中考数学 精讲篇 中考压轴题重难点突破七 二次函数与几何综合题 类型四

由勾股定理得 BC2＝22＋32＝13，CG2＝1＋(2－n)2，BG2＝4＋n2，
①若∠BCG＝90°，则 BC2＋CG2＝BG2，
即
13＋1＋(2－n)2＝4＋n2，解得
7 n＝2，此时点
G
的坐标为1，27.
②若∠CBG＝90°，则 CB2＋BG2＝CG2，
即 13＋4＋n2＝1＋(2－n)2，解得 n＝－3，此时点 G 的坐标为(1，－3)． ③若∠CGB＝90°，则 CG2＋BG2＝BC2，
即 1＋(2－n)2＋4＋n2＝13，解得 n＝1＋ 3或 n＝1－ 3， 此时点 G 的坐标为(1，1＋ 3)或(1，1－ 3)．
7 综上所述，点 G 的坐标为1，2或(1，－3)或(1，1＋ 3)或(1，1－ 3)．
【思路点拨】 要使以 B，C，G，H 为顶点的四边形是矩形，只需△BCG 是直角三角形即 可，可分为①∠BCG＝90°；②∠CBG＝90°；③∠CGB＝90°三种情况， 分别利用勾股定理列方程即可求解．
类型四：二次函数与特殊四边形问题
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 y＝ax2＋bx＋2(a≠0)与 x 轴交于 A(－1，0)，B(3，0)两点，与 y 轴交于点 C. (1)求该抛物线的解析式；
解：由题意知抛物线经过 A(－1，0)，B(3，0)，
a－b＋2＝0，
a＝－23，
∴9a＋3b＋2＝0，解得b＝43.
等及勾股定理得：AQ2＝CQ2，
∴12＋q2＝(2－q)2，解得
3 q＝4.
由中点坐标公式得－1＋0＝0＋x，0＋2＝q＋y，
∴x＝－1，y＝54，即 I－1，45.
②若 AC 是菱形的边，由菱形性质得：QI∥AC，QI＝AC. ∵当点 A 向右平移 1 个单位，向上平移 2 个单位得到点 C. ∴点 I(或 Q)向右平移 1 个单位，向上平移 2 个单位得到点 Q(或 I)， 即 x＋1＝0，y＋2＝q 或 0＋1＝x，q＋2＝y， ∴x＝－1 或 x＝1.
设点 N3(1，p)，M3t，－23t2＋43t＋2.
由中点坐标公式得3＋2 0＝1＋2 t，解得 t＝2.
∴点 M3 的坐标为(2，2)，
10 10
综上所述，点
M
的坐标为－2，－
3
或4，－
3
或(2，2)．
【思路点拨】 分 BC 为平行四边形的边和 BC 为平行四边形的对角线两种情况讨论，利 用“平行四边形对边平行且相等”及“平行四边形对角线互相平分”的 性质，借助中点坐标公式求解，也可以借助平移线段对应点的特征解决 问题．
m＝－121， m＝2，
解得s＝0，
或s＝6，
t＝12.
t＝－4.
故点 F 的坐标为0，21或(6，－4)；
②当 AP 是对角线时，
由中点坐标公式和 AP＝EF 得
2－1＝3＋s，
－6＋0＝m＋t， （2＋1）2＋（－6）2＝（s－3）2＋（t－m）2，
s＝－2， s＝－2，
解ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱt＝－ 5－3，或t＝ 5－3，
∵－2＜0， ∴当 m＝2 时，△PBQ 面积有最大值，最大值为 8， 此时点 P 的坐标为(2，－6)．
(3)存在，将抛物线 y＝ax2＋bx－4 向右平移经过点21，0时，该抛物线向 右平移了12＋1＝32个单位，则函3 数3的对称轴也平移了32个单位， 即平移后的抛物线的对称轴为2＋2＝3，故设点 E 的坐标为(3，m)，
当 x＝－1 时，由 IA＝AC，结合图象，易得 y＝± 5，
∴I 的坐标为(－1， 5)或(－1，－ 5)．
当 x＝1 时，结合图象，易得 y＝0，∴I(1，0)． 5
综上，存在点 I 坐标为－1，4，(－1， 5)，(－1，－ 5)，(1，0)．
【思路点拨】 第一步：由 A(－1，0)，C(0，2) 得 AC＝ 5，设 Q(0，q)，I(x，y)； 第二步：由题意分为①AC 是菱形对角线；②AC 是菱形的边两种情况； 第三步：利用菱形每边相等及对边平行的性质，对每种情况进行讨论， 对于第①种情况，结合勾股定理可求出点 Q 坐标，利用中点坐标公式即 可求出点 I 坐标．对于第②种情况，可结合图象，根据点的平移求出 I 点坐标.
m＝－3＋ 5， m＝－3－ 5.
故点 F 的坐标为(－2，－3＋ 5)或(－2，－3－ 5)； 综上，点 F 的坐标为(－2，－3＋ 5)或(－2，－3－ 5)或0，21 或(6，－4)．
10．(2019·荆州)如图，在平面直角坐标系中，平行四边形 OABC 的顶点 A，C 的坐标分别为(6，0)，(4，3)，经过 B，C 两点的抛物线与 x 轴的一 个交点 D 的坐标为(1，0)． (1)求该抛物线的解析式； (2)若∠AOC 的平分线交 BC 于点 E，交抛物线的对称轴于点 F，点 P 是 x 轴上一动点，当 PE＋PF 的值最小时，求点 P 的坐标；
(5)设点 Q 是 y 轴上的动点，在坐标平面内是否存在点 I，使得以点 A，C， Q，I 为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点 I 的坐标；若不存在， 请说明理由．
解：由题得 A(－1，0)，C(0，2)．
∴AC＝ 5.设 Q(0，q)，I(x，y)．
①若 AC 是菱形对角线．作 AC 的垂直平分线交 y 轴于点 Q，由菱形邻边相
∴直线 BC 的解析式为 y＝x＋3，
设点 P(x，－x2－2x＋3)，则点 H(x，x＋3)， S△BPC＝12PH×OB＝12×(－x2－2x＋3－x－3)×3＝－32x2－92x， ∵－32<0，故 S 有最大值，即四边形 PBAC 的面积有最大值， 此时 x＝－32，代入 y＝－x2－2x＋3，得 y＝145，∴P－32，145.
a－b－4＝0， 解：(1)由题意得16a＋4b－4＝0，
a＝1， 解得b＝－3.
故抛物线的解析式为 y＝x2－3x－4.
(2)由抛物线的解析式知，点 C(0，－4)，
设点 P 的坐标为(m，m2－3m－4)，
设直线 PB 的解析式为 y＝kx＋t，
m2－3m－4＝km＋t， k＝m＋1，
则0＝4k＋t，
∴A(1，0)，B(－3，0)，C(0，3)，代入 y＝ax2＋bx＋c 中，则
0＝a＋b＋c， a＝－1，
0＝9a－3b＋c，解得b＝－2，
3＝c，
c＝3，
∴抛物线的解析式为 y＝－x2－2x＋3.
(2)如解图 1，四边形 PBAC 的面积＝△BCA 的面积＋△PBC 的面积，而△ABC 的面积是定值，故四边形 PBAC 的面积最 大，只需要△BPC 的面积最大即可，过点 P 作 y 轴的平行 线交 BC 于点 H， ∵B(－3，0)，C(0，3)，
解：①当 BC 为平行四边形的边时，将线段 BC 向下平移在抛物线以及对
称轴上，分别交于点 M1，N1，过点 M1，作 M1E⊥对称轴于点 E，
易证得△BOC≌△M1EN1，
∴BO＝M1E＝3，∴点 M1 的横坐标为 4，
10
∴点
M1
的坐标为4，－
3
.
10
同理易得
M2
的坐标为－2，－
3
.
②当 BC 为平行四边形的对角线时，∵B(3，0)，C(0，2)，
∴抛物线的解析式为 y＝－23x2＋43x＋2.
(2)若点 D 在 x 轴下方，且四边形 ACBD 为平行四边形，求点 D 的坐标；
解：令 x＝0，则 y＝2，∴C(0，2)， ∵A(－1，0)，B(3，0)，∴AB 中点的坐标为(1，0)． ∵四边形 ABCD 为平行四边形，点 D 在 x 轴下方， ∴AB，CD 为平行四边形的对角线， ∴C，D 两点关于(1，0)中心对称，
设点 F(s，t)，
①当 AP 是边时， 则点 A 向右平移 3 个单位向下平移 6 个单位得到点 P， 同样点 F(E)向右平移 3 个单位向下平移 6 个单位得到点 E(F)且 AE＝PF(AF＝PE)，
s＋3＝3，
则t－6＝m， 42＋m2＝（s－2）2＋（t＋6）2，
s－3＝3，
或t＋6＝m， （s＋1）2＋t2＝（3－2）2＋（m＋6）2，
解得t＝－4m－4.
∵CQ∥BP，
故设直线 CQ 的解析式为 y＝(m＋1)x－4，
令
y＝(m＋1)x－4＝0，解得
4 x＝m＋1，即点
Q
的坐标为m＋4 1，0，
则 BQ＝4－m＋4 1＝m4＋m1， 设△PBQ 的面积为 S， 则 S＝12×BQ×(－yP)＝－12×m4＋m1×(m2－3m－4)＝－2m2＋8m，
y＝－x2－2x＋3
中，
解得 x＝－2－2 31(舍)或 x＝－2＋2 31，
－2＋ 31 15
∴点 Q3 的坐标为
2
，－
4
.
综上所述，点 Q 的坐标为－12，145或－2－2
31 15
，－
4
或－2＋2 31，－145.
9．(2021·菏泽)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 y＝ax2＋bx－ 4 交 x 轴于 A(－1，0)，B(4，0)两点，交 y 轴于点 C. (1)求该抛物线的解析式； (2)点 P 为第四象限内抛物线上一点，连接 PB，过点 C 作 CQ∥BP 交 x 轴 于点 Q，连接 PQ，求△PBQ 面积的最大值及此时点 P 的坐标；
5.(2021·凉山州第 28 题 12 分)如图，抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于 C 点，AC＝ 10，OB＝OC＝3OA. (1)求抛物线的解析式； (2)在第二象限内的抛物线上确定一点 P，使四边形 PBAC 的面 积最大．求出点 P 的坐标；
(3)在(2)的条件下，将抛物线
y＝ax2＋bx－4
1 向右平移经过点2，0时，
得到新抛物线 y＝a1x2＋b1x＋c1，点 E 在新抛物线的对称轴上，在坐标平
面内是否存在一点 F，使得以 A，P，E，F 为顶点的四边
形为矩形，若存在，请直接写出点 F 的坐标；若不存在，
请说明理由．
[参考：若点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则线段 P1P2 的中点 P0 的坐标为x1＋2 x2，y1＋2 y2.]
(4)设点 G 是抛物线的对称轴上一点，H 是坐标平面内一点，是否存在点 G，使得以 B，C，G，H 为顶点的四边形是矩形，若存在，求出点 G 的坐 标；若不存在，请说明理由；
解：存在，要使以 B，C，G，H 为顶点的四边形是矩形，
则△BCG 一定是直角三角形．
∵点 G 在对称轴上，∴设点 G 的坐标为(1，n)，
∴点 D 的坐标为(2，－2)．
【思路点拨】 第一步：由抛物线的解析式可得点 C 的坐标，进而得到 AB 中点的坐标； 第二步：由平行四边形的对称性可得点 D 的坐标．
(3)如图，若点 N 为抛物线对称轴上一点，探究抛物线上是否存在点 M， 使得以 B，C，M，N 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点 M 的 坐标；若不存在，请说明理由；
1 15
同上可得：Q1－2，
4
；若
BQ2∥PM3，BQ2＝PM3，
则点
Q2
15 的纵坐标为－ 4 ，代入
y＝－x2－2x＋3
中，
－2－ 31 －2＋ 31 解得 x＝ 2 或 x＝ 2 (舍)，
∴点 Q2 的坐标为－2－2 31，－145；
若 BP∥Q3M4，BP＝Q3M4，
则点
Q3
15 的纵坐标为－ 4 ，代入
(3)在(2)的结论下，点 M 为 x 轴上一动点，抛物线上是否存在一点 Q，使 得以点 P，B，M，Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在．请直接写出 Q 点的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)∵OB＝OC＝3OA，AC＝ 10，
∴OC2＋OA2＝AC2，即(3OA)2＋OA2＝( 10)2，解得 OA＝1，则 OC＝OB＝3，
(3)存在，点 Q 的坐标为－12，145或－2－2
31 15
，－
4
或－2＋2 31，－145.
如解图 2，若 BP 为平行四边形的对角线， 则 PQ1∥BM1，PQ1＝BM1， 则 P，Q 关于直线 x＝－1 对称，
1 15
∴Q1－2，
4
；若
BP
为平行四边形的边，若
Q1P∥BM2，Q1P＝BM2，
(3)在(2)的条件下，过点 A 作 OE 的垂线交 BC 于点 H， 点 M，N 分别为抛物线及其对称轴上的动点，是否存在 这样的点 M，N，使得以点 M，N，H，E 为顶点的四边形 为平行四边形？若存在，直接写出点 M 的坐标，若不 存在，请说明理由．
解：(1)∵A(6，0)，C(4，3)．∴BC＝OA＝6，