张量概念与基本运算

2
3
ii
2
( 11
22
33 )2
i1
33
ij ij
ij ij
i1 j1
1111 1212 1313
21 21 22 22 23 23
31 31 32 32 33 33
★ 关于求和标号,即哑标有： ◆ 求和标号可任意变换字母表示.
◆ 求和约定只适用于字母标号,不适用于数字标号.
、 、 、 当取n时,n阶张量,M = 3n.
◆ 张量的定义为：由若干坐标系改变时满足一定 坐标转化关系的有序数组成的集合.
◆ 张量是矢量和矩阵概念的推广.标量是0阶张量, 矢量是一阶张量,矩阵是二阶张量,而三阶张量 好比立体矩阵,更高阶张量则无法用图形表示
◆ 张量出现的背景：我们的目的是要用数学量来表示 物理量,可是标量加上向量都不能完整地表达所有 的物理量,所以物理学家使用的数学量的概念就 必须扩大,于是张量就出现了.
张量概念及其基本运算
1、张量概念
◆ 张量分析是研究固体力学、流体力学及连续介 质力学的重要数学工具 .
◆ 张量分析具有高度概括、形式简洁的特点.
◆ 所有与坐标系选取无关的量,统称为物理恒量.
◆ 在一定单位制下,只需指明其大小即足以被说明 的物理量,统称为标量.例如温度、质量、功等.
◆ 在一定单位制下,除指明其大小还应指出其方向 的物理量,称为矢量.例如速度、加速度等.
(3) ij jk i11k i2 2k i3 3k ik
(4) aij ij a1111 a22 22 a33 33 aii
(5) ai ij a11 j a2 2 j a3 3 j a j (即a1,或a2 ,或a3 )
(6) ijl j li ijl j ijl j ( ij ij )l j
C、张量函数的求导：
◆ 一个张量是坐标函数,则该张量的每个分量都 是坐标参数xi的函数.
◆ 张量导数就是把张量的每个分量都对坐标参数 求导数.
◆ 对张量的坐标参数求导数时，采用在张量下标 符号前上方加“ ′”的方式来表示。例如 ，Ai j 就表示对一阶张量 A的i 每一个分量对坐标参数
xj求导。
◆ 如果在微商中下标符号i是一个自由下标，则
关于哑标号应理解为取其变程n内所有数值,然后 再求和,这就叫做求和约定. 例如：
3
aibi aibi a1b1 a2b2 a3b3 i 1
3
aijbj aijbj ai1b1 ai2b2 ai3b3 j 1 3
ai2i ai2i a121 a222 a323 i 1
ii
其中各分量（元素）为：
aij bij cij
B、张量的乘积
◆ 对于任何阶的诸张量都可进行乘法运算.
◆ 两个任意阶张量的乘法定义为：第一个张量的 每一个分量乘以第二个张量中的每一个分量, 它们所组成的集合仍然是一个张量,称为第一 个张量乘以第二个张量的乘积,即积张量.积 张量的阶数等于a因ibj子k 张c量ijk 阶数之和.例如：
◆ 在运算中,括号内的求和标号应在进行其它运算前 优先求和.例：
aii2 a121 a222 a323
(aii )2 (a11 a22 a33 )2
★ 关于自由标号：
◆在同一方程式中,各张量的自由标号相同, 即同阶且标号字母相同.
◆自由标号的数量确定了张量的阶次.
★ 关于Kronecker deltiaj 〔 符号：
ij是张量分析中的一个基本符号称为柯氏符号
（或柯罗尼克尔符号），亦称单位张量。其定义为：
1,
ij
0,
当i j时； 或： 当i j时；
1 0 0
ij 0 1 0
0 0 1
的作用与计算示例如下：
ij
(1) ii 11 22 33 3
(2) ij ij (11)2 ( 22 )2 ( 33 )2 3
◆ 绝对标量只需一个量就可确定,而绝对矢量则需 三个分量来确定.
◆ 若我们以r表示维度,以n表示幂次,则关于三维 空间,描述一切物理恒量的分量数目可统一地表 示成： M = 3n
◆ 现令 n 为这些物理量的阶次,并统一称这些物 理量为张量.
当n=0时,零阶张量,M = 1,标量； 当n=1时,一阶张量,M = 3,矢量；
若 ai a1 a2 a3 bj b1 b2 b3
则：
a1b1 a1b2 a1b3
aibj a2b1
a2b2
a2b3
a3b1 a3b2 a3b3
◆ 张量乘法不服从交换律,但张量乘法服从分配 律和结合律.例如：
(aij bij )ck aijck bijck ； 或 (aijbk )cm aij (bkcm )
4.张量的基本运算
A、张量的加减：
张量可以用矩阵表示,称为张量矩阵,如：
a11 a12 a13
凡是同aij 阶a的21 两a个22 或a2几3 个张量可以相加<或相
减>,
a31 a32 a33
并得到同阶的张量,它的分量等于原来张量中标
号
相同的诸分量之代数和. 即：
aij bij cij
算子 作i用的结果，将产生一个新的升高一阶
的张量；如果在微商中，下标符号是哑标号， 则作用的结果将产生一个新的降低一阶的张量。 例如：
'i
xi
x1
,
x2
,
x3
ui 'i
ui xi
u1 x1
u2 x2
u3 x3
放映结束 感谢各位的批评指导！
谢 谢！
让我们共同进步
2.下标记号法
◆ 在张量的讨论中,都采用下标字母符号,来表 示和区别该张量的所有分量.
◆ 不重复出现的下标符号称为自由标号.自由标 号在其方程内只罗列不求和.以自由标号的数 量确定张量的阶次.
◆ 重复出现,且只能重复出现一次的下标符号称 为哑标号或假标号.哑标号在其方程内先罗列, 再求和.
3.求和约定