键在于掌握运算法则.
3.等腰三角形中有两条边的长度分别是8,4cm cm ，那么这个三角形的周长是（ ）
A. 20cm
B. 16cm
C. 20cm 或16cm
D. 无法确定 【答案】A
根据三角形的任意两边之和大于第三边，来确定这个三角形的腰是多少，进而可求出它的周长，据此解答．【详解】解：4+4=8（厘米）
8厘米=8厘米，两边之和等于第三边，所以腰不能为4厘米．
8+4=12（厘米）
12厘米＞8厘米，两边之和大于第三边，所以腰是8厘米．
8+8+4=20（厘米）
答：这个三角形的周长是20厘米．
故选：A．
【点睛】此题考查三角形三边的应用，解题关键在于根据三角形的任意两边之和大于第三边，来确定腰是多少．
4.2018-2019学年度七星关区区级配套“教育精准扶贫”资金约1410000元，1410000用科学计数法表示为（）
A. 6
1.4110
⨯
1.4110
⨯ D. 4
1.4110
⨯ B. 7
1.4110
⨯ C. 5
【答案】A
【解析】
【分析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】将1410000用科学记数法表示为6
⨯，
1.4110
故选：A．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．解题关键在于掌握科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
5.下列图形中不是轴对称图形的是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】A 、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B 、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C 、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D 、不是轴对称图形，故本选项符合题意；
故选：D ．
【点睛】此题考查轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 6.若750),(a m a n a ==≠，那么2a 用含m 和n 的代数式表示为（ ）
A. m n ⋅
B. m n
C. n m
D. m n - 【答案】B
【解析】
【分析】
利用同底数幂的除法法则进行计算即可．
【详解】∵750),(a m a n a ==≠，
∴752a a a ÷=，
∴2a =m n
， 故选B.
【点睛】此题考查同底数幂的除法，解题关键在于掌握运算法则．
7.一个不透明的袋子中装有白球4个，黑球若干个，这些球除颜色外其余完全一样．如果随机从袋中摸出一个球是白球的概率为
13，那么袋中有多少个黑球（ ） A. 4个
B. 12个
C. 8个
D. 不确定
【答案】C
【解析】
【分析】 首先设黑球的个数为x 个，根据题意得：
4143=x +，解此分式方程即可求得答案． 【详解】设黑球的个数为x 个，
根据题意得：4143
=x +， 解得：x=8， 经检验：x=8是原分式方程的解；
∴黑球的个数为8．
故选：C.
【点睛】此题考查概率公式的应用．解题关键在于掌握概率=所求情况数与总情况数之比．
8.如图，已知两条直线//m n ，直线AB 与m 交于点A 与n 交于点B ，145,∠=︒那么2∠度数是（ ）
A. 125o
B. 135o
C. 120o
D. 145o
【答案】B
【解析】
【分析】 根据平行线的性质进行解答即可.
【详解】∵//m n ，
∴∠1=∠3=45°，
∠2=180°-∠1=135°，
故选B.
【点睛】此题考查平行线的性质，解题关键在于掌握其性质定义.
9.如图，在ABC V 中，50A B C ∠=︒∠=∠，，点D E F 、、分别在各边上，BE CF BD CE ==，， 则DEF ∠的度数是（ ）
A. 75︒
B. 70︒
C. 65︒
D. 50︒
【答案】C
【解析】
【分析】 首先证明△DBE ≌△ECF ，进而得到∠EFC=∠DEB ，再根据三角形内角和计算出∠CFE+∠FEC 的度数，进而得到∠DEB+∠FEC 的度数，然后可算出∠DEF 的度数．
【详解】解：∵AB=AC ，
∴∠B=∠C ，
在△DBE 和△ECF 中，
BD EC B C EB CF ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝ ，
∴△DBE ≌△ECF （SAS ），
∴∠EFC=∠DEB ，
∵∠A=50°，
∴∠C=（180°-50°）÷2=65°，
∴∠CFE+∠FEC=180°-65°=115°，
∴∠DEB+∠FEC=115°，
∴∠DEF=180°-115°=65°．
故选C.
【点睛】此题考查全等三角形的判定及性质，三角形内角和定理的运用，解题关键在于证明三角形全等． 10.若29x kx ++是完全平方式，则k 的值是（ ）
A. 6
B. 6-
C. 6或6-
D. 2 【答案】C
【解析】
【分析】
先根据两平方项项确定出这两个数是x 和3，再根据完全平方公式求解即可．
【详解】∵x 2+kx+9=x 2+kx+32，
∴kx=±
2×x×3， 解得k=±
6． 故选：C ．
【点睛】此题考查完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．解题的关键是利用平方项来确定这两个数．
11.已知4,2,x y xy +==那么()2x y -的值是（ ）
A. 4
B. 8
C. 2 D 1． 【答案】B
【解析】
【分析】
根据（x-y ）2=（x+y ）2-4xy ，代入计算即可；
【详解】∵x+y+4，xy=2，
∴（x-y ）2=（x+y ）2-4xy=16-8=8．
故选B.
【点睛】此题考查完全平方公式，解题的关键是灵活运用公式解决问题．
12.已知关于,x y 的代数式2632m x y +与261n x y +-是同类项，那么m n 的值是（ ）
A. 9
B. 9-
C. 19
D. 19
- 【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查同类项的定义，所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项．根据同类项的定义中相同字母的指数也相同，可先列出关于x 和y 的二元一次方程组，再解方程组求出它们的值． 【详解】由同类项的定义，得26=23=61m n +⎧⎨+⎩
，
解得=2
1=3
m n -⎧⎪⎨⎪⎩ ． 则m n =-2
1=93⎛⎫ ⎪⎝⎭ 故选：A ．
【点睛】此题考查同类项的定义、方程思想．解题关键在于掌握同类项定义中的两个“相同”：（1）所含字母相同；（2）相同字母的指数相同，是易混点，因此成了中考的常考点．解题时注意运用二元一次方程组求字母的值．
13.如图，若直线//,AB CD 那么1,2∠∠与3∠之间的数量关系是（ ）
A. 123∠+∠=∠
B. 1223∠+∠=∠
C. 321∠+∠=∠
D. 1
1232∠+∠=∠
【答案】A
【解析】
【分析】
过点G 做FE ∥//,AB CD 再利用平行线的性质即可解答.
【详解】如图过点G 做FE ∥//,AB CD
∵FE ∥//,AB CD
∴∠1=∠BGE,∠2=∠DGE,
∵∠BGE+∠DGE=∠3，
∴123∠+∠=∠，
故选A.
【点睛】此题考查平行线的性质，解题关键在于掌握其性质.
14.如图，四边形ABCD 中，//AD BC ，下列条件能使ADC CBA △≌△的有（
）
AD BC =①；D B ∠=∠②；//AB CD ③
A. ①
B. ②
C. ③
D. 以上都可以
【答案】A
【解析】
【分析】 已知//AD BC ，可得∠DAC=∠BCA ，加上公共边AC ，所以根据“SAS”判断ADC CBA △≌△时，需要添加AD=BC ．
【详解】A ．若添加AD=BC ，因为//AD BC 则∠DAC=∠BCA ，依据SAS 可得ADC CBA △≌△，故A 选项正确；
B ．若添加D B ∠=∠，因为//AD B
C 则∠DAC=∠BCA ，不能判定ADC CBA △≌△，故B 选项错误； C ．若添加//AB C
D ，则不能判定ADC CBA △≌△，故C 选项错误；
故D 错误；
故选：A ．
【点睛】此题考查全等三角形的判定，解题关键在于掌握判定定理.
15.某人从家出发，步行去图书馆看书．下面的图像反映了他离家的距离
()s 与时间()t 的关系．下列说法中
正确的有（ ） ①出发时的速度是每分钟60米；
②在图书馆看了80分钟的书；
③家到图书馆1200米；
④回家时速度是每分钟80米；
A. ①③④
B. ①②③④
C. ②③④
D. ①②④
【答案】A
【解析】
【分析】
根据图象可以得到某人家距离图书馆的距离；某人从家到图书馆用多少分钟；某人在图书馆的时间；某人步行去图书馆的平均速度；某人步行回家的平均速度，由此即可求解．
【详解】解：如图，
①根据图象可知出发时的速度是每分钟1200
=60
20
米，故说法正确；
②在图书馆看了80-20=60分钟的书，故说法错误；
③家到图书馆1200米，故说法正确；
④回家时速度是每分钟1200
=80
95-80
米，故说法正确．
在这四种说法中，正确有三个①③④．
故选：A．
【点睛】此题考查函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．
二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）
16.02-=________________．
【答案】-1
【解析】
【分析】
根据零指数幂进行计算即可.
【详解】02-=-1，
故答案为：-1.
【点睛】此题考查零指数幂，解题关键在于掌握运算法则.
17.某个三角形的边长均为整数，有两边长分别是14,cm cm 、
那么第三边是____________． 【答案】4cm
【解析】
【分析】
根据三角形的三边关系“任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边”，求得第三边的取值范围，再根据第三边为整数即可得出答案．
【详解】根据三角形的
三边关系，得
3cm ＜第三边＜5cm ，
故第三边为4，
故答案为：4cm ．
【点睛】此题考查三角形的三边关系的应用，解题关键在于掌握任意两边之差＜第三边．
18.已知
:()2
120x y ++-=，那么y x =_________________．
【答案】1.
【解析】
【分析】 先根据非负性求出x=-1，y=2，再代入x,y 即可得出结论．
【详解】∵|x+1|+（y-2）2=0，
∴x+1=0，y-2=0，
∴x=-1，y=2，
∴y x =()2-1 =1.
故答案为：1. 【点睛】此题考查整式的非负性，求出x=-1，y=2是解题的关键．
19.如图，在ABC V 中，54A ∠=︒，若BO CO 、分别是ABC ∠与ACB ∠的角平分线，交于点O ，那么BOC ∠的度数是________________．
【答案】117°
【解析】
【分析】
先根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB 的度数，再根据BO 、CO 分别平分∠ABC 与∠ACB 求出∠1+∠2的度数，由三角形内角和定理即可得出∠BOC 的度数．
【详解】∵∠A=54°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-54°=126°．
∵BO 、CO 分别是∠ABC 、∠ACB 的
角平分线，
∴∠1+∠2=12（∠ABC+∠ACB ）=12
×126°=63°， ∴∠BOC=180°-（∠1+∠2）=180°-63°=117°．
故答案为：117°．
【点睛】此题考查三角形内角和定理，解题关键在于掌握三角形内角和是180°．
20.如图，在第一个1A BC V 中，30B ∠=︒，1A B CB =，在边1A B 上任取一D ，延长1CA 到2A ，使121A A A D =，
得到第2个12A A D V ，在边2A D 上任取一点E ，延长12A A 到3A ，使232A A A E =，得到第三个23A A E △，
…按此做法继续下去，第n 个等腰三角形的底角的度数是________________．
【答案】
1752n -︒ 【解析】
【分析】 先根据等腰三角形的性质求出∠BA 1C 的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠DA 2A 1，∠EA 3A 2及∠FA 4A 3的度数，找出规律即可得出第n 个等腰三角形的底角度数．
【详解】解：∵在△CBA 1中，∠B=20°，A 1B=CB ，
∴∠BA 1C =1802
B ︒-∠ =75°， ∵A 1A 2=A 1D ，∠BA 1
C 是△A 1A 2
D 的外角，
∴∠DA 2A 1=
12∠BA 1C=12×75°=37.5°； 同理可得，
∠EA 3A 2=754° ，∠FA 4A 3=758
° ， ∴第n 个等腰三角形的底角的度数=
1752n -︒． 故答案为1
752n -︒． 【点睛】此题考查等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠DA 2A 1，∠EA 3A 2及∠FA 4A 3的度数，进而找出规律是解题的关键．
三、解答题 （共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
21.计算: 20182201911222828⎛⎫--⨯-+⨯ ⎪⎝⎭
【答案】3
【解析】
【分析】
原式先计算乘方运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可得到结果． 【详解】原式=-4-2+1+20181888⎛⎫⨯⨯ ⎪⎝⎭
=-5+8
=3. 【点睛】此题考查有理数的混合运算，解题关键在于掌握运算法则.
22.化简求值:()()()2
2222,x y x y x y y ⎡⎤⎣+⎦+--÷其中1,12
x y ==- 【答案】2x+y ，0．
【解析】
【分析】
根据完全平方公式和平方差公式展开后合并同类项，再根据多项式除以单项式法则进行计算即可．
【详解】解：[（2x+y ）2-（2x+y ）（2x-y ）]÷
2y ， =(4x 2+4xy+y 2-4x 2+y 2)÷2y ，
=（4xy+2y 2）÷2y ，
=2x+y ，
当1,12
x y =
=-时， 原式=2×12+（-1）=0． 【点睛】此题考查整式的加减、除法，完全平方公式，平方差公式，能熟练地运用性质进行计算是解题的关键．
23.如图，在ABC V 中，AB 的垂直平分线MN 交AB 于点D ，交AC 于点E ，且15AC =，BCE V 的周长等于25．求BC 的长.
【答案】10
【解析】
【分析】
根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AE=BE ，然后求出△BCE 的周长=AC+BC ，再求解即可；
【详解】∵AB 的垂直平分线MN 交AB 于点D ，
∴AE=BE ，
∴△BCE 的周长=BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC ， ∵AC=15，
∴BC=25-15=10；
【点睛】此题考查线段垂直平分线的性质，熟记其性质并准确识图是解题的关键．
24.如图，在ABC V 中，M 为AC 中点，连接BM ，点D 为BM 上的一点，过点C 作CE BM ∥ ，过点D 作DE AB ∥，CE DE 、交于点E ，连接BE ，求证：BE AD =．
【答案】见解析
【解析】
【分析】
根据题干给出的条件可以证明△ABD ≌△DEF ，可以得四边形ABED 是平行四边形，可得BE=AD ．
【详解】如图，延长AD 交EC 于F ，
∵M 是AC 的中点，BM ∥EC ，
∴AD=DF ，∠ADB=∠DFE
又∵AB ∥DE ，
∴∠BAD=∠EDF ，
在△ABD 和△DEF 中，
===BAD EDF AD DF
ADB DFE ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩
， ∴△ABD ≌△DEF （ASA ），
∴AB=DE
∴四边形ABED 是平行四边形，
∴BE=AD ．
【点睛】此题考查平行四边形的判定，掌握全等三角形对应边相等的性质，求证△ABD ≌△DEF 是解题的关键．
25.在一个不透明的袋子中装有红、黑、白三种球共100个，他们除了颜色外其余完全一样． 已知黑球是白球的2倍少5个，将球充分搅匀后，随机摸出一球是红球的概率是
310
（1）这三种球各有多少个？
（2）随机摸出一球是白球的概率是多少？
（3）若从袋子中拿出10个球(没有红球)后，随机摸一次摸到红球的概率是多少？
【答案】（1）红球有30，黑球45，白球有25；（2）14 ；（3）13
； 【解析】
【分析】 （1）根据红、黑、白三种颜色球共有的个数乘以红球的概率求出红球的数量，再设白球有x 个，得出黑球有（2x-5）个，根据题意列出方程，求出白球的个数，即可解答；
（2）由（1）可知白球的数量，再除以总的球数即可；
（3）先求出取走10个球后，还剩的球数，再根据红球的个数，除以还剩的球数即可．
【详解】解：（1）根据题意得：
红球有100×310
＝30， 设白球有x 个，则黑球有（2x-5）个，
根据题意得x+2x-5=100-30
解得x=25．
∴黑球2×
25-5=45， 答：红球有30，黑球45，白球有25.
（2）有（1）可知白球有25个，
所以摸出一个球是白球的概率P=251=1004
； （3）因为取走10个球后，还剩90个球，其中红球的个数没有变化，
所以从剩余的球中摸出一个球是红球的概率301903
= ； 【点睛】此题考查了概率公式，解题关键在于掌握如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率P （A ）=
m n ． 26.如图，ABC V 中，90BAC ∠=︒ ，AB AC = ，AE 是过A 点的一条直线l
（1）作BD l ⊥ 于点D ，CE l ⊥ E 点，若B 点和C 点在直线l 的同侧，求证：DE BD CE =+ ； （2）若直线l 绕点A 旋转到B 点和C 点在其两侧，其余条件不变，问：BD DE CE 、、的关系如何？请予以证明．
【答案】（1）证明见解析；（2）CE=BD+DE ，理由见解析；
【解析】
【分析】
（1）由AAS 证明△ABD ≌△CAE ，得到BD=AE ，AD=CE ，即可解决问题．
（2）由AAS 证明证明△ABD ≌△CAE ，得出BD=AE ，AD=CE ，即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵∠BAC=90°，BD ⊥DE ，CE ⊥DE ，
∴∠DAB+∠DBA=∠DAB+∠EAC ，
∴∠DBA=∠EAC ；
在△ABD 与△CAE 中，
===DBA EAC BDA AEC AB AC ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
，
∴△ABD ≌△CAE （AAS ），
∴BD=AE ，AD=CE ，
∴DE=BD+CE ．
（2）解：CE=BD+DE ；理由如下：
同（1）得：∠ABD=∠CAE ，
在△ABD 和△CAE 中，
===ABD CAE ADB CEA AB AC ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
，
∴△ABD ≌△CAE （AAS ），
∴BD=AE ，AD=CE ，
∵AD=AE+DE ，
∴CE=BD+DE ．
【点睛】此题考查全等三角形的判定及其性质、等腰直角三角形的性质；熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
27.某学校校长暑假期间将带领该校市级“三好学生”到北京旅游，到旅行社打听价格时，甲旅行社说：“如果校长买一张全票，其余学生可享受半价优惠．”乙旅行社说：“包括校长在内全部按6折优惠．”票价为240元．
（1）设学生数为x ，用含x 的代数式表示两个旅行社的收费；
（2）当学生是多少时，两家旅行社的收费一样？
（3）当学生数不是（2）中的数，你将怎样选择旅行社？
【答案】（1）y甲=240+240×0.5x=（240+120x）元，y乙=240×0.6（x+1）=（144x+144）元；（2）学生数为4人时，两家旅行社的收费一样；（3）当学生数少于4人时，选择乙旅行社，当学生数等于4人时，选择两家旅行社中的任何一家均可；当学生数多于4人时，选择甲旅行社．
【解析】
【分析】
（1）设甲旅行社的收费为y甲元，乙旅行社的收费为y乙元，根据总价=单价×数量就可以表示出结论；（2）当y甲=y乙时，建立关于x的方程求出其解即可；
（3）分类讨论，当y甲＞y乙时，当y甲=y乙时或当y甲＜y乙时求出x的值就可以得出结论．
【详解】（1）设甲旅行社的收费为y甲元，乙旅行社的收费为y乙元，由题意，得
y甲=240+240×0.5x=（240+120x）元，
y乙=240×0.6（x+1）=（144x+144）元；
（2）当y甲=y乙时，
240+120x=144x+144，
解得：x=4．
∴当学生数为4人时，两家旅行社的收费一样；
（3）当y甲＞y乙时
240+120x＞144x+144，
解得：x＜4，
当y甲=y乙时，
240+120x=144x+144，
解得：x=4；
当y甲＜y乙时，
240+120x＜144x+144
解得：x＞4
∴当学生数少于4人时，选择乙旅行社，
当学生数等于4人时，选择两家旅行社中的任何一家均可；
当学生数多于4人时，选择甲旅行社．
【点睛】此题考查一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，解题关键在于求出两家的收费的表达式．。