2022北京市海淀区高三二模数学试卷(含答案)

2022北京市海淀区高三二模数学试卷
2022．05
本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合{}
01A x x x =<>或，则A =R ð （A ）{}
01x x << （B ）{}
01
x x ≤<
（C ）{}
01x x <≤
（D ）{}
01x x ≤≤
（2）在()3
12x −的展开式中，x 的系数为 （A ）2−
（B ）2
（C ）6−
（D ）6
（3）已知双曲线22
22:1x y C a b
−=的渐近线经过点（1,2），则双曲线的离心率为
（A （B （C ）2
（D （4）已知,x y ∈R ，且0x y +>，则 （A ）
110x y
+> （B ）33
0x y +>
（C ）lg()0x y +> （D ）sin()0x y +>
（5）若,0
()1,0x a x f x bx x +<⎧=⎨−>⎩
是奇函数，则
（A ）11a b ==−,
（B ）11a b =−=, （C ）11a b ==, （D ）11a b =−=−,
（6）已知F 为抛物线2
4y x =的焦点，点()(),1,2,3n n n P x y n =L ，
在抛物线上。

若11n n P F P F +−=，则 （A ）{}n x 是等差数列 （B ）{}n x 是等比数列 （C ）{}n y 是等差数列
（D ）{}n y 是等比数列
（7）已知向量(1,0)a =，(b =−。

若,,c a c b <>=<>，则c 可能是
（A ）2a b −
（B ）a b +
（C ）2a b +
（D b +
（8）设函数()f x 的定义域为R ，则“()f x 是R 上的增函数”是“任意0a >，()()y f x a f x =+− 无零点”的
（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件
（D ）既不充分也不必要条件
（9）从物理学知识可知，图中弹簧振子中的小球相对平衡位置的位移y 与时间t （单位：s ）的关系符合函数
()()sin 100y A wt ϕω=+<。

从某一时刻开始，用相机的连拍功能给弹簧振子连拍了20张照片。

已知连拍的间
隔为0．01s ，将照片按拍照的时间先后顺序编号，发现仅有第5张、第13张、第17张照片与第1张照片是完全一样的，请写出小球正好处于平衡位置的所有照片的编号为 （A ）9,15
（B ）6,18
（C ）4,11,18
（D ）6,12,18
1O ）在正方体'''ABCD A B C D '−中，E 为棱DC 上的动点，F 为线段B E '的中点。

给出下列四个 ①''B E AD ⊥；
②直线D F '与平面''ABB A 所成角不变； ③点F 到直线AB 的距离不变； ④点F 到,,''A D D A ,四点的距离相等。

其中，所有正确结论的序号为 （A ）②③ （B ）③④ （C ）①③④
（D ）①②④
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

（11）已知,a b 均为实数。

若()i i i b a +=+，则a b +=_________．
（12）不等式112x
⎛⎫
> ⎪⎝⎭
的解集为_________．
（13）已知圆22
:20C x y x ++=，则圆C 的半径为_________；若直线y kx =被圆C 截得的弦长为1，则k =_________．
（14）已知()sin cos f x x x =+的图象向右平移()0a a >个单位后得到()g x 的图象，则函数()g x 的最大值为_________；若()()f x g x +的值域为{}0，则a 的最小值为_________．
（15）在现实世界，很多信息的传播演化是相互影响的。

选用正实数数列{}n a ，{}n b 分别表示两组信息的传输链上每个节点处的信息强度，数列模型：11(2,21,2)n n n n n n a a b b a b n ++=+=+=L ，描述了这两组信息在互相影响之下的传播演化过程。

若两组信息的初始信息强度满足11a b >，则在该模型中，关于两组信息，给出如下结论： ①*
,n n n a b ∀∈>N n ； ②*11,,
n n n n n a a b b ++∀∈>>N ；
③*k ∃∈N ，使得当n k >时，总有
10110n
n
a b −−< ④*k ∃∈N ，使得当n k >时，总有
101
210n n
a a −+−<．
其中，所有正确结论的序号是_________
三、解答题共6小题，共85分。

解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

（16）（本小题共14分）
如图，已知四棱锥P ABCD −中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60ABC ∠=︒，
PA ⊥底面ABCD ，2PA =，点E 是PC 的中点。

（I ）求证：//DC 面ABE ； （Ⅱ）求DC 到平面ABE 的距离。

（17）（本小题共13分） 在ABC △中，76cos a b B =． （I ）若3
sin 7
A =
，求B ∠； （Ⅱ）若8c =，从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，使ABC △存在。

求ABC △的面积
条件①：
；
条件②：sin 2
B =
（18）（本小题共14分）
PMI 值是国际上通行的宏观经济监测指标之一，能够反映经济的变化趋势。

下图是国家统计局发布的某年12个月的制造业和非制造业PMI 值趋势图。

将每连续3个月的PMI 值做为一个观测组，对国家经济活动进行监测和预测
（I ）现从制造业的10个观测组中任取一组，
（ⅰ）求组内三个PMI 值至少有一个低于50．0的概率；
（i ）若当月的PMI 值大于上一个月的PMI 值，则称该月的经济向好。

设X 表示抽取的观测组中经济向好的月份的个数（由已有数据知1月份的PMI 值低于去年12月份的PMI 值），求X 的分布列与数学期望；
（Ⅱ）用1,2)1(2j b j =L ，，表示第j 月非制造业所对应的PMI 值，b 表示非制造业12个月PMI 值的平均数，请直接写出j b b −取得最大值所对应的月份． （19）（本小题共14分）
椭圆2222:1(0)x y M a b a b
+=>>的左顶点为()2,0A −，离心率为2．
（I ）求椭圆M 的方程；
（Ⅱ）已知经过点0,2⎛ ⎝⎭
，的直线l 交椭圆M 于,B C 两点，D 是直线4x =−上一点。

若四边形ABCD 为平行四
边形，求直线l 的方程。

（20）（本小题共15分） 已知函数1()ln
2x a
f x x
−=+． （I ）当0a =时，求曲线()y f x =在点1,(1)()f −−处的切线方程； （Ⅱ）当1
2
a =−
时，求函数()f x 的单调区间； （Ⅲ）当0x <时，()1
2
f x ≥恒成立，求a 的取值范围。

（21）（本小题共15分）
已知有限数列{}n a 共M 项(4)M ≥，其任意连续三项均为某等腰三角形的三边长，且这些等腰三角形两两均不全等。

将数列{}n a 的各项和记为S ．
（I ）若{1,2}(1,2,,)n a n M ∈=L ，直接写出,M S 的值； （Ⅱ）若{}1,2,3,2,()1,n a n M ∈=L ，求M 的最大值； （Ⅲ）若*
(1,2,,),16n a n M M ∈==N L ，求S 的最小值．
2022北京市海淀区高三二模数学试卷
参考答案 2022.05
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

0分。

12题写−∞也可以。

(,0)
三、解答题共6小题，共85分。

（16）（本小题共14分）
解：（Ⅰ）因为菱形ABCD中，AB∥CD，
又因为CD⊄平面ABE，AB⊂平面ABE，
所以CD∥平面ABE.
（Ⅱ）连接AC，因为AB BC
=，60
∠=o，
ABC
所以三角形ABC为等边三角形.
取BC中点M，连接AM，则AM BC
⊥，
又因为AD∥BC，所以AM AD
⊥.
因为PA⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，AM⊂平面ABCD，
所以,
⊥⊥.
PA AD PA AM
如图建立空间直角坐标系A xyz
−，
则(0,0,0)A
，1,0)B −，(0,2,0)D ，
(0,0,2)P
，C
，1
,1)2E
所以)
1,0AB =
−u u u r
，1,12AE ⎫
=⎪⎪⎝⎭
u u u r ， ()0,2,0AD =u u u r
，
设平面ABE 的法向量为(),,n x y z =r
，则
00
n AB n AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r r u u u r r
，即01
02
y y z ⎧−=++=. 令1x =
，则y =
z =，
于是(n =r
.
则DC 到平面ABE
的距离为AD n d n ===u u u r r
g r
（17）（本小题13分） 解：（Ⅰ）由正弦定理
sin sin a b
A B
=
及76cos a b B =， 得7sin 6sin cos 3sin 2A B B B ==.
因为3
sin 7
A =
，所以sin 21B =. 又因为0πB <∠<，
所以π4
B ∠=
. （Ⅱ）法1
：选条件②：sin 2
B =
. 由76cos a b B =可知cos 0B >,所以π02
B <∠<
.
所以由sin B =
可得π3
B ∠=. 所以76cos 3a b B b ==，即73
a
b =
由余弦定理2222cos b a c ac B =+−及8c =，
得22271(
)82832
a a a =+−⨯⨯⨯，
B
y
所以259720a a +−=， 所以3a =（24
5
a =−
舍去），
所以ABC △的面积为11sin 38222
ABC S ac B ==⨯⨯⨯=△
法2：选条件②：sin 2
B =
. 由76cos a b B =可知cos 0B >,所以π
02
B <∠<
.
所以由sin B =
可得π3
B ∠=. 所以76cos 3a b B b ==，
所以sin A =
， 因为3
7
a b b =<，所以π3A B <=，
所以13cos 14
A =
，
所以sin sin()sin cos cos sin 14
C A B A B A B =+=+=， 由正弦定理可得sin 3sin c A
a C
=
=，
所以ABC △的面积为11sin 3822ABC S ac B ==⨯⨯=△
（18）（本小题14分）
解：（Ⅰ）（i ）设事件A 为组内三个PMI 值至少有一个低于50.0，
则事件A 包含的结果有(50.4,50.1,49.6),(50.1,49.6,49.2),(49.6,49.2,50.1), (49.2,50.1,50.3)，共4
个， 则42()105
P A =
=. （ii ）X 的取值范围是{0,1,2}
51(0)=102P X ==
, 2(1)5
P X == ,1(2)10P X == X 的分布列为
所以随机变量X 的数学期望
()01225105
E X =⨯+⨯+⨯=.
（Ⅱ）8月份.
（19）（本小题14分）
解：（Ⅰ）由题意得2222,
,a c e a b a c =⎧⎪
⎪
==⎨
⎪
⎪=−⎩
解得21b =.
所以椭圆M 的方程为
2
214
x y +=.
（Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，四边形ABCD 不可能为平行四边形
当直线l 的斜率存在时，设:l y
kx =， 由2244y kx
x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩
得()
22
1410k x ++−=. ()
()()
2
2241441610
k k ∆=++=+>.
设()()1122,,,B x y C x
y ，则12,214x x k +.
所以122
14x x k
−=
+
. 由四边形ABCD 为平行四边形可得AD BC =u u u r u u u r
，
所以12A D x x x x −=−，即
2
=
解得210
2
k =或，所以0k
=或k =.
所以，直线l
的方程为y =
或y +
或y =+-
（20）（本小题15分）
解：（Ⅰ）当0a =时，()1ln
2x f x −=，()1
1f x x '=−. 所以()10f −=，()112
f '−=−.
所以曲线()y f x =在点(1,(1))f −−处的切线方程为：()1
012
y x −=−+， 即1122
y x =−−.
（Ⅱ）()y f x =的定义域为()(),00,1−∞U ，
当12
a =−时，()()()()
2221111
1221x x f x x x x x −−+−'=
+=
−−， 令()0f x '=，得1x =−或12
x =
. '()f x 与()f x 的情况如下：
所以()y f x =的单调增区间为()1,0−，0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
，单调减区间为(),1−∞−，,12
⎛⎫
⎪⎝⎭
.
（Ⅲ）法1：
“()1
12f a −=−≥”是“0x <时，1()2
f x ≥恒成立”的必要条件.
当12a −≤，0x <时，()111
ln ln 222x a x f x x x
−−=+−≥. 设()11ln
22x g x x
−=−， 由（Ⅱ）知，()y g x =在(),0−∞上满足1
()(1)2
g x g −=≥， 所以，当12a −≤，0x <时，()11
ln ()22
x a f x g x x −=+≥≥， 所以a 的取值范围是1
(,]2
−∞−. 法2：
因为0x <时，()12
f x ≥恒成立，
所以1ln
22
x x
a x −−≤. 令()()1ln
,02
2
x x
g x x x −=−<. 所以()11111
ln
ln 2
21212
x x x g x x x −−'=−−=−−−−−， 分析解析式发现()10g '−=. 令()()111
ln 212
x h x g x x −'==−−−−， 所以()()()22
1120111x h x x x x −'=−
+=>−−−. 所以()()h x g x '=单调递增.
'()g x 与()g x 的情况如下：
所以()()min 12
g x g =−=−, 所以a 的取值范围是1(,]2
−∞−. 法3：
()21'1a f x x x
=
−−， ①当0a ≥时，因为0x <，所以()11ln ln 22
x a x
f x x −−=+≤ 取1x =−，得1(1)
(1)ln
02
f −−−=≤，不合题意； ②当0a <时，()222
1(1)'1(1)a x a x f x x x x x −−=−=−−， 显然20x ax a −+=存在唯一负实数根0x ，且在0(,)x −∞上'()0f x <，在0(,0)x 上'()0f x >， 所以()f x 在0(,)x −∞上递减，在0(,0)x 上递增，所以0()()f x f x ≥，
由()02001'01a
f x x x =−=−得2001
x a x =−，
所以00001()ln
21x x f x x −=+−， 满足000011()ln
212x x f x x −=+−≥成立即可满足题意， 设1()ln 21
x x g x x −=+−，则22112'()01(1)(1)x g x x x x −−=+=<−−−，0x < 所以()g x 在0x <时单调递减，又1(1)2
g −=，所以01x −≤， 设2()1x h x x =−，则2
(2)'()0(1)x x h x x −=>−在0x >时成立 所以()h x 在(,0)−∞单调递增， 所以2001(1)12
x a h x =−=−−≤时1()2f x ≥恒成立.
（21）（本小题15分）
解：（Ⅰ）4M =，7S =．
（Ⅱ）M 的最大值为8．
① 构造数列：1，2，2，2，3，3，3，1，
此时8M =．
② 当存在连续三项为1，1，1时，
本题中有两条边为1，1的等腰三角形仅有1，1，1，
与4M ≥矛盾，舍．
③ 当不存在连续三项为1，1，1时，
连续三项（不考虑这三项的顺序）共以下6种可能：
1，2，2；1，3，3；2，2，2；2，2，3；2，3，3；3，3，3．
所以628M ≤+=．
④ 由①②③，M 的最大值为8．
（Ⅲ）S 的最小值为50．
① 构造数列：1，2，2，2，3，3，3，4，4，4，5，5，5，3，3，1，
此时50S =．
②设T 为数列的每一组连续三项的和的和，则
116215322S T a a a a =++++．
③ 连续三项（不考虑这三项的顺序）及这三项的和（标注在下面的括号内）有以下可能：
2，2，1（5）；2，2，2（6）；2，2，3（7）；
3，3，1（7）；3，3，2（8）；……；3，3，5（11）；
4，4，1（9）；4，4，2（10）；4，4，3（11）；……；4，4，7（15）；
5，5，1（11）；5，5，2（12）；5，5，3（13）；……；5，5，9（19）；
6，6，1（13）；6，6，2（14）；6，6，3（15）；……；6，6，11（23）；
……
其中画横线的连续三项必为数列的首三项或尾三项，
故其对应的三角形至多出现两个．
④ 由③，(57)(67891011111213131414)140T ≥+++++++++++++=，
116215222121239a a a a +++≥⨯+⨯++=，
又由②，31409149S ≥+=，
所以50S ≥．
⑤ 由①④，S 的最小值为50．。