矩阵讲义全

本课程的说明：矩阵分析理论是在线性代数的基础上推广的（数学是在已有的基础理论上模仿，推广而发展的。

要大胆猜想，小心证明！） 矩阵分析理论的组成：四部分：
一、基础知识（包括书上的前三章内容）
重点、难点：约当标准形与多项式矩阵，矩阵的分解等； 二、矩阵分析（第四章：矩阵函数及其应用）
重点、难点：范数，矩阵幂级数，微分方程组； 三、矩阵特征值的估计（第五章）
重点、难点：Gerschgorin 圆盘定理；广义逆矩阵； 四、非负矩阵（第六章）（注：不讲）
重点、难点：基本不等式，素矩阵，随机矩阵等。

§1 线性空间与度量空间
一、线性空间： 1．数域：
Df 1：若复数的一个非空集合P 含有非零的数，且其中任意两数的和、差、积、商（除数不为0）仍在这个集合中，则称数集P 为一个数域 eg 1：Q （有理数），R （实数），C （复数），Z （整数），N （自然数）中哪些是数域？哪些不是数域？ 2．线性空间— 设P 是一个数域，V 是一个非空集合，若满足：
<1> 可加性—指在V 上定义了一个二元运算（加法）即：V ∈∀βα, 经过该运算总存在唯一的元素V ∈γ与之对应，称γ为α与β的和，记βαγ+= 并满足：① αββα+=+
② )()(γβαγβα++=++ ③ 零元素—＝有θαθααθ+∈∀∈∃V
t s V .（线性空间必含θ）。

④ αβαβθ
βααβ-+∈∀∈∃＝记的负元素为＝有对V V
<2> 数积：（数乘运算）—在P 与V 之间定义了另一种运算。

即V P k ∈∈∀α,经该运算后所得结果，仍为
V 中一个唯一确定的元素（存在唯一确定的元素V ∈δ与之对应），称δ为k 与α的乘积。

记为αδk =
并满足：① αα=⋅1
② P l k ∈∀, αα)()(kl l k = ③ P l k ∈∀, αααl k l k +=+)( ④ γβα∈∀, βαβαk k k +=+)(
则称V 为数域P 上的线性空间（向量空间）记为)...(∙+P V 习惯上V 中的元素—向量， θ—零向量， 负
元素—负向量
结论：可以证明，线性空间中的零向量是唯一的，负元素也是唯一的，且有：
θα=⋅0 θθ=⋅k αα-=⋅-)1( )(βαβα-+=-
eg2：}{阶矩阵是n m A A V ⨯= P —实数域R
按照矩阵的加法和数与矩阵的乘法，就构成实数域R 上的线性空间，记为：n m R ⨯
同样，若V 为n 维向量，则可构成R 上的n 维向量空间n R —线性空间。

eg3：[,]([,])V C a b a b =表示上的连续函数 P ＝R 按照连续函数的运算，显然可建立R 上的一个线性空间，记为).,].,[(∙+R b a C 。

根据线性代数中向量空间的维数与基的定义。

我们可以定义线性空间的基与维数 3．线性空间的基与维数
Df 3. 设V 是P 上的线性空间，V x x x n ∈,,,21 若
①n x x x ,,21线性无关；
②V 中任一元素α可由n x x x ,,21线性表示
则称V 为n 维线性空间，n x x x ,,21称为V 的一组基，记为dimV = n ，
若n x x x ,,21为V 的一组基，则对V ∈∀α必有
⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=+++=n n n n k k x x x k x k x k 112211),,(α
则1(,
,)n k k 称为α在基n x x x ,,21下的坐标，且坐标是唯一的。

eg 4. 在线性空间n x P ][中，1,,,1-n x x 是n x P ][的一组基。

eg 5. n R 中n e e e ,,,21 是n R 的一组基，dim n R = n
4. 子空间：— 设V 是P 上的线性空间，V V ⊂1，若1V 对∙+.构成P 上的线性空间，则称1V 是V 的线性子空间，简称子空间。

eg: n n x P x P ][][1⊂-
注：最小子空间}{θ—零子空间。

dim {θ}=0
5. 生成子空间：— 设V r i x i ∈=),,2,1( ，),,,(r 21x x x L 构成线性空间V 的子空间，称为由
r 21,,,x x x 的生成子空间。

其中},,1,{),,,(2211r 21r i P k x k x k x k x x x L i r r =∈+++=∆
思考：若r 21,,,x x x 线性无关，则r x x x L =),,,(dim r 21
若r 21,,,x x x 线性相关，则的秩r x x x x x x L ,,,),,,(dim 21r 21 =
6.和空间 — 设1V ，2V 是线性空间V 的子空间，称},{2121V y V x y x V V ∈∈+=+为1V 与2V 的和空间，记为21V V +
结论：若1V ，2V 是线性空间V 的子空间，则21V V ⋂亦是V 的子空间。

进一步的，若
),(21V y V x y
x z ∈∈+=分解唯一，则称21V V +为1V 与
2V 的直和，记为21V V ∙
+ )(21V V ⊕
结论：① 21V V +为直和}{21
θ=⋂⇔V V
② 若1V 是V 的子空间，则存在唯一的子空间2V ，使21V V V ⊕=
7.维数公式(维数Th ) (书上Th 4)
设V 是P 上的n 维线性空间。

1V ，2V 是V 的子空间。

则有
)dim (dim dim )dim (212121V V V V V V ⋂-+=+
推论：若}{21θ=⋂V V ，则2121dim dim )dim (V V V V +=+
即2121dim dim )dim (V V V V +=⊕
线性空间没有涉及到向量的长度，向量之间夹角等度量性质。

为此引入内积概念，使这样的空间可以处理这些度量性质的问题。

二. 度量空间（内积空间，欧几里得空间）
1. Df ：设V 是R 上的线性空间V ∈∀βα,恒有唯一的实数与之对应，记为),(βα且满足： ① ),(),(αββα= ② )()
,(),(R k k k ∈=βαβα
③ ),(),(),(γβγαγβα+=+ ④ 时，θααα=⇔≥0),(等号成立。

称),(βα为α与β的内积，V 称为度量空间（内积空间，欧几里得空间） eg 线性空间)..],[(∙+R b a C ],[,b a C g f ∈∀
⎰
∆
=
b
a
dx x g x f g f )()(),(
易验证：满足①，②，③，④。

故)..],[(∙+R b a C 是度量空间 性质<1> ),(),(βαβαk k =
性质<2> ),(),(),(γβγαγβα+=+ 性质<3> θβθθα==),(),(
性质<4> 设V ∈∀βα, 则有),(),(),(2
ββααβα≤（见136
Th P ）
2. 长度 — 设α为内积空间V 的任一元素，称),(αα为α的长度。

记为α，即),(ααα=
3. 夹角—β
αβαϕ⋅=)
,(cos arc 称为α与β的夹角。

0,0≠≠βα
相应地有：
与线代相同单位向量—⎭
⎬⎫
⊥==β
αβααα0
),(1 性质2. V ∈∀βα,—内积空间（见38P 推论） <5>
βαβα+≤+ <6>
βαβα-≥-
<7>若α与β正交，则2
2
2
βα
βα+=+，该性质可以推广到有限个元素的情形。

§2. 线性空间与内积空间的同构
一、线性空间的同构——线性空间的一种关系（利用它可以研究线性空间的性质）
1. Df ：设1V ，2V 是线性空间P 上的两个线性空间，若1V 与2V 之间有一个一一对应σ，使得对1
,V y x ∈∀及P k ∈∀有：
①)()()(y x y x σσσ+=+ ②)()(ασασk k = 则称1V 与2V 同构，σ称为从1V 到2V 的同构映射，记为：21V V σ
≅ 2.性质： ① )()(;)(x x σσθθσ-=-=
② ∑∑===m
i i
i
m i i
i x k x k 1
1
)()(
σσ
③ 若m 21,,,x x x 在1V 无关，则)(),(1m x x σσ 在2V 中无关 反之亦成立，即在同构对应下，线性无关组对应线性无关组。

④ 同构的有限维线性空间，其维数相同。

此外，还具有自反性，对称性，传递性（线代中）
反之，具有哪些性质的线性空间能否同构呢？或者说，两个线性空间在什么条件下才能同构呢？下面定理解决了这个问题。

Th : 数域P 上任意两个n 维线性空间1V 与2V 是同构的（proof 见18P ）
推论：数域P 上两个有限维线性空间1V 与2V 同构21dim dim V V =⇔ 类似的，我们可以研究内积空间的同构 二、内积空间的同构（自己看45P §3）
Df ：内积空间1V 与2V ，若21V V σ
→∃（一一对应）使R k V
y x ∈∈∀,有：
作为线性空间的同构⎭
⎬⎫
=+=+)()()()()(x k kx y x y x σσσσσ
内积保持不变—),())(),((y x y x =σσ
即作为线性空间1V 与2V 同构。

在该同构关系下，向量内积保持不变。

同构的两个欧氏空间具有相同的维数。

Th ：所有的n 维欧氏空间都同构
§3. 线性变换
线性变换与线性空间具有密切的联系，是矩阵理论研究的主要对象之一。

一、线性变换
1. 映射—在集合V 与V '之间存在一个对应法则σ使得对于V 中的任一元素a ,都有V '中唯一的元素
a '与之对应，称此对应法则σ为V 到V '的一个映射，记a a '=)(σ
2. 变换—线性空间V 到自身的映射，V V σ
→称σ为V 的一个变换。

3. 线性变换—称线性空间V 的一个变换T (A |)为线性变换；若对P k V
y x ∈∈∀,都有：
① A (x +y )= A (x )+ A (y ) ②A (kx )=k A (x )
eg 1.V 是线性空间，定义V k k A ∈∀=βαα为常数00)(，0k 为常数。

则A 是V 上的线性变换。

首先，可以看出A 是V 的一个变换
其次，)()()()(000y A x A y k x k y x k y x A +=+=+=+ )()()()(00x A k x k k kx k kx A === 对于该线性变换有：拉伸变换—A k 1
0>
压缩变换—A k 10< 恒等变换—A k 1
0=
eg 2.设A ，B 是n n R ⨯的两个给定的矩阵，对n n R x ⨯∈∀，定义：B A x A ⨯=)(
则A 是线性空间n n R ⨯的一个线性变换。

eg 3.)..].,[(1
∙+R b a R ,)()())((b x a dt t f x f A x
a
≤<=
⎰
则A 是)..].,[(1
∙+R b a R 上的线性变换 4.零变换与单位变换
Df 1：设V 是线性空间,V ∈∀α有θα=)(A 。

则称A 为零变换”O ”。

Df 2：设V 是线性空间,V ∈∀α有αα=)(A 。

则称A 为单位变换”I ”。

二、线性变换的性质：
1.θθ=)(A ； )()(x A x A -=- ；线性空间—V x ∈∀ Pf ：θθ=⋅=⋅=)(0)0()(x A x A A
)()()1(])1[()(x A x A x A x A -=-=⋅-=-
2. 设∑==
n
i i
i x
k y 1。

则∑==
n
i i i
x A k
y A 1
)()(
即：线性变换A 保持向量的线性组合与线性关系式。

3. 线性变换把线性相关的向量组变换线性相关的向量组
注：线性变换并不能把线性无关的向量组变为线性无关的向量组。

∑∑===⇒=n i n
i i i i i x k A x k 1
1
)(θθ
三、线性变换的运算及运算规律
1. 线性变换的运算：设1A ，2A 是线性空间V 的任意两个线性变换。

<1> 和变换：对V x ∈∀ ，称)()()(21x A x A x A +=为1A 与2A 的和变换。

记为：21A A A +=，可以证明A 仍为V 的线性变换。

<2> 积变换：对V x ∈∀
1A 与2A 的积变换。

记为：21A A A =
))()(())(())((2212121y A x A A y x A A y x A A +=+=+
))(())(())(1())((21212121y A A x A A y A A x A A +=+=
))(())(())(())((21212121x A A k x A k A kx A A kx A A ===
<3>数乘运算：P k V
x ∈∈∀，称))(()(1x A k x A =为k 与1A 的数量乘积，记为1A k A =，注意：
))1(1(11负变换—时，A A k -=--=
易证，1A k 也是V 的线性变换。

2. 运算规律：V A A A ∈∀321,,
<1>结合律：（对加、乘法） 312123()|()A A A A A A =
)()(321321A A A A A A ++=++
<2>交换律：1221A A A A +=+
<3>分配律：3121321)(A A A A A A A +=+ 3131321)(A A A A A A A +=+ <4>A |+0=A | A |+(-A |)=0 <5>数乘满足：)
()(A k A k λλ=A A =⋅1
A k A A k +=+λλ)(
2121)(A k A k A A k +=+
注：L (v )—由V 的全体线性变换组成的非空集合，仍为P 上的线性空间. 四．逆变换：
Df ：设A 为V 的线性变换，若存在V 的线性变换T ，使
I A T T A ==
则称A 是可逆的，T 为A 的逆变换，记为1
-A （与矩阵的逆相同），同逆矩阵仍为矩阵一样。

1
-A
仍为V
的线性变换，但并非有变换都可逆。

五．线性变换的秩与零度
Df 1.设A 是V 的线性变换，记})({)(V x x A V A ∈=∆。

称A (V )为A 的值域（或V 的象空间），可见，A (V )
是V 的子空间。

称A (V )的维数为A 的秩。

即)()(dim A R v A = 一般情况下V v A dim )(dim ≤V v A =⇔)(等号成立
Df 2.设A 是V 的一个线性变换，记},)({)(1
V x x A x A ∈==-θθ称为A 的核。

（又记为ker(A ) ）
显然)(1
θ-A
也是集合，也是V 的子空间，称为核空间
P k A y x ∈∀∈∀-),
(,1
θ有 θθ==)()(y A x A
)()()()(1
θθ-=+∴=+=+A y x y A x A y x A
)()()(1
θθθ-∈∴===A kx k x A k kx A
即)(1
θ-A 对+∙,运算封闭，)(1
θ-∴A 是V 的线性子空间—核空间。

Df 3.称)(1
θ-A 的维数为A 的零度。

六．值域的维数与核空间的维数之间的关系（秩与零度间的关系）
Th : 设A 是n 维线性空间V 的线性变换，则有
1
dim ()dim ()A v A n θ-+=
(证明参：23P )
eg :设})0,,,{(121R x x x x V i n ∈=- 是R 上的线性空间，在V 上定义线性变换如下：
)0,0,,,()0,,,()(132121--==n n x x x x x x A x A 显然1dim -=n V
而})0,0,,,,{())(,),(),(()(13221R x x x x A A A L V A i n n ∈==- εεε
2)(dim -=∴n V A
由θ=)(x A 0132====∴-n x x x ; })0,,0,0,{()(11
R x x A i ∈=∴- θ 即1)(dim 1
=-θA 阅读ch 1.§5。

类似地，可以定义内积空间的正交变换，若 (A x , A y )=(x ,y )保持内积不变 结论：①保持长度不变x x T =)(
②标准正交基正交变换
下==⇒标准正交基。

③保持任两向量间距离不变，即y x y A x A -=-)()(，反之不成立。

§4 线性变换的矩阵表示
引言：数域P 上线性空间V 上的所有线性变换组成的集合—L (V )是数域P 的线性空间。

若V 是n 维线性空间，那么L (V )的维数是多少呢？L (V )与n
n P ⨯之间具有什么关系？为此，我们先研究一下线性变换的矩阵
表示。

一、线性变换在一组基下的矩阵表示：
设n εεε,,,21 是数域P 上的n 维线性空间V 的一组基，A 是V 上的一个线性变换，对V ∈∀α，则有
n n k k k εεεα+++= 2211 )()()(11n n A k A k A εεα++=∴
又),1()(n i V
A i =∈ε
则有：)()()()(22112222112212211111*⎪⎪⎩
⎪⎪
⎨
⎧+++=+++=+++=n nn n n n n
n n n a a a A a a a A a a a A ε
εεεεεεεεεεε
用矩阵形式表述（*）有
⎪
⎪⎪⎪
⎪⎭⎫
⎝⎛=nn n n n n n n a a a a a a a a a A A A 2
1222
21112112121),,())(),(),((εεεεεε
习惯上记上式左边为：),(21n A εεε，，
则有：
A A n n ),(),(2121εεεεεε，，，， =；这就有了下面的定义：
1.Df 1.若A A n n ),(),(2121εεεεεε，，，， =则称A 为线性变换A 在基n εεε,,,21 下的矩阵，且可逆
若V ∈α在n εεε,,,21 下的坐标为⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛n k k 1，那么)(αA 在基n εεε,,,21 下的坐标又如何呢？
⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛=++=n n n n k k A A A A k A k A 12111))(),(),(()()()(εεεεεα
⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n n n k k A k k A 121121),,,(),,(εεεεεε
可见，)(αA 在基n εεε,,,21 下的坐标是由A 与α在n εεε,,,21 下的坐标来确定的。

2.结论：
Th 1.域P 上n 维线性空间V 中的线性变换A 在基n εεε,,,21 下的矩阵是唯一的。

由此可推得：当给定线性空间V 的一组基n εεε,,,21 后，A 与域P 上的n n A ⨯一一对应。

进一步可得
Th 2..若n εεε,,,21 是域P 上的n 维线性空间V 的一组基，i A 是V 上的线性变换，i A 在
n εεε,,,21 下的矩阵为i A ，则有
2121A A A A +→+ 2121A A A A →⋅ 11A A λλ→ 11
--→A A
由此可得：
Th3..数域P 上的n 维线性空间V 在取定一组基下，L (V )与P 域上所有的n n ⨯矩阵构成的线性空间n
n P ⨯是同构的
即：n n P V L ⨯≅)(
推论：
2dim )(dim n P V L n n ==⨯
上述线性变换与矩阵之间的对应关系是在给定的一组基下实现的，随着基的改变，线性变换的矩阵表示会发生什么样的变化？
二、线性变换在不同基下的矩阵表示(首先回忆过渡矩阵的概念)
Df 2.设n εεε,,,21 与n ηηη,,,21 是n 维线性空间V 的两组不同基，且满足
P n n ),,,(),,,(2121εεεηηη =。

则称P 为由基n εεε,,,21 到基n ηηη,,,21 的过渡矩阵，且P 是可逆
的。

从而可以研究同一线性变换在两组不同基下的矩阵的关系。

下面定理解决这个问题：
Th 4. A 在不同基下的矩阵是相似的
Proof :设n εεε,,,21 ;n ηηη,,,21 是线性空间V 的两组不同基
B A n n ),,(),,(2121ηηηηηη =
由
121212121),,,(),,,(),,,(),,,(-=⇒=P P n n n n ηηηεεεεεεηηη
则),,(21n A ηηη AP P n 121),,(-ηηη
P 可逆，上式两边右乘1-P
由Th 1 1
A PBP
-=AP B P 1
-= 即B A ~
eg 1.设4维线性空间4R 上的线性变换A 在基4321,,,x x x x 下的矩阵为：
⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛=2211310310758231A 试求A 在基⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=++=+++=1
42133
2124
3211x y x x y x x x y x x x x y 下的矩阵
解：由已知有A x x x x x x x x A ),,,(),,,(43214321= 设B y y y y y y y y A ),,,(),,,(43214321=
而P x x x x x x x x y y y y ),,,(000100110111
1111
),,,(),,,(432143214321=⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝
⎛= 计算得：⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎭⎫ ⎝
⎛---=-00110110110010
001
P
又B 与A 相似
() ==∴-AP P B 1
三、正交变换在一组标准正交基下的矩阵：
正交变换在一组基下的矩阵为正交矩阵 或
线性变换在一组标准正交基下的矩阵为正交矩阵
设T 是内积空间V 的正交变换，n εεε,,,21 是V 的一组标准正交基，由上节课知，
n T T T εεε ,,21亦是V 的一组标准正交基
若A T n n ),,,(),,,(2121εεεεεε = 即A T T T n n ),,,(),,,(2121εεεεεε =
则A 可以看作是由n n T T T εεεεεε,,,,,,2121 →的过渡矩阵 据正交基变换可知：A 为正交矩阵)(E A A
T
=
同样，内积空间的正交变换与正交矩阵亦是一一对应的。

eg 2.设321,,x x x 是三维欧氏空间V 的一组标准正交基，试求V 的一个正交变换T ，使得：
⎩⎨
⎧+-=-+=3212
3
2112222x x x Tx x x x Tx 解：设3213cx bx ax Tx ++= 由T 在321,,x x x 下的矩阵为正交矩阵 即A x x x x x x T ),,(),,(321321=
其中⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛--=c b a A 211222为正交矩阵
由E A A T
= 可解得a = b = c = 从而可得正交变换。

第5节 不变子空间与点到子空间的距离
上节课研究了线性变换在一组基下的矩阵及不同基下的矩阵之间的关系，从中可得，线性变换与矩阵之间的关系，以及正交变换与正交矩阵之间的关系。

知道这些关系对研究矩阵理论具有很重要的意义。

不但如此，而且线性空间、线性变换及矩阵这三者之间的关系也是紧密的联系在一起，为此我们先研究一下不变子空间。

一、不变子空间
1.Df : 设A 是线性空间V 的一个线性变换，W 是V 的一个子空间，若对W x ∈∀W x A ∈)(。

即
W W A ⊆)(。

则称W 为A 的不变子空间，或者说子空间W 对线性变换A 是不变的。

2.结论：①零空间及V 本身都是A 的不变子空间。

②若21,V V 是n 维线性空间 V 的两个子空间，且是线性变换的不变子空间，若 21V V V ⊕=且
m e e e ,,21与n m m e e e ,,,21 ++分别是1V 与2V 的一组基，则向量组n m m m e e e e e e ,,,,,,2121 ++便构成V
的一组基，且A 在基n m m m e e e e e e ,,,,,,2121 ++下的矩阵为分块对角矩阵
⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛=21A A A
其中：1A 是A 在基m e e e ,,21下的矩阵；
2A 是A 在基n m m e e e ,,,21 ++下的矩阵
注：该结果可以推广到有限个子空间直和的情形。

即：若V 可分解为有限的k 个子空间),2,1(k i V i =的直和 二、点到子空间的距离与最小二乘法
1.点到子空间的距离
Df :设V 是有限维内积空间（即欧氏空间），V y x ∈∀,称x-y 的长度y x -为x 与y 的距离，
记为),(y x d ),(y x d 满足下列三个基本的性质：
①);,(),(x y d y x d =
②);,(),(),(z y d y x d z x d +≤ ③0),(,0),(==⇔≥y x d y x y x d 时
当然这里点到子空间的距离，也象几何里点到直线（平面）的距离一样，是指点到子空间各点距离的最短距离。

即设子空间V x x x L W k ⊂=),,,(21 ，x 是V 中给定的一元素，显然有
),2,1(k i x x W x i =⊥⇔⊥（？）
设W ∈y ，满足W y x ⊥-)(，且对W z ∈-∀都有：
z x y x -≤-（向量x 到W 的各向量间距离以垂线最短）
则y x -即为点x 到子空间W 的距离。

作为点到子空间距离的应用来解决最小二乘法问题
2. 最小二乘法：——在系统理论中处理最优化问题时有重要的应用。

考虑不相容线性方程组 b Ax =※（方程个数与变量个数不同）
其中k n ij a A ⨯=)( T
n b b b b ),,(21 = ()T
k x x x x ,,21=
（线性代数知：R (A )=R (A ,b )时，※有解，R (A )≠R (A ,b ) ※无解） 这里解决无解的情况（利用最小二乘法）
也即：设法找出一组数0
20
1,,k x x x 使偏差的平方和：
∑=-++=n
i i k ik i i b x a x a x a 1
22211)( η
最小，0
0201,,k x x x 称为※的最小二乘解。

若令y =Ax ，则y 是n 维列向量；上述η即为2
b y -。

而最小二乘法即是找一组0
20
1,,k x x x 。

使y 与b 的距离最小。

为此；假设),,(21k A ααα =，i α表示A 的第i 列。

则有
k k x x x y ααα+++= 2211
显然),,(21k L y ααα ∈，则上述问题可叙述为：
求x ，使2
b y -最小，即在),,(21k L ααα 中找一向量y ，使向量b 到它的距离比到子空间
),,(21k L ααα 中其它向量的距离都短。

若k k x x x y ααα ++=2211即为所求向量，则
),,()()(21k L Ax b y b c ααα ⊥-=-=A
0),(),(),(21====⇔k c c c ααα
,0,021===⇒c c c T
k T T ααα
此即 θ
=-)(Ax b A T
即
b A Ax A T T =——这就是最小二乘解所满足的代数方程，它仍是一个线性方程组，系数矩阵为
A A T ，常数项为b A T 。

eg 2: 用最小二乘法解方程组：1312
1231231
210
x x x x x x x x x x +=⎧⎪+=⎪⎨++=-⎪⎪+-=⎩
解：⎥⎥
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡-=111111011
101
A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=110111101111T A ⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=0121b b A x x x Ax A T T =⎥⎥
⎥⎦⎤
⎢
⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=∴012301033134321
解此线性方程组，得最小二乘解为，2031=x ,60112=x ,20
1
3-=x §6. 矩阵及其分块
一、矩阵的基本概念
1.称n m ij a A ⨯=)(为n m ⨯阶矩阵，其中C a ij ∈（复数） 若m =n ，称为n 阶方阵
2.主对角线以外的元素全为0的矩阵，称为对角矩阵，记),,,(2211nn a a a diag A =
3.若⎩
⎨⎧=≠=j i j
i a ij 10，则称n n ij a A ⨯=)(为单位矩阵，记为n I 或n E
若n i a ij ,,2,1 ==λ
，则I A λ=称为数量矩阵.
4.若0=ij a ，当j i <)(j i ≤或，称A 为下三角矩阵（或严格下三角矩阵）。

5.若0=ij a )(j i >，称A 为上三角矩阵。

0=ij a )(j i ≥，称A 为严格上三角矩阵。

6.主对角线元素全为1的上（下）三角矩阵称为单位上（下）三角矩阵。

7.若n E BA AB ==，称A 为可逆矩阵，称B 为A 的逆矩阵，记为1-=A B 。

注：n
n R B A ⨯∈,
8.设n
m R
B A ⨯∈,，若存在非奇异m 阶阵P 和n 阶阵Q ，使B =PAQ ，则称A 与B 等价，记为B A ≅。

9.由n m ⨯阶矩阵A 的位于第k i i i ,,21行，第k j j j ,,21列的元素按原来的次序构成的k 阶阵，称为A 的k 阶子阵，相应的行列式称为A 的k 阶子行列式（子式）。

10.矩阵A 的所有非零子式的最高阶数称为A 的秩，记为rank (A )。

11.设A 为n m ⨯阶阵。

若rank (A )=min (m ,n ),则A 为满秩阵。

12.设A 为n 阶方阵，n λλλ ,,21为其特征值，记A 的行列式为：∏====n
i i
n A A 1
21ˆ)det(λ
λλλ ；
称n λλλ ,,21的全体为A 的谱，记作)(A λ或)(A ρ。

13.若0)det(≠A ，则A 可逆，
1-A 存在。

称n nn a a a A tr λλλ ++=+++=212211)(为A 的迹。

14.若R a a A ij ij ∈=)(，称)(ji a B =为A 的转置矩阵，记为A '或T A
若C a ij ∈，则称T ij a B )(=为A 的共轭转置矩阵，记为H A 或*
A
15.若T
A A =，则称A 为实对称矩阵； 若A A T
-= 则称A 为实反对称矩阵。

若H
A A =，则A 称为厄米特矩阵(Hemite) 若A A
H
-=，则A 称为反厄米特矩阵(Hemite)
16.若A 为实矩阵，且n T T E A A A A =⋅=⋅，则称A 为正交矩阵，1
-=⇒A A T
17.若A A A A H H
⋅=⋅，则称A 为正规矩阵。

若n H H
E A A A
A =⋅=⋅，则称A 为酉阵。

⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧===---（行）向量是酉正交的位向量，不同的两个列每个（行）列向量是单酉阵的乘积仍是酉阵行列式的模等于
).4).3)
()().21).1111H H H A A A A A 18.若A A =2，则称A 为幂等阵， 若0=k A ，则称A 为幂零阵。

19.每行每列，恰有一个元素等于1，其余元素全为0的矩阵，称为排列（置换）矩阵，记为n P 。

20.若n 阶阵A 的顺序主子式都大于0，则称A 为正定阵。

二、基本的性质
1. )()(B rank A rank B A =⇔≅
2. 设n m ij a A ⨯=)(，l n ij b B ⨯=)(，则 )}(),(min{)()()(B rank A rank B A rank n B R A R ≤⋅≤-+
3.设A 为n m ⨯阶阵，P ,Q 分别为m , n 阶非奇异阵，则)()()()(PAQ rank AQ rank PA rank A rank ===
4.)()()(B rank A rank B A rank +≤+
5.关于实对称阵与Hemite 阵共有的性质： ①矩阵的特征值全为实数
②相异特征值对应的特征向量正交（不同的特征值对应的特征向量正交） ③主对角线上的元素),,2,1(n i a ii =全为实数。

6.反 Hemite 阵的特征值为零式或纯虚数
7.酉阵的特征值的模等于1 三、矩阵的分块
Df 1.把一个n m ⨯矩阵用若干横线，纵线，将其分成小矩阵，从而该n m ⨯矩阵可看成是由一些小矩阵组成的，在运算过程中，把这些小矩阵当成数一样处理，称为矩阵的分块。

eg :⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛=222112110101301120124321A A A A A ； ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛=222112110110100101100011B B B B B ；则：
⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=+021*********
4332
22222121
121211
11B A B
A B A B A B A ⎪⎪⎭⎫
⎝⎛++++=22221221212211212212121121121111B A B A B A B A B A B A B A B A AB
Df 2.称),,(ˆ00221122
11
pp pp A A A diag A A A A
=⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛=为准对角矩阵。

其中ii A 为i n 阶方阵，且n n n n p =++ 21
Th 1若：),,(2211pp A A A diag A = ),,(2211pp B B B diag B =
其中ii A 与ii B 具有相同的阶数，∑===p
i i
n n
p i 1
,2,1
则:
①),,,(22221111pp pp B A B A B A diag B A +++=+ ②),,,(22221111pp pp B A B A B A diag B A ⋅⋅=⋅ ③pp A A A A det det det det 2211 ⋅=
④若),2,1(p i A ii =可逆，则),,(1
1221111----=pp A A A diag A
注意：分块时要使运算有意义。

Df 3.称⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛*=pp A A A A 022
11
为分块三角阵。

Th 2.若A 为分块三角阵，则ii A 的特征值也是A 的特征值，且ii A 的所有特征值即为A 的所有特征值。

一般地，若A 为分块矩阵，则可以将A 分解为分块三角阵。

如：⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=22211211A A A A A 。

其中2211,A A 分别为21,n n 阶阵，若11A 可逆， 则A 可分解成：
⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--121
11212212
11
111
21222112110021
A A A A A A I A A I A A A A A n n 且)det(det det 121
112211A A A A A -⋅=
关于矩阵的分解，后面还要进行专门的讲述。

§7. 相似矩阵与约当矩阵
一、特征值与特征向量 设C a a A ij n
n ij ∈=⨯)(
Df 1.称A I -λ为A 的特征矩阵
Df 2. n n n n a a a A I f ++++=-=--λλλλλ111)( ，称为A 的特征多项式。

其中)()()(2211211A tr a a a a nn n -=+++-=+++-= λλλ n n
n
n A a λλλ 21)
1()1(-=-=
Df 3. 称0=-A I λ为A 的特征方程，其根n λλλ ,,21为A 的特征根。

Df 4.称0)(=-X A I i λ为A 关于i λ的特征方程组，其非零解称为对于i λ的特征向量。

或存在C ∈λ和非零向量n
C X ∈使X AX λ=，则λ为A 的特征值；X 为A 的对于特征值λ的特征向量。

Df 5.设r λλλ ,,21是A 的全部不同的特征值，若
r
p r p p A I f )
()()()(2121λλλλλλλλ---=-= ，且
n p
r
i i
=∑=1
称),2,1(r i p i =为i λ的代数重复度（数）
称n 元方程组AX X i =λ的解空间为A 的特征子空间，记为i V λ。

称)dim(i V λ（即A 对于
i
λ的线性无关的特征向量的个数）为i λ的几何重复度（数），且
n p V i i ≤≤≤)dim(1λ
二、矩阵的相似
1.Df 1.设A,B 为n 阶方阵，若存在n 阶可逆阵P ，使AP P B 1
-=，则称A 相似于B ，记为B A ~。

2.注：相似与等价的关系，其共有的性质
①自反性：A ~ A
②对称性：A ~ B ,则B ~ A
③传递性：A ~ B , B ~ C , 则A ~ C 对于相似矩阵特有的性质：
①若B A ~，则T
T
B A ~，k
k
B A ~ ②若B A ~，则B A =, trB trA = ③若B
A ~
B I A I -=-λλ，则（B A ,特征根特征多项式相同）
3.线性变换与特征值之间的关系
Df 2.设A 是数域P 上n 维线性空间V 上的线性变换，n εεε ,,21是V 的一组基，A 在基n εεε ,,21下的
矩阵为A ，λ是A 的特征值，x 是A 的对应于λ的特征向量，若x x A λ=)(（即x Ax λ=），则λ称是A 的特征值，x 是A 的对应于λ的特征向量。

事实上，由A A ↔之间的对应关系，上式即与x Ax λ=相当。

进一步地，有下面结论：
Th : A 有n 个线性无关的特征向量⇒以这n 个线性无关的向量为基，A 在该基下的矩阵为对角矩阵，对
角线上的值为特征值。

反之，A 在基n εεε ,,21下的矩阵为对角矩阵),,(21n diag λλλ
即⎪
⎪⎪
⎭⎫
⎝
⎛==n n n n A A A A λλεεεεεεεεε00),,())(),(),((),,(1212121
从而有n i A i
i i ,2,1)(==ελε
即A 有n 个线性无关的特征向量。

三、矩阵的约当标准形（约当Jordan 矩阵）
Df 3.称m
m m J ⨯⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=00
00111)(λλλλ 为0λ的m 阶约当块。

Df 4.称n
n s r r r s J J J J ⨯⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎭⎫ ⎝⎛=)()()(2121λλλ 为约当标准形
其中n r r r s =+++ 21
Df 5.与矩阵A 相似的约当标准形称为阵A 的约当标准形
Df 6.设A 为n 阶矩阵，则称A 的特征矩阵)(A I -λ中所有非零的k )1(n k ≤≤阶子行列式的首项系数为1
的最大公因式,是)(A I -λ的k 阶行列式因子，记为)(λk D ，也称为A 的k 阶行列式因子。

eg 1.求⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛---=122020
021A 的所有行列式因子。

解：⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛+---=-122020
02
1λλλλA I 一般情况下，求所有行列式因子应从最高阶开始
)1)(2)(1()(3+--=λλλλD 1)()(12==λλD D
行列式因子具有如下性质：
<1>)(λk D 可以整除)(A I -λ中每个k 阶子行列式。

<2>)(λk D 可以整除)(A I -λ中任一个k +1阶子行列式（将它按行或列展开，即可被整除）。

Df 7.称)1)(,,2,1()
()
()(01===
-λλλλD n k D D E k k k 为)(A I -λ的不变因子，简称为A 不变因子
性质:<1>)()()()(21λλλλk k E E E D =
<2>⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧---=---=---=*nr
n n r
r k r k k n
k r k k k r k k E E E )()()()()()()()()()()()()(21222211121121212211λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ
其中0)
(≥≠≠ij j i k j i λλ且r j n i k k k nj
j j ,,2,1,,2,121 ==≤≤≤
Df 8.设n n C A ⨯∈，)(λi E 是不变因子，若在)(λi E 的因式分解中，某些0>ij k ，则称相应的因式ij
k j )
(λλ-为特征矩阵)(A I -λ的初等因子，简称为A 的初等因子。

全部的初等因子，称为初等因子组。

eg 2.设矩阵A ,B 的不变因子分别为：
)2()3()2(,)3)(2(,1,1,1,1,1,1,1322+----λλλλλ 232)2()3)(2(,)3)(2(,1,1,1,1,1,1,1+--+-λλλλλ
试分别写出其初等因子组。

2,)3(,)2(,)3(,2:322+----λλλλλA 232)2(,)3(),2(,)3(,2:+--+-λλλλλB
注意：在初等因子组中初等因子可以重复。

eg 3. 求矩阵 ⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛=0001
11λλλ A 的特征矩阵的不变因子与初等因子。

解：⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛------=-00
01
11)(λλλλλλλ A I n n D )()(0λλλ-=
)(A I -λ 的一个n -1阶子式为
1000
)1(1
1
1
1
--=-------n λλλλλλ
1)(1=∴-λn D 由 )()(12λλ--n n D D 1)()()(121====∴-λλλn D D D n n n E E E E )()(1
)()()(0121λλλλλλ-=====⇒-
初等因子为n
)(0λλ-
Th 1. ⇒B A ~A 与B 具有相同的行列式因子 Th 2. ⇒B A ~A 与B 具有相同的不变因子
Th 3.设n n C A ⨯∈，若A 的初等因子组为r m
r m m )(,,)(,)(2121λλλλλλ--- ，
其中r λλλ,,,21 是A 的特征值，（可以相同），则：
⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛=)()()(~2121r m m m r J J J J A λλλ
且除了对角块排列次序可变更外，是唯一的。

Th 4. ⇒B A ~A 与B 具有相同的初等因子
Th 5.设A 的约当标准形是由r 个约当块r J J J ,,21构成，则A 有r 个线性无关的特征向量，且由这些特
征向量组成的向量空间的维数为r
eg 4.已知6阶矩阵A 的初等因子组为32)2()2)(1(---λλλ
求A 的约当标准形与不变因子
解：⎪⎪⎪⎪⎪
⎪
⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛=200000120000012000
000200
000120000001~J A 1)()(41==λλE E 25()(2)E λλ=- 36)2)(1()(--=λλλE
eg 5.求⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛--=201034011A 的约当标准形
解：
①⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛----+=-201034011)(λλλλA I
②求行列式因子2
3)1)(2()(--=λλλD 1)()(12==λλD D ③求不变因子1)()(12==λλE E 2
3)1)(2()(--=λλλE
④初等因子2
)1(),2(--λλ
⑤Jordan 形：⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛=100110002~J A
eg 6.求⎪⎪⎪
⎭⎫
⎝⎛---=502613803A 的标准形
解：⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛+-+---=-502613803)(λλλλA I
33)1()(+=λλD )1()(2+=λλD 1)(1=λD
1)(1=λE )1()(2+=λλE 23)1()(+=λλE ∴ 初等因子组2)1(1++λλ
∴ ⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛---=100110001~J A
§8 矩阵多项式与多项式矩阵
设A 是n 阶阵，则A E f -=λλ)(为矩阵A 的特征多项式。

事实上，
n n n n a a a A E f ++++=-=--λλλλλ111)( 因此有
一、Hamilton -Cayley Th （哈密顿—开莱定理）
Th 2.每个n 阶矩阵A ，都是其特征多项式的根，即
0111=++++--E a A a A a A n n n n （矩阵）
注意：该定理旨在用于：当一个n 阶矩阵的多项式次数高于n 次时，则可用该定理将它化为次数小于n 的多项式来计算。

eg 1.设⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=010110201A ，试计算：E A A A A A 432)(2458-++-=ϕ
解：A 的特征多项式为
12)(23+-=-=λλλλA E f （用固定公式做）
取多项式432)(2458-++-=λλλλλϕ
)()()149542(235λλλλλλr f +⋅-+-+= 利用多项式除法
余项103724)
(2+-=λλλr
由上定理0)(=A f ⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛----=+-==∴346106195026483103724)()(2
E A A A r A ϕ
Df 2.一般地，设)(λϕ是多项式，A 为方阵，若0)(=A ϕ，则称)(λϕ是矩阵A 的零化多项式。

根据定义：每个矩阵都有其零化多项式，至少有A E f -=
λλ)(。

Df 3.设A 是n 阶矩阵，则它的首项系数为1的次数最小的零化多项式)(λm ，称为A 的最小多项式。

性质：0
1.矩阵A 的零化多项式都被其最小多项式整除。

02.矩阵A 的最小多项式是唯一的
03.若B A ~，则)(λA m =)(λB m
证明：0
1 由多项式除法可得： )(λg =)()()(λλλr h m A + (1)
其中：)(λr 为余项，且)(λr 的次数小于)(λA m 的次数。

若)(λg 不能被)(λA m 整除，根据(1)知：0)(≠λr ，并有：
)()()()(λλλλh m g r A -=
将A 代入上式得：0)()()()(=-=A h A m A g A r A （阵），即)(λr 亦为A 的零化多项式，且次数小于)
(λA m 的次数，这与)(λA m 是A 的最小多项式相矛盾。

故0)(=λr ，即)(λg 一定能被)(λA m 整除。

02 利用01立即可证。

03 若B A ~，则存在可逆矩阵P ，使得AP P B 1-=，由P A f P
B f )()(1
-=，则可得：
)(λA m =)(λB m 。

推论1：设n n C A ⨯∈，则A 的最小多项式)(λA m 一定能整除其特征多项式)(λf =)det(A I -λ。

Th 3.矩阵A 的最小多项式的根必是A 的特征根；反之，A 的特征根也必是A 的最小多项式的根——特征多
项式与最小多项式之间的关系。

证明：第一步由推论1即可得证。

下面证明反之。

若0λ为矩阵A 的特征多项式)(λf 的零点，即0λ为A 的特征值，设矩阵A 对应于特征值0λ的特征向量为X ，则有AX X =0λ，)()(0AX m X m A A =λ，即0)()(0==X A m X m A A λ（算子不作用在x 上），又
0≠X ，所以有)(0λA m =0，即0λ为)(λA m 的零点。

定理得证。

由定理3与推论1即可得如下推论：
推论2 设n n C A ⨯∈，i λ),,2,1(s i =是A 的相异特征值，若)(λf 能被分解为，()f λ为矩阵A 的特征多项式：
s r s r r f )()()()(2121λλλλλλλ---= (2)
则A 最小多项式)(λA m 具有如下的形式：（可能的形式，需要逐一验证，最后确定）。

s
d s d d A m )()()()
(2121λλλλλλλ---= (3)
其中i r 是特征值i λ的重数，且
n r
s
i i
=∑=1
，i i r d ≤是的正整数（最小为1）。

),,2,1(s i =
推论2实际上给出了利用特征多项式来求最小多项式的方法，下面举例说明。

eg 2.求⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛----=031251233A 的最小多项式)(λm
解：)4()2()(2--=-=λλλλA E f
A ∴的最小多项式,只能是：
)4)(2()(--=λλλm ,及)()(λλf m =
经计算可知：)4)(2()
(--=λλλm 是A 的最小多项式，由此可得：
Th 4.若A 的特征多项式没有公因子（特征值没有重复的？），则特征多项式为最小多项式。

下面定理给出了求最小多项式的另一种方法：（太麻烦！）
Th 5.设A 是n 阶矩阵，)(1λ-n D 是特征矩阵A E -λ的n -1阶行列式因子，则A 的最小多项式为
)()
()
()(1λλλλn n n E D D m ==
-——n 阶不变因子。

eg 3.求⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛--=012024012A 的最小多项式
3)(λλ=n D λλ=-)(1n D 2
)()(λλλ==∴n E m
定理6.n n C ⨯上的任意n 阶矩阵A 都存在最小多项式)(λm 。

证明：因为矩阵A 可看作是2n 维向量空间n n C ⨯上的向量，因而矩阵序列：
n A A A I ,,,,2
可以作为向量空间n n C ⨯上的一个向量组，由定理1（？应该是定理2吧！）可知，他们一定是线性相关的。

设m 为使得矩阵序列)(,,,,2n t A A A I t
≤ 线性相关的最小次数，即：
m A A A I ,,,,2
线性相关，则存在1+m 个不全为零的数m k k k k ,,,,210 ，使得
02210=++++m m A k A k A k I k
其中0≠m k ，否则有0=m
m A k ，这与m 的假设相矛盾，进而有：
112210-------
=m m
m m m m m A k k A k k
A k k I k k A （归一化操作）
记1210-=-
=m ,,,,i ,k k l m
i
i ，则有：
1
12210--++++=m m m A l A l A l I l A
若定义m
m m l l l l m λ
+λ
--λ-λ--=λ--1
12210)
( ，则必有
0)(=A m
且没有次数小于)(λm 的非零多项式使矩阵A 零化。

故)(λm 是矩阵A 的最小多项式。

注：该定理的证明过程实际上告诉了我们一种求最小多项式的方法，作为这种方法的应用，下面举例说明。

例3.求矩阵
⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛------=4112010011214222A
的最小多项式（逐步求解）。

解：第一步：试解方程
I l A 0=，得0l 无解，若解得0l ，则A 的最小多项式为：
0)(l m -λ=λ
否则，进行下一步。

第二步：试解方程A l I l A
102
+=，知0l 和1l 无解，若确定0l 和1l ，则A 的最小多项式为：
λ--λ=λ102)(l l m
否则，进行下一步。

第三步：试解方程22103A l A l I l A ++=，得到 20=l ，51-=l ， 42=l ，则A 的最小多
项式为：
254)(23-λ+λ-λ=λm
否则，进行下一步，一直到求出所有待定的i l （m i ,,2,1,0 =），使得所试解得矩阵方程成立为止，由定理2可知，这样的过程最多只需进行n 步（那就是特征多项式）即可得到矩阵A 的最小多项式)(λm 。

二、多项式矩阵：——在线性控制系统理论中有着重要的应用。

Df 1.称n m ij a A ⨯=))(()(λλ为λ矩阵，或多项式矩阵，其中)(λij a 是λ的多项式。

Df 2.若n 阶多项式矩阵)(λA 的行列式0)(≠λA （非零多项式），则称)(λA 是满秩的（秩=n ）或非奇异
的。

Df 3.若)(λB ∃使E A B B A ==)()()()(λλλλ，则称)(λA 是可逆的，或称)(λA 是单模矩阵，记为
)()(1λλ-=A B 。

注意：非奇异比可逆的定义要广，可逆一定非奇异，非奇异未必可逆，这里，非奇异与可逆是两个不同的概念，要与数字矩阵区别开来。

Th 1.n 阶多项式矩阵)(λA 可逆⇔)(det λA 为非零常数。

注：)(λA 也可象A 一样，进行初等变换。

①互换)(λA 的任意两行（列）
②以非0数c ()P ∈乘以)(λA 的一行（列）
③以多项式)(λϕ乘)(λA 的某一行（列）并加到另一行（列）
Df 4.由单位阵E ，经过一次上述初等变换，得到的矩阵称为初等矩阵。

Df 5.多项式矩阵)(λA 称为与)(λB 等价，若)(λA 经过有限次初等变换能变为)(λB ，记为)()
(λλB A ≅
亦具有自反性，对称性，传递性。

Th 2.对任一非零多项式矩阵)(λA ，有：
⎪
⎪⎪
⎪
⎪⎪
⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛=≅000)(0)()()()(2
1 λλλλλr d d d J A
其中1≥r 是)(λA 的秩，),,2,1()(r i d i =λ是首项系数为1的多项式，且
1,,2,1)
()(1-=+r i d d i i λλ（低阶整除高阶）。

称)(λJ 为)(λA 的史密斯（Smith ）标准形，称)(λi d 为)(λA 的不变因子（将多项式矩阵看作是一个特征多项式）。

同数字矩阵一样，也可以定义)(λA 的k 阶行列式因子与初等因子。

eg1.求多项式矩阵：
⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝
⎛+-+-=20
0100)
1(0
)(λλλ
λλλA 的Smith 标准形。

解：利用初等变换可得：
)()2()1(0
000
1
)(λλλλλ
λJ A =⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝
⎛--≅。