人教版高中数学选修4-4课件：2.1曲线的参数方程 第二课时.2

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【解析】(1)选D.xy=1,x取非零实数,而A,B,C中的x的
范围不符合要求.
(2)①把y=sinθ代入方程,得到 于是x2=4(1-sin2θ)=4cos2θ,
x2 sin2 1， 4
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即x=±2|cosθ|,由于θ具有任意性,sinθ与cosθ的

t
2，(t为参数)化为普通方程为________.
【解析】消去y参 2数t 方程 x 中t2，的参数t,

得到普通方程为y2=4x. y 2t
答案:y2=4x
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【知识探究】 探究点 参数方程和普通方程的互化 1.同一曲线的参数方程是否唯一? 提示:求曲线的参数方程,关键是灵活确定参数,由于参 数不同,同一曲线的参数方程也会有差异,但是一定要 注意等价性.
(θ为参数)
x 2cos,
y 1 2பைடு நூலகம்in
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【解析】选D.圆x2+(y+1)2=2的圆心坐标为C(0,-1),半
径为
2
,所以它的参数方程为 x
2cos,
(θ为参
数).
y 1 2sin,
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2.参数方程
x
(为参数) .
(1)3x+4y=3cosθ+4sinθ+4=4+5sin(θ+φ),
其中 tan 且34φ, 的终边过点(4,3).
因为-5≤5sin(θ+φ)≤5,所以-1≤4+5sin(θ+φ)≤9,
所以3x+4y的最大值为9,最小值为-1.
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(2)(x-3)2+(y+3)2=(cosθ-3)2+(sinθ+4)2
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【变式训练】1.将参数方程 方程为________.
x y
1 t2（，t为参数）化为普通 1 t2
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【解析】将参数方程 x 1两 t式2，相加,得x+y=2,其中
x=1+t2≥1.

y

1

t
2
答案:x+y=2(x≥1)
依题意,得 |
k3
| 1，
所以 (
k3
解1 得k 2 )2 1，
k 4.
所以 1的 k取2 值范围是 3
y2 x 1
[4 ,). 3
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方法二:由于
y2 x 1

y x
所以21 ,问题可以看作圆x2+(y-
1)2=1上的动点P(x,y)与定点A(-1,-2)的连线的斜率.
=26+8sinθ-6cosθ=26+10sin(θ+φ).
其中tanφ=

3
,且φ的终边过点(4,-3).
因为-10≤10s4in(θ+φ)≤10,
所以16≤26+10sin(θ+φ)≤36,
所以(x-3)2+(y+3)2的最大值为36,最小值为16.
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【延伸探究】
1.若本例条件不变,求 y 2 的取值范围.
的x2 参 y数2 方1 程是
4
x y

2t， （t为参数）和
1 t2
x y

2t， 1
（. t为参数） t2
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【方法技巧】求曲线的参数方程的方法 (1)如果已知曲线的普通方程,根据所选参数可利用代 入法确定其参数方程. (2)求动点的轨迹的参数方程时,应先根据题意选择适 当的参数,利用已知条件求参数方程.
由
两边平方可得
x a (t 1)
2t
由x2

a2 4
(t2两边2 平t12方)①可，得
y b (t 1) 2t
y2

b2 4
(t2

2

1 t2
)②，
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①
1 a2

②并化b12简,得
x2 a2

y2 b2
（1 a，b为大于0的常数）.
所所以以普方通程方 表程 示为 焦点xa22在 byx22轴（1上a的 0双，曲b 线0）..
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【变式训练】1.圆x2+y2+4x-6y=0的参数方程为______.
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【解析】圆x2+y2+4x-6y=0变为(x+2)2+(y-3)2=13,
即（x 2）2 （y 3）2 1，
令 13
13
（x 则
2）2 13

cos2，
令 x 13cos得 2，
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2.把下面曲线的普通方程化为参数方程. 设x=acos2φ,φ为参数.
x y a，
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【解析】把x=acos2φ代入普通方程 x y 得a，
a | cos | 所y 以a，
所以y=a(1-|cosφ|)2,
y （a 1 | cos |），
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【解题探究】典例中方程表示的曲线形状是什么?曲线
的参数方程是什么?
提示:方程表示圆,参数方程为
x y
cos , 1 sin
(为参数) .
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【解析】由圆的普通方程x2+(y-1)2=1得圆的参数方
程 为
x y

cos , 1 sin
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【所以解析(x-】1()12+)由y=cxyos1s2inθc2+o，ssi，n得2θxy=11s,inc2o，s， 即y=-(x-1)2+1(0≤y≤1),表示抛物线弧段,如图.
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(2)方法一:注意到两式中分子分母的结构特点,因而可
第2课时 参数方程和普通方程的互化
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【自主预习】
1.普通方程
相对于参数方程而言,直接给出_________________的 点的坐标间的关系
方程叫做普通方程.
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2.曲线的普通方程和参数方程的互相转化
(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式.
一般地,可以通过_________而从参数方程得到普通方程. 消去参数
【解析】方法一:由于
x x
1cos(θ,为参数)
所以
y 1 sin ，
所以skinθyx -k12co13sθcso=insk.-3,
即
1 k2sin k 3.
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所以 sin( ) k 3 .
1 k2
符号可以描述平面直角坐标系中点的坐标的符号,所以
取x=2cosθ.
因此, 的参数方程是
x2 y2 1 4
x y

2cos （，为参数） sin .
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②把x=2t代入方程,得到 4t2 y2于1是， y2=1-t2,
4
即 .因此,方程
y 1t2.
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(2)如果知道变数x,y中的一个与参数t的关系,例如
_______,把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的 x=f(t)
关数系方_程y_=与_g_(普_t_)通_,方那程么的xy互 gf化tt中, ,就必是须曲使线x,的y的参_数__方__程__._在_保参
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类型二 普通方程化为参数方程
【典例】(1)把方程xy=1化为以t为参数的参数方程
是( )
A. x

t
1
2，
C.
y

t

1 2
B.x sint，

y

1 sint
D.
x cost，
x tant，


y

1 cost
y

1
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特别提醒:化参数方程为普通方程F(x,y)=0:在消参过 程中注意变量x,y取值范围的一致性,必须根据参数的 取值范围,确定f(t)和g(t)值域得x,y的取值范围.
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类型一 参数方程化为普通方程
【典例】将下列参数方程化为普通方程,并判断曲线的
形状.
(1)
所以普通方程
化为参数方程为
x y a
x y

acos2， a（1 cos

（. 为参数） ）2
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类型三 参数方程与普通方程互化的应用 【典例】已知x,y满足x2+(y-1)2=1,求: (1)3x+4y的最大值和最小值. (2)(x-3)2+(y+3)2的最大值和最小值.
tant
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(2)根据下列条件求 x2 y2 1的参数方程: 4
①设y=sinθ,θ为参数; ②设x=2t,t为参数.
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【解题探究】1.题(1)中x,y的范围是什么? 提示:x,y均为不等于0的实数. 2.普通方程化参数方程时需注意什么? 提示:普通方程化参数方程时要注意参数的范围.
持一致.
取值范围
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【即时小测】 1.圆x2+(y+1)2=2的参数方程为 ( )
A.x 2cos, (θ为参数)
B.y 1 2sin (θ为参数) x 2cos,
C.y 1 2sin (θ为参数)
D.
x y

2cos, 1 2sin
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2.将曲线的参数方程和普通方程互相转化需要注意什 么? 提示:尽管同一曲线的参数方程不唯一,但是一定要注 意方程与曲线的等价性.
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【归纳总结】 1.曲线的参数方程与普通方程互化的作用 (1)将曲线的参数方程化为普通方程,可借助于熟悉的 普通方程的曲线来研究参数方程的曲线的类型、形状、 性质等.
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2数.)将化参为数普方通程方程xy ,并ba22 ((tt判 11tt断))，曲(a线,b的为形大状于.零的常数,t为参
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【解析】因为 x a (t 所 1以)，t>0时,x∈[a,+∞), 2t
t<0时,x∈(-∞,-a].
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(2)将曲线的普通方程化为参数方程,可用参变量作为 中介来表示曲线上点的坐标,从而给研究与曲线有关的 最大值、最小值以及取值范围等问题带来方便.
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2.参数方程化为普通方程的三种常用方法: (1)代入法:利用解方程的技巧求出参数t,然后代入消 去参数. (2)三角函数法:利用三角恒等式消去参数. (3)整体消元法:根据参数方程本身的结构特征,从整体 上消去.
x y

1 sin
cos 2.
， （为参数）
(2)
x y

1 t， 1 t (t 2t .

1,
t为参数)
1 t
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【解题探究】典例(1)(2)中如何分别消去参数? 提示:(1)利用三角函数基本关系式消去参数. (2)两式相加消去参数或代入法消去参数.
以采取加减消参的办法.
x y 1 t 2t 1 t 1, 1 t 1 t 1 t
又x 1 t 2 1，故x 1， 1 t 1 t
y 2t 21 t 2 2 2 ，故y 2，
1t 1t
1 t
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所以所求的方程为x+y=1(x≠-1,y≠2). 方程表示直线(去掉一点(-1,2)).
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方法二:只要把t用x或y表示,再代入另一表达式即可.
由 x 1所t ,以x+xt=1-t,
所以(x1+ 1t )t=1-x,即 t

1
代x ，入
所y 以12xt+t y=121111(x≠xxx -11,y2≠x1211)x.xx 1 x，
方程表示直线1 (x去掉一点(-1,2)).
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【方法技巧】消去参数方程中参数的技巧 (1)加减消参数法:如果参数方程中参数的符号相等或 相反,常常利用两式相减或相加的方法消去参数.
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(2)代入消参数法:利用方程思想,解出参数的值,代入 另一个方程消去参数的方法,称为代入消参法,这是非 常重要的消参方法. (3)三角函数式消参数法:利用三角函数基本关系式 sin2θ+cos2θ=1消去参数θ.
（y 3）2 sin2， y 13sin 3. 13
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故圆x2+y2+4x-6y=0的参数方程为
x 2
13cos （，为参数）
y 3 13sin .
答案: x 2
13cos （，为参数）
y 3 13sin .