2020版导与练一轮复习理科数学习题：第六篇不等式(必修5) 第1节不等关系与不等式 Word版含解析

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高考数学理科一轮复习第6章不等式第1讲

2 解得 x≥a或 x≤－1.
基础知识过关
经典题型冲关
课后作业
答案
③当 a<0
2 时，原不等式化为x－a (x＋1)≤0.
2 2 当a>－1，即 a<－2 时，解得－1≤x≤a； 2 当a＝－1，即 a＝－2 时，解得 x＝－1 满足题意； 2 2 当a<－1，即 0>a>－2，解得a≤x≤－1.
q21－q3－1－q5 －q－1 ＝＝ q4 <0， 4 q 1－q S3 S5 所以a <a . 3 5 S3 S5 综上可知a <a . 3 5
基础知识过关经典题型冲关课后作业
解析
3．已知二次函数 y＝f(x)的图象过原点，且 1≤f(－1)≤2,3≤f(1)≤4，求 f(－2)的取值范围．
. 02 a＞c □
.
(3)可加性：a＞b⇒a＋c＞b＋c. 03 ac＞bc ；a＞b，c＜0⇒ (4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ □ (5)加法法则：a＞b，c＞d⇒
05 a＋c＞b＋d □
04 ac＜bc □
.
.
基础知识过关
经典题型冲关
课后作业
06 ac＞bd . (6)乘法法则：a＞b＞0，c＞d ＞0⇒ □ n n 07 □ a ＞ b (7)乘方法则：a＞b＞0⇒ (n ∈N，n≥1)．
答案 D
)
基础知识过关
经典题型冲关
课后作业
答案
解析
c＜d＜0⇒cd＞0 ⇒ 解法一： c＜d＜0
－1 －1 c d 1 1 －a －b a b ＜＜ 0 ⇒ ＜＜ 0 ⇒ ＞＞ 0 cd cd d c d c ⇒ ＞ c ⇒d＜c.故选 D. d a＞b＞0

2020版导与练一轮复习理科数学习题：第六篇不等式(必修5) 第1节不等关系与不等式

第1节　不等关系与不等式【选题明细表】知识点、方法题号不等式的性质1,2,3,5比较大小4,7,14范围问题6,8,13综合应用9,10,11,12基础巩固(时间:30分钟)1.(2018·十堰模拟)若x+y>0,a<0,ax>0,则y-x一定(　A　)(A)大于0(B)等于0(C)小于0(D)不确定解析:由a<0,ax>0,得x<0,又x+y>0,所以y>0,故y-x>0.2.(2018·衡水中学模拟)已知<<0,则下列选项中错误的是(　D　)(A)|b|>|a|(B)ac>bc(C)>0 (D)ln >0解析:<<0,当c<0时,>>0,即b>a>0,所以|b|>|a|,ac>bc,>0成立,此时0<<1,所以ln <0.当c>0时,<<0,即b<a<0,所以|b|>|a|,ac>bc,>0成立,此时0<<1,所以ln <0.故选D.3.(2018·许昌模拟)若a,b都是实数,则“->0”是“a2-b2>0”的(　A　)(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件解析:由->0得a>b≥0,由a2-b2>0得a2>b2,即a>b≥0或a<b≤0,所以“->0”是“a2-b2>0”的充分不必要条件.4.(2018·商丘模拟)已知a=log23+log2,b=log29-log2,c=log32,则a,b,c的大小关系是(　B　)(A)a=b<c(B)a=b>c(C)a<b<c(D)a>b>c解析:a=log23+log2=log23.b=log29-log2=log2=log23.所以a=b=log23>log22=1.因为c=log32<log33=1,所以a=b>c,故选B.5.(2018·安徽五校联考)已知下列四个条件:①b>0>a;②0>a>b;③a>0>b;④a>b>0.能推出<成立的有(　C　)(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个解析:因为b>0>a,所以①正确;由倒数法则知②④正确,故选C.6.(2018·阜阳模拟)若1<a<3,-4<b<2,则a-|b|的取值范围是(　C　)(A)(-1,3)(B)(-3,6)(C)(-3,3)(D)(1,4)解析:因为-4<b<2,所以0≤|b|<4,所以-4<-|b|≤0,又因为1<a<3,所以-3<a-|b|<3.7.x2+y2+1与2(x+y-1)的大小关系是　.解析:因为(x2+y2+1)-2(x+y-1)=(x-1)2+(y-1)2+1>0,所以x2+y2+1>2(x+y-1).答案:x2+y2+1>2(x+y-1)8.若-1<a+b<3,2<a-b<4,则2a+3b的取值范围是 .解析:设2a+3b=x(a+b)+y(a-b),所以得因为-1<a+b<3,2<a-b<4,所以-<(a+b)<,-2<-(a-b)<-1.所以-<2a+3b<.答案:-,能力提升(时间:15分钟)9.(2018·咸阳模拟)已知0<a<b,且a+b=1,则下列不等式中正确的是(　C　)(A)log2a>0 (B)2a-b<(C)log2a+log2b<-2(D)<解析:由题意,得0<a<1,0<b<1,因此log2a<0,A错;-1<-b<0,又a<b,所以-1<a-b<0,所以<2a-b<1,B错;因为0<a<b,所以+>2=2.所以>22=4,D错;由a+b=1>2,得ab<,所以log2a+log2b=log2(ab)<log2=-2,C正确.故选C.10.(2018·江门模拟)已知三个不等式:ab>0,bc-ad>0,->0(其中a,b,c,d均为实数),用其中两个不等式作为条件,余下的一个不等式作为结论组成一个命题,可组成的正确命题的个数为(　D　)(A)0(B)1(C)2(D)3解析:①由ab>0,bc-ad>0,即bc>ad,得>,即->0;②由ab>0,->0,即>,得bc>ad,即bc-ad>0;③由bc-ad>0,->0,即>0,得ab>0.故可组成3个正确的命题.11.(2018·芜湖模拟)甲、乙两位采购员同去一家粮食销售公司买了两次粮食(同一品种),两次粮食的价格不同,两位采购员的购粮方式也不同.其中,甲每次购买1 000 kg,乙每次购粮用去1 000元钱,则购粮方式更合算的是 (选填“甲”或“乙”).解析:设两次价格分别为a元,b元,则甲的平均价格为m=元,乙的平均价格为n==,所以m-n=-=>0,所以m>n,所以乙更合算.答案:乙12.(2018·襄阳模拟)若x>y,a>b,则在①a-x>b-y,②a+x>b+y,③ax>by,④x-b>y-a,⑤>这五个式子中,恒成立的不等式的序号是 .解析:令x=-2,y=-3,a=3,b=2,符合题设条件x>y,a>b,因为a-x=3-(-2)=5,b-y=2-(-3)=5,所以a-x=b-y,因此①不成立.因为ax=-6,by=-6,所以ax=by,因此③也不成立.因为==-1,==-1,所以=,因此⑤不成立.由不等式的性质可推出②④成立.答案:②④13.(2018·遵义模拟)若-1≤lg≤2,1≤lg(xy)≤4,则lg的取值范围是 .解析:由1≤lg(xy)≤4,-1≤lg≤2得1≤lg x+lg y≤4,-1≤lg x-lg y≤2,而lg =2lg x-lg y=(lg x+lg y)+(lg x-lg y),所以-1≤lg≤5.答案:[-1,5]14.在a>0,b>0的情况下,下面四个结论:①≤;②≤;③≤;④+≥a+b.其中正确的是 .解析:①中-==-≤0,所以≤;②正确;③中()2-=≤0,所以≤;④中(+)-(a+b)===≥0,所以+≥a+b.答案:①②③④。

2020高三数学一轮复习不等式(5)单元练习题新人教版

2020高三数学一轮复习单元练习题：不等式（Ⅴ）第Ⅰ卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）。

1．若实数a 、b 满足a +b =2，则3a+3b的最小值是（）A ．18B ．6C ．23D ．2432．不等式组⎩⎨⎧<-<-030122x x x 的解集是（）A ．{x |－1<x <1}B ．{x |0<x <3}C ．{x |0<x <1}D ．{x |－1<x <3} 3．若0＜a ＜1，则下列不等式中正确的是（）A ．（1－a ）31＞（1－a ）21 B ．log 1－a （1＋a ）＞0 C ．（1－a ）3＞（1＋a ）2D ．（1－a ）)1(a +＞14．若a ＞b ＞1，P ＝b a lg lg ⋅，Q ＝21（lg a ＋lg b ），R ＝lg （2b a +），则（）A ．R ＜P ＜QB ．P ＜Q ＜RC ．Q ＜P ＜RD ．P ＜R ＜Q5．当20π<<x 时，函数x xx x f 2sin sin 82cos 1)(2++=的最小值为（）A ．2B ．32C ．4D ．346．设10<<a ，函数)22(log )(2--=xx a a a x f ，则使0)(<x f 的x 的取值范围是（）A ．)0,(-∞B ．),0(+∞C ．)3log ,(a -∞D ．),3(log +∞a7．在坐标平面上，不等式组⎩⎨⎧+-≤-≥131x y x y 所表示的平面区域的面积为（）A ．2B ．23 C ．223 D ．28．目标函数y x z +=2，变量y x ,满足43035251x y x y x -+<⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则有（）A ．3,12min max ==z zB ．,12max =z z 无最小值C ．z z ,3min =无最大值D ．z 既无最大值，也无最小值9．对于满足0≤p ≤4的所有实数p ，使不等式342-+>+p x px x 都成立的x 的取值范围（）A ．13-<>x x 或B ．13-≤≥x x 或C ．31<<-xD ．31≤≤-x 10．若a 和||1||1b a >均不能成立B ．bb a 11>-和||1||1b a >均不能成立 C ．不等式a b a 11>-和（a +b 1）2>（b +a1）2均不能成立D ．不等式||1||1b a >和（a +a1）2>（b +b 1）2均不能成立11．设b a b a b a +=+∈则,62,,22R 的最小值是（）A ．22-B ．335-C ．－3D ．27- 12．已知22sin sin =+y x ，因式cos x +cos y 的最大值为（） A ．2 B ．0 C ．1414 D ．214 第Ⅱ卷二、填空题：请把答案填在题中横线上（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）。

2020版导与练一轮复习理科数学课件：第六篇不等式(必修5) 第2节一元二次不等式及其解法 .pdf

第2节　一元二次不等式及其解法1.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型.2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、　一元二次方程的联系.3.会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式,会设计求解的程序框图.[考纲展示]考点专项突破知识链条完善把散落的知识连起来知识梳理1.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系相异-2ba2b a{x|x 1<x<x 2}2.一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)的求解过程用程序框图表示为3.分式不等式与一元二次不等式的关系(x-a)(x-b)>0对点自测B1.不等式x(2-x)>0的解集是( )(A)(-∞,0) (B)(0,2)(C)(-∞,0)∪(2,+∞)(D)(2,+∞)解析:由x(2-x)>0,得x(x-2)<0,即0<x<2,所以不等式x(2-x)>0的解集为{x|0<x<2}.DD4.(2018·湛江模拟)不等式4x2-mx+1≥0对一切x∈R恒成立,则实数m的取值范围是 .解析:因为不等式4x2-mx+1≥0对一切x∈R恒成立,所以Δ=m2-16≤0,解得-4≤m≤4.答案:[-4,4]5.下列命题:①若不等式ax2+bx+c<0的解集为(x1,x2),则必有a>0;②若不等式ax2+bx+c>0的解集为(-∞,x1)∪(x2,+∞),则方程ax2+bx+c=0的两根是x1和x2;③若方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根,则不等式ax2+bx+c>0的解集为R;④不等式ax2+bx+c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ=b2-4ac≤0.其中正确的命题有 .(填所有正确命题的序号)解析:①,②正确;对于③,若a<0,则不等式ax2+bx+c>0的解集为⌀,故③错误;对于④,若a=b=0,c≤0,则ax2+bx+c≤0在R上也恒成立,故④错误.答案:①②考点专项突破在讲练中理解知识考点一　一元二次不等式的解法(多维探究)考查角度1:不含参的一元二次不等式的解法【例1】解下列不等式:(1)-x2+8x-3>0;(2)-4x2+12x-9<0;(3)x2+2x+8<0.反思归纳解一元二次不等式的一般步骤(1)把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式;(2)计算对应方程的判别式;(3)求出对应的一元二次方程的根,或根据判别式说明方程有没有实根;(4)写出不等式的解集.【跟踪训练1】解下列不等式: (1)2x2+4x+3<0;(2)-3x2-2x+8≤0;(3)8x-1≥16x2.考查角度2:含参数的一元二次不等式的解法【例2】解关于x的不等式ax2-(a+1)x+1<0.解:原不等式可化为(x-1)(ax-1)<0,①当a=0时,可解得x>1.反思归纳解含参数的一元二次不等式的步骤(1)二次项系数若含有参数应讨论二次项系数是小于零,还是大于零,若小于零将不等式转化为二次项系数为正的形式.(2)判断方程的根的个数,讨论判别式Δ的符号.(3)确定无根时可直接写出解集,确定方程有两个根时,要讨论两根的大小关系,从而确定解集形式.【跟踪训练2】解关于x的不等式:x2-(a2+a)x+a3>0.解:原不等式化为(x-a)(x-a2)>0,①当a2-a>0,即a>1或a<0时,原不等式的解集为{x|x>a2或x<a}.②当a2-a<0,即0<a<1时,原不等式的解集为{x|x<a2或x>a};③当a2-a=0,即a=0或a=1时,原不等式的解集为{x|x≠a}.综上①②③得a>1或a<0时不等式解集为{x|x>a2或x<a};当0<a<1时,不等式解集为{x|x<a2或x>a};当a=0或a=1时,不等式解集为{x|x≠a}.考点二　一元二次不等式恒成立问题(典例迁移)【例3】已知函数f(x)=mx2-mx-1.(1)若对于x∈R,f(x)<0恒成立,求实数m的取值范围;(2)若对于x∈[1,3],f(x)<5-m恒成立,求实数m的取值范围.迁移探究1:本例中(1)变为若f(x)<0对于m∈[1,2]恒成立,求实数x的取值范围.迁移探究2:本例中(2)条件“f(x)<5-m恒成立”改为“f(x)<5-m无解”,求m 的取值范围?迁移探究3:本例中(2)条件“f(x)<5-m恒成立”改为“存在x,使f(x)<5-m成立”,求m的取值范围.反思归纳(1)解决恒成立问题一定要分清哪个为变量哪个为参数.一般地,知道范围的为变量,所求量为参数.(2)解决含参数的一元二次不等式恒成立问题,通常有两种方法:一是函数性质法,借助相应的函数图象,构造含参数的不等式(组);二是分离参数法,把不等式等价转化,使之转化为求函数的最值问题.(3)一元二次不等式恒成立的条件:考点三　一元二次不等式的实际应用(1)该单位每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低?(2)在政府补贴的前提下,该垃圾处理厂为了不亏损,每月最多可处理多少吨该类垃圾?反思归纳求解不等式应用题的方法(1)阅读理解,认真审题,把握问题中的关键量,找准不等关系.(2)引进数学符号,将文字信息转化为符号语言,用不等式表示不等关系,建立相应的数学模型.(3)解不等式,得出数学结论,要注意数学模型中自变量的实际意义.(4)回归实际问题,将数学结论还原为实际问题的结果.【跟踪训练3】某工厂产品生产件数x与生产总成本y(万元)之间有函数关系为y=0.1x2-6x+300,若每件产品成本平均不超过7万元,且每件产品用料6吨.现有库存原料30吨,旺季可进料900吨,旺季最高产量是( )(A)150件(B)155件(C)200件(D)100件解析:若每件产品成本均不超过7万元,则y=0.1x2-6x+300≤7x,即x2-130x+3 000≤0,所以30≤x≤100,又因为每件产品用料6吨,现有库存原料30吨,旺季可进料900吨,即产品产量最多生产155件,所以x≤100.故选D.备选例题【例2】(2018·营口模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数.当x>0时,f(x)=x2-4x,则不等式f(x)>x的解集用区间表示为 .答案:(-5,0)∪(5,+∞)(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大,问:甲厂应该选取何种生产速度?并求最大利润.点击进入应用能力提升。

2020版导与练一轮复习文科数学习题：第六篇不等式(必修5) 第2节一元二次不等式及其解法

第2节一元二次不等式及其解法【选题明细表】基础巩固(时间:30分钟)1.(2018·安庆模拟)函数f(x)=的定义域是( D )(A)(-∞,1)∪(3,+∞)(B)(1,3)(C)(-∞,2)∪(2,+∞)(D)(1,2)∪(2,3)解析:由题意知即故函数f(x)的定义域为(1,2)∪(2,3).2.(2018·宣城模拟)不等式≥0的解集为( B )(A)[-2,1](B)(-2,1](C)(-∞,-2)∪(1,+∞)(D)(-∞,-2]∪(1,+∞)解析:由≥0,得解得-2<x≤1,所以不等式≥0的解集为{x|-2<x≤1}.3.(2018·呼伦贝尔模拟)在R上定义运算☉:a☉b=ab+2a+b,则满足x ☉(x-2)<0的实数x的取值范围是( B )(A)(0,2) (B)(-2,1)(C)(-∞,-2)∪(1,+∞) (D)(-1,2)解析:由题意,得x☉(x-2)=x(x-2)+2x+x-2<0,即x2+x-2<0,得-2<x<1.4.(2018·漳州模拟)若不等式kx2-kx+1>0对任意x∈R都成立,则k的取值范围是( B )(A)(0,4) (B)[0,4)(C)(0,+∞) (D)[0,+∞)解析:因为kx2-kx+1>0对任意x∈R都成立,所以当k=0时,1>0显然成立,当k≠0时,应有解得0<k<4.综上知,0≤k<4.5.(2018·汕头模拟)已知不等式ax2+bx+2>0的解集为{x|-1<x<2},则不等式2x2+bx+a<0的解集为( A )(A){x|-1<x<}(B){x|x<-1或x>}(C){x|-2<x<1}(D){x|x<-2或x>1}解析:由题意知x=-1,x=2是方程ax2+bx+2=0的两个根,且a<0.由根与系数关系得⇒所以不等式2x2+bx+a<0,即2x2+x-1<0,解得-1<x<.故选A.6.(2018·湘潭模拟)某产品的总成本y(万元)和产量x(台)之间的函数关系是y=3 000+20x-0.1x2(0<x<240),若每台产品的售价为25万元,则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是( C )(A)100台(B)120台(C)150台(D)180台解析:依题意,得25x≥3 000+20x-0.1x2,整理,得x2+50x-30 000≥0,解得x≥150或x≤-200,因为0<x<240,所以150≤x<240,即最低产量是150台.7.(2018·衢州模拟)若不等式x2-(a+1)x+a≤0的解集是[-4,3]的子集,则a的取值范围是.解析:原不等式即(x-a)(x-1)≤0,当a<1时,不等式的解集为[a,1],此时只要a≥-4即可,即-4≤a<1;当a=1时,不等式的解为x=1,此时符合要求;当a>1时,不等式的解集为[1,a],此时只要a≤3即可,即1<a≤3.综上可得-4≤a≤3.答案:[-4,3]8.(2018·厦门模拟)在R上定义运算:=ad-bc.若不等式≥1对任意实数x恒成立,则实数a的最大值为.解析:原不等式等价于x(x-1)-(a-2)(a+1)≥1,即x2-x-1≥(a+1)(a-2)对任意x恒成立,x2-x-1=(x-)2-≥-,所以-≥a2-a-2,解得-≤a≤.所以实数a的最大值为.答案:能力提升(时间:15分钟)9.(2018·濮阳模拟)若关于x的不等式ax-b>0的解集为(1,+∞),则关于x的不等式>0的解集为( B )(A)(-1,2)(B)(-∞,-1)∪(2,+∞)(C)(1,2)(D)(-∞,-2)∪(1,+∞)解析:因为关于x的不等式ax-b>0的解集为(1,+∞),所以a>0,且=1,即a=b.所以不等式可等价于>0,解得x>2或x<-1,所以解集为(-∞,-1)∪(2,+∞).10.(2018·茂名模拟)已知函数f(x)=-x2+ax+b2-b+1(a∈R,b∈R),对任意实数x都有f(1-x)=f(1+x)成立,若当x∈[-1,1]时,f(x)>0恒成立,则b的取值范围是( C )(A)(1,0) (B)(2,+∞)(C)(-∞,-1)∪(2,+∞) (D)不能确定解析:由f(1-x)=f(1+x)成立,知f(x)图象的对称轴为x==1,故a=2.又f(x)图象开口向下,所以当x∈[-1,1]时,f(x)为增函数,f(x)min=f(-1)=-1-2+b2-b+1=b2-b-2.f(x)>0恒成立,即f(x)min=b2-b-2>0恒成立,解得b<-1或b>2.11.(2018·乐山模拟)设函数f(x)=则不等式f(x)>f(1)的解集是( A )(A)(-3,1)∪(3,+∞) (B)(-3,1)∪(2,+∞)(C)(-1,1)∪(3,+∞) (D)(-∞,-3)∪(1,3)解析:因为f(1)=1-4+6=3,所以f(x)>f(1)等价于或解得0≤x<1或x>3或-3<x<0.所以不等式的解集为{x|-3<x<1或x>3}.12.不等式≥m对任意实数x都成立,则实数m的取值范围是( A )(A)(-∞,2] (B)(-∞,2)(C)(-∞,3] (D)(-∞,3)解析:因为x2+x+1=(x+)2+>0恒成立,所以不等式≥m等价于3x2+2x+2≥m(x2+x+1),即(3-m)x2+(2-m)x+2-m≥0对任意实数x都成立,①当3-m=0,即m=3时,不等式为-x-1≥0,对任意实数x不恒成立;②当3-m≠0,即m≠3时,有解得m≤2,综上可得,实数m的取值范围是(-∞,2].故选A.13.(2018·株洲模拟)若关于x的不等式4x-2x+1-a≥0在[1,2]上恒成立,则实数a的取值范围为.解析:因为4x-2x+1-a≥0在[1,2]上恒成立,所以4x-2x+1≥a在[1,2]上恒成立.令y=4x-2x+1=(2x)2-2×2x+1-1=(2x-1)2-1.因为1≤x≤2,所以2≤2x≤4.由二次函数的性质可知:当2x=2,即x=1时,y有最小值0,所以a的取值范围为(-∞,0].答案:(-∞,0]14.(2018·徐州模拟)若关于x的不等式x2+mx-4≥0在区间[1,4]上有解,则实数m的最小值是.解析:由题知,原题等价于m≥-x在区间[1,4]上有解,令f(x)=-x(x∈[1,4]),则m≥f(x)min.因为f(x)=-x在区间[1,4]上单调递减,所以f(x)min=f(4)=-4=-3,所以m≥-3,故实数m的最小值是-3.答案:-315.(2018·盘锦模拟)已知函数f(x)=若f(-a)+f(a)≤2f(1),则实数a的取值范围是.解析:f(1)=12+2×1=3,当a>0时,-a<0,原不等式可化为(-a)2-2(-a)+a2+2a≤2×3,即2a2+4a-6≤0,解得-3≤a≤1,又a>0,所以0<a≤1;当a=0时,-a=0,f(-a)=f(a)=f(0)=0,此时不等式0≤2×3恒成立;当a<0时,-a>0,原不等式可化为(-a)2+2(-a)+a2-2a≤2×3,即2a2-4a-6≤0,解得-1≤a≤3,又a<0,所以-1≤a<0. 综上,实数a的取值范围为[-1,1].答案:[-1,1]。

2020版高三文科数学第一轮复习_人教版 _第六篇不等式_必修5_第六篇第1节

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第1节不等关系与不等式
整合基础稳固根基
突破考点提升技能
致误辨析纠正易错
课时作业
【即时训练】已知甲、乙两种食物的维生素 A，B 含量如表：甲乙
维生素 A(单位/kg) 600 700 维生素 B(单位/kg) 800 400 设用甲、乙两种食物各 x kg，y kg 配成至多 100 kg 的混合食物，并使混合食物内至少含有 56 000 单位维生素 A 和 62 000 单位维生素 B，则 x，y 应满足的所有不等关系为________．
课时作业
解析：根据题意，令 a＝2，b＝12进行验证，易知 a＋1b＝4，2ba＝ 18，log2(a＋b)＝log252＞1，因此 a＋1b＞log2(a＋b)＞2ba.故选 B.
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第1节不等关系与不等式
整合基础稳固根基
突破考点提升技能
致误辨析纠正易错
课时作业
【反思归纳】判断多个不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．常用的推理判断需要利用不等式的性质，常见的反例构成方式可从以下几个方面思考：①不等式两边都乘以一个代数式时，所乘的代数式是正数、负数或 0；②不等式左边是正数，右边是负数，当两边同时平方后不等号方向不一定保持不变；③不等式左边是正数，右边是负数，当两边同时取倒数后不等号方向不变．
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第1节不等关系与不等式
整合基础稳固根基
突破考点提升技能
致误辨析纠正易错
课时作业
【反思归纳】比较大小常用的方法 (1)作差法一般步骤是①作差；②变形；③判号；④定论．其中变形是关键，常采用因式分解、配方等方法把差变成积或者完全平方的形式．当两个式子都含有开方运算时，可以先乘方再作差．

2020年人教版高考数学(理)一轮复习第六单元不等式、推理与证明测评答案

题组一刷真题角度1 .. 2 1. B ［解析］因为 A={x|x -X-2>0}={x|x> 2 或 x<-1}，所以?R A={X \- 1 < x < 2}.22. D ［解析］由 4-x > 0得-2W x <2,所以 A={x|- 2<x <2};由 1 -x>0 得 x<1 所以 B={x|x< 1}.故 A n B={x|- 2<x<1}，故选 D.角度23. C ［解析］可行域如图所示，2 2得由图可知，当圆x+y =z 过点(3,-1)时,z 取得最大值，即2 2 2 — (x +y ) max =3 + - =10.4.3 ［解析］-的几何意义为点(x,y)与坐标原点连线的斜率.画岀可行域，如图中阴影部分所示由得 C(1,3),由题易知可行域上的C 点与坐标原点连线的斜率最大，且最大值为3.5.6 ［解析］约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，当目标函数线z=3x+2y 经过可行域中的点A(2,0)时，目标函数z 取得最大值，所以Z ma =3X 2+2X 0=6.小题必刷卷(九)2 2 设z=x +y ，联立目标函数为z=2100x+900y.作岀二元一次不等式组表示的平面区域为图中阴影部分内(包括边界)的整点，即可行域.由图可知当直线z=2100x+900y经过点M时,z取得最大值.解方程组得M的坐标为(60,100),所以当x=60,y=100 时,z ma=2100X 60+900 X 100=216 000 .角度37. B ［解析］利用特殊值法检验排除，当a=2,b二时，选项ACD对应的不等式不成立，故选B.8. - ［解析］由已知得a-3b=-6，由基本不等式得2a—> 2 -―二,当且仅当a=-3,b=1时取等号9. 一［解析］由题意得x?y+(2y)?x=— _—= -------------- =-+—>2 -—= 一,当且仅当x= _y时，等号成立.角度410. -n(n+1)［解析］第一个等式中，1=一,2—第二个等式中，2=—,3 —;第三个等式中，3「,4—.由此可推得第n个等式等于- X ——-X -------------- dn(n+1).角度511. D ［解析］由于甲不知道自己的成绩，故乙、丙的成绩中一个为优秀、一个为良好，所以丁看到甲的成绩后一定能断定自己的成绩乙看到丙的成绩后可以知道自己的成绩.故选D题组二刷模拟212. D ［解析］因为 A=x| log 2X<2}={x| 0<x<4},B={x|x - 2x-3>0}={x|x> 3 或 x<-1}，所以?R A={X |X < 0 或 x > 4},所以(?R A)Q B={x|x<- 1 或 x > 4},故选 D13. D ［解析］已知一JV O,当 c<0 时，-〉->0,即 b>a>0,.・.> ,ac>bc,>0 成立，此时 0匕<1,二 ln_<0,同理当c>0时也可得只有D 错误，故选D. 14. A ［解析］由⑶,(4河知，乙参加了铅球比赛，由⑵可知乙不是最高的，所以三人中乙身高居中；再由⑴ 可知，甲是最矮的渗加了跳远比赛，所以丙最高，参加了跑步比赛.故选A15. C ［解析］画岀不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示 .由z=3x+y 可得y=- 3x+z,平移直线 y=-3x+z,结合图形可得,当直线y=-3x+z 经过可行域内的点A 时,直线在y 轴上的截距最小，此时z 取得解得故点A 的坐标为-- -,「.z min =3X -- +-=-3,故选C16. C ［解析］作岀约束条件所表示的可行域，如图所示，直线y=a(x+1)经过点(-1,0),而经过(-1,0),(0,2)两点的直线的斜率为2,所以要使得“? x,y D,y <a(x+1)”成立，则a >2,所以实数a 的最小值是2,故选C.17. B ［解析］由 x>0,y>0,z>0得,x+y+z=x+(y+z)=［x+(y+z)］ — - =5+一+一 > 5+2 一一=9,当且仅当x=3,y+z=6时等号成立，故选B.J5y ■ \/ 、 4y7——i ---------- i -------- L .事 —Z-4! 3 4 5 最小值.由18. B ［解析］由约束条件画岀可行域如图所示，又z= = —x+y,所以当直线为DC时,z取最大值,Z max=io.即_x+y=10(1< y <4),所以3x +y =(10-y ) +y =2y - 2 0y+100(1 <y<4),当y=1 时,取最大值82, 当y=4时，取最小值52所以82-52=30，故选B.2 2 2 2 2 2 2 219. 322 ［解析］由T3,T4,T5归纳得岀T n=_［(i+2+・・+ n) - (1 +2+-+n )］,则T= X ［28-(1 +2 +-+7 )］.2 2 2又〔+2+・・・+7 二X 7X 8X 15=140, •••T7二X (784- 140)=322.20. 4 ［解析］因为等比数列的各项都为正数所以a2017a2019= =-,—— +——> 2 =4,当且仅当2a2017=a2019=1时，等号成立.21. 1+——［解析］设n条线段将圆最多分割成的部分数组成数列{a n},则n=1,a1=1 + 1, n=2,a2=a1+2,n= 3,a3=a2+3, n=4耳=&+4,…，归纳可得,a n=a n-1+n,以上式子相加整理得a n=1+1+2+3+-+n=1+ ------ ，故答案为1+ ----- .22. 32 n ［解析］由条件可得r=2，用任意一个与y轴垂直的平面截这两个旋转体，设截面与原点的距离2 2为h,则所得截面S=n (16-4h),S2=n (16-h )- n ［4-(h-2)］ = n (16-4h),所以S=S2,由祖暅原理可得VZ.又匕=一n X 4 X ----- n X 2 =32 n，所以V1=32 n .。

2020届高三理科数学第一轮复习资料_人教版 _第六篇不等式_必修5_ 第六篇第3节

③线性目标函数取得最值的点一定在区域的顶点或者边界上．
④第二、四象限表示的平面区域可以用不等式 xy＜0 表示．
其中正确的命题个数是( )
(A)1
(B)2
(C)3
(D)4
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第3节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
整合基础稳固根基
突破考点提升技能
课时作业
C 解析：当 A>0，B＜0 时，Ax＋By＋C＞0 表示的平面区域是直线 Ax＋By＋C＝0 的下方区域，故①不正确，②、③、④均正确．
整合基础稳固根基
突破考点提升技能
课时作业
解析：作出满足约束条件的可行域如图阴影部分所示．
由 z＝3x＋2y 得 y＝－32x＋2z. 作直线 l0：y＝－32x.平移直线 l0，当直线 y＝－32x＋2z 过点(2,0)时，z 取最大值，zmax ＝3×2＋2×0＝6.
答案：6
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第3节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
整合基础稳固根基
突破考点提升技能
课时作业
5．某实验室需购买某种化工原料 106 千克，现有市场上该原料的两种包装，一种是每袋 35 千克，价格为 140 元；另一种是每袋 24 千克，价格为 120 元，在满足需要的条件下，最少需花费______元．
解析：把实际问题转化为数学问题，设需要 35 千克的 x 袋，24 千克的 y 袋，最少需花费 z 元，
(B)[12,25] (D)6，225
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第3节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
整合基础稳固根基
突破考点提升技能
课时作业
x－y≥0 (2)若满足条件x＋y－2≤0
y≥a

2020版高考人教A版理科数学一轮复习文档：第六章第一节不等关系与不等式 Word版含答案

第六章不等式、推理与证明第一节　不等关系与不等式2019考纲考题考情1．实数的大小顺序与运算性质的关系(1)a＞b⇔a－b＞0；(2)a＝b⇔a－b＝0；(3)a＜b⇔a－b＜0。

2．不等式的性质(1)对称性：a＞b⇔b＜a。

(双向性)(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c。

(单向性)(3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c。

(双向性)(4)a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d。

(单向性)(5)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc。

(6)a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd。

(单向性)(7)乘方法则：a ＞b ＞0⇒a n ＞b n (n ∈N ，n ≥1)。

(单向性)(8)开方法则：a ＞b ＞0⇒＞(n ∈N ，n ≥2)。

(单向性)n a n b (9)倒数性质：设ab ＞0，则a ＜b ⇔＞。

(双向性)1a 1b 注意以下结论：1．a >b ，ab >0⇒<。

1a 1b2．a <0<b ⇒<。

1a 1b3．a >b >0,0<c <d ⇒>。

a c b d4．0<a <x <b 或a <x <b <0⇒<<。

1b 1x 1a5．若a >b >0，m >0，则<；>(b －m >0)；>；b a b ＋m a ＋m b a b －m a －m a b a ＋m b ＋m<(b －m >0)。

a b a －m b －m一、走进教材1．(必修5P 74练习T 3改编)若a ，b 都是实数，则“－>0”a b是“a 2－b 2>0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析　－>0⇒>⇒a >b ≥0⇒a 2>b 2，但由a 2－b 2>0⇒a b a b / －>0。

2020版高考数学一轮复习(课后作业·理) 第6章不等式第1讲

第6章不等式第1讲A 组基础关1．不等式x －12x ＋1≤0的解集为( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1 C.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪[1，＋∞) D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪[1，＋∞) 答案 A解析不等式x －12x ＋1≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x －x ＋，2x ＋1≠0，解得－12<x ≤1，∴不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1.2．(2018·合肥模拟)已知非零实数a ，b 满足a |a |>b |b |，则下列不等式一定成立的是( )答案 A 解析3．若角α，β满足－π2<α<β<π，则α－β的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，3π2B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，0C.⎝⎛⎭⎪⎫0，3π2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0 答案 B解析 ∵－π2<α<π，－π2<β<π，∴－π<－β<π2，∴－3π2<α－β<3π2.又∵α<β，∴α－β<0，从而－3π2<α－β<0.4．设a ，b ∈[0，＋∞)，A ＝a ＋b ，B ＝a ＋b ，则A ，B 的大小关系是( ) A ．A ≤B B ．A ≥B C ．A B答案 B解析因为a ，b ∈[0，＋∞)，所以A ＝a ＋b >0，B ＝a ＋b >0，所以A 2－B 2＝a ＋b ＋2ab －(a ＋b )＝2ab ≥0，所以A 2≥B 2，所以A ≥B .5．(2018·广东清远一中一模)关于x 的不等式ax －b ＜0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式(ax ＋b )(x －3)＞0的解集是( )A ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)B ．(1,3)C ．(－1,3)D ．(－∞，1)∪(3，＋∞) 答案 C解析关于x 的不等式ax －b ＜0的解集是(1，＋∞)，即不等式ax ＜b 的解集是(1，＋∞)，∴a ＝b ＜0，∴不等式(ax ＋b )(x －3)＞0可化为(x ＋1)(x －3)＜0，解得－1＜x ＜3，∴所求解集是(－1,3)．故选C.6．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6，x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是( )A ．(－3,1)∪(3，＋∞) B．(－3,1)∪(2，＋∞) C ．(－1,1)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(1,3) 答案 A解析由题意知f (1)＝3，故原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧x <0，x ＋6>3或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x 2－4x ＋6>3，解得－3<x <1或x >3，所以原不等式的解集为(－3,1)∪(3，＋∞)，故选A.7．已知不等式ax 2－bx －1>0的解集是{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－12<x <－13，则不等式x 2－bx －a ≥0的解集是( )A ．{x |2≤x ≤3}B ．{x |x ≤2或x ≥3}C ．{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫13≤x ≤12D ．{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≤13或x ≥12答案 B解析 ∵不等式ax 2－bx －1>0的解集是{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－12<x <－13，∴ax 2－bx －1＝0的解是x 1＝－12和x 2＝－13，且a <0，∴⎩⎪⎨⎪⎧－12－13＝ba ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝5.则不等式x 2－bx －a ≥0即为x 2－5x ＋6≥0，解得x ≤2或x ≥3.8．已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋ax，若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，则实数a 的取值范围是________．答案 (－3，＋∞)解析对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立．等价于x 2＋2x ＋a >0，即a >－(x ＋1)2＋1在[1，＋∞)上恒成立，令g (x )＝－(x ＋1)2＋1，则g (x )在[1，＋∞)上递减，所以g (x )max ＝g (1)＝－3，所以a >－3.9．若存在x ∈[－2,3]，使不等式2x －x 2≥a 成立，则实数a 的取值范围是________．答案 (－∞，1]解析设f (x )＝2x －x 2，则当x ∈[－2,3]时，f (x )＝－(x －1)2＋1∈[－8,1]，因为存在x ∈[－2,3]，使不等式2x －x 2≥a 成立，所以a ≤f (x )max ，所以a ≤1.10．设不等式mx 2－2x －m ＋1<0对于满足|m |≤2的一切m 的值都成立，则x 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎪⎫－1＋72，1＋32解析记f (m )＝mx 2－2x －m ＋1＝(x 2－1)m ＋1－2x (|m |≤2)，则f (m )<0恒成立等价于⎩⎪⎨⎪⎧f－＝－2x 2－2x ＋3<0，f ＝2x 2－2x －1<0，解得－1＋72<x <1＋32.B 组能力关1．设常数a ∈R ，集合A ＝{x |(x －1)(x －a )≥0}，B ＝{x |x ≥a －1}，若A ∪B ＝R ，则a 的取值范围为( )A ．(－∞，2)B ．(－∞，2]C ．(2，＋∞) D．[2，＋∞) 答案 B解析 ①当a ≥1时，A ＝{x |x ≤1或x ≥a }，因为B ＝{x |x ≥a －1}，A ∪B ＝R ，所以a －1≤1，即1≤a ≤2.②当a <1时，A ＝{x |x ≤a 或x ≥1}，因为B ＝{x |x ≥a －1}，故A ∪B ＝R 成立，综上知，a 的取值范围是(－∞，2]．2．关于x 的不等式x 2－ax ＋a >0(a ∈R )在R 上恒成立的充分不必要条件是( ) A ．a <0或a >4 B ．0<a <2 C ．0<a <4 D ．0<a <8答案 B解析若关于x 的不等式x 2－ax ＋a >0(a ∈R )在R 上恒成立，则Δ＝a 2－4a <0，解得0<a <4，观察四个选项可知，只有B 项符合题意，即满足．3．若不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0的解集是[－4,3]的子集，则a 的取值范围是( ) A ．[－4,1] B ．[－4,3] C ．[1,3] D ．[－1,3]答案 B解析原不等式为(x －a )(x －1)≤0，当a <1时，不等式的解集为[a,1]，此时只要a ≥－4即可，即－4≤a <1；当a ＝1时，不等式的解为x ＝1，此时符合要求；当a >1时，不等式的解集为[1，a ]，此时只要a ≤3即可，即1<a ≤3.综上可得－4≤a ≤3.4．某省每年损失耕地20万亩，每亩耕地价值24000元，为了减少耕地损失，决定按耕地价格的t %征收耕地占用税，这样每年的耕地损失可减少52t 万亩，为了既减少耕地的损失又保证此项税收一年不少于9000万元，则t 的取值范围是( )A ．[1,3]B ．[3,5]C ．[5,7]D ．[7,9] 答案 B解析由题意知征收耕地占用税后每年损失耕地为⎝⎛⎭⎪⎫20－52t 万亩，则税收收入为⎝ ⎛⎭⎪⎫20－52t ×24000×t %万元，由题意有⎝ ⎛⎭⎪⎫20－52t ×24000×t %≥9000，整理得t 2－8t ＋15≤0，解得3≤t ≤5，∴当耕地占用税税率为3%～5%时，既可减少耕地损失又可保证此项税收一年不少于9000万元．∴t 的取值范围是3≤t ≤5，故选B.5．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，－x 2，x ≥0，若f [f (a )]≤2，则实数a 的取值范围是________．答案 a ≤ 2 解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ f a ，f2a ＋f a或⎩⎪⎨⎪⎧fa ，－f 2a，解得f (a )≥－2.由⎩⎪⎨⎪⎧a <0，a 2＋a ≥－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，－a 2≥－2，解得a ≤ 2.6．不等式x 2＋8y 2≥λy (x ＋y )对于任意的x ，y ∈R 恒成立，则实数λ的取值范围为________．答案 [－8,4]解析因为x2＋8y2≥λy(x＋y)对于任意的x，y∈R恒成立，所以x2＋8y2－λy(x＋y)≥0对于任意的x，y∈R恒成立，即x2－λyx＋(8－λ)y2≥0恒成立，由二次不等式的性质可得，Δ＝λ2y2＋4(λ－8)y2＝y2(λ2＋4λ－32)≤0，所以(λ＋8)(λ－4)≤0，解得－8≤λ≤4.。

2020年数学新高考一轮复习(理)不等关系与不等式

1. 两个实数比较大小的依据(1) a—b> 0 ? a三b.(2) a—b= 0 ? a二b.(3) a—b v 0 ? a三b.2.不等式的性质(1)对称性：a> b? b v a;(2)传递性：a> b, b> c? a> c;⑶可加性：a> b? a + c>b+ c;a> b, c> d? a + c>b+ d;(4)可乘a> b, c> 0? ac>be;a>b>0, c>d>0? ac>bd;(5)可乘方：a> b>0? a n>b n(n € N, n> 1);(6)可开方：a> b>0? n a > n b(n€ N n > 2).［小题体验］1. (教材习题改编)用不等号“〉”或“v”填空：(1) a> b, c v d? a—c _______ b—d;(2) a> b> 0, c> d> 0? ac _______ bd;(3) a> b> 0? 3 a ________ 3 b.答案：(1)> (2)> (3) >2. ^2 +诉，73 +U6的大小关系为________________ .答案:.2+ 7V ,3 + 63. ______________________________________________________ 已知a v 0,—1v b v 0，贝U a, ab, ab2的大小关系是__________________________________ .(用“〉”连接)解析：由一1 v b v 0,可得b v b2v 1.又a v 0,「. ab>ab2>a.答案：ab> ab2> a••>必过易措美1. 在应用传递性时，注意等号是否传递下去，如a< b, b v c? a v c.2. 在乘法法则中，要特别注意“乘数c的符号”，例如当C M 0时，有a> b? ac2> be2;若无C M 0这个条件，a > b ? ac 2> be 2就是错误结论（当c = 0时，取"=”）.［小题纠偏］1.设 a ， b, c € R,且 a > b ,则（）11 22 33A . ae > be B.-< C . a 2> b 2D. a 3> b 3a b答案：D1 12. _________________________________ “ a > b > 0”是“》< 十”的条件.考点一比较两个数式的大小基础送分型考点 ------------ 自主练透［题组练透］1.已知p = a + 土，q =殳x 2— 2,其中a > 2, x € R,贝卩p, q 的大小关系是（）A . p > qB . p >qC . p < qD . p < q解析：选A 因为a >2,所以p = a+-^ = a — 2+丄+ 2>2 + 2 = 4,当且仅当a = 3 a — 2 a — 2 时取等号.因为x 2— 2> — 2，所以q = g ：X 2— 2W £ :— 2= 4，当且仅当x = 0时取等号.所以p > q. 2.若 a =罟,b =罟，则 a_b （填“〉”或“<”）.解析：易知a , b 都是正数，- =log 89> 1,所以b >a.a 3ln 2 答案：<3. ________________________________________________________________________ 已知等比数列｛a n ｝中，a 1> 0, q > 0,前n 项和为S n ,则鲁与学的大小关系为 _____________________解析：当q = 1时，空=3, S5= 5，所以S3<越.a 3 a 5 a 3 a 5当q >0且q M 1时,3,5S 3 S 5 a 1 1 — q a 1 1— q— = 2 — 4a s a 5a 1q 1 — q a 1q 1 — qS 3 S 5二< 二综上可知o園蜚尙倚虧◎会阖冋E2E2窟答案：充分不必要< 0,所以 S 3< S 5a 3 a 5答案：S3<S5a3 a5［谨记通法］比较两实数(式)大小的2种常用方法作差法其基本步骤：作差，变形，判断符号，得出结论.用作差法比较大小的关键是判断差的正负，常采用配方、因式分解、分子(分母)有理化等变形方法作商法判断商与1的大小关系，得出结论，要特别注意，当商与1的大小确定后，必须对商式分子、分母的正负作出判断，这是用作商法比较大小时最容易漏掉的关键步骤考点二不等式的性质重点保分型考点一一师生共研［典例引领］1 若a> b>0, c v d v0，则一定有()A.a> Pd cc.—>解析：选B 因为c v d v 0，所以一c>- d>0,所以土〉0.又a > b> 0,所以电>一°,-d - c所以d v b•故选B.d c2.设a, b€ R,则"(a—b) a2v 0” 是"a v b” 的()A .充分不必要条件B.必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件解析：选A (a—b) a2v 0，则必有a —b v 0,即卩a v b;而a v b时，不能推出(a—b) a2 v 0,女口a= 0, b= 1,所以“(a—b) a2v 0”是“ a v b”的充分不必要条件.［由题悟法］不等式性质应用问题的3大常见类型及解题策略(1) 利用不等式性质比较大小.熟记不等式性质的条件和结论是基础，灵活运用是关键,要注意不等式性质成立的前提条件.(2) 与充要条件相结合问题.用不等式的性质分别判断p? q和q? p是否正确，要注意特殊值法的应用.(3) 与命题真假判断相结合问题.解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法.［即时应用］1 11.若-v -< 0，则下列结论不正确的是 ()a b A . a 1 2 |a + b|1 i解析：选 D •/ < < 0,「. b < a < 0,a b /• b 2>a 2, ab b ,则 ac 2> be 2B .若 a ab > b 2 1 1C. 若 a b解析：选B A 选项需满足C M 0 ;取a =- 2, b =- 1知选项考点三不等式性质的应用重点保分型考点一一师生共研［典例引领］1 . (2018 嘉兴期末)已知一1 < x + y < 4,2 < x — y < 3，则解析：设 3x + 2y = m(x + y)+ n(x — y) = (m + n)x + (m — n)y , 所以 m + n = 3, m — n = 2, 5 1解得m = 5, n =云，所以 3x + 2y = 5 (x + y) + 如—y), 由一1< x + y < 4,C 、D 错误.故选B.3x + 2y 的取值范围是答案：-3,232X x2.已知1< Ig xy w 4,— 1< Igy W 2，求Igy 的取值范围. x解：由 1< Ig xy w 4, — 1 < Ig y < 2, 得 1 w Ig x + Ig y w 4,— 1 < Ig x — Ig y < 2, 2x 1 3而 I gy = 2lg x —I g y = 2(Ig x + Ig y) + 2(Ig x — Ig y), 2 所以一 1W Ig xw 5,y2即Ig :的取值范围是［—1,5］.［类题通法］利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围，解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围.［即时应用］1.若 6< a < 10, ：w b w 2a , c = a + b ,则C . [9,30]解析：选 D T |w b w 2a , 3a•I W 时 b W3a ,即警c w 3a.■/ 6< a v 10, ••• 9< c < 30.故选 D.2.若1< a< 3, — 4< 3< 2,贝U a — |耳的取值范围是解析：T — 4< 3< 2,二 0W | 耳< 4, •— 4<— W w 0. …一3< a 一 | 口<3. 答案：(—3,3)一抓基础，多练小题做到眼疾手快c 的取值范围是(A . [9,18]B . (15,30)(9,30)1.设a, b€ [0,+s ), A= ,a+ b, B = a + b,则A, B 的大小关系是()C . A V BD . A > B解析：选B 由题意得，B 2 — A 2=- 2 ab < 0,且A >0, B >0,可得A > B. 2. 若a v b v 0,则下列不等式不能成立的是 ()A 1 > 1 1 > 1A. >B. >- a — b a a b C . |a|> |b|D . a 2> b 21 1解析：选A 取a =— 2, b =— 1，则 -------- >-不成立.a —b a 3.(2018浙江十校联盟适考)设a > 0且a 工1,则“ a b > 1 ”是“ (a — 1)b > 0 ”的()A •充分不必要条件B .必要不充分条件C •充要条件D •既不充分也不必要条件解析：选C 若a b > 1，因为a >0且a 丰1,所以当0v a v 1时，b v 0,此时(a — 1)b > 0成立；当a > 1时，b > 0,此时(a — 1)b >0成立.若(a — 1)b > 0,因为a > 0且a 丰1,所以当 0v a v 1 时，b v 0，此时 a b > 1;当 a > 1 时，b > 0,此时 a b > 1.所以 “a b > 1” 是 “ (a — 1)b > 0”的充要条件.4.(2018金华模拟)设a , b € R,若a — |b|>0,则下列不等式中正确的是( )33A . b- a > 0B . a + b v 0C . a 2 — b 2 v 0D . b + a > 0解析：选D 利用赋值法，令 a = 1, b = 0,排除A 、B 、C ,选D.5 . b g 糖水中有a g 糖(b > a > 0),若再添m g 糖(m > 0)，则糖水变甜了.试根据这一事实，提炼出一个不等式D .不确定M — N = a 1 a 2— (a 1 + a 2— 1) =a 1a 2— a1 — a 2+ 1 = (a 1— 1)(a2 — 1),又.a 1 € (0,1), a ? € (0,1) ,•• a 1 — 1 v 0, a ?— 1 v 0.二保高考,全练题型做到高考达标1.已知a 1, a 2《(0,1),记 M = a 1a 2, N = a j + a 2— 1，贝U M 与N 的大小关系是(解析：选B•••(a1—1)( a2—1) > 0,即M —N > 0.二M > N.2.若汁0，给出下列不等式：①計b v器②|a|+b>0；③a-1>b-b；④ln a2 > In b2.其中正确的不等式的序号是()A .①④B .②③C .①③D .②④1 1 解析：选 C 法一：因为v 0，故可取 a =- 1, b =-2.显然 |a|+ b = 1 —2 =- 1v 0,a b所以②错误；因为In a 2= ln （ - 1）2= 0, In b 2= ln （ - 2）2= In 4>0，所以④错误，综上所述，可排除A 、B 、D ，故选C.法二： 1 1 由 1v 1 v 0,可知 b v a v 0.① 中，因为a + b v 0, ab >0,所以v 电，故①正确； a + b ab② 中，因为 b v a v 0,所以一b >-a >0,故一b > |a|，即|a|+ b v 0，故②错误； ③ 中，因为b v a v 0,又1 v £v 0,则一1 >- 1 >0，所以a -->b -£故③正确；a b a b a b④ 中，因为b v a v 0,根据y = x 2在（一g, 0）上为减函数，可得 b 2> a 2> 0,而y = In x 在定义域（0, + g ）上为增函数，所以In b 2> In a 2,故④错误•由以上分析，知①③正确.1 13. （2018宁波模拟）设a , b 是实数，则“ a >b > 1”是“ a + ->b +工的（）A •充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分又不必要条件解析：选 A 因为 a +1 - [b + b J a - ¥：&-1 ,若 a > b > 1,显然 a + *- （b + g j= —一一— >0,则充分性成立，当 a =1, b = 2时，显然不等式 a +- > b + £成立，但 a > ab23a b b > 1不成立，所以必要性不成立.4.若m v 0, n > 0且m + n v 0，则下列不等式中成立的是（）A . — n v m v n v - mB .- n v m v - m v nC . m v - n v - m v nD . m v - n v n v - m解析：选D 法一：（取特殊值法）令m =- 3, n = 2分别代入各选项检验即可. 法二：m + n v 0? m v - n ? n v - m,又由于 m v 0v n ，故 m v - n v n v- m 成立.b 2 a 25.设a v 0, b v 0，则p=T + -与q = a + b 的大小关系是（）A . p > q D . p w q(a - b (a 2— b 2、(a - b ffa + b }1■■ 1 X 1S 1abab因为 a v 0, b v 0,B . p >qC . p v q(a + b)=b 3+ a 3- a 2b — ab 2aba a 2-b 2 — ba 2— b 2ab解析：选D2 a_ b2所以a— b a+ b W 0,即p w q ,故选D.aba v 2b ——.a 答案：v7.已知函数 f(x)= ax + b,0v f(1)v 2, — 1v f(— 1)v 1,则 2a — b 的取值范围是 ___________ .13解析：由函数的解析式可知0v a + b v 2,— 1 v — a + b v 1,又2a — b =-(a + b) —2( — aa b 1 18.已知a + b > 0，则72+ r 与- +1的大小关系是b a a b- j1 1、(a + b'(a — b\=(a— b) •b 2 —a 2 =—aV^.•/ a + b >0, (a — b)2> 0」a+ b2：2- b'》°.a ba b 11 b 2+尹 a +— 答案：亩+1+b9.已知存在实数 a 满足ab 2> a > ab,则实数b 的取值范围是解析： ■/ ab 2> a > ab ,「. a 丰 0, 当 a > 0 时，b 2> 1 > b ,b 2> 1,即* 解得b v — 1 ；b v 1, 当 a v 0 时，b 2v 1 v b ,b 2v 1, 即此式无解.b > 1,综上可得实数b 的取值范围为(―g,— 1). 答案：( — g, — 1)10.实数x , y 满足3W xy 2w 8, f w 总三：，求j 的取值范围. 解: •••1 w 月w ;,^ 4<9,二-[16,81].9x4y'屮6.已知a , b 为实数，且a 丰b, a < 0,贝U a2b — a 填 “〉” “v” 或“=” ).解析：T b , a v 0,「. a —2 2—b - =v 0,a a+ b),结合不等式的性质可得2a — b €3 5) 2’2 .答案:—3, 5解析：討a 2- a + b =爭+宁i ri 3, 3 J3*2、1 3y =于2矿 [2,27],故寺的取值范围为[2,27 ].三上台阶，自主选做志在冲刺名校值范围为（）A . (1, +8 ) C . (1,3)a c ,a + c >b ,若 m ?n >2, p ® q w 2，贝U (+ q w 4.故选 A.3.设 a1 - 2, a2= 1 +1 + 屛（1）证明：2介于a 1, a 2之间；（2）求a 1, a 2中哪一个更接近-.2.1. （2018合肥质检）已知△ ABC 的三边长分别为 a , b , c ,且满足 b + c w 3a ,则£的取 a B . (0,2) D . (0,3)b 「c1< a + a w 3，b c:1 +b > a ,b c 〜 1 <b+ y 3, a a1+c >b , a a-1< C -b v 1,L a a两式相加得，°<2 a <4,••• c 的取值范围为（0,2）. a2.设a , b € R,定义运算“ ？”和®” 如下：a ?b = a, a w b , b, a > b ,；b, a , a w b , a > b.A . mn >4 且 p + q w 4B . m + n >4 且 pqw 4C . mn w 4 且 p + q >4解析：选A 结合定义及D . m + n w 4 且 pq< 4 m > 2,m ?n > 2可得m w nn > 2, 或v即 n >m >2 或 m > n > 2,m > n ,所以mn > 4;结合定义及p ®q w 2可得 p w 2,或p > qq w 2,即 q < p w 2 或 p w q w 2，所以 p p w q ,解：(1)证明:v ( 2-a1)( 2 - a2)= ( 2-a“2- 1-亡=1-1 + a2-a12< 0.••• ,2介于ai , a2之间.⑵I 退72|= P 2- 1 -缶卜L 仔7=灼血一刑＜花-31|.•- a 2比a i 更接近• ’ 2.5 5 得-2< 2(x + y)< 10, 由 2< x — y < 3, 得 1 < *x — y)< 2上述不等式相加得一3 < ；(x + y) + *x — y)<爭，所以—3 < 3x + 2y < 2f.。

2020版导与练一轮复习理科数学习题：第六篇不等式(必修5) 第4节基本不等式 Word版含解析

第4节基本不等式【选题明细表】基础巩固(时间:30分钟)1.(2018·衡水周测)下列不等式一定成立的是( C )(A)lg(x2+)>lg x(x>0)(B)sin x+≥2(x≠kπ,k∈Z)(C)x2+1≥2|x|(x∈R)(D)>1(x∈R)解析:当x>0时,x2+≥2·x·=x,所以lg(x2+)≥lg x(x>0),故A错误;运用基本不等式时需保证“一正”“二定”“三相等”,当x≠ k π,k∈Z时,sin x的正负不定,故B错误;当x=0时,有=1,故D错误.故选C.2.(2018·黄石月考)设0<a<b,则下列不等式中正确的是( B )(A)a<b<<(B)a<<<b(C)a<<b<(D)<a<<b解析:法一由a=,b==,0<a<b,及均值不等式知<<<.故选B.法二特殊值法,令a=1,b=2,代入验证即可.3.(2015·湖南卷)若实数a,b满足+=,则ab的最小值为( C )(A)(B)2 (C)2 (D)4解析:由题设易知a>0,b>0,所以=+≥2,即ab≥2,当且仅当b=2a时等号成立,故选C.4.(2018·白城模拟)若x>,则f(x)=4x+的最小值为( D )(A)-3 (B)2 (C)5 (D)7解析:f(x)=4x+=4x-5++5.因为x>,所以4x-5>0,所以4x-5+≥2.故f(x)≥2+5=7,等号成立的条件是x=.5.(2018·孝感模拟)已知a>0,b>0,2a+b=1,则+的最小值是( D )(A)4 (B)(C)8 (D)9解析:因为2a+b=1,又a>0,b>0,所以+=(+)·(2a+b)=5++≥5+2=9,当且仅当=,即a=b=时等号成立.故选D.6.(2018·西宁模拟)设a>0,b>0,且不等式++≥0恒成立,则实数k的最小值等于( C )(A)0 (B)4 (C)-4 (D)-2解析:由++≥0得k≥-,而=++2≥4(a=b时取等号),所以-≤-4,因此要使k≥-恒成立,应有k≥-4,即实数k 的最小值等于-4.7.(2018·南阳模拟)某公司租地建仓库,每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比,而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比,如果在距车站10公里处建仓库,这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元,那么要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站公里处.解析:设x为仓库与车站距离,由已知y1=;y2=0.8x费用之和y=y1+y2=0.8x+≥2=8,当且仅当0.8x=,即x=5时“=”成立.答案:58.(2017·天津卷)若a,b∈R,ab>0,则的最小值为.解析:因为a,b∈R,ab>0,所以≥=4ab+≥2=4,当且仅当即时取得等号.故的最小值为4.答案:4能力提升(时间:15分钟)9.(2018·大连一模)已知首项与公比相等的等比数列{a n}中,若m,n∈N*满足a m=,则+的最小值为( A )(A)1 (B)(C)2 (D)解析:设{a n}的公比为q,由题意得a m=q m,a n=q n,a4=q4,所以q m+2n=q8.所以m+2n=8,所以=1,又因为m,n∈N*,所以+=+=+++≥+2=1.当且仅当=,即m=2n=4时取“=”.故选A.10.(2018·信阳模拟)已知两个正数x,y满足x+4y+5=xy,则xy取最小值时,x,y的值分别为( B )(A)5,5 (B)10,(C)10,5 (D)10,10解析:因为x>0,y>0,所以xy=x+4y+5≥4+5.令=t,则t2≥4t+5,即t2-4t-5≥0.解得t≥5或t≤-1(舍去),所以≥5.由解得所以x=10,y=.11.(2018·太原模拟)设x,y满足约束条件若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为1,则+的最小值为( D ) (A) (B)(C) (D)4解析:作出可行域如图中阴影部分所示.因为a>0,b>0,所以由图知,当直线z=ax+by过点A(1,1)时,z取得最大值1,所以a+b=1.所以+=+=2++≥2+2=4.当且仅当a=b=时取等号.12.(2018·南昌二中月考)在△ABC中,D为AB的中点,点F在线段CD(不含端点)上,且满足=x+y,若不等式+≥a2+at对t∈[-2,2]恒成立,则a的最小值为( B )(A)-4 (B)-2 (C)2 (D)4解析:根据图象知道点D,F,C三点共线,故=x+y=2x+y,由共线定理得到2x+y=1,则(+)(2x+y)=4++≥8,故问题转化为8≥a2+at 对t∈[-2,2]恒成立,当a=0时0≤8恒成立,因为y=at+a2-8(a≠0)是关于t的一次函数,故直接代入端点即可,⇒a∈[-2,2],故a 的最小值为-2.13.(2018·唐山模拟)规定记号“⊗”表示一种运算,即a⊗b=+a+b(a,b 为正实数).若1⊗k=3,则k的值为,此时函数f(x)=的最小值为.解析:1⊗k=+1+k=3,即k+-2=0,所以=1或=-2(舍),所以k=1.f(x)===1++≥1+2=3,当且仅当=即x=1时等号成立.答案:1 314.(2018·常州模拟)已知a>b>0,则a2+的最小值是.解析:因为a>b>0,所以b(a-b)≤()2=,当且仅当a=2b时等号成立.所以a2+≥a2+=a2+≥2=16,当且仅当a=2时等号成立.所以当a=2,b=时,a2+取得最小值16.答案:16。

2020届高考理科数学一轮细讲精练,复习补习资料：【第六篇】不等式

第六篇不等式 A第1讲不等关系与不等式[最新考纲]1．了解现实世界和日常生活中的不等关系． 2．了解不等式(组)的实际背景． 3．掌握不等式的性质及应用.知识梳理1．两个实数比较大小的方法(1)作差法⎩⎨⎧a －b ＞0⇔a ＞b ，a －b ＝0⇔a ＝b ，a －b ＜0⇔a ＜b ；(2)作商法⎩⎪⎨⎪⎧ab ＞1⇔a ＞b (a ∈R ，b ＞0)，ab ＝1⇔a ＝b (a ∈R ，b ＞0)，a b ＜1⇔a ＜b (a ∈R ，b ＞0).2．不等式的性质 (1)对称性：a ＞b ⇔b ＜a ； (2)传递性：a ＞b ，b ＞c ⇔a ＞c ；(3)可加性：a ＞b ⇔a ＋c ＞b ＋c ，a ＞b ，c ＞d ⇒a ＋c ＞b ＋d ； (4)可乘性：a ＞b ，c ＞0⇒ac ＞bc ；a ＞b ＞0，c ＞d ＞0⇒ac ＞bd ； (5)可乘方：a ＞b ＞0⇒a n ＞b n (n ∈N ，n ≥1)； (6)可开方：a ＞b ＞0⇒n ∈N ，n≥2)．辨析感悟1．对两个实数大小的比较的认识(1)两个实数a ，b 之间，有且只有a ＞b ，a ＝b ，a ＜b 三种关系中的一种．(√) (2)若ab ＞1.则a ＞b .(×) 2．对不等式性质的理解(3)在一个不等式的两边同乘以一个非零实数，不等式仍然成立．(×) (4)同向不等式具有可加性和可乘性．(×)(5)(2019·丽水模拟改编)设a ，b 为实数，则“0＜ab ＜1”是“b ＜1a ”成立的既不充分也不必要条件．(√)(6)(2018·北京卷改编)若a ＞b ，则1a ＜1b .(×) 若a ＞b ，则a 2＞b 2.(×) 若a ＞b ，则a 3＞b 3.(√) [感悟·提升]两个防范一是在使用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件，不可强化或弱化成立的条件，如“同向不等式”才可相加、“同向且两边同正的不等式”才可相乘；“可乘性中的”c 的符号等都需注意，如(2)、(3)、(4)．二是利用特值法判断两个式子大小时，错误的关系式，只需取特值举反例即可，而正确的关系式，则需推理论证．如(6)中当a ＝1，b ＝－2时，1a ＜1b 不成立；当a ＝－1，b ＝－2时，a 2＞b 2不成立.第94页考点一用不等式(组)表示不等关系【例1】某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元销售，每天可销售100件，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润．已知这种商品的单价每提高1元，销售量就相应减少10件．若把提价后商品的单价设为x 元，怎样用不等式表示每天的利润不低于300元？解若提价后商品的单价为x 元，则销售量减少x －101×10件，因此，每天的利润为(x －8)[100－10(x －10)]元，则“每天的利润不低于300元”可以表示为不等式(x －8)[100－10(x －10)]≥300.规律方法对于不等式的表示问题，关键是理解题意，分清变化前后的各种量，得出相应的代数式，然后用不等式表示．而对于涉及条件较多的实际问题，则往往需列不等式组解决．【训练1】某化工厂制定明年某产品的生产计划，受下面条件的制约：生产此产品的工人不超过200人；每个工人的年工作时间约为2 100 h ；预计此产品明年的销售量至少为80 000袋；生产每袋产品需用4 h ；生产每袋产品需用原料20 kg ；年底库存原料600 t ，明年可补充1 200 t ．试根据这些数据预测明年的产量．解设明年的产量为x 袋，则⎩⎨⎧4x ≤200×2 100，x ≥80 000，0.02x ≤600＋1 200，解得80 000≤x ≤90 000.预计明年的产量在80 000袋到90 000袋之间．考点二比较大小【例2】 (1)若a ＝ln 22，b ＝ln 33，c ＝ln 55，则 A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b＜aC ．c ＜a ＜bD ．b ＜a＜c(2)已知a ≠1且a ∈R ，试比较11－a与1＋a 的大小． (1)解析易知a ，b ，c 都是正数，b a ＝2ln 33ln 2＝log 89＞1，所以b ＞a ；a c ＝5ln 22ln 5＝log 2532＞1，所以a ＞c .即c ＜a ＜b .故选C. 答案 C(2)解 ∵11－a －(1＋a )＝a 21－a，当a＝0时，a21－a＝0，∴11－a＝1＋a；当a＜1，且a≠0时，a21－a＞0，∴11－a＞1＋a；当a＞1时，a21－a＜0，∴11－a＜1＋a.规律方法(1)比较大小时，要把各种可能的情况都考虑进去，对不确定的因素需进行分类讨论，每一步运算都要准确，每一步推理都要有充分的依据．(2)用作商法比较代数式的大小一般适用于分式、指数式、对数式，作商只是思路，关键是化简变形，从而使结果能够与1比较大小．【训练2】(2018·四川卷)设a，b为正实数．现有下列命题：①若a2－b2＝1，则a－b＜1；②若1b－1a＝1，则a－b＜1；③若|a－b|＝1，则|a－b|＜1；④若|a3－b3|＝1，则|a－b|＜1.其中的真命题有________(写出所有真命题的编号)．解析①中，a2－b2＝(a＋b)(a－b)＝1，a，b为正实数，若a－b≥1，则必有a＋b＞1，又a－b＝1a＋b，不合题意，故①正确．②中，1b－1a＝a－bab＝1，只需a－b＝ab即可．如取a＝2，b＝23满足上式，但a－b＝43＞1，故②错．③中，a，b为正实数，所以a＋b＞|a－b|＝1，且|a－b|＝|(a＋b)(a－b)|＝|a＋b|＞1，故③错．④中，|a3－b3|＝|(a－b)(a2＋ab＋b2)|＝|a－b|(a2＋ab＋b2)＝1.若|a－b|≥1，不妨取a＞b＞1，则必有a2＋ab＋b2＞1，不合题意，故④正确．答案①④考点三不等式的性质及其应用【例3】(1)(2019·泉州模拟)若x＞y，a＞b，则在①a－x＞b－y，②a＋x＞b＋y，③ax＞by，④x－b＞y－a，⑤ay＞bx这五个式子中，恒成立的所有不等式的序号是________．(2)(2018·湖南卷)设a >b >1，c <0，给出下列三个结论： ①c a >cb ；②ac log a (b －c )．其中所有的正确结论的序号是 ( )． A.① C ．②③审题路线解析 (1)令x ＝－2，y ＝－3，a ＝3，b ＝2，符合题设条件x ＞y ，a ＞b ， ∵a －x ＝3－(－2)＝5，b －y ＝2－(－3)＝5， ∴a －x ＝b －y ，因此①不成立．又∵ax ＝－6，by ＝－6，∴ax ＝by ，因此③也不成立．又∵a y ＝3－3＝－1，b x ＝2－2＝－1，∴a y ＝bx ，因此⑤不成立．由不等式的性质可推出②④成立．(2)由不等式性质及a >b >1知1a <1b ，又c <0，所以c a >cb ，①正确；构造函数y ＝xc ，∵c ＜0，∴y ＝x c 在(0，＋∞)上是减函数，又a ＞b ＞1，∴a c ＜b c ，知②正确；∵a ＞b ＞1，a －c ＞0，∴a －c ＞b －c ＞1，∵a ＞b ＞1，∴log b (a －c )＞log a (a －c )＞log a (b －c )，知③正确．答案 (1)②④ (2)D规律方法 (1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．常用的推理判断需要利用不等式的性质．(2)在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假，当然判断的同时还要用到其他知识，比如对数函数，指数函数的性质等．【训练3】若1a ＜1b ＜0，则下列不等式：①1a ＋b ＜1ab ；②|a |＋b ＞0；③a －1a ＞b－1b ；④ln a 2＞ln b 2中，正确的不等式是 ( )．A ．①④ C ．①③解析法一由1a ＜1b ＜0，可知b ＜a ＜0.①中，因为a ＋b ＜0，ab ＞0，所以1a ＋b ＜0，1ab ＞0.故有1a ＋b ＜1ab ，即①正确；②中，因为b ＜a ＜0，所以－b ＞－a ＞0.故－b ＞|a |，即|a |＋b ＜0，故②错误；③中，因为b ＜a ＜0，又1a ＜1b ＜0，所以a －1a ＞b －1b ，故③正确；④中，因为b ＜a ＜0，根据y ＝x 2在(－∞，0)上为减函数，可得b 2＞a 2＞0，而y ＝ln x 在定义域(0，＋∞)上为增函数，所以ln b 2＞ln a 2，故④错误．由以上分析，知①③正确．法二因为1a ＜1b ＜0，故可取a ＝－1，b ＝－2. 显然|a |＋b ＝1－2＝－1＜0，所以②错误；因为ln a 2＝ln(－1)2＝0，ln b 2＝ln(－2)2＝ln 4＞0，所以④错误．综上所述，可排除②④. 答案 C1．判断不等式是否成立，主要利用不等式的性质和特殊值验证两种方法，特别是对于有一定条件限制的选择题，用特殊值验证的方法更简便． 2．倒数关系在不等式中的作用：⎩⎨⎧ ab ＞0，a ＞b ⇒1a ＜1b ；⎩⎨⎧ab ＞0，a ＜b ⇒1a ＞1b . 3．比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一，作差法的主要步骤为：作差——变形——判断正负．在所给不等式是积、商、幂的形式时，可考虑比商．易错辨析6——多次使用同向不等式的可加性而致误【典例】设f (x )＝ax 2＋bx ，若1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，则f (－2)的取值范围是________．[错解] 由⎩⎨⎧ 1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4，得⎩⎨⎧1≤a －b ≤2， ①2≤a ＋b ≤4. ②①＋②得32≤a ≤3.②－①得12≤b ≤1. 由此得4≤f (－2)＝4a －2b ≤11. 所以f (－2)的取值范围是[4,11]． [答案] [4,11][错因] 本题错解的主要原因是多次使用同向不等式的可加性而导致了f (－2)的范围扩大．[正解] 法一设f (－2)＝mf (－1)＋nf (1)(m ，n 为待定系数)，则4a －2b ＝m (a －b )＋n (a ＋b )，即4a －2b ＝(m ＋n )a ＋(n －m )b . 于是得⎩⎨⎧ m ＋n ＝4，n －m ＝－2，解得⎩⎨⎧m ＝3，n ＝1，∴f (－2)＝3f (－1)＋f (1)．又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10，故5≤f (－2)≤10. 法二由⎩⎨⎧f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12[f (－1)＋f (1)]，b ＝12[f (1)－f (－1)]，∴f (－2)＝4a －2b ＝3f (－1)＋f (1)．又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10，故5≤f (－2)≤10.法三由⎩⎨⎧1≤a －b ≤2，2≤a ＋b ≤4确定的平面区域如图阴影部分，当f (－2)＝4a －2b 过点 A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12时，取得最小值4×32－2×12＝5，当f (－2)＝4a －2b 过点B (3,1)时，取得最大值4×3－2×1＝10， ∴5≤f (－2)≤10. [答案] [5,10][防范措施] 利用不等式性质求某些代数式的取值范围时，多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取值范围．解决此类问题一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得待求整体的范围，是避免错误的有效途径．【自主体验】如果－1＜a ＋b ＜3,3＜a －b ＜5，那么2a －3b 的取值范围是( )． A ．(2,8) B ．(5,14) C ．(6,13) D ．(7,13) 解析设a ＋b ＝x ，a －b ＝y ，∴－1＜x ＜3,3＜y ＜5，a ＝x ＋y 2，b ＝x －y 2， ∴2a －3b ＝x ＋y －32(x －y )＝－12x ＋52y . 又∵－32＜－12x ＜12，152＜52y ＜252，∴6＜－12x＋52y＜13，∴2a－3b的取值范围是(6,13)．答案 C对应P297基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．(2019·深圳一模)设x，y∈R，则“x≥1且y≥2”是“x＋y≥3”的()．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析由不等式性质知当x≥1且y≥2时，x＋y≥3；而当x＝2，y＝32时满足x＋y≥3，但不满足x≥1且y≥2，故“x≥1且y≥2”是“x＋y≥3”的充分而不必要条件．答案 A2．(2019·保定模拟)已知a>b，则下列不等式成立的是()．A．a2－b2≥0 B．ac>bcC．|a|>|b| D．2a>2b解析A中，若a＝－1，b＝－2，则a2－b2≥0不成立；当c＝0时，B不成立；当0>a>b时，C不成立；由a>b知2a>2b成立，故选D.答案 D3．(2019·河南三市三模)已知0＜a＜1，x＝log a2＋log a3，y＝12log a5，z＝log a21－log a 3，则( )． A ．x ＞y ＞z B ．z ＞y ＞x C ．z ＞x ＞y D ．y ＞x ＞z解析由题意得x ＝log a 6，y ＝log a 5，z ＝log a 7，而0＜a ＜1，∴函数y ＝log a x 在(0，＋∞)上单调递减，∴y ＞x ＞z . 答案 D4．已知a ＜0，－1＜b ＜0，那么下列不等式成立的是( )． A ．a ＞ab ＞ab 2 B ．ab 2＞ab ＞a C ．ab ＞a ＞ab 2 D ．ab ＞ab 2＞a解析由－1＜b ＜0，可得b ＜b 2＜1，又a ＜0， ∴ab ＞ab 2＞a . 答案 D5．(2019·晋城模拟)已知下列四个条件：①b >0>a ，②0>a >b ，③a >0>b ，④a >b >0，能推出1a <1b 成立的有( )．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析运用倒数性质，由a >b ，ab >0可得1a <1b ，②、④正确．又正数大于负数，①正确，③错误，故选C. 答案 C 二、填空题6．(2018·扬州期末)若a 1＜a 2，b 1＜b 2，则a 1b 1＋a 2b 2与a 1b 2＋a 2b 1的大小关系是________．解析作差可得(a 1b 1＋a 2b 2)－(a 1b 2＋a 2b 1)＝(a 1－a 2)·(b 1－b 2)，∵a 1＜a 2，b 1＜b 2，∴(a 1－a 2)(b 1－b 2)＞0，即a 1b 1＋a 2b 2＞a 1b 2＋a 2b 1. 答案 a 1b 1＋a 2b 2＞a 1b 2＋a 2b 17．若角α，β满足－π2＜α＜β＜π2，则2α－β的取值范围是________．解析 ∵－π2＜α＜β＜π2， ∴－π＜2α＜π，－π2＜－β＜π2，∴－3π2＜2α－β＜3π2，又∵2α－β＝α＋(α－β)＜α＜π2， ∴－3π2＜2α－β＜π2. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，π28．(2019·大庆模拟)对于实数a ，b ，c 有下列命题：①若a ＞b ，则ac ＜bc ；②若ac 2＞bc 2，则a ＞b ；③若a ＜b ＜0，则a 2＞ab ＞b 2；④若c ＞a ＞b ＞0，则ac －a＞b c －b；⑤若a ＞b ，1a ＞1b ，则a ＞0，b ＜0.其中真命题是________(把正确命题的序号写在横线上)．解析若c ＞0，则①不成立；由ac 2＞bc 2知c 2≠0，则a ＞b ，②成立；由a ＜b ＜0知a 2＞ab ＞b 2，③成立；由c ＞a ＞b ＞0，得0＜c －a ＜c －b ，则1c －a ＞1c －b ，则a c －a ＞b c －b，④成立；若a ＞b ，1a －1b ＝b －aab ＞0，则a ＞0，b ＜0，⑤成立．答案 ②③④⑤ 三、解答题9．比较下列各组中两个代数式的大小： (1)3x 2－x ＋1与2x 2＋x －1；(2)当a >0，b >0且a ≠b 时，a a b b 与a b b a .解 (1)∵3x 2－x ＋1－2x 2－x ＋1＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1>0，∴3x 2－x ＋1>2x 2＋x －1.(2)a a b b a b b a ＝a a －b b b －a ＝a a －b ⎝ ⎛⎭⎪⎫1b a －b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b .当a >b ，即a －b >0，a b >1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b >1，∴a a b b >a b b a .当a 1，∴a a b b >a b b a .∴当a >0，b >0且a ≠b 时，a a b b >a b b a .10．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，试判断谁先到教室？解设从寝室到教室的路程为s ，甲、乙两人的步行速度为v 1，跑步速度为v 2，且v 1＜v 2.甲所用的时间t 甲＝s 2v 1＋s 2v 2＝s (v 1＋v 2)2v 1v 2，乙所用的时间t 乙＝2sv 1＋v 2，∴t 甲t 乙＝s (v 1＋v 2)2v 1v 2×v 1＋v 22s ＝(v 1＋v 2)24v 1v 2＝v 21＋v 22＋2v 1v 24v 1v2＞4v 1v 24v 1v 2＝1.∵t 甲＞0，t 乙＞0，∴t 甲＞t 乙，即乙先到教室．能力提升题组 (建议用时：25分钟)一、选择题1．下面四个条件中，使a ＞b 成立的充分不必要条件是( )． A ．a ＞b ＋1 B ．a ＞b －1 C ．a 2＞b 2 D ．a 3＞b 3解析由a ＞b ＋1，得a ＞b ＋1＞b ，即a ＞b ，而由a ＞b 不能得出a ＞b ＋1，因此，使a ＞b 成立的充分不必要条件是a ＞b ＋1. 答案 A2．已知实数a ，b ，c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则a ，b ，c 的大小关系是( )． A ．c ≥b ＞a B ．a ＞c ≥b C ．c ＞b ＞a D ．a ＞c ＞b解析 c －b ＝4－4a ＋a 2＝(2－a )2≥0，∴c ≥b ，将已知两式作差得2b ＝2＋2a 2，即b ＝1＋a 2，∵1＋a 2－a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34＞0，∴1＋a 2＞a ，∴b ＝1＋a 2＞a ，∴c ≥b ＞a . 答案 A 二、填空题3．(2019·三门峡二模)给出下列条件：①1＜a ＜b ；②0＜a ＜b ＜1；③0＜a ＜1＜b .其中，能推出log b 1b ＜log a 1b ＜log a b 成立的条件的序号是________．解析若1＜a ＜b ，则1b ＜1a ＜1＜b ，∴log a 1b ＜log a 1a ＝－1＝log b 1b ，故条件①不成立；若0＜a ＜b ＜1，则b ＜1＜1b ＜1a ，∴log a b ＞log a 1b ＞log a 1a ＝－1＝log b 1b ，故条件②成立；若0＜a ＜1＜b ，则0＜1b ＜1，∴log a 1b ＞0，log a b ＜0，故条件③不成立．答案 ② 三、解答题4．设0<x <1，a >0且a ≠1，比较|log a (1－x )|与|log a (1＋x )|的大小．解法一作差比较当a >1时，由0<x <1知， log a (1－x )<0，log a (1＋x )>0， ∴|log a (1－x )|－|log a (1＋x )|＝－log a (1－x )－log a (1＋x )＝－log a (1－x 2)， ∵0<1－x 2<1，∴log a (1－x 2)<0，从而－log a (1－x 2)>0，故|log a (1－x )|>|log a (1＋x )|. 当0<a <1时，同样可得|log a (1－x )|>|log a (1＋x )|. 法二平方作差 |log a (1－x )|2－|log a (1＋x )|2 ＝[log a (1－x )]2－[log a (1＋x )]2 ＝log a (1－x 2)·log a 1－x1＋x＝log a (1－x 2)·log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2x 1＋x >0.∴|log a (1－x )|2>|log a (1＋x )|2，故|log a (1－x )|>|log a (1＋x )|. 法三作商比较∵|log a (1－x )||log a (1＋x )|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪log a (1－x )log a (1＋x )＝|log (1＋x )(1－x )|， ∵0<x <1，∴log (1＋x )(1－x )<0，故|log a (1－x )||log a (1＋x )|＝－log (1＋x )(1－x )＝log (1＋x )11－x ＝1＋log (1＋x )⎝ ⎛⎭⎪⎫11－x ·11＋x ＝1＋log (1＋x )11－x 2.由0<x <1知，1＋x >1及11－x 2>1， ∴log (1＋x )11－x 2>0，故|log a (1－x )||log a (1＋x )|>1， ∴|log a (1－x )|>|log a (1＋x )|.第96页[最新考纲]1．会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型．2．通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的关系． 3．会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.知识梳理1．一元二次不等式的解法(1)将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(a ＞0)或ax 2＋bx ＋c ＜0(a ＞0)． (2)计算相应的判别式．(3)当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根．(4)利用二次函数的图象与x 轴的交点确定一元二次不等式的解集． 2．三个“二次”间的关系＋1．对一元二次不等式的解法的理解(1)(2018·广东卷改编)不等式x 2＋x －2＜0的解集为－2＜x ＜1.(×) (2)若不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集为(x 1，x 2)，则必有a ＞0.(√)(3)若不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集是(－∞，x 1)∪(x 2，＋∞)，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根是x 1和x 2.(√)(4)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)没有实数根，则不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为R .(×)2．对一元二次不等式恒成立问题的认识(5)不等式ax 2＋bx ＋c ≤0在R 上恒成立的条件是a ＜0且Δ＝b 2－4ac ≤0.(×) (6)若关于x 的不等式ax 2＋x －1≤0的解集为R ，则a ≤－14.(√) (7)若不等式x 2＋ax ＋1≥0对x ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，12恒成立，则a 的最小值为－52.(√) [感悟·提升]三个防范一是当Δ＜0时，不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(a ≠0)的解集为R 还是∅，要注意区别，如(4)中当a ＞0时，解集为R ；当a ＜0时，解集为∅.二是对于不等式ax 2＋bx ＋c ＞0求解时不要忘记讨论a ＝0时的情形，如(5)中当a ＝b ＝0，c ≤0时，不等式ax 2＋bx ＋c ≤0在R 上也是恒成立的．三是解含参数的一元二次不等式，可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论分类要不重不漏.考点一一元二次不等式的解法【例1】 (2019·大连模拟)已知函数f (x )＝(ax －1)(x ＋b )，如果不等式f (x )＞0的解集是(－1,3)，则不等式f (－2x )＜0的解集是( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 解析由f (x )＞0，得ax 2＋(ab －1)x －b ＞0，又其解集是(－1,3)，∴a ＜0.且⎩⎪⎨⎪⎧1－ab a ＝2，－b a ＝－3，解得a ＝－1或13，∴a ＝－1，b ＝－3.∴f (x )＝－x 2＋2x ＋3， ∴f (－2x )＝－4x 2－4x ＋3，由－4x 2－4x ＋3＜0，得4x 2＋4x －3＞0，解得x ＞12或x ＜－32，故选A. 答案 A规律方法解一元二次不等式时，当二次项系数为负时要先化为正，再根据判别式符号判断对应方程根的情况，然后结合相应二次函数的图象写出不等式的解集.第97页【训练1f (x )＝x 2－4x ，则不等式f (x )＞x 的解集用区间表示为________．解析 ∵f (x )是定义在R 上的奇函数， ∴f (0)＝0，又当x ＜0时，－x ＞0， ∴f (－x )＝x 2＋4x . 又f (x )为奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )， ∴f (x )＝－x 2－4x (x ＜0)，∴f (x )＝⎩⎨⎧x 2－4x ，x ＞0，0，x ＝0，－x 2－4x ，x ＜0.(1)当x ＞0时，由f (x )＞x 得x 2－4x ＞x ，解得x ＞5； (2)当x ＝0时，f (x )＞x 无解；(3)当x ＜0时，由f (x )＞x 得－x 2－4x ＞x ，解得－5＜x ＜0. 综上得不等式f (x )＞x 的解集用区间表示为(－5,0)∪(5，＋∞)．答案 (－5,0)∪(5，＋∞)考点二含参数的一元二次不等式的解法【例2】 (2018·烟台期末)解关于x 的不等式：ax 2－2≥2x －ax (a ∈R )．解原不等式可化为ax 2＋(a －2)x －2≥0.①当a ＝0时，原不等式化为x ＋1≤0，解得x ≤－1.②当a ＞0时，原不等式化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≥0，解得x ≥2a 或x ≤－1.③当a ＜0时，原不等式化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≤0.当2a ＞－1，即a ＜－2时，解得－1≤x ≤2a ；当2a ＝－1，即a ＝－2时，解得x ＝－1满足题意；当2a ＜－1，即a ＞－2，解得2a ≤x ≤－1.综上所述，当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ≤－1}；当a ＞0时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≥2a ，或x ≤－1；当－2＜a ＜0时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2a ≤x ≤－1；当a ＝－2时，不等式的解集为{x |x ＝－1}；当a ＜－2时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－1≤x ≤2a . 规律方法解含参数的一元二次不等式分类讨论的依据(1)二次项中若含有参数应讨论是小于0，等于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．(2)当不等式对应方程的根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系． (3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．【训练2】 (1)关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a 等于A.52B.72C.154D.152(2)解关于x 的不等式(1－ax )2＜1.(1)解析法一 ∵不等式x 2－2ax －8a 2＜0的解集为(x 1，x 2)，∴x 1，x 2是方程x 2－2ax －8a 2＝0的两根．由根与系数的关系知⎩⎨⎧x 1＋x 2＝2a ，x 1x 2＝－8a 2， ∴x 2－x 1＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(2a )2－4(－8a 2)＝15，又∵a ＞0，∴a ＝52，故选A.法二由x 2－2ax －8a 2<0，得(x ＋2a )(x －4a )<0， ∵a ＞0，∴不等式x 2－2ax －8a 2＜0的解集为(－2a,4a )，又∵不等式x 2－2ax －8a 2＜0的解集为(x 1，x 2)， ∴x 1＝－2a ，x 2＝4a .∵x 2－x 1＝15， ∴4a －(－2a )＝15，解得a ＝52，故选A. 答案 A(2)解由(1－ax )2＜1，得a 2x 2－2ax ＜0，即ax (ax －2)＜0，当a ＝0时，x ∈∅.当a ＞0时，由ax (ax －2)＜0，得a 2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a ＜0，即0＜x ＜2a .当a ＜0时，2a ＜x ＜0.综上所述：当a ＝0时，不等式解集为空集；当a ＞0时，不等式解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪0＜x ＜2a；当a ＜0时，不等式解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2a＜x ＜0.考点三一元二次不等式恒成立问题【例3】已知函数f (x )＝mx 2－mx －1.(1)若对于x ∈R ，f (x )＜0恒成立，求实数m 的取值范围； (2)若对于x ∈[1,3]，f (x )＜5－m 恒成立，求实数m 的取值范围．解 (1)由题意可得m ＝0或⎩⎨⎧m ＜0，Δ＝m 2＋4m ＜0⇔m ＝0或－4＜m ＜0⇔－4＜m ≤0. 故m 的取值范围是(－4,0]．(2)法一要使f (x )＜－m ＋5在[1,3]上恒成立，即m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6＜0在x ∈[1,3]上恒成立．令g (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]．当m ＞0时，g (x )在[1,3]上是增函数，所以g (x )max ＝g (3)⇒7m －6＜0，所以m ＜67，则0＜m ＜67；当m ＝0时，－6＜0恒成立；当m ＜0时，g (x )在[1,3]上是减函数，所以g (x )max ＝g (1)⇒m －6＜0，所以m ＜6，所以m ＜0. 综上所述：m的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪m ＜67. 法二 ∵f (x )＜－m ＋5⇔m (x 2－x ＋1)＜6， ∵x 2－x ＋1＞0，∴m ＜6x 2－x ＋1对于x ∈[1,3]恒成立，只需求6x 2－x ＋1的最小值，记g (x )＝6x 2－x ＋1，x ∈[1,3]，记h (x )＝x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34，h (x )在x ∈[1,3]上为增函数．则g (x )在[1,3]上为减函数， ∴[g (x )]min ＝g (3)＝67，∴m ＜67. 所以m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，67.规律方法 (1)不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a ＝0时，b ＝0，c ＞0；当a ≠0时，⎩⎨⎧a ＞0，Δ＜0.不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a ＝0时，b ＝0，c ＜0；当a ≠0时，⎩⎨⎧a ＜0，Δ＜0.(2)含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立问题，常有两种处理方法：一是利用二次函数区间上的最值来处理；二是先分离出参数，再去求函数的最值来处理，一般后者比较简单．【训练3】 (1)若关于x 的不等式ax 2＋2x ＋2＞0在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是________．(2)(2019·淄博模拟)若不等式(a －a 2)(x 2＋1)＋x ≤0对一切x ∈(0,2]恒成立，则a 的取值范围是A.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，1－32 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫1＋32，＋∞C.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，1－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫1＋32，＋∞ D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－32，1＋32 解析 (1)当a ＝0时，原不等式可化为2x ＋2＞0，其解集不为R ，故a ＝0不满足题意，舍去；当a ≠0时，要使原不等式的解集为R ，只需⎩⎨⎧a ＞0，Δ＝22－4×2a ＜0，解得a ＞12. 综上，所求实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.(2)∵x ∈(0,2]， ∴a 2－a ≥x x 2＋1＝1x ＋1x.要使a 2－a ≥1x ＋1x 在x ∈(0,2]时恒成立，则a 2－a ≥⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x ＋1x max ，由基本不等式得x ＋1x ≥2，当且仅当x ＝1时，等号成立，即⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x ＋1x max ＝12. 故a 2－a ≥12，解得a ≤1－32或a ≥1＋32. 答案 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ (2)C第98页1．解不等式的基本思路是等价转化，分式不等式整式化，使要求解的不等式转化为一元一次不等式或一元二次不等式，进而获得解决．2．当判别式Δ＜0时，ax 2＋bx ＋c ＞0(a ＞0)解集为R ；ax 2＋bx ＋c ＜0(a ＞0)解集为∅.二者不要混为一谈．3．含参数的不等式的求解，注意选好分类标准，避免盲目讨论． 4．对于恒成立问题，常用到以下两个结论： (1)a ≥f (x )恒成立⇔a ≥f (x )max ； (2)a ≤f (x )恒成立⇔a ≤f (x )min .思想方法5——数形结合思想在“三个二次”间关系的应用【典例】 (2018·福建卷)对于实数a 和b ，定义运算“*”；a *b ＝⎩⎨⎧a 2－ab ，a ≤b ，b 2－ab ，a ＞b .设f (x )＝(2x －1)*(x －1)，且关于x 的方程f (x )＝m (m ∈R )恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1x 2x 3的取值范围是________．解析由定义可知：f (x )＝(2x －1)*(x －1)＝⎩⎨⎧(2x －1)2－(2x －1)(x －1)，x ≤0，(x －1)2－(2x －1)(x －1)，x ＞0， ∴f (x )＝⎩⎨⎧(2x －1)x ，x ≤0，－(x －1)x ，x ＞0.作出函数f (x )的图象，如图所示．由图可知，当0＜m ＜14时，f (x )＝m (m ∈R )恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3. 不妨设x 1＜x 2＜x 3，易知x 2＞0，且x 2＋x 3＝2×12＝1， ∴0＜x 2x 3＜⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋x 322，即0＜x 2x 3＜14. 令⎩⎪⎨⎪⎧(2x －1)x ＝14，x ＜0，解得x ＝1－34或1＋34(舍去)．∴1－34＜x 1＜0，∴3－14＞－x 1＞0， ∴0＜－x 1x 2x 3＜3－116， ∴1－316＜x 1x 2x 3＜0. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－316，0[反思感悟] “三个二次”间关系，其实质是抓住二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象与横轴的交点、二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(a ≠0)的解集的端点值、二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根是同一个问题．解决与之相关的问题时，可利用函数与方程思想、化归思想将问题转化，结合二次函数的图象来解决．【自主体验】1．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋1，x ≥0，1，x ＜0，则满足不等式f (1－x 2)＞f (2x )的x 的取值范围是________．解析由函数f (x )的图象可知(如下图)，满足f (1－x 2)＞f (2x )分两种情况：①⎩⎨⎧1－x 2≥0，x ≥0，1－x 2＞2x⇒0≤x ＜2－1；②⎩⎨⎧1－x 2＞0，x ＜0⇒－1＜x ＜0. 综上可知：－1＜x ＜2－1.答案 (－1，2－1)2．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x－1，x ＞0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是________．解析画出f (x )＝⎩⎨⎧2x－1，x ＞0－x 2－2x ，x ≤0的图象，如图．由函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，结合图象得：0＜m ＜1，即m ∈(0,1)．答案 (0,1)基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．(2019·长春调研)已知集合P ＝{x |x 2－x －2≤0}，Q ＝{x |log 2(x －1)≤1}，则(∁R P )∩Q ＝()．A ．[2,3]B ．(－∞，－1]∪[3，＋∞)C ．(2,3]D ．(＋∞，－1]∪(3，＋∞)解析依题意，得P ＝{x |－1≤x ≤2}，Q ＝{x |1＜x ≤3}，则(∁R P )∩Q ＝(2,3]．答案 C2．(2019·沈阳质检)不等式x 2＋ax ＋4＜0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是( )．A ．[－4,4]B ．(－4,4)C ．(－∞，－4]∪[4，＋∞)D ．(－∞，－4)∪(4，＋∞)解析不等式x 2＋ax ＋4＜0的解集不是空集，只需Δ＝a 2－16＞0，∴a ＜－4或a ＞4，故选D. 答案 D3．(2018·南通二模)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x 2＋3x ，x <0，则不等式f (x )<f (4)的解集为( )．A ．{x |x ≥4}B ．{x |x <4}C ．{x |－3<x <0}D ．{x |x <－3} 解析 f (4)＝42＝2，不等式即为f (x )<2. 当x ≥0时，由x2<2，得0≤x <4；当x <0时，由－x 2＋3x <2，得x <1或x >2，因此x <0. 综上，x <4.故f (x )<f (4)的解集为{x |x <4}．答案 B4．已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，－13，则不等式x 2－bx －a ＜0的解集是( )． A ．(2,3)B ．(－∞，2)∪(3，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 解析由题意知－12，－13是方程ax 2－bx －1＝0的根，所以由根与系数的关系得－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝b a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1a .解得a ＝－6，b ＝5，不等式x 2－bx －a ＜0即为x 2－5x ＋6＜0，解集为(2,3)．答案 A5．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，不等式f (x )＜0的解集为{x |x ＜－3，或x ＞1}，则函数y ＝f (－x )的图象可以为( )．解析由f(x)＜0的解集为{x|x＜－3，或x＞1}知a＜0，y＝f(x)的图象与x轴交点为(－3,0)，(1,0)，∴f(－x)图象开口向下，与x轴交点为(3,0)，(－1,0)．答案 B二、填空题6．已知关于x的不等式ax－1x＋1＜0的解集是(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎪⎫－12，＋∞，则a＝________.解析由于不等式ax－1x＋1＜0的解集是(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎪⎫－12，＋∞，故－12应是ax－1＝0的根，∴a＝－2.答案－27．(2018·四川卷)已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－4x，那么，不等式f(x＋2)＜5的解集是________．解析∵f(x)是偶函数，∴f(x)＝f(|x|)．又x≥0时，f(x)＝x2－4x，不等式f(x＋2)＜5⇒f(|x＋2|)＜5⇒|x＋2|2－4|x＋2|＜5⇒(|x＋2|－5)(|x＋2|＋1)＜0⇒|x＋2|－5＜0⇒|x＋2|＜5⇒－5＜x＋2＜5⇒－7＜x＜3.故解集为(－7,3)．答案(－7,3)8．(2019·福州期末)若不等式x2－(a＋1)x＋a≤0的解集是[－4,3]的子集，则a的取值范围是________.解析原不等式即(x－a)(x－1)≤0，当a＜1时，不等式的解集为[a,1]，此时只要a≥－4即可，即－4≤a＜1；当a＝1时，不等式的解为x＝1，此时符合要求；当a＞1时，不等式的解集为[1，a]，此时只要a≤3即可，即1＜a≤3.综上可得－4≤a ≤3. 答案 [－4,3] 三、解答题9．求不等式12x 2－ax ＞a 2(a ∈R )的解集．解 ∵12x 2－ax ＞a 2，∴12x 2－ax －a 2＞0，即(4x ＋a )(3x －a )＞0，令(4x ＋a )(3x －a )＝0，得：x 1＝－a 4，x 2＝a3.①a ＞0时，－a 4＜a3，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜－a 4或x ＞a 3； ②a ＝0时，x 2＞0，解集为{x |x ∈R 且x ≠0}；③a ＜0时，－a 4＞a3，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜a 3或x ＞－a 4. 综上所述，当a ＞0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜－a 4或x ＞a 3；当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠0}；当a ＜0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜a 3或x ＞－a 4. 10．(2019·长沙质检)已知f (x )＝x 2－2ax ＋2(a ∈R )，当x ∈[－1，＋∞)时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围．解法一 f (x )＝(x －a )2＋2－a 2，此二次函数图象的对称轴为x ＝a . ①当a ∈(－∞，－1)时，f (x )在[－1，＋∞)上单调递增， f (x )min ＝f (－1)＝2a ＋3.要使f (x )≥a 恒成立，只需f (x )min ≥a ，即2a ＋3≥a ，解得－3≤a ＜－1； ②当a ∈[－1，＋∞)时，f (x )min ＝f (a )＝2－a 2，由2－a 2≥a ，解得－1≤a ≤1.综上所述，所求a 的取值范围是[－3,1]．法二令g (x )＝x 2－2ax ＋2－a ，由已知，得x 2－2ax ＋2－a ≥0在[－1，＋∞)上恒成立，即Δ＝4a 2－4(2－a )≤0或⎩⎨⎧Δ＞0，a ＜－1，g (－1)≥0.解得－3≤a ≤1.所求a 的取值范围是[－3,1]．能力提升题组 (建议用时：25分钟)一、选择题1．(2018·安徽卷)已知一元二次不等式f (x )＜0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜－1或x ＞12，则f (10x )＞0的解集为( )．A ．{x |x ＜－1或x ＞－lg 2}B ．{x |－1＜x ＜－lg 2}C ．{x |x ＞－lg 2}D ．{x |x ＜－lg 2}解析依题意知f (x )＞0的解为－1＜x ＜12，故－1＜10x ＜12，解得x ＜lg 12＝－lg 2. 答案 D2．(2018·西安二模)在R 上定义运算：⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ＝ad －bc .若不等式⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －1 a －2a ＋1 x ≥1对任意实数x 恒成立，则实数a 的最大值为( )． A ．－12 B ．－32 C.13 D.32解析原不等式等价于x (x －1)－(a －2)(a ＋1)≥1，即x 2－x －1≥(a ＋1)(a －2)对任意x 恒成立，x 2－x －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－54≥－54，所以－54≥a 2－a －2，－12≤a ≤32.故选D. 答案 D 二、填空题3．(2019·铜陵一模)已知二次函数f (x )的二次项系数为a ，且不等式f (x )＞0的解集为(1,2)，若f (x )的最大值小于1，则a 的取值范围是________．解析由题意知a ＜0，可设f (x )＝a (x －1)(x －2)＝ax 2－3ax ＋2a ，∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－a4＜1，∴a ＞－4，故－4＜a ＜0. 答案 (－4,0) 三、解答题4．已知二次函数f (x )的二次项系数为a ，且不等式f (x )>－2x 的解集为(1,3)． (1)若方程f (x )＋6a ＝0有两个相等的根，求f (x )的解析式； (2)若f (x )的最大值为正数，求a 的取值范围．解 (1)∵f (x )＋2x >0的解集为(1,3)， f (x )＋2x ＝a (x －1)(x －3)，且a <0，因而f (x )＝a (x －1)(x －3)－2x ＝ax 2－(2＋4a )x ＋3a .① 由方程f (x )＋6a ＝0，得ax 2－(2＋4a )x ＋9a ＝0.② 因为方程②有两个相等的根，所以Δ＝[－(2＋4a )]2－4a ·9a ＝0，即5a 2－4a －1＝0，解得a ＝1或a ＝－15. 由于a <0，舍去a ＝1，将a ＝－15代入①，得f (x )＝－15x 2－65x －35.(2)由f (x )＝ax 2－2(1＋2a )x ＋3a ＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x －1＋2a a 2－a 2＋4a ＋1a 及a <0，可得f (x )的最大值为－a 2＋4a ＋1a.由⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＋4a ＋1a >0，a <0，解得a <－2－3或－2＋3<a <0.故当f (x )的最大值为正数时，实数a 的取值范围是 (－∞，－2－3)∪(－2＋3，0).第3讲二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题[最新考纲]1．会从实际情境中抽象出二元一次不等式组．2．了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组． 3．会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.知识梳理1．二元一次不等式(组)表示的平面区域(1)一般地，二元一次不等式Ax ＋By ＋C >0在平面直角坐标系中表示直线Ax ＋By ＋C ＝0某一侧的所有点组成的平面区域(半平面)不含边界直线．不等式Ax ＋By ＋C ≥0所表示的平面区域(半平面)包括边界直线．(2)对于直线Ax ＋By ＋C ＝0同一侧的所有点(x ，y )，使得Ax ＋By ＋C 的值符号相同，也就是位于同一半平面内的点，其坐标适合同一个不等式Ax ＋By ＋C >0；而位于另一个半平面内的点，其坐标适合另一个不等式Ax ＋By ＋C <0.(3)由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的公共部分． 2．线性规划的有关概念1．对二元一次不等式(组)表示的平面区域的认识(1)点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)在直线Ax ＋By ＋C ＝0同侧的充要条件是(Ax 1＋By 1＋C )(Ax 2＋By 2＋C )＞0，异侧的充要条件是(Ax 1＋By 1＋C )(Ax 2＋By 2＋C )＜0.(√) (2)第二、四象限表示的平面区域可以用不等式xy ＜0表示．(√)(3)(教材习题改编)已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ＋3≥0，－1≤x ≤1，y ≥1，则其表示的平面区域的面积为4.(√)2．对简单的线性规划问题的理解(4)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上．(√)(5)目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)中，z 的几何意义是直线ax ＋by －z ＝0在y 轴上的截距．(×)(6)(2018·湖南卷改编)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧y ≤2xx ＋y ≤1y ≥－1，则x ＋2y 的最大值是53.(√) [感悟·提升]1．确定二元一次不等式表示的平面区域时，经常采用“直线定界，特殊点定域”的方法．2．求线性目标函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，当b ＞0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最大，在y 轴截距最小时，z 值最小；当b ＜0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最小，在y 轴上截距最小时，z 值最大.第100页考点一二元一次不等式(组)表示的平面区域【例1】 (1)(2019·济南模拟)不等式组⎩⎨⎧2x ＋y －6≤0，x ＋y －3≥0，y ≤2表示的平面区域的面积为 ( )．A ．4B ．1C ．5D ．无穷大(2)(2018·安徽卷)在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点A ，B 满足|OA →|＝|OB →|＝OA →·OB →＝2，则点集{P |OP →＝λOA →＋μOB →，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R }所表示的区域的面积是 ( )． A ．2 2 B ．2 3 C ．4 2D ．4 3解析(1)不等式组⎩⎨⎧2x ＋y －6≤0，x ＋y －3≥0，y ≤2表示的平面区域如图所示(阴影部分)，△ABC 的面积即为所求．求出点A ，B ，C 的坐标分别为(1,2)，(2,2)，(3,0)，则△ABC 的面积为S ＝12×(2－1)×2＝1.(2)由|OA →|＝|OB →|＝OA →·OB →＝2，知<OA →，OB →>＝π3. 设OA →＝(2,0)，OB →＝(1，3)，OP →＝(x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝2λ＋μ，y ＝3μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧μ＝y 3，λ＝12⎝⎛⎭⎪⎫x －y 3.由|λ|＋|μ|≤1得|3x －y |＋|2y |≤2 3.作可行域如图．则所求面积S ＝2×12×2×23＝4 3.答案 (1)B (2)D规律方法二元一次不等式组所确定的平面区域是不等式组中各个不等式所表示的半平面区域的公共部分，画出平面区域的关键是把各个半平面区域确定准确，其基本方法是“直线定界、特殊点定域”．【训练1】若不等式组⎩⎨⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是( )．A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞ B ．(0,1]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，43 D ．(0,1]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞解析不等式组⎩⎨⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0表示的平面区域如图(阴影部分)，求A ，B 两点的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23和(1,0)，若原不等式组表示的平面区域是一个三角形，则直线x ＋y ＝a 的a 的取值范围是0＜a ≤1或a ≥43. 答案 D考点二线性目标函数的最值【例2】 (1)(2018·天津卷)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧3x ＋y －6≥0，x －y －2≤0，y －3≤0，则目标函数z ＝y －2x 的最小值为 ( )． A ．－7 B ．－4 C ．1D ．2(2)(2018·新课标全国Ⅱ卷)已知a ＞0，x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a (x －3).若z ＝2x＋y 的最小值为1，则a ＝ ( )． A.14 B.12 C ．1D ．2解析 (1)由x ，y 满足的约束条件可画出所表示的平面区域为如图所示的△ABC ，作出直线y ＝2x ，经过平移得目标函数z ＝y －2x 在点B (5,3)处取得最小值，即z min ＝3－10＝－7.故选A.(2)由约束条件画出可行域(如图所示的△ABC )，由⎩⎨⎧x ＝1，y ＝a (x －3)得A (1，－2a )，当直线2x ＋y －z ＝0过点A 时，z ＝2x ＋y 取得最小值，所以1＝2×1－2a ，解得a ＝12，故选B. 答案 (1)A (2)B规律方法 (1)求目标函数最值的一般步骤为：一画、二移、三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．(2)在约束条件是线性的情况下，线性目标函数只有在可行域的顶点或者边界上取得最值．在解答选择题或者填空题时可以根据可行域的顶点直接进行检验．【训练2】 (2018·浙江卷)设z ＝kx ＋y ，其中实数x ，y 满足⎩⎨⎧x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，2x －y －4≤0.若z 的最大值为12，则实数k ＝________.解析约束条件所表示的可行域为如图所示的△ABC ，其中点A (4,4)，B (0,2)，C (2,0)．目标函数z ＝kx ＋y ，化为y ＝－kx ＋z .当－k ≤12，即k ≥－12时，目标函数z ＝kx ＋y 在点A (4,4)取得最大值12，故4k ＋4＝12，k ＝2，满足题意；当－k >12即k <－12时，目标函数z ＝kx ＋y 在点B (0,2)取得最大值12，故k ·0＋2＝12，无解，综上可知，k ＝2. 答案 2考点三线性规划的实际应用【例3】 (2018·湖北卷改编)某客运公司用A ，B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次．A ，B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1 600元/辆和2 400元/辆．公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B 型车不多于A 型车7辆．若每天要以不少于900人运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A 型车、B 型车各多少辆？审题路线确定问题属于线性规划问题⇒设A ，B 两种型号车辆的数量为x ，y ，营运成本z ⇒读题，列出线性约束条件及目标函数⇒画出可行域⇒把目标函数变形，平移，确定最小值经过的点⇒解两直线的交点⇒点代入目标函数可得．解设旅行社租用A 型客车x 辆，B 型客车y 辆，营运成本为z ，则线性约束条件为⎩⎨⎧x ＋y ≤21，y －x ≤7，36x ＋60y ≥900，x 、y ∈N ，目标函数为z ＝1 600x ＋2 400y .画出可行域：如图中阴影部分所示，可知目标函数过点(5,12)时，有最小值z min ＝36 800(元)．故应配备A 型车5辆、B 型车12辆.第101页规律方法变量，用这两个变量建立可行域和目标函数，在解题时要注意题目中的各种相互制约关系，列出全面的制约条件和正确的目标函数．【训练3】某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表菜的种植面积(单位：亩)分别为( )．A ．50,0B ．30,20。

2020高考数学理科大一轮复习导学案《不等关系与不等式》含答案

第六章不等式、推理与证明第一节不等关系与不等式知识点一两个实数比较大小1．限速40 km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40 km/h，写成不等式就是(D)A．v<40 km/h B．v>40 km/hC．v≠40 km/h D．v≤40 km/h解析：由汽车的速度v不超过40 km/h，知小于等于40 km/h.即v≤40 km/h.故选D.2．设a＝2，b＝7－3，c＝6－2，则a，b，c中最大者为a.解析：因为b－c＝7－3－(6－2)＝(7＋2)－(6＋3)，(7＋2)2＝9＋214，(6＋3)2＝9＋218，所以b－c<0，即b<c.又a－c＝2－(6－2)＝22－6＝8－6>0，所以a>c.所以a，b，c中最大者为a.知识点二不等式的性质1．对称性：a>b⇔b<a；2．传递性：a>b，b>c⇒a>c；3．可加性：a>b⇔a＋c>b＋c；a>b，c>d⇒a＋c>b＋d；4．可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b>0，c>d>0⇒ac>bd；5．可乘方：a>b>0⇒a n>b n(n∈N，n≥2)；6．可开方：a>b>0⇒na>nb(n∈N，n≥2)．3．(2019·南宁、柳州联考)设a>b，a，b，c∈R，则下列式子正确的是(C)A ．ac 2>bc 2 B.a b >1 C ．a －c >b －cD ．a 2>b 2解析：a >b ，若c ＝0，则ac 2＝bc 2，故A 错；a >b ，若b <0，则ab <1，故B 错；a >b ，不论c 取何值，都有a －c >b －c ，故C 正确；a >b ，若a ，b 都小于0，则a 20>a ；②0>a >b ；③a >0>b ；④a >b >0.不能推出1a <1b 成立的序号是③.解析：①若b >0>a ，则1a <0<1b ，故①正确；②若0>a >b ，则ab >0，∴a ab >bab ，即1a <1b ，故②正确；③若a >0>b ，则1a >0>1b ，故不能推出1a <1b ，因此③不正确；④若a >b >0，则a ab >b ab ，即1a <1b ，故④正确．综上可知，不能推出1a <1b 成立的是③.5．若1<α<3，－4<β<2，则α2－β的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，112.解析：由1<α<3得12<α2<32，由－4<β<2得－2<－β<4，所以－32<α2－β<112，所以α2－β的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，112.1．比较两个代数式的大小通常用作差法或作商法，也可结合函数、不等式的性质比较．2．倒数性质的几个必备结论 (1)a >b ，ab >0⇒1a <1b . (2)a <0b >0,0<c <d ⇒a c >bd .(4)0<a <x b >0，P ＝a 2－b 2a 2＋b 2，Q ＝a －b a ＋b ，则P ，Q 的大小关系为________．【解析】 (1)令3a ＝4b ＝6c ＝k ，则a ＝log 3k ，b ＝log 4k ，c ＝log 6k ，则3a4b ＝3log 3k 4log 4k ＝3lg44lg3＝lg64lg81<1，则3a <4b ，又4b 6c ＝2log 4k 3log 6k ＝2lg63lg4＝lg36lg64<1，则4b <6c ，所以3a <4b <6c ，故选C.(2)P －Q ＝a 2－b 2a 2＋b 2－a －ba ＋b＝(a 2－b 2)(a ＋b )－(a －b )(a 2＋b 2)(a 2＋b 2)(a ＋b )＝(a －b )[(a ＋b )2－(a 2＋b 2)](a 2＋b 2)(a ＋b )＝2ab (a －b )(a 2＋b 2)(a ＋b ). 因为a >b >0，所以2ab >0，a －b >0，a 2＋b 2>0，a ＋b >0，所以2ab (a －b )(a 2＋b 2)(a ＋b )>0，所以P >Q .【答案】 (1)C (2)P >Q(1)判断两个式子的大小关系的方法：作差、作商法；不等式性质法；单调性法；中间量法；特殊值法；数形结合法等.(2)作差法的一般步骤：作差，变形，定号，得出结论.(1)设a ，b ∈[0，＋∞)，A ＝a ＋b ，B ＝a ＋b ，则A ，B 的大小关系是( B )A ．A ≤B B ．A ≥BC ．A <BD ．A >B(2)若a ＝ln33，b ＝ln44，c ＝ln55，则( B ) A ．a b ；bc ＝5ln44ln5＝log 6251 024>1，所以b >c .即c e 时，函数f (x )单调递减．因为e<3<4<5，所以f (3)>f (4)>f (5)，即c b >0，c <d <0，则一定有( ) A.a c >b dB.a c b cD.a d b >0，且ab ＝1，则下列不等式成立的是( ) A ．a ＋1b <b2a <log 2(a ＋b ) B.b 2a <log 2(a ＋b )<a ＋1b C ．a ＋1b <log 2(a ＋b )<b2a D ．log 2(a ＋b )<a ＋1b <b2a【解析】 (1)由c <d <0⇒－1d >－1c >0，又a >b >0，故由不等式性质，得－ad >－b c >0，所以a d b >0，且ab ＝1，所以a >1,02，log 2(a ＋b )＝log 2a ＋1a >log 2⎝⎛⎭⎪⎫2a ·1a ＝log 22＝1，b 2a ＝1a ·2a <1.可知b 2a 最小，由选项知选B. 解法2：选择题也可以考虑直接赋值，关键是要看出由a >b >0，且ab ＝1可以得出a >1>b >0，然后取符合要求的值，可以取a ＝2，b ＝12，比较4，12·22，log 232，则易得答案为B.【答案】 (1)D (2)B(1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明.常用的推理判断需要利用不等式的性质.(2)在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假，当然判断的同时还要用到其他知识，比如对数函数、指数函数的性质等.(1)若a ，b 为实数，则“0<ab <1”是“a <1b 或b >1a ”的( A ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)若1a <1b <0，则下列不等式：①a ＋b <ab ；②|a | >|b |；③a b ，则1a <1b ”为假命题的一组a ，b 的值依次为1，－1(答案不唯一)．解析：(1)对于0<ab <1，如果a >0，则b >0，a <1b 成立，如果a <0，则b <0，b >1a 成立，因此“0<ab <1”是“a <1b 或b >1a ”的充分条件；反之，若a ＝－1，b ＝2，结论“a <1b 或b >1a ”成立，但条件0<ab <1不成立，因此“0<ab <1”不是“a <1b 或b >1a ”的必要条件．即“0<ab <1”是“a <1b 或b >1a ”的充分不必要条件．(2)因为1a <1b <0，所以b <a <0，a ＋b <0，ab >0，所以a ＋b <ab ，|a |<|b |，在b <a 两边同时乘以b ，因为b <0，所以ab b ，但是1a >1b ，故答案可以为1，－1.(答案不唯一，满足a >0，b <0即可)考向三不等式性质的应用【例3】 (1)三个正数a ，b ，c 满足a ≤b ＋c ≤2a ，b ≤a ＋c ≤2b ，则ba 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，32 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ C ．[2,3] D ．[1,2](2)已知－12≤2x ＋y ≤12，－12≤3x ＋y ≤12，则9x ＋y 的取值范围是________．【解析】 (1)三个正数a ，b ，c 满足a ≤b ＋c ≤2a ，b ≤a ＋c ≤2b ，∴1≤ba ＋c a ≤2，b a ≤1＋c a ≤2b a ，即－2b a ≤－1－c a ≤－b a ，∴1－2b a ≤b a －1≤2－ba ，即⎩⎪⎨⎪⎧ 1－2b a ≤b a －1，ba －1≤2－ba ，即⎩⎪⎨⎪⎧b a ≥23，b a ≤32，∴23≤b a ≤32，故选A.(2)设9x ＋y ＝a (2x ＋y )＋b (3x ＋y )，则9x ＋y ＝(2a ＋3b )x ＋(a ＋b )y ，于是比较两边系数得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋3b ＝9，a ＋b ＝1，得a ＝－6，b ＝7.由已知不等式得－3≤－6(2x ＋y )≤3，－72≤7(3x ＋y )≤72，所以－132≤9x ＋y ≤132.【答案】 (1)A (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－132，132运用不等式的性质解决问题时，常用的方法是正确使用不等式的性质直接推导，并注意不等式性质成立的条件以及等价转化的思想，比如减法可以转化为加法，除法可以转化为乘法等.但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围，解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，再通过“一次性”不等关系的运算求解范围.(1)已知－1<x <y <3，则x －y 的取值范围是(－4,0)．解析：∵－1<x <3，－1<y <3，∴－3<－y <1，∴－4<x －y <4.又∵x <y ，∴x －y <0，∴－4<x －y <0，故x －y 的取值范围为(－4,0)．(2)已知二次函数y ＝f (x )的图象过原点，且1≤f (－1)≤2,3≤f (1)≤4，求f (－2)的取值范围．解：因为二次函数y ＝f (x )的图象过原点，所以设y ＝f (x )＝ax 2＋bx (a ≠0)，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧1≤f (－1)＝a －b ≤2，3≤f (1)＝a ＋b ≤4. 解法1：(待定系数法)由题意知f (－2)＝4a －2b ，设存在实数x ，y ，使得4a －2b ＝x (a ＋b )＋y (a －b )，即4a －2b ＝(x ＋y )a ＋(x －y )b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝4，x －y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，所以f (－2)＝4a －2b ＝(a ＋b )＋3(a －b )．又3≤a ＋b ≤4,3≤3(a －b )≤6，所以6≤(a ＋b )＋3(a －b )≤10，即f (－2)的取值范围是[6,10]．因为二次函数y ＝f (x )的图象过原点，所以设y ＝f (x )＝ax 2＋bx (a ≠0)，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧1≤f (－1)＝a －b ≤2，3≤f (1)＝a ＋b ≤4.解法1：(待定系数法)由题意知f (－2)＝4a －2b ，设存在实数x ，y ，使得4a －2b ＝x (a ＋b )＋y (a －b )，即4a －2b ＝(x ＋y )a ＋(x －y )b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝4，x －y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝3，所以f (－2)＝4a －2b ＝(a ＋b )＋3(a －b )．又3≤a ＋b ≤4,3≤3(a －b )≤6，所以6≤(a ＋b )＋3(a －b )≤10，即f (－2)的取值范围是[6,10]．解法2：(运用方程思想)由⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝12[f (－1)＋f (1)]，b ＝12[f (1)－f (－1)]，所以f (－2)＝4a －2b ＝3f (－1)＋f (1)．又⎩⎪⎨⎪⎧ 1≤f (－1)≤2，3≤f (1)≤4，所以6≤3f (－1)＋f (1)≤10，即f (－2)的取值范围是[6,10]．。

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第1节不等关系与不等式
【选题明细表】
知识点、方法题号
不等式的性质1,2,3,5
比较大小4,7,14
范围问题6,8,13
综合应用9,10,11,12
基础巩固(时间:30分钟)
1.(2018·十堰模拟)若x+y>0,a<0,ax>0,则y-x一定( A )
(A)大于0 (B)等于0
(C)小于0 (D)不确定
解析:由a<0,ax>0,得x<0,又x+y>0,所以y>0,故y-x>0.
2.(2018·衡水中学模拟)已知<<0,则下列选项中错误的是( D )
(A)|b|>|a| (B)ac>bc
(C)>0 (D)ln >0
解析:<<0,当c<0时,>>0,
即b>a>0,所以|b|>|a|,ac>bc,>0成立,此时0<<1,所以ln <0. 当c>0时,<<0,即b<a<0,
所以|b|>|a|,ac>bc,>0成立,
此时0<<1,所以ln <0.故选D.
3.(2018·许昌模拟)若a,b都是实数,则“->0”是“a2-b2>0”的( A )
(A)充分不必要条件
(B)必要不充分条件
(C)充要条件
(D)既不充分也不必要条件
解析:由->0得a>b≥0,
由a2-b2>0得a2>b2,
即a>b≥0或a<b≤0,
所以“->0”是“a2-b2>0”的充分不必要条件.
4.(2018·商丘模拟)已知a=log23+log2,b=log29-log2,c=log32,则a,b,c的大小关系是( B )
(A)a=b<c (B)a=b>c
(C)a<b<c (D)a>b>c
解析:a=log23+log2=log23.b=log29-log2=log2=log23.
所以a=b=log23>log22=1.
因为c=log32<log33=1,所以a=b>c,故选B.
5.(2018·安徽五校联考)已知下列四个条件:①b>0>a;②0>a>b;③
a>0>b;④a>b>0.能推出<成立的有( C )
(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个
解析:因为b>0>a,所以①正确;由倒数法则知②④正确,故选C.
6.(2018·阜阳模拟)若1<a<3,-4<b<2,则a-|b|的取值范围是( C )
(A)(-1,3) (B)(-3,6)
(C)(-3,3) (D)(1,4)
解析:因为-4<b<2,
所以0≤|b|<4,所以-4<-|b|≤0,
又因为1<a<3,所以-3<a-|b|<3.
7.x2+y2+1与2(x+y-1)的大小关系是.
解析:因为(x2+y2+1)-2(x+y-1)
=(x-1)2+(y-1)2+1>0,
所以x2+y2+1>2(x+y-1).
答案:x2+y2+1>2(x+y-1)
8.若-1<a+b<3,2<a-b<4,则2a+3b的取值范围是.
解析:设2a+3b=x(a+b)+y(a-b),
所以得
因为-1<a+b<3,2<a-b<4,
所以-<(a+b)<,-2<-(a-b)<-1.
所以-<2a+3b<.
答案:-,
能力提升(时间:15分钟)
9.(2018·咸阳模拟)已知0<a<b,且a+b=1,则下列不等式中正确的是( C )
(A)log2a>0 (B)2a-b<
(C)log2a+log2b<-2 (D)<
解析:由题意,得0<a<1,0<b<1,
因此log2a<0,A错;
-1<-b<0,又a<b,所以-1<a-b<0,
所以<2a-b<1,B错;
因为0<a<b,所以+>2=2.
所以>22=4,D错;
由a+b=1>2,得ab<,
所以log2a+log2b=log2(ab)<log2=-2,C正确.故选C.
10.(2018·江门模拟)已知三个不等式:ab>0,bc-ad>0,->0(其中a,b,c,d均为实数),用其中两个不等式作为条件,余下的一个不等式作为结论组成一个命题,可组成的正确命题的个数为( D )
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
解析:①由ab>0,bc-ad>0,
即bc>ad,得>,即->0;
②由ab>0,->0,即>,得bc>ad,
即bc-ad>0;
③由bc-ad>0,->0,即>0,得ab>0.故可组成3个正确的命题.
11.(2018·芜湖模拟)甲、乙两位采购员同去一家粮食销售公司买了两次粮食(同一品种),两次粮食的价格不同,两位采购员的购粮方式也不同.其中,甲每次购买1 000 kg,乙每次购粮用去1 000元钱,则购粮方式更合算的是(选填“甲”或“乙”).
解析:设两次价格分别为a元,b元,则甲的平均价格为m=元,
乙的平均价格为n==,
所以m-n=-=>0,
所以m>n,所以乙更合算.
答案:乙
12.(2018·襄阳模拟)若x>y,a>b,则在①a-x>b-y,②a+x>b+y,③ax>by,
④x-b>y-a,⑤>这五个式子中,恒成立的不等式的序号是
.
解析:令x=-2,y=-3,a=3,b=2,符合题设条件x>y,a>b,
因为a-x=3-(-2)=5,b-y=2-(-3)=5,所以a-x=b-y,因此①不成立.
因为ax=-6,by=-6,所以ax=by,因此③也不成立.
因为==-1,==-1,
所以=,
因此⑤不成立.由不等式的性质可推出②④成立.
答案:②④
13.(2018·遵义模拟)若-1≤lg ≤2,1≤lg(xy)≤4,则lg的取值范围是.
解析:由1≤lg(xy)≤4,-1≤lg ≤2得1≤lg x+lg y≤4,-1≤lg x-lg y≤2,而lg =2lg x-lg y=(lg x+lg y)+(lg x-lg y),所以-1≤lg
≤5.
答案:[-1,5]
14.在a>0,b>0的情况下,下面四个结论:
①≤;②≤;③≤;
④+≥a+b.
其中正确的是.
解析:①中-==-≤0,
所以≤;
②正确;③中()2-=≤0, 所以≤;
④中(+)-(a+b)=
=
=≥0,
所以+≥a+b.
答案:①②③④。

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高考数学理科一轮复习 第6章 不等式第1讲

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